Теория четырехполюсников
Связь между функциями цепи и параметрами четырехполюсника. Условия согласования источника сигнала с нагрузкой. Основные понятия для идеальных фильтров. Классификация фильтров электрических сигналов. Понятие о длинной линии и распространение волн в ней.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.09.2017 |
| Размер файла | 340,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Основы теории четырехполюсников
1.1 Основные определения. Уравнения и параметры четырехполюсника
Размещено на http://www.allbest.ru/
Теория четырехполюсников - это один из способов описания электрической цепи, когда схема электрической цепи может быть неизвестна. В теории четырехполюсников электрическую цепь заменяют «черным ящиком» с четырьмя выводами, два из которых являются входными (1, 11), а два других - выходными (2, 21) (рис. 7.1).
Режим работы цепи и все ее параметры известны (можно рассчитать), если известны входные и выходные токи и напряжения. При этом:
U1, I1 - напряжение и ток на входе;
U2, I2 - напряжение и ток на выходе.
Теория четырехполюсников позволяет описывать электрическую цепь, для которой известны две из этих четырех величин и параметры четырехполюсника, определенные в режиме короткого замыкания и холостого хода на входе и выходе цепи. Две известные величины называют воздействием, обозначим их Х1, Х2 (это независимые переменные), а две другие откликом, обозначим их Y1, Y2 (это зависимые переменные, т. е. функции).
Уравнения, устанавливающие связь между откликами и воздействиями, называют основными уравнениями четырехполюсника. В общем виде их можно записать как две некоторые функции f1 и f2 от (х1 и х2), однако для линейных цепей в соответствии с принципом суперпозиции эти функции обращаются в линейную комбинацию переменных (х1 и х2):
Коэффициенты L11, L12, L21, L22, входящие в основные уравнения четырехполюсника, называются параметрами четырехполюсника. В зависимости от того, что считать воздействием (аргументами) Х1, Х2 и что откликом (функциями) Y1, Y2 (таблица), можно записать шесть пар основных уравнений четырехполюсника.
|
Система |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
Воздействие |
Э1, Э2 |
U2, U1 |
U2, Э2 |
U1, Э1 |
Э1, U2 |
Э2, U1 |
|
|
Отклик |
U1, U2 |
Э1, Э2 |
U1, Э1 |
U2, Э2 |
Э2, U1 |
Э1, U2 |
|
|
Параметры |
Z |
Y |
A |
B |
H |
G |
1.2 Z-параметры четырехполюсника
Связь между напряжениями, токами и Z-параметрами получают из уравнений U1 = f1(I1, I2), U2 = f2(I1, I2). Если считать четырехполюсник линейным, то в силу принципа суперпозиции функции представляют собой линейную комбинацию аргументов, т. е.
Коэффициенты, входящие в эти уравнения, имеют размерность сопротивлений и называются Z-параметрами, а сами уравнения - уравнениями четырехполюсника с Z-параметрами. Эти параметры имеют следующие названия:
- входное сопротивление при режиме холостого хода (х.х.) на выходе;
- сопротивление обратной передачи при холостом ходе на входе;
- сопротивление прямой передачи при холостом ходе на выходе;
- выходное сопротивление при холостом ходе на входе.
В общем случае при наличии в схеме реактивных элементов эти сопротивления являются комплексными.
Полученную систему уравнений можно записать в матричной форме:
(U) = (Z) (I),
где ( I ) = (I1, I2)т - матрица-столбец заданных токов, ( U ) = (U1, U2)т - матрица-столбец напряжений на выводах четырехполюсника;
- матрица сопротивлений четырехполюсника.
Аналогично можно записать и остальные уравнения четырехполюсника, например Y-параметры. Основные уравнения четырехполюсника в Y-пара-метрах записываются как
,
а Y-параметры имеют следующие названия:
- входная проводимость в режиме короткого замыкания на выходе;
- проводимость обратной передачи в режиме короткого замыкания на входе;
- проводимость прямой передачи при коротком замыкании на выходе;
- выходная проводимость в режиме короткого замыкания на входе.
Причем , так как они определены при разных режимах.
Параметры различных систем уравнений, относящиеся к одному четырехполюснику, взаимосвязаны, т.е. любой из параметров одной системы уравнений (например, Z-параметры) может быть выражен через параметры другой системы (например Y, H, G и т.д.). Кроме того, все параметры четырехполюсника связаны с функциями цепи.
1.3 Связь между функциями цепи и параметрами четырехполюсника
К основным параметрам (функциям) электрической цепи относят Zвх, Ku, KI, Zвых. Покажем, что все они могут быть выражены через Z-параметры четырехполюсника: Z11, Z12, Z21, Z22. Так как функции цепи и Z-параметры четырехполюсника характеризуют свойства одного и того же четырехполюсника, то все они связаны между собой. Установим связь между функциями цепи и параметрами четырехполюсника (рис. 7.2).
1) Запишем основные уравнения в Z-параметрах и закон Ома для Zн и обозначим, записанные уравнения как (7.1), (7.2), (7.3).
; (7.1)
; (7.2)
. (7.3)
Подставим (7.3) (7.2). Получим
.
Разрешим это уравнение относительно I2.
. (7.4)
Подставим (7.4) (7.1), получим
. (7.5)
Используя определения функций цепи, выразим их через Z-параметры.
2) Используя определение входного сопротивления и (7.5), получим
,
если Zн , то Zвх = Z11.
Используя определение коэффициента передачи тока и (7.4), получим
.
3) Используя определение коэффициента передачи напряжения (7.3) и (7.5), получим
.
4) Используя определение выходного сопротивления, получим
.
1.4 Эквивалентные схемы четырехполюсника
Электрическая схема реального четырехполюсника может быть сложной или даже недоступной, например, транзистор. Поэтому представляет интерес замена схемы реальной электрической цепи некоторой простой эквивалентной схемой.
Схемы называются эквивалентными, если при их взаимной замене входные и выходные токи и напряжения не изменяются. Эквивалентные схемы можно составлять разными способами:
1) по заданной топологии (по расположению элементов) электрической цепи;
2) по основным уравнениям четырехполюсника. Такие схемы называют формальными схемами замещения;
3) по физической модели. Это физическая схема замещения.
1.4.1 Схемы замещения по заданной топологии
Обычно в качестве эквивалентных схем выбирают схемы с минимальным числом элементов. Наиболее распространены Т-, П- и Г- образные схемы замещения (рис. 7.3).
а б в
Рис. 7.3
Для Т-образной схемы замещения покажем связь между ее параметрами (Z1, Z2, Z3) и Z-параметрами четырехполюсника. T-образная схема имеет два контура с контурными токами I1 и I2. Используя метод контурных токов, запишем контурные уравнения
;
Z2I1 = (Z2 + Z3) I2 = U2 + E.
Если цепь пассивна, то E = 0, при этом составленные уравнения совпадают с уравнениями Z-параметров четырехполюсника, отсюда и определим Z-параметры
; ; .
Отсюда получим
; ; .
Электрические цепи, не содержащие источников электрической энергии, называются пассивными. Для пассивных электрических цепей выполняется условие . Пассивные цепи для своего описания требуют трех параметров, четвертый определяется из условия пассивности .
Активные четырехполюсники делятся на автономные и неавтономные. Автономные четырехполюсники содержат независимые источники, а неавтономные содержат только зависимые источники.
Четырехполюсники называются симметричными, если при замене местами входных и выходных зажимов его параметры не изменяются. - условие симметричности четырехполюсников. Симметричные четырехполюсники называют взаимными.
1.4.2 Формальные схемы замещения
Их составляют по основным уравнениям четырехполюсника. Запишем основные уравнения четырехполюсника в системе H-параметров:
; (7.6)
. (7.7)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Схему замещения входной цепи четырехполюсника составляют по уравнению (7.6), а выходной - по уравнению (7.7). Схема замещения четырехполюсника в системе H-параметров приведена на рис. 7.4.
Уравнение (7.6) представляет собой второй закон Кирхгофа (закон для контура), поэтому входная цепь изображается в виде контура. При этом первое слагаемое - это падение напряжения от входного тока на входном сопротивлении, т.е. h11I1, а второе слагаемое - это напряжение, возникающее во входном контуре в результате обратной связи. Это учитывается введением во входную цепь зависимого источника ЭДС - .
Уравнение (7.7) представляет собой первый закон Кирхгофа (закон для узла). Выходной ток I2 состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое - это , зависимый источник тока, учитывающий передачу входного тока в выходную цепь, а второе слагаемое - это h22U2, ток через проводимость h22.
1.5 Условия согласования источника сигнала с нагрузкой
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рассмотрим вопрос передачи сигнала от источника сигнала в нагрузку (рис. 7.5). Считаем, что источник сигнала представлен источником ЭДС с внутренним сопротивлением Zi = Ri + jXi, а нагрузкой является сопротивление Zн = Rн + jXн. Обычно рассматривают два условия (режима) согласования:
1) Получение на нагрузке максимальной амплитуды напряжения - это условие максимального кпд по напряжению.
2) Условие согласования, при котором на нагрузке выделяется максимальная мощность - условие согласования по мощности.
Установим условие первого режима согласования, т.е. получения на
нагрузке максимальной амплитуды напряжения. Запишем выражение для выходного напряжения
.
Из него следует, что Uн > max, когда |Zн| >> |Zi|. Такой режим согласования используют в энергетических установках. В этом случае напряжение, выделяемое на нагрузке, а следовательно, и кпд цепи (кпд = Uн/U1) максимально и равно единице.
Установим условие второго режима согласования, когда на нагрузке происходит выделение максимальной мощности.
Мощность выделяется на резистивной составляющей Rн сопротивления нагрузки Zн. Это активная мощность, она определяется из выражения
.
Найдем амплитуду тока Im. Сначала запишем выражение для комплексной амплитуды тока в контуре:
.
Затем найдем модуль комплексной амплитуды:
.
Подставим ток в исходное выражение, получим активную мощность, выделяемую в нагрузке
.
Найдем условия, когда .
Во-первых, потребуем Хн = -Хi.
Во-вторых, найдем максимум по второй переменной (по Rн). Для этого надо взять производную по Rн от функции
,
и приравнять ее к нулю. В результате получим Rн = Ri.
Итак, условие согласования по максимальной мощности на нагрузке записывается так:
т.е. сопротивления нагрузки и источника сигнала должны быть комплексно сопряженными.
В режиме согласования по мощности в нагрузке выделяется мощность:
.
Это составляет 50% от мощности, развиваемой источником сигнала, т.е.
Напряжение на нагрузке при этом
.
Следовательно, кпд в режиме согласования по мощности составляет 50 %, т.е.
.
1.6 Согласование четырехполюсников
Часто четырехполюсники являются передающим (согласующим) звеном между источником сигнала и нагрузкой (см. рис. 7.2). Определим условие, когда четырехполюсник оказывается согласованным, т.е. условие, при котором через четырехполюсник от источника сигнала в нагрузку передается наибольшая мощность.
Рассмотрим условие согласования на примере пассивного симметричного четырехполюсника (Z12 = Z21, Z11 = Z22). Его входное сопротивление зависит от сопротивления нагрузки Zвх (Zн) и определяется из выражения
,
поэтому его можно выбрать таким, чтобы
.
Это выполняется, когда
,
где Zв - характеристическое, или волновое, сопротивление. Волновое сопротивление - это специфический параметр четырехполюсника.
Четырехполюсник считают согласованным и в нагрузку от источника сигнала через четырехполюсник передается наибольшая мощность, если внутреннее сопротивление источника Ri и сопротивление нагрузки Rн равны волновому сопротивлению Zв, т.е. Ri = Rн = Zв.
1.7 Соединение четырехполюсников
При анализе электрических цепей часто возникает задача определения параметров сложных четырехполюсников, которые образованы соединением нескольких простых четырехполюсников, параметры которых известны. Нахождение параметров сложных четырехполюсников значительно упрощается, если воспользоваться формулами, устанавливающими связь между параметрами простых и параметрами составного четырехполюсника.
Четырехполюсники могут быть соединены так, как показано на рис. 7.6. Название составных четырехполюсников обычно состоит из двух слов. Первое слово характеризует способ соединения четырехполюсников на входе (последовательно или параллельно), а второе - на выходе (последовательно или параллельно). Каждую из схем составного четырехполюсника можно заменить на один четырехполюсник (рис. 7.6, е), параметры которого определяются следующим образом.
1) Последовательно-последовательное соединение (рис. 7.6, а). (Z)-мат-рица составного четырехполюсника равна сумме (Z1) + (Z2)-матриц простых четырехполюсников:
(Z) = (Z1) + (Z2).
2) Параллельно-параллельное соединение (рис. 7.6, б). При параллельно-параллельном соединении четырехполюсников складываются (Y)-матрицы:
(Y) = (Y1) + (Y2).
Рис. 7.6
3) При каскадном соединении (рис. 7.6, в) (иногда такое соединение называют последовательным) наиболее удобны соотношения между
(А)-матрицами:
(А) = (А1)(А2).
4) При последовательно-параллельном соединении (рис. 7.6. г) суммируются (H)-матрицы:
(H) = (H1)+(H2).
5) При параллельно-последовательном соединении (рис. 7.6, д) суммируются (G)-матрицы:
(G) = (G1) + (G2).
Контрольные вопросы
1. Что называют четырехполюсником?
2. Какими системами параметров описываются четырехполюсники?
3. Как связаны между собой функции цепи и параметры четырехполюсника?
4. Какие четырехполюсники считают эквивалентными?
5. Какие четырехполюсники называются симметричными?
6. Какие четырехполюсники называются автономными?
7. В чем заключается суть режима согласования источника и нагрузки?
8. Как определяются параметры сложных четырехполюсников, которые образованы соединением простых четырехполюсников?
2. Фильтры электрических сигналов
2.1 Основные понятия и определения
В современных многоканальных системах связи широко используется частотный принцип разделения сигналов. Он состоит в том, что каждому сигналу отводится своя полоса частот. Важнейшую роль при обработке таких сигналов играют фильтры электрических сигналов.
Фильтры - это устройства, которые предназначены для пропускания сигналов в определенной полосе частот и подавления сигналов за пределами этой полосы частот. Обычно фильтр - это четырехполюсник (рис. 8.1.).
Передача сигнала через фильтр характеризуется двумя способами.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1) Комплексным коэффициентом передачи по напряжению:
Ku(j) = U2m/U1m
или его амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):
Ku() = U2m/U1m.
Коэффициент передачи - это относительная безразмерная величина. Иногда его характеризуют относительной логарифмической величиной Ku[дБ] = 20 lgKu, ее размерностью является децибелл (дБ). Коэффициент передачи показывает, какая доля входного сигнала проходит через фильтр.
2) Коэффициентом затухания по напряжению:
(jщ) = U1m /U2m = 1/ Ku(j); (щ) = U1m /U2m, [дБ] = -20 lg Ku().
Он показывает долю сигнала, которая затухает, проходя через фильтр.
1.2 Основные понятия для идеальных фильтров
1) Полоса пропускания (ПП) - это диапазон частот, в котором K(щ) = 1, = 1.
2) Полоса задержания, или заграждения (ПЗ), - это диапазон частот, в котором K(щ) = 0, .
3) Частота, являющаяся границей между полосой пропускания и полосой задержания, называется граничной частотой, или частотой среза (fгр или fср).
У реальных фильтров нет четкой границы между ПП и ПЗ, поэтому в них за значение граничной частоты fгр принимают частоту, определяемую из соотношения
? 0,707.
Скорость спада АЧХ коэффициента передачи Ku в полосе заграждения рассчитывается из выражения
Размещено на http://www.allbest.ru/
V= - 20 lg.
Избирательные свойства фильтра тем лучше, чем ближе форма АЧХ к прямоугольной. Идеальный фильтр имеет прямоугольную АЧХ. Его скорость спада бесконечна.
На рис. 8.2. изображены амплитудно-частотные характеристики фильтра низких частот (ФНЧ) в логарифмическом масштабе при разных скоростях спада.
2.3 Классификация фильтров электрических сигналов
1) В зависимости от характера входного сигнала фильтры делятся:
- на аналоговые,
- цифровые.
2) В зависимости от наличия в схеме активных элементов:
- пассивные,
- активные.
3) В зависимости от элементов, составляющих фильтр:
- LC,
- RC,
- RL-типа,
- АRC-типа (активные RC-фильтры).
4) По характеру математического выражения аппроксимирующего АЧХ фильтра:
- фильтры Бесселя,
- фильтры Баттерворта,
- фильтры Золотарева,
- фильтры Чебышева и др.
5) По расположению полосы пропускания на оси частот фильтры делятся:
- на фильтры низких частот (ФНЧ). Их АЧХ коэффициента передачи приведена на рис. 8.3, а. АЧХ идеального фильтра имеет прямоугольный характер, а у реального нет четкой границы между полосой пропускания и полосой заграждения.
- Фильтры высоких частот (ФВЧ). Их АЧХ коэффициента передачи приведена на рис. 8.3, б:
а б в г
Рис. 8.3
- Полосно-пропускающие фильтры (ППФ). Их АЧХ коэффициента передачи приведена на рис. 8.3, в, где щ0 - средняя частота полосы пропускания;
щв.гр, щн.гр - соответственно верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания. Если щ0/(щв.гр-щн.гр) >> 1, то фильтры называют избирательными, такие фильтры пропускают сигналы в узком диапазоне частот.
- Полосно-заграждающие фильтры (ПЗФ). Их АЧХ коэффициента передачи приведена на рис. 8.3, в, где щ0 - средняя частота полосы задержания; щв.гр, щн.гр - соответственно верхняя и нижняя граничные частоты полосы задержания. Если щ0/(щв.гр - щн.гр) >>1, то фильтры называют режекторными, они подавляют сигнал в узком диапазоне частот.
2.4 Схемы электрических фильтров
Основой для построения фильтров является каскадное (последовательное) соединение Г-, Т- или П-образных четырехполюсников (рис. 8.4). Каждый из четырехполюсников в теории фильтров называют звеном фильтра.
Рис. 8.4
Если звенья фильтров удовлетворяют условию Rвых<< Rвх, то такие звенья можно считать независимыми, так как они не влияют на коэффициент передачи по напряжению друг на друга. В этом случае общий коэффициент передачи фильтра Ku общ можно записать как произведение коэффициентов передач Kui отдельных звеньев, входящих в фильтр
.
2.4.1 Схемы звеньев фильтров
Избирательные свойства звеньев фильтра и фильтра в целом объясняются тем, что в их схему входят элементы (катушки индуктивности и емкости), сопротивления которых зависят от частоты.
Для простейшей Г-образной схемы с комплексными сопротивлениями Z1 и Z2 коэффициент передачи по напряжению определяется выражением
.
Отсюда следует, что на частотах, когда |Z2|>>|Z1|, Ku 1 - это полоса пропускания. На тех частотах, когда |Z2|<<|Z1|, Ku 0 - это полоса заграждения.
Рассмотрим конкретные схемы звеньев фильтра.
1) Простейшие схемы однозвенных ФНЧ приведены на рис. 8.5.
На рис. 8.5 а, б и в приведены Г-образные схемы соответственно RC-типа, RL-типа и LC-типа типа, а на рис. 8.5, г, д приведены Т- и П-образные схемы на LC-элементах. Работа, например, фильтра RC-типа происходит следующим образом. Если щ>0, то сопротивление конденсатора (1/щС)>?, а следовательно, U2m = U1m, т.е. сигнал передается через цепь без ослабления. При увеличении частоты входного сигнала сопротивление конденсатора уменьшается, (1/щС)>0. Амплитуда выходного напряжения на конденсаторе |U2m|>0 и, следовательно, высокочастотный сигнал через фильтр не проходит, т.е. подавляется.
а б в г д
Рис. 8.5
Комплексный коэффициент передачи по напряжению Ku(j) = U2m/U1m и амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) Ku() = U2m/U1m рассмотренного ФНЧ определяются из выражений:
Ku(jщ) = (1+jщ RC)-2, Ku(щ) = (1+(щRC)2)-2.
2) Простейшие схемы однозвенных ФВЧ приведены на рис. 8.6.
На рис. 8.6, а-в приведены Г-образные схемы соответственно RC-типа, RL-типа и LC-типа, а на рис.8.6 г, д приведены схемы Т- и П-образные схемы на LC-элементах. Работа, например, фильтра RC-типа, происходит следующим образом. Если щ > 0, то сопротивление конденсатора (1/щС) > ?, а следовательно, U2m > 0, - низкочастотный сигнал через фильтр не проходит, т.е. подавляется. При увеличении частоты входного сигнала сопротивление конденсатора уменьшается (1/щС)>0, следовательно, U2m = U1m, т.е. высокочастотный сигнал передается через цепь без ослабления.
а б в г д
Рис. 8.6
3) Полосно-пропускающий фильтр можно получить путем последовательного соединения двух звеньев ФНЧ и ФВЧ, подобрав соответствующим образом их граничные частоты.
Однако на практике часто используют схему моста Вина (рис. 8.7, а). На рис. 8.7, б приведена зависимость его коэффициента передачи от частоты. На рис.8.7, в приведена схема ППФ на основе последовательного контура.
а б в
Рис. 8.7
4) Полосно-заграждающий фильтр (ПЗФ) можно получить путем последовательного соединения ФНЧ и ФВЧ при соответствующем выборе граничных частот.
Однако на практике часто используют схему двойного Т-образного моста (рис. 8.8, а). Зависимость коэффициента передачи от частоты этой схемы приведена на рис. 8.8, б. Аналогичной характеристикой обладает схема на основе последовательного контура (рис. 8.8, в).
а б в
Рис. 8.8
2.4.2 Влияние числа звеньев фильтра на его характеристики
Рассмотрим это влияние на сравнении одно- и двухзвенного ФНЧ на RC-элементах (рис. 8.9, а, б). Будем считать, что в состав второй схемы (рис. 8.9, б) между звеньями входит устройство согласования звеньев по сопротивлениям. Согласующий каскад [x1] имеет большое входное (Rвх ) и малое выходное (Rвых 0) сопротивления, при этом его коэффициент передачи равен единице (Кu =1). Это позволяет считать 1-е и 2-е звено независимыми.
а б в
Рис. 8.9
Для первой схемы комплексный коэффициент передачи по напряжению и его АЧХ определяются из выражений:
; .
Граничная частота звена определяется из соотношения гр = 1/(RC). В полосе заграждения при > гр коэффициент передачи убывает со скоростью Ku() 1/, т.е. при увеличении в 10 раз Ku() убывает в 10 раз. Это убывание в логарифмических единицах составляет величину 20 дБ на декаду, т.е.
v = -20 дБ/дек.
Фильтр с одним реактивным элементом называется фильтром первого порядка, поскольку он описывается дифференциальным уравнением 1-го по-рядка.
Рассмотрим АЧХ комплексного коэффициента передачи по напряжению для двухзвенного фильтра. Она определяется как произведение коэффициентов передач звеньев
Ku() = K1 K2=.
При > щгр Ku()1/2, т.е. v = -40 дБ/дек.
Вывод. Чем больше звеньев в фильтре, тем выше скорость спада в полосе заграждения (v) и тем фильтр ближе к идеальному. При независимых звеньях скорость спада составляет v = n20 дБ/дек, где n - число звеньев.
Контрольные вопросы
1. Для чего предназначены фильтры электрических сигналов?
2. Какими основными параметрами описываются фильтры электрических сигналов?
3. Как классифицируются фильтры электрических сигналов?
4. Охарактеризуйте основные схемы построения электрических фильтров?
5. Как влияет число звеньев фильтра на его характеристики?
6. Как определяется полоса пропускания фильтра?
7. Как называется диапазон частот, в котором коэффициент передачи по напряжению и коэффициент затухания в идеальных фильтрах равны единице?
8. Что собой представляет частота среза фильтра?
9. Как рассчитывается комплексный коэффициент передачи N-звенного фильтра, если звенья одинаковы, обладают комплексным коэффициентом передачи Ki(jщ) и согласованы по напряжениям.
10. Какова временная диаграмма сигнала на выходе ФНЧ при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов (рис. 8.10)?
.
а б в г
Рис. 8.10
11. Какова временная диаграмма сигнала на выходе ФВЧ при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов (рис. 8.10)?
3. Цепи с распределенными параметрами
Электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью. Это придает процессам, происходящим в электрических цепях, волновой характер, т.е. токи и напряжения в электрической цепи оказываются зависящими не только от времени t, но и от координаты сечения цепи x, т.е. U(x,t); i(x,t).
Если >>L, то участки цепи, состоят из элементов, обладающих только одним свойством и называются цепями с сосредоточенными параметрами, где = сТ = с/f - длина электромагнитной волны. Это расстояние между двумя точками, фазы колебаний в которых отличаются на 2р. Здесь с - скорость распространения волны; Т - период; f - частота; l - геометрический размер цепи. Все магнитные поля сосредоточены в катушках (L), все электрические поля - в конденсаторах (C), а потери - в резисторах (R).
Если <l, то в цепи невозможно выделить участок, обладающий одним свойством. Каждый участок цепи обладает одновременно свойствами R, L, C-элементов, т.е. параметры элементов как бы распределены по всему участку цепи. Такие цепи называют цепями с распределенными параметрами.
На частоте f = 1 кГц цепь длины l = 30ч40 км является цепью с распределенными параметрами. А на частоте f = 1 ГГц цепь длиной l = 2ч3 мм также является цепью с распределенными параметрами.
Примерами цепей с распределенными параметрами являются:
- воздушно-двухпроводная линия;
- электрический кабель;
- коаксиальный кабель;
- полосковая линия, прямоугольный или круглый волновод и т.д.
Цепи с распределенными параметрами часто называют длинными
линиями.
3.1 Понятие о длинной линии и распространение волн в ней
четырехполюсник фильтр электрический волна
Рассмотрим воздушную двухпроводную линию, длина которой соизмерима или больше длины электромагнитной волны (рис. 9.1, а). При протекании тока по проводам вокруг них возникает магнитное поле Н, что свидетельствует о наличии индуктивности, распределенной вдоль линии. Между проводами возникает электрическое поле, что говорит о емкости. Провода и диэлектрик между проводами нагреваются, что свидетельствует о наличии потерь, т.е. говорит о сопротивлении.
а б
Рис. 9.1
Количественно физические параметры длинной линии характеризуются следующими погонными параметрами, т.е. параметрами, приходящимися на единицу длины:
L0 - погонная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Гн/м.
R0 - погонное сопротивление. Определяется как сопротивление короткозамкнутого отрезка проводов длиной 1 м. Единица измерения Ом/м.
C0 - погонная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Ф/м.
G0 - поперечная проводимость. Определяется как проводимость между проводами, разомкнутыми на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения См/м.
Выделим участок длины dx. Его можно представить эквивалентной схемой, приведенной на рис. 9.1, б.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Если погонные параметры не зависят от x, то линии называются однородными, если погонные параметры зависят от координаты х, неоднородными. Если R0 = G0 = 0, то линию называют линией без потерь.
Составим уравнения, позволяющие определить напряжение и ток в любом сечении длинной линии, для длинной линии без потерь (рис. 9.2). Запишем выражения относительно приращений напряжения и тока:
; (9.1)
. (9.2)
Поделим первое и второе уравнение на dx, а затем продифференцируем первое уравнение по х, второе - по t, а затем выразим смешанные производные:
Полученные (крайние справа) уравнения для линии без потерь называются волновыми.
Уравнение, полученное аналогично, но с учетом R и G, для линий с потерями, называются телеграфными. Они записываются так
В общем случае решение волновых уравнений можно представить выражениями:
Размещено на http://www.allbest.ru/
где , функции f1 и f2 зависят от начальных и граничных условий, т.е. от сигналов, которые подводятся к длинной линии, но главное, эти функции должны быть дважды дифференцируемыми.
Первое слагаемое называется прямой волной, а второе - обратной волной. С физической точки зрения, прямая волна характеризует сигнал, который распространяется в направлении х, а обратная волна - сигнал, который распространяется вдоль линии в противоположном направлении (рис. 9.3).
3.2 Полубесконечная длинная линия
Решение волновых уравнений значительно упрощается, если рассматривать полубесконечную длинную линию при гармоническом воздействии e(t) = Em cosщt (рис. 9.4). В такой линии нет условий для распространения обратной волны, а потому существует лишь прямая, ее называют падающей волной.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Установившиеся процессы в такой линии в произвольном сечении являются гармоническими, но появляется фазовый сдвиг, который связан с конечной скоростью распространения волны. Напряжение и ток в любом сечении определяются из соотношений:
где v0 = л/Т = (L0C0)-2 - скорость распространения сигнала в длинной линии;
в = щ/v0 - коэффициент фазы, он характеризует фазовый сдвиг волны на единицу длины линии, иногда его называют пространственной частотой сигнала, так как в = 2р/л, где л - длина волны (это название дано по аналогии с тем, что щ = 2р/Т - временная частота).
Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока прямой волны называют волновым сопротивлением Zв = Em / Im. Волновое сопротивление линии без потерь имеет чисто резистивный характер . Иногда с называют характеристическим сопротивлением.
Эти три параметра (v0, в, Zв) называются волновыми, или вторичными, параметрами длинной линии.
Таким образом, в длинной линии без потерь сигнал в любом сечении не изменяет своей формы и амплитуды, но наблюдается запаздывание вследствие конечной скорости распространения. В линии с потерями наблюдается не только запаздывание во времени, но и затухание сигнала по амплитуде с возрастанием х.
3.3 Линия конечной длины. Отражения
На практике часто используются линии конечной длины. Пусть однородная линия длиной l нагружена на конце (x = l) на сопротивление Zн. При x = 0 линия питается от генератора гармонической ЭДС с внутренним сопротивлением Ri. Волновое сопротивление линии Zв = .
Размещено на http://www.allbest.ru/
В установившемся режиме в линии присутствуют две волны. Эти волны распространяются в двух взаимно противоположных направлениях. Волна, движущаяся от генератора к нагрузке, называется прямой, или падающей. Волна, движущаяся от нагрузки к генератору, называется обратной, или отраженной. Появление обратной волны связано с отражением падающей волны от нагрузки. Таким образом, в длинной линии в каждый момент времени в каждой точке сечения присутствует алгебраическая сумма двух волн - падающей и отраженной.
При гармоническом колебании мгновенное значение напряжения в любой точке определяется суммой падающей и отраженной волн напряжения, а мгновенные значения тока - разностью падающей и отраженной волн тока. Знаки в суммах связаны с тем, что положительные направления напряжений Uпад, Uотр выбраны одинаково (сверху вниз), а у токов Iпад, Iотр - встречно, поэтому они вычитаются:
U(x,t) = Uпад+ Uотр;
I(x,t) = Iпад - Iотр,
где U(x,t),Uпад, Uотр, I(x,t), Iпад, Iотр - комплексные амплитуды.
Процессы, происходящие в длинной линии, определяются не только волновыми параметрами, которые характеризуют собственные свойства линии, но и коэффициентами отражения, которые зависят от согласования линии с нагрузкой.
Комплексным коэффициентом отражения длинной линии называют отношение комплексных амплитуд напряжений и токов отраженной и падающей волн в произвольном сечении линии:
3.4 Режимы работы длинной линии
В зависимости от соотношения волнового сопротивления с и сопротивления нагрузки Zн в длинной линии возможны три режима работы:
? Режим бегущих волн в линии имеет место, когда в ней распространяется только падающая волна напряжения и тока, а отраженная во всех сечениях равна нулю. В этом режиме вся энергия от источника питания передается в нагрузку, отражение отсутствует, следовательно, Uотр= 0 и Рu = 0.
? Режим стоячих волн имеет место, когда происходит полное отражение волны от нагрузки, т.е. в линии одновременно присутствуют две волны, амплитуды которых одинаковы: Uотр = Uпад, следовательно | Рu | = 1. В этом режиме энергия в нагрузке не выделяется.
? Режим смешанных волн. В этом режиме энергия частично выделяется в нагрузке, а частично отражается, т.е. в линии одновременно присутствуют две волны, амплитуды которых не одинаковы.
1) Рассмотрим режим бегущих волн. Он возможен при следующих видах нагрузки:
а) полубесконечная длинная линия (рис. 9.6). В ней нет конца, а потому и нет отраженной волны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
б) линия нагружена на сопротивление, равное волновому Zн = с (рис. 9.7, а).
Коэффициент отражения равен нулю
Размещено на http://www.allbest.ru/
В линии без потерь в режиме бегущих волн распределение амплитуд напряжения и тока по длине линии постоянно (рис. 9.7, б, в), а в линии с потерями амплитуды напряжения и тока убывают по экспоненте.
Входное сопротивление линии в режиме бегущих волн равно волновому сопротивлению линии и не зависит от ее длины.
В режиме бегущих волн передача энергии происходит только в одном направлении - от источника сигнала в нагрузку, такая нагрузка называется согласованной.
2) Режим стоячих волн.
В этом режиме вся падающая волна отражается от нагрузки. Мощность, выделяемая на нагрузке, равна нулю. В режиме стоячих волн Рu = 1 возникает в следующих трех случаях (рис. 9.8):
а) линия, разомкнутая на конце Zн = ?.
а б в
Рис. 9.8
Размещено на http://www.allbest.ru/
Коэффициент отражения по напряжению Рu = 1. Это означает, что на конце линии волна по напряжению полностью отражается, т.е. амплитуда падающей волны равна амплитуде отраженной волны, причем знак отраженной волны совпадает с падающей, что приводит к удвоению напряжения на конце линии.
Коэффициент отражения по току Рi = -1. Это означает, что на конце линии ток равен нулю.
Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в режиме холостого хода приведены на рис. 9.9, б.
Точки максимума напряжения или тока называются пучностями напряжения или тока, а точки, в которых амплитуда напряжения или тока равны нулю, называются узлами.
В режиме холостого хода на конце линии имеет место пучность напряжения и узел тока.
б) линия короткозамкнутая на конце: Zн = 0. Коэффициенты отражения
. Рi = 1.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Графики распределения амплитуд напряжения и тока показаны на рис. 9.10, б, в. На конце линии имеет место пучность тока и узел напряжения.
в) линия нагружена на реактивное сопротивление Zн = jX.
Коэффициенты отражения и - комплексные величины, а их модули равны ¦Рu¦=¦Рi¦=1. Это означает, что амплитуды прямой и отраженной волн в линии одинаковы, но на конце нет ни пучности, ни узла.
Размещено на http://www.allbest.ru/
3) Режим смешанных волн.
В таком режиме падающая волна частично поглощается, а частично отражается. Он возникает в следующих случаях:
а) нагрузка - комплексное сопротивление:
Zн = Rн + jXн Um min Um max.
б) нагрузка - резистивное сопротивление, не равное волновому сопротивлению с:
Zн = Rн ? с.
В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны меньше, чем амплитуда падающей. Следовательно, ¦Рu¦=¦Рi¦<1, а потому амплитуды тока и напряжения в минимумах не равны нулю. На рис. 9.11, б, в приведено распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в режиме смешанных волн при чисто резистивной нагрузке (Rн > с).
3.5 Коэффициент бегущей волны и коэффициент стоячей волны
Коэффициентом отражения удобно пользоваться при теоретическом анализе, однако его трудно определить экспериментально, поскольку трудно разделить и в отдельности измерить амплитуду падающей и отраженной волн. Поэтому на практике режимы работы длинной линии и степень ее согласования с нагрузкой характеризуют коэффициентами:
1) Коэффициент бегущей волны (КБВ):
КБВ = Um min/Um max,
где Um min, Um max - минимальное и максимальное значения амплитуды напряжения по длине линии.
2) Коэффициент стоячей волны (КСВ):
.
В режиме бегущих волн КБВ = 1, КСВ = 1.
В режиме стоячих волн КБВ = 0, КСВ = ?
В режиме смешанных волн 0 < КБВ < 1, 1 < КСВ < ?.
3.6 Применение длинных линий
Наиболее типичными применениями длинных линий являются:
1) Средства связи (средства передачи сигналов от источника сигнала к нагрузке).
2) Линия задержки.
Если линия нагружена на сопротивление, равное волновому, и в момент времени t = 0 источник сигнала создает прямоугольный импульс, то ввиду конечной скорости распространения сигнала , где L0, C0 - погонные параметры, сигнал на нагрузке будет выделяться с задержкой, при этом tзад = L/v0. Поскольку линия нагружена на волновое сопротивление Zв, то искажения сигнала не происходит. Если Zв = Zн, то сигнал наблюдается с искажениями формы.
3) Трансформатор сопротивлений:
а) Четвертьволновой трансформатор сопротивлений.
Рассмотрим отрезок длинной линии, длина которой составляет четверть длины волны: L = л/4, нагруженный на резистивное сопротивление Rн. Входное сопротивление такого отрезка определяется соотношением
Zвх = с2/ Rн.
Отсюда следует, что, изменяя отношение с/Rн, можно в широких пределах изменять входное сопротивление линии. Если необходимо преобразовать сопротивление Rн в R1н, то для этого сопротивление Rн надо включить через четвертьволновой отрезок с волновым сопротивлением с = (Rн R1н)1/2.
б) Металлический изолятор.
Выражение для входного сопротивления - четвертьволновой отрезок линии - показывает, что при Rн = 0 его входное сопротивление бесконечно. Это позволяет использовать его в качестве изолятора.
в) Колебательный контур.
В радиотехнике на СВЧ вместо колебательных контуров, составленных из L, C-элементов, используют двухполюсники в виде короткозамкнутых отрезков. Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии определяется как
.
Если l = л/2, то Zвх = ?, т.е. четверть волнового отрезка длинной линии с коротким замыканием на конце обладает свойствами, аналогичными параллельному колебательному контуру.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Определим частоты, на которых отрезок линии представляет собой параллельный колебательный контур, т.е. имеет максимум модуля сопротивления
lщ / щ 0 = р/2+mр.
Отсюда . На этих частотах данный отрезок будет представлять собой параллельный колебательный контур (рис. 9.12).
4) Формирователь коротких прямоугольных импульсов.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Если к согласованной длинной линии подключить источник постоянного напряжения E (рис. 9.13), то в ней по всей длине устанавливается одинаковое напряжение - линия заряжается (ключ в положении 1).
Если ключ переключить в положение 2, то на сопротивлении R = Zв формируется импульс напряжения прямоугольной формы, длительность которого равна удвоенному времени задержки линии.
Подобные документы
Сущность и виды электрических фильтров, их классификация по физическим свойствам и элементной базе. Реактивный двухполюсник, его характеристики, общие правила анализа. Условия фильтрации для реактивных четырехполюсников. Способы определения типа фильтров.
реферат [722,2 K], добавлен 04.06.2009Основные уравнения четырехполюсника. Определение коэффициентов четырехполюсника. Расчет задач для отдельных электрических схем. Различные формы записи уравнений четырехполюсников, их формы и соединение. Применение четырехполюсников в электротехнике.
курсовая работа [341,6 K], добавлен 28.10.2014Фильтрация сигналов на фоне помех в современной радиотехнике. Понятие электрического фильтра как цепи, обладающей избирательностью реакции на внешнее воздействие. Классификация фильтров по типу частотных характеристик. Этапы проектирования фильтра.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 23.01.2010Схема линий с распределенными параметрами. Телеграфные уравнения для синусоидального сигнала. Расчет постоянной сопротивления, мощности и коэффициента полезного действия линии. Напряжение и ток длинной линии без потерь. Длина электрической волны.
контрольная работа [535,8 K], добавлен 27.06.2013Знакомство с моделью двухпроводной линии передачи. Характеристика цепей с распределенными параметрами. Рассмотрение способов решения телеграфных уравнений. Особенности линий передачи электрических сигналов. Анализ эквивалентной схемы участка линии.
презентация [192,5 K], добавлен 20.02.2014Вычисление напряжения на выходе цепи U2 (t), спектра сигнала на входе и на выходе цепи. Связь между импульсной характеристикой и передаточной функцией цепи. Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики. Синтез схемы дискретной цепи.
курсовая работа [380,2 K], добавлен 13.02.2012Определение входных и передаточных функций цепи, их нулей и полюсов. Расчет реакции цепи при одиночных входных сигналах. Определение параметров четырехполюсника, их связь с параметрами цепи. Переходная и импульсная характеристики цепи. Анализ цепи на ЭВМ.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.03.2012Первичные и вторичные параметры электрической линии. Формы записи токов и напряжений. Волны и виды нагрузки в длинной линии без потерь. Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии. Коэффициент стоячей волны, векторные диаграммы.
презентация [257,4 K], добавлен 20.02.2014Исследование установившегося режима работы фазы длинной линии электропередачи с четвертью длины волны, соединяющей электрическую систему с нагрузкой. Оценка активной и индуктивной нагрузки при 100% и 50% соответственно. Приборы и их характеристики.
лабораторная работа [203,1 K], добавлен 13.04.2016Движение электромагнитных волн в веществе. Отражение и преломление плоской однородной волны на плоской поверхности раздела двух сред и двух идеальных диэлектриков. Формулы Френеля, связь между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн.
курсовая работа [770,0 K], добавлен 05.01.2017
