Напряжение и деформация пластины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Задание контрольно-курсовой работы:

1) определить напряжения и деформации пластины из условий равновесия и закона Гука;

2) исследовать деформации пластины в зависимости от ориентации главных осей анизотропии (угла );

3) определить форму контура в деформированном состоянии при значениях угла .

Исходные данные:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 Схема нагружения анизотропной пластины

Тип анизотропии материала пластины - гексагональный. Диаметр контура , геометрические размеры пластины , давление на стенки пластины . Оси координат х1, х2, х3 направлены вдоль главных осей анизотропии материала (ось х3 - главная поворотная, ось х2 - боковая поворотная), угол между осями анизотропии и декартовыми осями Оху меняется в пределах ;

1. Определение напряжений и деформаций

Запишем закон Гука в общем виде:

(1)

Или

, (2)

где - тензор малых деформаций, - тензор упругих податливостей, - тензор истинных напряжений Коши, - тензор упругости. Тогда выражения соответствующих деформаций будет иметь вид (3):

(3)

Для плоской задачи:

(4)

Принимая во внимание тип анизотропии материала (при гексагональной анизотропии компоненты тензора упругих податливостей ), получим:

(5)

Уравнения равновесия для плоской задачи запишутся следующим образом:

(6)

Определим значения нормальных напряжений и :

Па, Па.

Касательное напряжение , исходя из начальных условий задачи, следовательно деформация .

Определим значения деформаций и , подставив найденные нормальные напряжения в (3):

 (7)

Учитывая соотношения перемещений и деформаций

, найдём поле перемещений:

. (8)

Исходя из начальных условий искомые константы и равны 0. И окончательно поле перемещений запишется в виде:

(9)

напряжение деформация пластина анизотропия

2. Зависимость деформации пластины от ориентации главных осей анизотропии (угла )

Ранее напряжения и деформации были определены для случая, когда главные оси анизотропии совпадают с осями координат. При повороте главных осей анизотропии относительно одной из осей координат на угол возникает необходимость определения компонент тензора упругих податливостей , входящих в (3), в другом базисе. Обозначим первичную систему координат как , изменённую как .

Выражение потенциальной энергии деформации запишется следующим образом:

 (10)

Записав (4) и (10) для новой системы, получим

(11)

(12)

Выражая через по формулам:

(13)

подставим эти значения в выражение потенциальной энергии (10) и сравним с (12). Отсюда находим искомые компоненты :

Подставив необходимое значение угла в полученную зависимость , получим:

(15)

(16)

Из (15) следует, что при повороте главных осей анизотропии на деформации пластины по-прежнему имеют вид (7).

Для того чтобы найти деформации пластины при подставим компоненты (16) в (7) , получим:

(17)

3. Определение формы контура в деформированном состоянии при выбранных значениях угла

Контур D имеет форму окружности диаметром 0.5 метра. Уравнение недеформированного контура имеет вид

, (18)

где .

Для получения уравнения деформированного контура необходимо подставить

и в (18), получим

.

При и уравнение контура D примет вид:

(19)

При соответственно

Из уравнений (19) и (20) следует, что при деформации контур D приобретает эллиптическую форму.

Список литературы

1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М: Изд-во Гостехиздат, 1947. 355 с.

2. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. 374 с.

3. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.:Наука, 1988. 192 с.

Размещено на Allbest.ru