Размещено на http://www.allbest.ru/

Устойчивость сжатых стержней

Понятие об устойчивой и неустойчивой формах равновесия

Понятие о критической нагрузке

Во многих случаях проектирования инженерных сооружений обычных расчетов на прочность бывает не достаточно для того, чтобы сделать вывод о безопасности существования сооружения.

Наряду с проблемой прочности существует проблема устойчивости сооружения или его элементов.

В общем случае при устойчивом равновесии тело, выведенной какой-либо внешней силой из положения равновесия, возвращается в исходное положение после прекращения действия силы.

Случаи устойчивого и неустойчивого равновесия имеются и в статике упругих стержней:

	а) Прямолинейная форма равновесия сжатого упругого стержня при некоторой величине сжимающей силы может оказаться неустойчивой и стержень резко искривится в плоскости наименьшей жесткости.
	б) Балка, у которой , при некоторой величине поперечной силы оказывается неустойчивой к изгибу и скручивается. Эти явления можно легко обнаружить на опытах с линейкой. Из экспериментов можно выяснить, что устойчивость или неустойчивость формы равновесия упругого тела зависит от его размеров,

формы, материала, условий закрепления, величин и направления сил.

Значение силы (напряжения), при котором первоначальная форма равновесия упругого тела становится неустойчивой, называется критической силой (напряжением) - .

Рассмотрим более подробно работу сжатого стержня. При малой сжимающей силе , меньше критического значения , сжатый стержень нечувствителен к малым поперечным возмущениям. При прямолинейная форма сжатого стержня становится неустойчивой; достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности материала по сечению или случайного импульса малого поперечного воздействия на него, чтобы стержень искривился. Даже после устранения возмущения стержень останется в изогнутом состоянии. При увеличении изгиб будет увеличиваться. Поэтому такое явление называют еще продольным изгибом.

Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при незначительном увеличении сжимающей силы. Прогибы и нагрузка здесь связаны нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов вызывает рост напряжений от изгиба и часто приводит к разрушению стержня.

Для тонких (гибких) стержней потеря устойчивости наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях, не являющихся опасными с точки зрения прочности его материала.

История знает немало случаев разрушения инженерных сооружений из-за неправильного расчета их элементов на устойчивость.

Таким образом, продольный изгиб является опасным, его допускать нельзя. Поперечные сечения сжатых стержней должны назначаться не только из условий прочности от сжатия, но из условий того, чтобы сжимающие напряжения были меньше критических напряжений.

Устойчивость сжатых стержней в упругой стадии

Формула Эйлера.

Задачу определения критической силы (напряжений) впервые решил академик Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что сама постановка задачи здесь иная, чем во всех ранее рассматриваемых: если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы такое искривление возможно.

Рис.8.1

Для вывода формулы Эйлера рассмотрим шарнирно-опертый, центрально-сжатый стержень постоянного сечения, слегка изогнутый в плоскости наименьшей жесткости. Стержень удерживается в искривленном состоянии силой (см. рис. 8.1). Полагая, что материал стержня работает в пределах закона Гука и деформации стержня малы, для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня, полученным ранее

(а)

Здесь прогибы балки, . Изгибающий момент в произвольном сечении будет равен

(в)

Подставляя (в) в (а) и деля обе части на получим

, где (8.1)

Общий интеграл полученного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

(8.2)

Это решение включает три неизвестных: А и В - const интегрирования и значение , т.к. величина критической силы еще неизвестна. Для определения неизвестных используем следующие граничные условия (см. рис.8.1):

Рис.8.2

1. при опора В, поэтому и следовательно, из уравнения (8.2) следует

, откуда

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой

(8.3)

2. при , опора С, поэтому . Из уравнения (8.3) получим

Отсюда видно, что или А, или равны нулю.

Если , то из уравнения (8.3) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т.е. он не потерял устойчивость, а это не соответствует условию задачи. Следовательно необходимо принять, что . Последнее условие выполняется, когда принимает значения: , где любое целое число. Отсюда , а т.к.

, то и отсюда

(8.4)

Из формулы (8.4) следует, что потеря устойчивости стержня возможна при целом ряде значений силы . Для практики интересно знать наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой происходит поперечный изгиб. При получим , что не соответствует условиям задачи. Следовательно, наименьшее значение принимает при

формула Эйлера (8.5)

Для стержня с шарнирными концами значению критической силы по формуле Эйлера соответствует изгиб по синусоиде с одной полуволной [формула (8.3)] и рис.8.2 при

(8.6)

Значениям критической силы высших порядков (при ) соответствуют искривления стержня по синусоидам с двумя, тремя и т.д. полуволнами. Исследования показали, что формы равновесия при и т.д. неустойчивы. Они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в т. В и С (рис. 8.2).

Константа А осталась неопределенной. Физический смысл ее выясняется, если в уравнение синусоиды (8.6) положить . Тогда . Следовательно, это прогиб стержня в середине. Так как при нами принято, что равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб А остался неопределенным.

Влияние способов закрепления концов стержня

На рис. 8.3 показаны формы потери устойчивости стержней длиной с различными случаями закрепления концов. Случай б) нами рассмотрен при выводе формулы Эйлера. Этот случай называют основным случаем закрепления. равновесие устойчивость сжатый упругий

Для других случаев закрепления можно повторить все выкладки, изменяя в каждом случае только граничные условия и получить соответствующие значения . Однако можно пойти другим путем.



Рис.8.3

Сравнивая рис. а) и б) видим, что изогнутая ось стержня, защемленного одним концом, находится в тех же условиях, что и верхняя часть стержня длиной с шарнирными концами. Следовательно, для стойки длиной с одним защемленным концом будет та же, что для стойки длиной с шарнирными концами. Поэтому, подставляя вместо в формулу Эйлера найдем:

- Эйлерова сила для стержня с

одним защемленным концом.

На рис. г) показана потеря устойчивости стержня с двумя защемленными концами. Видно, что она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси (в которых, как известно, изгибающие моменты равны нулю) расположены на четвертях длины стержня. Следовательно, здесь средняя часть стержня длиной находится в тех же условиях, что и шарнирно закрепленный по концам стержень. Поэтому, подставляя здесь вместо в формулу Эйлера найдем

-Эйлерова сила для стержня с двумя

защемленными концами

Полученные формулы Эйлера при различных закреплениях концов стержня можно записать в общем виде:

(8.7)

Здесь коэффициент приведения длины.

приведенная длина стержня.

Для основных случаев закрепления стержней, показанных на рис. 8.3 коэффициент имеет следующие значения:

а) один конец защемлен, другой свободный ;

б) с шарнирными концами ;

в) один конец защемлен, другой шарнирный ;

г) с двумя заделанными концами .

Зная критическую силу, можно найти критическое напряжение, поделив силу на площадь. Так как на деформации стержня местные ослабления площади сечения (отверстиями) сказываются мало, то при расчетах на устойчивость принято использовать полную площадь сечения. Следовательно, в формуле Эйлера . Тогда

Окончательно

(8.8)

Здесь

гибкость стержня. (8.9)

Гибкость стержня важная характеристика стержней при расчетах их на устойчивость. В (8.9) надо подставлять минимальный радиус инерции сечения, поэтому максимальная гибкость. Стержень теряет устойчивость в той плоскости, в которой его гибкость максимальная.

В неочевидных случаях надо вычислить отдельно: гибкость относительно (вокруг) оси и гибкость относительно оси , т.е. в плоскости . Если , то и расчет на продольный изгиб надо вести в плоскости изгиба , а если , то и расчет вести в плоскости . Это очень важно, т.к. в случае ошибки расчет ведут в одной плоскости, а стержень теряет устойчивость в другой плоскости.

Для цилиндрического шарнира (вдоль оси ) относительно оси считается шарнир, а относительно оси можно принять защемление. Однако, следует иметь ввиду, что на практике редко удается осуществить защемление. Достаточно возможности небольшого поворота опорного сечения в защемлении, чтобы оно оказалось в условиях близких к шарнирному опиранию. Поэтому обычно принимают .

Формула (8.8) тоже формула Эйлера для критических напряжений.

Пределы применимости формулы Эйлера. Потеря устойчивости за пределами пропорциональности

Формула Эйлера получена из интегрирования дифференциального уравнения упругой оси балки, т.е. предполагалось, что стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Недаром в формуле Эйлера фигурирует модуль Юнга Е.

Следовательно, формулой Эйлера нельзя пользоваться для оценки устойчивости стержней, если критические напряжения, вычисленные по ней, получаются выше предела пропорциональности (где закон Гука не применим).

Итак, формула Эйлера применима при соблюдении условия

или , откуда

Здесь правая часть представляет наименьшее (предельное) значение гибкости стержня, при котором можно пользоваться формулой Эйлера и обозначается

(8.10)

Условие применимости формулы Эйлера тогда примет вид:

(8.11)

Для Ст.3 и .

Для Ст.5 и .

Для чугуна .

Для дерева .

При гибкости стержня, меньше предельной, критическое напряжение, определенное по формуле Эйлера, получается значительно выше .

Например, при (Ст.3) , т.е. величина оказывается значительно больше предела прочности.

Ошибочное использование формулы Эйлера для вычисления и проверки устойчивости при малых гибкостях, приводили иногда к серьезным катастрофам сооружений. Итак, решение Эйлера применимо на практике лишь для тонких и длинных стержней с большой гибкостью. Между тем на практике часто встречаются стержни с малой гибкостью.

Опыты показали, что если по Эйлеру , то действительные критические напряжения значительно ниже определенных по Эйлеру.

Важнейшим источником для установления действительных критических напряжений за пределом пропорциональности, т.е. при малых и средних гибкостях, явились результаты эксперимента.

Стержни, для расчета на устойчивость которых нельзя пользоваться формулой Эйлера, можно разбить на две большие группы:

1) Стержни с малой гибкостью

Для таких стержней нельзя говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы стержня в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней. Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом от потери прочности, т.е. напряжения сжатия в них достигнут (для пластичных) или (для хрупких) материалов.

Поэтому для коротких толстых стержней , за критические напряжения принимают:

или (8.12)

2) Стержни средней гибкости

Для конструкционной Ст.3 . С подобными значениями гибкости инженер чаще всего встречается на практике.

Эти стержни при сжатии теряют свою прямолинейную форму и разрушаются от продольного изгиба. В опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в Эйлеровом смысле. Для таких стержней критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести материалов.

На основании обширного опытного материала, собранного профессором Ф. Ясинским, им была предложена эмпирическая формула для определения критических напряжений подобных стержней

- формула Ясинского (8.13)

Рис.8.4	Здесь максимальная гибкость стержня, а и постоянные, зависящие от материала, приводятся в справочниках. Например: Для Ст.3 кг/см2, кг/см2. Для дерева кг/см2, кг/см2.

На основании всего вышесказанного можно построить график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала.

Для конструкционной Ст.3 с кг/см² и кг/см² этот график (диаграмма) имеет вид, показанной на рис. 8.4. На этом графике четко выделяется три зоны:

1)

2) прямая Ясинского

3) гипербола Эйлера

Пунктиром показана гипербола Эйлера за , которой нельзя пользоваться при .

Расчет стержней на устойчивость. Коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения

Для сжатых стержней кроме условия прочности

, где (А)

должно быть удовлетворено одновременно условие устойчивости

(В)

где допустимые напряжения на устойчивость, коэффициент запаса устойчивости.

Обычно имеет более высокое значение, чем коэффициент запаса прочности.

Зависимости (А) и (В) удобны для проверки прочности и устойчивости уже спроектированных стержней.

Для удобства проектировочных расчетов введено понятие коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения, который обозначается буквой .

Найдем отношение

или

Обозначим

(С)

Получим

(8.14)

еще называют коэффициентом продольного изгиба в Строительных Нормах. Для ряда значений гибкости , по вышеприведенным формулам или графикам (рис. 8.4) можно найти величины . Далее, зная или и выбрав коэффициенты и , по зависимости (С) можно составить для данного материала таблицы значений коэффициента в функции от гибкости , т.е. . Такие таблицы приводятся в учебниках и задачниках по сопротивлению материалов. Пользуясь этими таблицами удобно подбирать сечения сжатых стержней.

С учетом (8.14)условие устойчивости (В) получит вид

(8.15)

Отсюда следует формула, удобная для подбора размеров сечений

(8.16)

Практические методы расчета стержней на устойчивость

I. Проверка сжатой колонны на устойчивость

Дано: колонна изготовлена из двух стандартных двутавров №30, высотой м, нижний конец забетонирован в пол, верхний свободен () и нагружен силой т.

	На рис. показано поперечное сечение колонны. Стыковка двутавров по высоте колонны осуществляется сваркой. Из таблиц ГОСТа для двутавра №30 находим: см2, см, см, см4.

Прежде всего решаем вопрос, относительно какой оси или сечения колонны возможна потеря устойчивости. Как указано выше, для этого надо вычислить и :

Вычисление осложняется тем, что в ГОСТе приводятся (относительно оси ), а продольный изгиб колонны возможен относительно оси (см. рис.). Надо вычислить

: , где

, см⁴,

см,

.

Итак : ; . Следовательно и продольный изгиб колонны возможен относительно оси (т.е. в плоскости ). Далее возможны два пути:

а) таблиц нет

В этом случае определяем по формулу для вычисления из возможных:

или

формула Ясинского

формула Эйлера

Для Ст.3, из которых изготовлены двутавры, как было указано выше , кг/см². У нас , поэтому выбираем формулу Эйлера

кг/см²

Выберем коэффициент запаса устойчивости. Допускаемое кг/см² Проверим устойчивость колонны:

Условие устойчивости выполняется, следовательно, колонна выдержит т без потери устойчивости.

в) имеются таблицы для Ст.3

по таблице найдем:

Для

Условие устойчивости по (8.15).

где кг/см² для Ст.3

Условие устойчивости выполняется.

II. Проектирование колонны из стандартных профилей

Рис.8.5	Проектирование рациональной колонны включает три обязательных пункта: 1. Подбор номера стандартного профиля, обеспечивающего прочность и устойчивость колонны от заданных сжимающей силы и условиях закрепления колонны . Расчет выполняют используя таблицы . 2. Обеспечение равноустойчивости колонны относительно главных центральных осей поперечного сечения колонны, соответствующим расположением профилей в колонне (т.е. определение расстояния (рис. 8.5в)). 3. Отдельные стандартные профили надо объединить в колонну с помощью поперечных планок или решетки, исключив при этом возможность местной потери устойчивости каждого профиля относительно осей (пунктир на рис. 8.5а). Это достигается определением расстояния «b» между планками.

Прежде всего решается вопрос, относительно какой центральной оси сечения колонны или возможна потеря устойчивости. Для сечения колонны, показанного на рис. 8.5 в, этот вопрос решается так:

размер «» не задается, поэтому увеличивая его увеличивается ( и табличные значения из ГОСТа профилей); т.к. тоже увеличивается, при этом уменьшается, а не зависит от размера . Следовательно, увеличивая «» всегда можно добиться, чтобы , а это значит, что возможный продольный изгиб будет относительно оси (в плоскости ). Обычно принимают условие равноустойчивости колонны, т.е. , из которого и определяется расстояние «».

Примечание: В предыдущем примере (I. Проверка на устойчивость) было получено , , т.е. колонна из двутавров не равноустойчива и не рациональна. Если двутавры раздвинуть на некоторое расстояние (т.е. увеличить «»), можно получить равноустойчивую колонну, которая выдержит значительно большую нагрузку .

1. Подбор номера профилей.

Используем формулу (8.16) . Здесь площадь зависит от , а зависит от , где . В итоге получим, что искомая площадь сама зависит от . Поэтому задача решается методом попыток:

1 попытка: в (8.16) неизвестна, но , поэтому вначале примем и найдем суммарную площадь сечения колонны . Далее площадь одного профиля (). По величине из табл. ГОСТа находим ближайший номер профиля и для него . Вычисляем гибкость и по ней из таблиц уточняем , т.е. получим .

2 попытка: в (8.16) подставим и снова повторим расчет (как в 1 попытке) до определения . Здесь уже делаем проверку на устойчивость по (8.15) . Здесь табличное значение площади найденного профиля.

Колонна будет оптимальной, если условие устойчивости (8.15) понимать как приблизительное равенство (допускаемая перегрузка до 5% от ). Если условие (8.15) не выполняется, или левая часть значительно меньше (выбраны слишком большие номера профилей), делаем следующую попытку с до определения (можно просто изменять в необходимую сторону номера профилей) и снова проверяем устойчивость и т.д. Обычно требуется 34 попытки.

2. Определив номер стандартных швеллеров найдем расстояние «» из принятого выше условия равноустойчивости или , откуда . Тогда

(а).

С другой стороны

(в)

Здесь расстояние между осями и , определяется из рис. 8.5 в:

(с)

Приравниваем (а) и (в): , откуда найдем размер «», а из (с) вычислим «».

3. Расстояние «» межу планками находится из условия, чтобы гибкость каждого стандартного швеллера колонны между планками относительно оси , была не больше гибкости всей колонны , найденной в последней попытке п.1, т.е.

(d)

Планки к швеллерам крепятся сваркой или болтами (заклепками). На практике обычно принимают как для стержней с двумя шарнирными концами. Тогда из (d) найдем .

Необходимое число планок «» в колонне округляется до целого числа.

Действительное расстояние между планками

Планки ставятся с двух сторон колонны, как показано на рис. 8.5в, т.е. надо планок.

Устойчивость стержней в упруго-пластической зоне

Рис.8.6	Выше было указано, что при необходимо использо-вать эмпирическую формулу Ясинского , где коэффициенты а и определяются экспериментально. На рис. 8.6 показана диаграмма деформирования упру-го-пластического материала . До т. В она линейна, а дальше криволинейна. Такой диаграммой обладают многие материалы.

Было сделано несколько попыток заменить эмпирическую формулу Ясинского другой, аналитической. Были долгие споры о справедливости той или иной формулы. Конец всем спорам положил Шенли, который доказал, что более строгой является формула Энгессера в виде

(8.17)

Здесь касательный модуль упругости.

Для использования этой формулы надо иметь диаграмму деформирования материала колонны. Положение т. на диаграмме определяется по напряжению сжатой колонны . Далее через т. проводим касательную к диаграмме и определяем наклона ее. . Далее по (8.17) определяем . Все остальное в (8.17) определяется как в формуле Эйлера. При , т.е. (8.17) можно пользоваться и вместо формулы Эйлера. Поэтому (8.17) можно пользоваться при .

Размещено на Allbest.ru