Индуктивно связанные цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Индуктивно связанные цепи

1. Общие сведения и методические замечания

До сих пор при анализе цепей синусоидального тока, содержащих катушки индуктивности, мы учитывали лишь явление самоиндукции, т. е. индуцирование ЭДС при изменения потокосцепления, вызванном изменением тока в самой катушке. Однако в электрических цепях могут возникать потокосцепления взаимной индукции, т. е. потокосцепления одних катушек, связанные с протеканием электрического тока в других. Изменение этих потокосцеплений приводит к возникновению ЭДС взаимной индукции. Цепи, в которых индуцируются ЭДС взаимной индукции, называют индуктивно связанными цепями. Практическое использование таких цепей позволило создать ряд принципиально новых устройств и, в частности, трансформатор, расчёт цепей, содержащих индуктивные связи, обладает рядом особенностей. При выборе метода расчета таких цепей следует иметь в виду, что некоторые из рассмотренных ранее методов (например, метод узловых потенциалов, формулы преобразования соединения звездой в эквивалентное соединение треугольником и наоборот) не могут быть применены. Метод эквивалентного генератора может быть использован лишь в том случае, если выделенная ветвь не содержит элементов, индуктивно связанных с другими ветвями. В общем случае используют либо метод законов Кирхгофа, либо метод контурных токов. Однако и здесь существует своя специфика, связанная с учетом и выбором знака ЭДС взаимной индукции или напряжения, компенсирующего эту ЭДС.

Приступая к расчету цепей с индуктивными связями, следует, прежде всего, изучить физику происходящих в них явлений и ознакомиться с некоторыми новыми теоретическими положениями, что поможет правильно выбрать метод расчета и записать соответствующие уравнения.



2. Основные положения и определения

Взаимная индуктивность

Рассмотрим две, расположенные на некотором достаточно близком расстоянии друг от друга, катушки, содержащие ₁ и ₂ витков (рис. 8.1 а, б)

При этом магнитное поле тока одной из них может распространяться на область расположения другой. При наличии тока i₁ в первой катушке часть Ф₂₁ возбуждаемого в ней магнитного потока самоиндукции Ф₁₁ оказывается сцепленой с витками второй катушки, образуя потокосцепление взаимной индукции

Аналогично, при наличии тока i₂, во второй катушке возникает потокосцепление взаимной индукции

Отношение потокосцепления взаимной индукции к току, его возбуждающему, носит название

взаимной индуктивности катушек и обозначается буквой М

индукция цепь ток



При этом М₁₂ = М₂₁ = М, что выражает свойство взаимности для индуктивно связанных цепей.

Величина взаимной индуктивности зависит от числа витков катушек, их формы и взаимного расположения и магнитных характеристик среды.

Так же, как и индуктивность L, взаимная индуктивность М измеряется в генри (Гн).

Коэффициент индуктивной связи катушек

Степень индуктивной связи двух катушек принято характеризовать коэффициентом связи k, представляющим собой среднее геометрическое отношений, показывающие какая часть магнитного потока, созданного током одной катушки, оказывается сцепленной с витками другой

Так как потоки взаимной индукции Ф₂₁ и Ф₁₂ всегда меньше потоков самоиндукции Ф₁₁ и Ф₂₂ величина коэффициента связи всегда меньше единицы

ЭДС взаимной индукции. Согласное и встречное включение индуктивно связанных катушек. Разметка зажимов

Как уже было сказано, изменение потокосцепления взаимной индукции ведет к возбуждению в индуктивно связанных катушках ЭДС взаимной индукции, абсолютная величина котор

где _М - потокосцепление взаимной индукции. Так, для случая, представленного на рис. 8.1,

Для уточнения знака этих ЭДС и обусловленных взаимной индукцией напряжений прибегают к понятию согласного и встречного включений индуктивно связанных катушек; независимо от принадлежности их к той или иной ветви или цепи. При согласном включении магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции совпадают по направлению. При встречном включении эти направления противоположны.

На рис. 8.2 показаны две пары индуктивно связанных катушек. Положительное направление тока в катушке и создаваемого им магнитного потока связаны правилом правоходового винта. Тогда, с учетом направления намотки катушек и выбранных положительных направлений токов i₁ и i₂ в случае «а» магнитные потоки Ф₁ и Ф₂ направлены одинаково и катушки включены согласно. В случае «б» магнитные потоки противоположны по направлению, катушки включены встречно. Чтобы избежать необходимости изображать на схеме направление намотки индуктивно, связанных, катушек, прибегают к специальной разметке их зажимов.

Зажимы, относительно которых положительные направления токов катушек ориентированы таким образом, что магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в катушках совпадают по направлению, называются одноименными и обозначаются одинаковыми метками.

На рис. 8.3 а, б показано схематическое, изображение рассмотренных индуктивно связанных катушек с указанием положительных направлений токов и одноименных зажимов (помечены точками). Два других зажима составляют другую пару одноименных зажимов.

Таким образом, в случае согласного включения положительные направления токов в индуктивно связанных катушках должны быть одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов.

П р а в и л о: «Если положительное направление тока в одной из катушек принято от зажима с точкой, то положительное направление напряжения взаимной индукции на зажимах другой также следует принять от зажима с точкой. И наоборот».



3. Расчет индуктивно связанных цепей

Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек

На рис. 8.4 приведены схемы последовательного соединения двух индуктивно связанных катушек, обладающих активными сопротивлениями r₁ и r₂, индуктивностями L₁ и L₂ и взаимной индуктивностью М, для согласного (а) и встречного (б) включений.

Запишем для них уравнения по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений. На рис. 8.4 пунктиром показаны напряжения взаимной индукции

Здесь верхние знаки перед напряжениями взаимной индукции относятся к согласному включению, нижние - к встречному.

То же уравнение в комплексной форме имеет вид



Величина М носит название сопротивления взаимной индукции и намеряется в омах. Полученное выражение свидетельствует о том, что две последовательно соединенные индуктивно связанные катушки эквивалентны одной, имеющей активное сопротивление r_э = r₁ + r₂ и индуктивность . При согласном включении эквивалентная индуктивность цепи увеличивается, а при встречном - уменьшается. Полное сопротивление цепи при согласном включении больше, чем при встречном, что может быть использовано для опытного определения одноименных зажимов катушек.

Если обозначить индуктивное сопротивление цепи при согласном включении через Хсогл, а при встречном через Хвстр, т. е.

то,

вычитая второе выражение из первого, получим

откуда величина взаимной индуктивности



На рис. 8.5 приведены топографические диаграммы для согласного (а) и встречного (б) включений. Диаграммы построены для случая L₁ > M и L₂ > M.

Следует отметить, что в случае встречного включения при таком соотношении параметров, когда L₂ < M < L₁, на одном из участков цепи, не содержащем конденсаторов, напряжение может отставать по фазе от тока (напряжение и ток на рис. 8.6). Это явление носит название емкостного эффекта. Вместе с тем напряжение на входе цепи опережает ток , т. е. величина всегда положительна, так как сумма потокосцеплений самоиндукций всегда больше суммы потокосцеплений взаимной индукции.



Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек

Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек при согласном и встречном включения показано на рис. 8.7 а и б.

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, для мгновенных значений токов и напряжений для этих цепей имеют вид

Как и прежде, верхние знаки перед напряжениями взаимной индукции относятся к случаю согласного включения, а нижние - встречного. Перепишем эти уравнения в комплексной форме

или

где

Решая полученную систему уравнений, находим

Откуда

Таким образом, входное сопротивление рассмотренной цепи имеет большую величину при согласном включении и меньшую при встречном. В отсутствие индуктивной связи выражение для входного сопротивления приобретает обычную форму

На рис. 8.8 а и б приведены топографические диаграммы для согласного и встречного включений двух индуктивно связанных катушек, соединенных параллельно.

Разветвленная цепь с индуктивными связями

Как уже отмечалось в начале главы, при расчете разветвленных цепей с индуктивными связями ряд известных методов имеет либо ограниченное применение, либо неприменимо вовсе. Метод узловых потенциалов для нахождения токов в ветвях непосредственно использован быть не может, так как искомые токи зависят не только от ЭДС источников и узловых напряжений ветвей, но и от токов в других ветвях, с которыми имеется индуктивная связь. Метод эквивалентного генератора применим лишь тогда, когда выделенная ветвь не связана индуктивно с остальной частью цепи. Поэтому при расчете разветвленных цепей с индуктивными связями обычно применяют либо метод уравнений Кирхгофа, либо метод контурных токов.

Покажем на примере использование этих методов. Запишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи, представленной на рис. 8.9.

Предполагается, что индуктивная связь имеется между первой и второй, второй и третьей катушками. Поэтому одноименные зажимы каждой из пар обозначены разными условными знаками. В катушках L₁ и L₂ положительные направления токов относительно одноименных зажимов совпадают (согласное включение). Следовательно, совпадают и направления соответствующих им напряжений самоиндукции и взаимной индукции. В катушках L₂ и L₃ наоборот положительные направления токов неодинаково ориентированы относительно одноименных зажимов (встречное включение). Поэтому направления напряжений самоиндукция и взаимной индукции не совпадают. Этим обусловлен выбор знаков перед напряжениями взаимной индукции в уравнениях второго закона Кирхгофа.

Таким образом,

Токи в ветвях находятся путем решения записанной системы уравнений.

Уравнения, записанные по второму закону Кирхгофа для контурных токов и , имеют вид:

Пример 8.1. Определить токи в цепи рис. 8.10 а при следующих параметрах: r₁ = 3 Ом, r₂ = r₃ = 5 Ом, L₁ = 3 Ом, L₂ = 2 Ом, L₃ = 8 Ом, k = 0,50; E₁ = 20 В.

Решение

Определим сопротивление взаимной индукции:

Запишем уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой цепи.

Направление обхода контуров выбрано по часовой стрелке

или

После подстановки числовых данных имеем

В результате решения этой системы уравнений получаем

Пример 8.2. Решить задачу примера 8.1 методом контурных токов.

Решение

Выберем независимые контуры и контурные токи так, как это показано на рис. 8.10б.

Тогда уравнения для контурных токов и имеют вид

Или после подстановки числовых данных

Решая полученную систему уравнений, получаем



Тогда токи в ветвях:

Таким образом, получены те же самые результаты, что и в предыдущем примере.

Эквивалентная замена (развязка) индуктивных связей

Две индуктивно связанные катушки, подключенные к одному общему узлу, могут быть заменены эквивалентным соединением без индуктивных связей. При этом возможны два случая: катушки подключаются к узлу одноименными зажимами и разноимёнными (рис. 8.11 а и б).

Рассмотрим, например, случай а, когда к узлу подключены одноименные зажимы. При этом напряжения и выражаются следующим образом:

Используя соотношение

исключим из первого выражения ток ,а из второго-ток ,

Напряжение

Этим трем уравнениям удовлетворяет цепь, представленная на рис. 8.11 в. Если катушки подключены к общему узлу разноимёнными зажимами, то проделав аналогичные рассуждения, можно перейти к эквивалентной схеме, представленной на рис 8 11 г.

Таким образом, полученные схемы уже не содержат индуктивных связей.

Следует отметить, что эквивалентная замена индуктивных связей может быть осуществлена не только для двух, но и для большого числа катушек, подключенных к общему узлу, а также и в случае когда катушки находятся в ветвях, к общему узлу не подключенных. Однако, ввиду сложности получаемых при этом эквивалентных схем их использование нецелесообразно.

Пример 8.3. Определить входное сопротивление цепи, представленной на рис. 8.12 а при r₁ = 20 Ом, x_L1 = 10 Ом, r₂ = 20 Ом, x_L2 = 20 Ом и x_M = 10 Ом.

Решение

Для нахождения входного сопротивления воспользуемся эквивалентной заменой индуктивных связей. Эквивалентная схема изображена на рис 8.12 б. При этом учтено, что к общему узлу катушки подключены одноименными зажимами. Входное сопротивление такой цепи может быть рассчитано обычным образом;

4. Воздушный трансформатор

Основные понятия и определения

Трансформатор представляет собой устройство для преобразования величин переменных напряжений и токов Он состоит из двух или нескольких индуктивно связанных и, как правило, электрически изолированных друг от друга обмоток, находящихся на общем сердечнике. Если сердечник ферромагнитный, то свойства трансформатора будут нелинейными. Для простоты ограничимся рассмотрением двухобмоточного трансформатора без ферромагнитного сердечника (рис. 8.13).

Включение обмоток (на рис. 8.13 - согласное) принципиального значения не имеет. Такой трансформатор носит название воздушного или линейного, так как его характеристики линейны.

Обмотка, к которой подведено преобразуемое переменное напряжение, носит название первичной. Обмотка, к которой подключена нагрузка называйся вторичной. Соответственно все цепи, куда входят первичная и вторичная обмотки трансформатора, напряжения и токи, относящиеся к этим обмоткам, названы первичными и вторичными. С первичной стороны трансформатор функционирует как приемник, а с вторичной - как генератор.

Уравнение воздушного трансформатора. Векторная диаграмма

При синусоидальном изменении входного напряжения u₁ токи i₁, i₂ и напряжение u₂ также будут синусоидальными, и уравнения по второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно записать в комплексной форме.

Предполагается, что нагрузка имеет индуктивный характер.

На рис. 8.14 приведена векторная диаграмма токов и напряжений воздушного трансформатора. Построение диаграммы осуществлено сначала для вторичной цепи. По полученному вектору определено положение вектора , отстающего от него на 90°. Последовательность построения векторов обозначена цифрами.

Входное сопротивление трансформатора. Схема замещения

Введём обозначения

Тогда уравнения трансформатора примут вид

Выразив из второго уравнения ток и подставив его в первое, получим

откуда комплексное входное сопротивление трансформатора

где

носят название вносимых (из вторичной цепи в первичную) активного и реактивного сопротивлений. Из анализа выражения для входного сопротивления следует, что с первичной стороны трансформатор может рассматриваться как двухполюсник, схема которого приведена на рис. 8.15.

Вносимое активное сопротивление всегда больше нуля. В нём происходит поглощение энергии, передаваемой во вторичную цепь. Характер вносимого реактивного сопротивления противоположен характеру x₂. Представим рассмотренные уравнения трансформатора в следующем виде:

Написанная система уравнений справедлива для схемы, представленной на рис. 8.16.



Так как токи и и напряжения и те же самые, что и в трансформаторе, эта схема является эквивалентной схемой замещения последнего. При равных значениях L₁ и L₂ разности L₁ - М и L₂ - М всегда положительны, так как k < 1. Если значения L₁ и L₂ различны, одна из этих разностей может оказаться отрицательной, и схема замещения может быть реализована лишь на фиксированной частоте, на которой отрицательная индуктивность реализуется ёмкостью.

Идеальный трансформатор

Рассмотрим никоторые особенности трансформатора в идеализированных случаях. Трансформатор, у которого отсутствуют потери энергии и при любой нагрузке отношения первичного и вторичного напряжении и вторичного и первичного токов одинаковы и определяются коэффициентом тpaнсформации , называется идеальным.

Реально такого трансформатора не существует. На практике же к нему приближается трансформатор, у которого r₁ = r₂ = 0, и k = 1. Именно таким образом следует выбирать параметры реального трансформатора, чтобы его свойства были близки к свойствам идеального. Помимо способности изменять токи и напряжения в определенное число раз независимо от величины сопротивления нагрузки с помощью идеального трансформатора можно изменять в определённое число раз и величину этого сопротивления



Таким образом, если необходимо изменить сопротивление какой-либо нагрузки без изменения самой нагрузки, необходимо использовать промежуточный трансформатор, близкий по своим свойствам к идеальному.

5. Резонанс в индуктивно связанных колебательных контурах

Совокупность нескольких колебательных контуров, между которыми существует магнитная связь и энергия из одного контура может передаваться в другой, называется связанными колебательными контурами.

Рассмотрим в качестве примера систему из двух колебательных контуров с трансформаторной связью (рис. 8.17). Такие системы широко используются в устройствах приема и обработки информации.

На практике максимальная величина тока во вторичной цепи достигается настройкой в резонанс таких связанных контуров. При этом существуют различные способы настройки:

1. Изменением параметров первичного контура резонанс, который при этом возникает, называется первым частным резонансом.

2. Изменением параметров вторичного контура; возникает второй частный резонанс.

3. Изменением параметров одного из контуров и сопротивления связи М; возникает сложный резонанс.

4. Изменением пapaмeтpoв обоих контуров и сопротивления связи; возникает полный резонанс.

Получим выражение для тока во вторичном контуре. При этом будем полагать, что оба контура имеют одинаковые параметры и настроены в резонанс, т. е. сопротивление каждого из них имеет чисто активный характер.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа

0ткуда ток

где x_СВ = M - сопротивление связи контуров. Тогда модуль вторичного тока

а его максимальная величина /_2mах будет иметь место при некотором значении x_св = x_{св опт}, определяемом из условия

или , откуда

При переходе через эту точку знак производной меняется с плюса на минус, т. е. имеет место максимум.

Итак,

а связанные контуры настроены в полный резонанс.

На рис. 8.18 приведены резонансные кривые

При оптимальной связи резонансная кривая похожа на резонансную кривую последовательного контура. При сильной связи (x_CB > x_{CB ОПТ}) резонансная кривая становится двугорбой. При ослабленной связи (x_CB < x_{CB ОПТ}) кривая имеет тот же вид, что и при полном резонансе (на максимум находится ниже).



Задачи для самостоятельного решения (к главе 8)

1. Определить одноименные зажимы для каждой пары катушек на рис. 8.19.

2. Вычислить коэффициент связи двух индуктивно связанных катушек, если х_L1 = 15 Ом, х_L2 = 20 Ом, х_М = 3 Ом.

Ответ: k = 0,17.

3. Определить показания вольтметра электромагнитной системы в цепи рис. 8.20, если С = 43 мкФ, L₁ = 22 мГн, L₁ = 18 мГн, М = 6,5 мГц, r₁ = 10,5 Ом, r₂ = 9,2 Ом, f = 200 Гц.

Ответ: 48 В.

4. Какой величины необходимо выбрать емкость конденсатора в цепи рис. 8.21, чтобы в ней возник режим резонанса токов? Параметры цепи: L₁ = 16 мГн, L₂ = 9,55 мГн, k = 0,5; f = 1000 Гц.

Ответ: 2 мкФ.

5. Рассчитать токи трансформатора (рис. 8.22) при r₂ = 2,3 Ом, x_L1 = 8 Ом, x_L2 = 10 Ом, x_М = 8 Ом, , U₁ = 100 В.

Ответ /₁ = 61,9 A; .

Размещено на Allbest.ru