Особенность изучения сопротивления материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

При проектировании различных инженерных сооружений приходится выбирать материал и размеры для каждого элемента конструкции так, чтобы он вполне надежно, без риска разрушиться сопротивлялся действию внешних сил, передающихся на него от соседних частей конструкции. Неправильный расчет самой, на первый взгляд, незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции. Требования надежности и наибольшей экономии противоречат друг другу. Первое обычно ведет к увеличению расхода материала и утяжелению конструкции, второе же требует снижения этого расхода.

Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость.

Целью расчетов на жесткость является определение параметров элементов конструкции, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных величин, допускаемых по условиям нормальной эксплуатации.

Деформации ряда конструкций при действии некоторого вида нагрузок незначительны, пока величины этих нагрузок меньше так называемых критических значений. При нагрузках же, превышающих даже незначительно критические значения, деформации конструкции резко возрастают. Простейший пример такого явления - продольный изгиб сжатого стержня - при некотором значении сжимающей силы происходит выпучивание (изгиб) стержня, практически равносильное разрушению. Такое качественное изменение характера деформации конструкции при увеличении нагрузки называется потерей устойчивости. Расчет конструкции, имеющей целью не допустить потери устойчивости, называется расчетом на устойчивость.

Совокупность наук о прочности, жесткости и устойчивости сооружений называется Механикой твердого деформируемого тела. Одним из основополагающих разделов этой науки является Сопротивление материалов. Другими ее разделами являются: теория упругости, теория пластичности, строительная механика стержневых систем, строительная механика пластин и оболочек. Кроме того, существуют специальные дисциплины: теория сооружений, строительная механика корабля, строительная механика самолета и др.

В курсе сопротивления материалов основное внимание уделяется вопросам прочности, жесткости и устойчивости отдельного стержня как основного элемента сооружений. В сочетании с аналитическими методами расчета в сопротивлении материалов используются экспериментальные данные, полученные в лабораториях и натурных условиях. В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики (в первую очередь статики) и математического анализа, а также используются данные из разделов физики, в которых изучаются свойства различных материалов.

Начало науки о сопротивлении материалов связывают обычно с именем Галилео Галилея, который в работе, опубликованной в 1638 г., дал решение некоторых важных задач динамики и сопротивления материалов.

В 1660 г. Роберт Гук сформулировал закон, устанавливающей связь между нагрузкой и деформацией и имеющий исключительно важное значение для сопротивления материалов.

Большой вклад в науку о сопротивлении материалов внес в XVIII веке действительный член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер, решивший задачу об устойчивости сжатых стержней.

Значительный вклад в развитие науки о сопротивлении материалов внесли и русские ученые:

Д.Н. Журавский - решил ряд важных и интересных вопросов связанных с прочностью балок при их изгибе;

Ф.С. Ясинский - занимался вопросами устойчивости элементов конструкций, вызванных к жизни изучением причин разрушения некоторых мостов;

И.Г. Бубнов - считается основоположником современной науки о прочности корабля;

Академик А.Н. Крылов - известен работами в области прочности корабля и в области динамических расчетов.

Большое значение имеют также работы Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко, П.Ф. Папковича, В.З. Власова и др.

Раздел 1. Основные понятия и допущения

Основное внимание в сопротивлении материалов уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций. Брусом (стержнем) - называется элемент, длина которого значительно больше его поперечных размеров. Горизонтальный (или наклонный) брус, работающий на изгиб, обычно называется балкой. Ось бруса представляет геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса, т.е. сечений, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к указанной оси.

Элемент конструкции, длина и ширина которого во много раз превышают его толщину, называется оболочкой. Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.

Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластиной.

Во всяком теле под действием приложенных к нему сил происходит изменение взаимного расположения частиц. Как правило, изменяются его размеры, объем и форма, но масса остается постоянной. В таком случае говорят, что тело претерпевает деформацию. Так, например, при растяжении бруса меняется его длина, при изгибе - форма.

Деформацией называется изменение взаимного расположения частиц тела, вызывающее изменение его размеров и формы

Если силы, вызвавшие деформацию, постепенно уменьшать и затем полностью снять, то тело будет стремиться приобрести свою первоначальную форму. Деформации полностью или частично исчезнут.

Свойство некоторых тел деформироваться под нагрузкой и затем после устранения сил восстанавливать свое первоначальное состояние называют упругостью. Часть деформаций, которая исчезает после снятия нагрузки, называют упругой, а ту часть, которая остается, называют остаточной деформацией. Появление остаточных деформаций связано с так называемой пластичностью тела. Если деформации после снятия нагрузки полностью исчезли, то тело называют абсолютно упругим или идеально упругим.

У некоторых материалов упругие свойства одинаковы во всех направлениях. Такие тела называют изотропными. Наряду с этим встречаются анизотропные тела, у которых свойства в различных направлениях разные. К числу таких тел относятся, например, дерево и железобетон. При сжатии дерева вдоль волокон деформации в несколько раз меньше, чем при сжатии поперек волокон.

При исследовании прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций в сопротивлении материалов используют ряд предпосылок (допущений), упрощающих расчеты при решении большинства задач:

Материал конструкции является однородным и сплошным, т.е. его свойства не зависят от формы и размеров тела и одинаковы во всех его точках.

Материала конструкции изотропен, т.е. его свойства по всем направлениям одинаковы. При решении некоторых задач необходимо учитывать различные свойства материала в различных направлениях, т.е. его анизотропию.

Материал конструкции обладает свойством идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанавливать первоначальные формы и размеры тела после устранения нагрузки. Деформация такого тела в каждый момент времени зависит только от нагрузок, действующих в этот момент времени на тело, и не зависит от того, в какой последовательности нагрузки приложены.

Материал конструкции является линейно деформируемым. Это означает, что деформации пропорциональны действующей нагрузке. Если на тело действует несколько сил, то при увеличении всех сил в одно и тоже число раз деформации увеличиваются в то же число раз. Это допущение, также как и предыдущее, справедливо при действии сил, не превышающих определенной величины.

Деформации конструкции предполагаются настолько малыми, что можно не учитывать их влияния на взаимное расположение нагрузок и на расстояния от нагрузок до любых точек конструкции.

Вопрос о возможности применения этой предпосылки решается в каждом отдельном случае с учетом не только вида конструкции, но и характера нагрузки.

Так, например, при определении изгибающего момента в защемлении балки (рис. в) можно не учитывать изменения расстояния от заделки до силы на величину . А при расчете балки (рис. г) можно не учитывать ее деформации (при определении усилий в ней) в том случае, если прогиб значительно меньше высоты h сечения балки. При больших прогибах появляется дополнительный изгиб балки от эксцентриситета силы F.

Принцип независимости действия силы, т.е. результат воздействия на конструкцию системы нагрузок равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности. Он применим в тех случаях, когда используются допущения №3 и №4. Следует иметь ввиду, что в отдельных задачах этот принцип применять нельзя. В подобных случаях обычно делаются специальные оговорки.

Гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений) - поперечные сечения бруса, плоские до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и при действии нагрузки.

Эта гипотеза играет исключительно важную роль в сопротивлении материалов и используется при выводе многих формул для расчета брусьев.

Виды нагрузок и схематизация элементов сооружений:

В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производиться с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, заменяют сосредоточенной силой, т.е. силой приложенной в точке поверхности, и переносят к оси бруса. Точки приложения сил на оси бруса и сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. На рис. 1.1а показан брус и действующие на него внешние силы F1, F2 и F3. На рис. 1.1б дана расчетная схема этого бруса с сосредоточенными силами и моментами, приложенными к его оси.

Нагрузки, приложен-ные к участкам больших размеров, при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенны-ми силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенны-ми по поверхности или приводятся к распре-деленной по линии. На-пример, нагрузка , рав-номерно распределенная по части поверхности бруса, показанная на рис.

Часто встречаются нагрузки, распределенные по объему тела (например, вес сооружения, силы инерции).

Такие нагрузки называются объемными и обозначаются (гамма), их можно привести к погонным нагрузкам q1 = A, где А = bh - площадь поперечного сечения бруса. На рис. 1.1б кроме силовых нагрузок Fi показаны и моментные нагрузки Мi. Они бывают в виде сосредоточенных моментов Мi (пара сил) и моментов, распределенных по линии «m» которые возникают при переносе нагрузки q с одной оси на другую.

Размерности нагрузок: , . Здесь м - метр, Н - ньютон. 1кгс = 9,81 Н 10Н.

Для брусьев (стержней) здесь и в дальнейшем будем вводить правую систему декартовых осей xyz. Оси правые, если кратчайший поворот оси х к у с конца оси z виден против часовой стрелке. Ось z всегда будем направлять вдоль оси бруса, а оси ху располагать в поперечном сечении бруса (см. рис. 1.2). Если внешние нагрузки произвольно направлены (моменты представляем в виде векторов), то все нагрузки можно разложить на составляющие (компоненты) по осям координат xyz. В векторном виде эти разложения можно записать так:

= x + y + z

Здесь:

z продольные нагрузки (растягивают или сжимают брус);

x поперечные (в направлении оси х) нагрузки;

y поперечные (в направлении оси у) нагрузки;

изгибающие моменты относительно оси х (на рис. 1.2 изгибают брус в вертикальной плоскости);

изгибающие моменты относительно оси у (на рис. 1.2 изгибают брус в горизонтальной плоскости);

крутящие (скручивающие) моменты.

Для всех компонент внешних нагрузок примем следующее правило знаков:

нагрузки положительны, если направлены вдоль соответствующих осей.

моментные нагрузки положительны, если с конца соответствующей оси видны против хода часовой стрелки.

Все эти нагрузки составляют стандартную систему нагрузок.

Вышеперечисленные нагрузки различаются по длительности действия (постоянные и временные) и характеру воздействия на конструкцию (статические и динамические) .

Постоянные нагрузки (например, собственный вес конструкции) действуют на протяжении всего времени эксплуатации сооружения.

Временные нагрузки (например, вес поезда, вес снега, нагрузка от ветра и др.) действуют в течении ограниченного промежутка времени. Нагрузки от снега, ветра и т.п. имеют случайную природу и их приходиться специально определять. Они зависят от географического местоположения сооружения, рельефа местности, конструкции и очертания самого сооружения.

Статическая нагрузка - ее величина медленно возрастает от нуля до ее конечного значения, при этом в конструкции возникают весьма малые ускорения. Поэтому возникающими в конструкции силами инерции можно в расчетах пренебречь.

Динамическая нагрузка (например, ударная) вызывает в конструкции большие ускорения, которые в расчетах необходимо учитывать.

Часто временная нагрузка может непрерывно изменяться по некоторому закону; в последнем случае она называется переменной нагрузкой. Если переменная нагрузка изменяется по циклическому (повторяющемуся) закону, то она называется циклической.

При составлении расчетных схем необходимо иметь ввиду, что не всегда можно переносить силы по линии их действия и заменять систему сил их равнодействующей. Иногда такие операции приводят к существенному изменению загружения конструкции.

Метод сечений. Понятия о напряжениях

В процессе деформации бруса под нагрузкой в нем появляются дополнительные (к силам физического взаимодействия между частицами тела) механические силы взаимодействия, которые и изучаются в сопротивлении материалов. Для выявления этих сил используются метод сечений: мысленно рассечем брус плоскостью и рассмотрим одну его часть, например левую.

В сечении левой части возьмем произвольную точку О, в окрестности которой выделим малую площадку , на которую действует малая сила как результат действия отброшенной правой части.

Отношение среднее напряжение на площадке .

Величина полное напряжение в т. О, имеет размерность Н/м2 и физический смысл - интенсивность давления (поверхностная нагрузка). устойчивость напряжение сечение брус

В т. О проведем к сечению орт нормали (ню). Обычно направления векторов и не совпадают. Поэтому полное напряжение можно разложить на две составляющие (компоненты): нормальное напряжение и касательное напряжение, действующее в плоскости сечения (сигма, тау). Очевидно, что геометрическая сумма векторов или в скалярном виде

.

Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, т.е. сечение левой части является поперечным (рис. 1.4). В т. О введем правые оси и т.к. сечение бруса поперечное, то ось совпадает с нормалью . А оси х и у будут расположены в сечении бруса.

В этом случае нормальное напряжение можно обозначить нормальное напряжение вдоль оси . Касательное напряжение можно разложить на составляющие по осям х и у, т.е.

или

Обозначение напряжений: нормальные напряжения обозначаются , индекс определяет его направление по осям; касательные напряжения обозначаются с двумя индексами: первый определяет его направление, а второй - площадку, в которой он действует. Например: касательное напряжение, действует в направлении у на площадке перпендикулярной оси .

Т.к. оси xyz декартовые, то очевидно:

или

Для определения знаков всех напряжений введем следующие правила:

Вводим для бруса правые оси xyz.

Рассекаем брус плоскостью перпендикулярной к оси z. К сечениям левой и правой частей проводим внешние (т.е. наружу) орты нормалей . Площадка сечений считается положительной, если внешняя нормаль совпадает с направлением оси z (т.е. сечение левой части положительно, а сечение правой части - отрицательная площадка).

На положительной площадке положительные напряжения совпадают с положительными направлениями осей x, y, z. На отрицательной площадке - положительные напряжения направлены против осей x, y, z (это соответствует III закону Ньютона - действие и противодействие).

Итак: на рис. 1.4 сечение левой части - положительная площадка и все показанные напряжения положительны.

Напряжения в декартовой системе координат

Выделим из трехмерного тела малый прямоугольный элемент (кубик) с ребрами параллельными осям координат xyz (рис. 1.5а). Согласно введенному выше правилу видимые площадки кубика положительные (внешние нормали к ним совпадают с направлениями осей x, y, z), а невидимые площадки - отрицательны. На положительных площадках со стороны отброшенных частей тела действуют полные напряжения , а на отрицательных площадках - противоположно направленные . Каждое это полное напряжение можно разложить на компоненты по осям x, y, z по аналогии с разложениями (1.1).

Положительные направления всех компонент на положительных (видимых) площадках показаны на рис. 1.5в. Аналогичные напряжения действуют и на отрицательных (невидимых) площадках, но противоположно направленные (на рис. 1.5 не показаны).

Итак, в самом общем случае нагружения трехмерного тела в нем могут появиться девять компонент напряженного состояния, которые в декартовых осях можно записать в виде тензора напряжений Т

Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим равновесие малого прямоугольного элемента с ребрами длиной и вырезанного из тела. По всем его площадкам действуют напряжения, показанные на рис. 1.5в. Рассмотрим моментное уравнение равновесия элемента относительно оси , проходящей через центр тяжести площадки, перпендикулярной к оси х, т.е. . При этом оставим на рис. 1.6 только те напряжения, которые дают такие моменты. На невидимых (отрицательных) площадках действуют сами напряжения и , а на видимых (положительных) - напряжения с малыми приращениями по соответствующей координате, т. е. и . Напряжения умножаем на площадки, где они действуют (получим силы на них) и составим . (ось на рис. 1.6 показана как точка )

= .

Аналогично, оставив моментные уравнения равновесия относительно осей и , проходящие через центр кубика, окончательно получим:

Эти соотношения и есть закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны между собой. Поэтому тензор напряжений Т (1.2) из девяти величин содержит только шесть независимых величин.

Понятия о перемещениях и деформациях

Под действием нагрузки тело деформируется, т.е. изменяются его форма и размеры. Отметим в теле до его нагружения точку «К».

После нагружения тела эта точка переместиться в пространстве и займет положение . Отрезок называют полным перемещением. Его можно разложить на компоненты по осям x, y, z, т.е. . Здесь перемещение точки тела вдоль оси х, перемещение вдоль оси у, вдоль оси . Каждая точка тела перемещается по-своему, поэтому компоненты перемещения точки являются функциями ее координат, т.е. , , .

Мысленно через т. К проведем малые отрезки KB и KC, параллельные осям y и z. После нагружения тела эти отрезки займут положение K1B1 и K1C1. Углы и малы при допустимых нагрузках. Величина называется относительной линейной деформацией вдоль оси у в т. К.

Аналогично имеют место и относительные линейные деформации вдоль оси , оси (эпсилон). положительны при деформациях удлинения (растяжения). Они безразмерны.

В процессе деформации тела первоначально прямой угол ВКС изменяется на величину деформация сдвига в плоскости . Аналогично могут возникнуть и деформации сдвига в плоскостях и . Они измеряются в радианах. Деформации сдвига положительны, если первоначально прямой угол становиться острым. Совокупность линейных деформаций и деформаций сдвига полностью определяют деформированное состояние в точке тела, которые также являются функциями координат точки тела (гамма). Их можно записать в матричной форме в виде тензора деформаций . Очевидно, что

Внутренние силы и моменты в брусе

Для определения внутренних силовых факторов в сечениях бруса, которые возникают от внешней нагрузки на брус , можно использовать также метод сечений, описанный выше и показанный на рис. 1.3. В каждой точке сечения левой части бруса действует полное напряжение . Разобьем все сечение левой части «А» на большое число малых площадок , . Систему малых сил по всему сечению бруса можно перенести в произвольную точку «О» сечения. При этом в т. О получим главный вектор силы и главный вектор момента , которые являются результатом действия отброшенной правой части.

Брус до рассечения находился в равновесии, поэтому левая часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил , и . Следовательно, должны выполняться векторные уравнения равновесия

Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к его оси, т.е. сечение левой части поперечное. За т. О примем центр тяжести сечения и построим правую систему координат , ось перпендикулярна к сечению, а оси х и у лежат в плоскости сечения левой части бруса (рис. 1.8). Главный вектор и главный момент можно разложить на компоненты по осям :

Здесь: внутренняя продольная сила, вызывает растяжение или сжатие бруса; и внутренние поперечные силы, вызывают деформации сдвига; внутренние изгибающие моменты; внутренний скручи-вающий момент в брусе. Положительные направления всех внутренних силовых факторов в сечении левой части бруса показаны на рис. 1.8: положительны, если направлены вдоль осей x, y, z; положительны, если направления этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки.

Векторные уравнения (А) с учетом разложений (В) можно записать в виде обычных шести уравнений статики для левой части бруса

Здесь, например, компоненты в направлении оси внешних сил , действующих на левую часть бруса; моменты относительно оси сил действующих на левую часть. Ввиду равновесия бруса в целом, по III закону Ньютона

С учетом этого уравнения (Г) можно записать через нагрузки на правую отсеченную часть бруса

Из соотношений (Г) и (Д) следуют общие формулы для определения внутренних силовых факторов в сечении левой части бруса через внешние нагрузки на левую или правую части бруса

Внешние силы (на левой и правой частях бруса) положительны, если направлены вдоль осей. Внешние моменты (от нагрузок на левую и правую части бруса) положительны, если направление этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки. Внутренние силовые факторы, действующие в сечении правой части бруса, равны по величине и противоположны по направлению действующим в сечении левой части (по III закону Ньютона).

Примечание: При вычислении внутренних силовых факторов по (1.5) нельзя заменять систему сил по разные стороны от сечения их равнодействующей, силу нельзя переносить вдоль линии ее действия из одной части бруса в другую.

Зависимость между напряжениями и внутренними силовыми факторами

Внутренние силовые факторы в сечении бруса: , и есть равнодействующие внутренних напряжений , распределенных по сечению бруса. Поэтому, они связаны определенными зависимостями, которые легко установить из рис. 1.9, на котором показаны в сечении левой части бруса все положительные внутрен-ние силовые факторы и все положительные внутренние напряжения, действующие на малой площадке с положи-тельными координатами х и у. Умножаем напряжения на площадку , полученные силы и моменты от них относительно осей x, y, z, суммируем по всей площади А сечения (т.е. интегрируем по А), получим:

Дифференциальные уравнения равновесия прямого бруса

Рассмотрим прямой брус, нагруженный положительными погонными нагрузками , погонными моментами , некоторым набором сосредоточенных сил и сосредоточенными изгибающими и скручивающими моментами, т.е. брус произвольно нагружен.

Все эти нагрузки считаем приложенными к оси бруса. На участке бруса без сосредоточенных сил и моментов выделим поперечными сечениями а-а и в-в участок малой длины . Этот участок нагружен положительными , , а по торцам положительными внутренними силовыми факторами (рис.1.10). В сечении а-а (торец правой отсеченной части, его площадка отрицательна) действуют , , . Они направлены противоположно, чем положительные внутренние силовые факторы на торце левой отсеченной части, показанные на рис. 1.8. В сечении в-в ((торец левой отсеченной части) действуют ранее установленные положительные внутренние силовые факторы с приращениями на участке (рис. 1.10). Точки и в сечении бруса условно смещены влево и вправо (чтобы рис. 1.10 не перегрузился обозначениями силовых факторов).

Под действием всех указанных силовых факторов (внешних и внутренних) рассматриваемый элемент бруса, как вырезанный из целого бруса, должен находится в равновесии. Составим шесть уравнений равновесия (погонные нагрузки умножаем на ):

1) Отсюда

2) Отсюда

3) Отсюда

Моментные уравнения равновесия запишем относительно осей , проходящих через т. сечения в-в.

4)

Отсюда Здесь, ввиду малости , последнее слагаемое отброшено как величина значительно меньше, чем другие слагаемые.

5)

Отсюда

6) .

Отсюда

Итак, получим шесть зависимостей:

Эти зависимости играют важную роль при изучении «Сопротивления материалов». Их можно использовать для проверки правильности определения внутренних силовых факторов в сечении брусьев.

Размещено на Allbest.ru