23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод симметричных составляющих

Общие и методические замечания

Разложение трехфазной несимметричной системы векторов на три трехфазные симметричные системы векторов

Пусть задана несимметричная трехфазная система напряжений. Надо показать, что каждое из заданных напряжений можно выразить через составляющие симметричных систем прямой, обратной и нулевой последовательностей:

(1)

Для доказательства (1) учтем, что ,,,, , тогда:

(2)

Суммируя левые и правые части (2) и учитывая, что 1+а+а² = 0, получим

(3)

Умножив второе и третье равенство (10.2) соответственно на а и а^2, просуммировав левые и правые части и, учитывая, что а³ =1, а⁴ = а, получим

(4)

Умножим второе и третье равенство (2) соответственно на а² и а и просуммировав левые и правые части, получим

(5)

Таким образом, по уравнениям (3), (4), (5) находим составляющие напряжения фазы А, а составляющие напряжений и легко находятся через составляющие напряжения и фазный множитель .

Пример 1. Для генератора, схема соединения обмоток которого приведена на рис. 2, задана несимметричная система ЭДС: , , .

Рис. 2. Pис. 3

Определить симметричные составляющие несимметричной системы ЭДС.

Решение

По формулам (10.3), (10.4) и (10.5) вычисляем составляющие:

Для фаз В и С составляющие:

Векторы, найденных составляющих показаны на рис. 3 в виде трех симметричных систем, где масштаб для системы - векторов обратной последовательности увеличен в восемь раз по отношению, к масштабу других последовательностей.

Применение метода симметричных составляющих для расчета трехфазной цепи с несимметричной системой ЭДС генератора

Рассмотрим случай, когда сопротивления симметричной трехфазной цепи, подключенной к генератору с несимметричной системой ЭДС,. имеют разные значения для различных симметричных составляющих, но для каждой симметричной составляющей, в отдельности сопротивления цепи одинаковы. Пусть схема для этого случая имеет вид, показанный на рис.10.4.

Исходными данными схемы являются:

несимметричная система фазных ЭДС генератора , сопротивления фаз генератора для различных последовательностей; сопротивления фаз нагрузки для различных последовательностей; сопротивление нулевого провода. Необходимо определить токи.

Рис. 4

Применяя формулы (3) - (5), найдем симметричные составляющие ЭДС фазы А генератора, по которым через фазный множитель а найдем симметричные

составляющие для других фаз , , , , . Заменив ЭДС несимметричного генератора тремя симметричными системами, приходим к схеме, показанной на рис. 5.

Рис. 5

Далее эта схема рассчитывается по методу наложения от действия каждой из симметричных систем ЭДС (прямой, обратной и нулевой последовательности) в отдельности.

Для симметричной системы ЭДС прямой последовательности в схеме учитываются сопротивления фаз генератора н нагрузки такой же последовательности, т.е. схема будет иметь вид, показанный на рис.6. Так как режим в этой схеме симметричен и ток , то расчет можно вести по схеме замещения в однофазном исполнении, представленной на рис. 7. Из этой схемы находим , a для других фаз получим

Рис. 6

,

Для симметричной системы ЭДС обратной последовательности поступаем аналогично и получаем схему замещения, представленную на рис. 8, из которой , ,

Рис. 7 Рис. 8

Для симметричной системы ЭДС нулевой последовательности схему замещения (рис. 9) необходимо ввести утроенное сопротивление нейтрального провода , что oбусловлено тем, что падение напряжения на равно (), где ток есть ток, в каждой из трех фаз цепи генератора (рис. 10) для симметричной системы ЭДС нулевой последовательности.

Рис. 9 Рис. 10

Из схемы замещения по рис. 9 определяем

Истинные токи в фазах исходной схемы будут

=++;

=++;

=++;

Пример. Трехфазныи двигатель с заземленной нейтралью получает питание по линии электропередачи от генератора с фазной ЭДС 220В (рис. 11).

Рис. 11

Обмотка фазы А генератора подключена к пулевой точке не тем выводом, что привело к нарушению симметрии ЭДС генератора. Сопротивления различных последовательностей: генератора

,,;

линии,;

двигателя,,

Сопротивление заземления нейтрали . Определить токи.

Решение

Запишем ЭДС генератора в комллексной форме.

Пусть , тогда .

Раскладывая несимметричную систему ЭДС на симметричные составляющие, получим

Рис. 12 Рис. 13

По схеме замещения для прямой последовательности (рис. 12) найдем ток

Токи прямой последовательности в других фазах будут

и в нулевом проводе

По схеме замещения для обратной последовательности (рис.10.13) найдем ток .

Токи обратной последовательности в других фазах будут

По схеме замещения для нулевой последовательности (рис.10.14) найдем ток

Рис. 14

Ток

Искомые токи будут

Для проверки найдем

что совпадает с током .

Применение метода симметричных составляющие для расчета трехфазной цепи с симметричным генератором при несимметрин нагрузки

Несимметрия нагрузки в трехфазных цепях обуславливается преимущественно аварийными режимами, таким как короткие замыкания одной или двух фаз на землю, короткие замыкания между фазами, обрыв одной фазы и др. Наиболее резкая несимметрия токов в трехфазной цепи возникает при коротких замыканиях, поэтому этот вид несимметрии, называемый поперечной неснмметрией, рассмотрим для наиболее часто встречающегося случая однофазного короткого замыкания на землю, показанного на схеме рис. 15. Исходными данными этой схемы являются: симметричная система ЭДС генератора прямой, последовательности , сопротивления различных последовательностей: генератора ; линии ; двигателя сопротивление заземления нейтрали . Надо рассчитать ток короткого замыкания и токи в фазах двигателя. Для этого от исходной симметричной схемы следует перейти к трем симметричным схемам, введя в место несимметрии тока по принципу компенсации неизвестную систему несимметричных ЭДС и несимметричных токов , как что показано на рис. 16.

Рис. 15

Рис. 16

трехфазная цепь симметричная составляющая

На этом рисунке линия представлена сопротивлениями . Несимметричную систему ЭДС и токов разложим на симметричные составляющие по формулам (10.3) - (10.5) и для каждой из последовательностей рассмотрим симметричную трехфазную схему. В схеме прямой пocледовательности имеются ЭДС генератора и ЭДС симметричных составляющих прямой последовательности , а также сопротивления прямой последовательности генератора , линии , двигателя и сопротивление нейтрального провода . Схема замещения прямой последовательности на одну фазу (на фазу А) показана на рис. 17. Для этой схемы по методу узловых потенциалов найдем токи и , а через них найдем ток .

Рис. 17 Рис. 18

(6)

В схеме обратной последовательности отсутствуют эдс генератора и имеются ЭДС симметричных составляющих обратной последовательности , имеются coпротивления обратной последовательности генератора , линии , двигателя и сопротивление нейтрального провода . Схема замещения обратной последовательности на одну фазу (на фазу Л) показана на рис. 18. Для этой схемы

(7)

Рис. 19.

В схеме нулевой последовательности отсутствуют ЭДС генератора и имеются ЭДС симметричных составляющих нулевой последовательности , имеются сопротивления нулевой последовательности генератора , линии , двигателя и сопротивление нейтрального провода . Схема замещения нулевой последовательности па одну фазу (на фазу А) показана на рис. 19. Для этой схемы

(8)

В полученных соотношениях (6) - (8) неизвестными являются шесть величин: . Для отыскания этих величин необходимо еще использовать три условия, характеризующие вид несимметрии (они называются граничными условиями). Указанные условия берутся из схемы рис. 15 и схемы рис. 16; они очевидны:

Граничные условия позволяют найти соотношения между симметричными составляющими:

(9),

,

то есть

(10) и (11)

Итак, соотношения (6) - (11) позволяют определить неизвестные симметричные составляющие путем их совместного решения. Например, выражая соответственно из (6) - (8) и используя (9) - (11), найдем составляющую

По найденной, составляющей из (10.6) - (10.8) соответственно найдем

Зная симметричные составляющие, найдем ток , равный току короткого замыкания .

и токи в фазах двигателя

Ток в фазе А генератора можно определить теперь как

а напряжения между точкой b и землей , между точкой С и землей будут

На конкретном примере рассмотрим последовательность расчета методом симметричных составляющих при продольной несимметрии нагрузки.

Пример. В схеме рис. 20 произошел обрыв линейного провода в точке а.

Рис. 20

Сопротивления различных последовательностей: генератора Ом, Ом, линии Ом, двигателя Ом, Ом. Определить токи и и напряжения на фазах двигателя при В.

Решение

Введем в место разрыва систему трех несимметричных ЭДС как это показано на рис. 21, где линия заменена сопротивлениями .

Рис. 21

Заменив несимметричную систему ЭДС и несимметричную систему токов симметричными составляющими и применив метод наложения для расчета каждой последовательности отдельно, получим три симметричных трехфазных схемы, от которых перейдем к однофазным схемам замещения.

Для прямой последовательности схема замещения для фазы А показана на рис. 22.

Рис. 22 Рис. .23

Из этой схемы найдем

(12)

Для обратной последовательности схема замещения для фазы А показана на рис. 23. Из этой схемы найдем

 (13)

Для нулевой последовательности в схему замещения следует ввести сопротивление нулевого провода, равное бесконечности (так как нулевого провода нет), поэтому ток и нулевой последовательности будет равен нулю, т.е.

(14)

Учтем граничные условия, характеризующие вид несимметрии:

(15), (16), (17),

Условия (15) и (16) позволяют получить и (см. аналогичные условия для тока (10) и (11), а условие (17) позволяет получить

или с учетом (14)

Подставив (12) и (13) в последнее равенство и учитывая , получим

Токи и найдем через u :

Напряжения на фазах двигателя будут

Отметим, что в нормальном режиме работы напряжения на фазах двигателя будут

51,7 В, 51,7В, 51,7В.

1. Несимметричную систему ЭДС, показанную на рис.10.24, представить симметричными составляющими, если

Ответ:

при условии, что ось действительных чисел напрвлена по вертикали.

Рис. 24 Рис. 25

2. Трехфазный двигатель получает питание по линии электропередачи от генератора с фазной ЭДС 380 В (рис 10.25). Обмотка фазы А генератора подключена r нулевой точке не тем выводом, что привело к нарушению симметрии ЭДС генератора. Сопротивления различных последовательностей: генератора линии двигателя

Определить токи .

Ответ: .

2. В цепи рис. 26 фазная ЭДС симметричного генератора

.

Рис. 26

Сопротивления различных последовательностей:

генератора

линии .

Определить напряжения и токи фаз генератора.

Ответ:

Размещено на Allbest.ru