Динамика вязкой жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика вязкой жидкости

Напряжения в движущейся вязкой жидкости

При движении вязкой жидкости в ней возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, так как вязкая жидкость обладает способностью оказывать сопротивление относительному сдвигу своих слоев и частиц. Напомним, что при движении невязкой жидкости внутри нее могут возникать только нормальные напряжения. Нормальные и касательные напряжения в вязкой жидкости зависят не только от координат точек жидкости. В данной точке жидкости напряжения зависят от направления действия или, иначе, от ориентации в пространстве площадки, на которую они действуют

Рассмотрим элементарный параллелепипед с ребрами , выделенный в движущейся жидкости (рис.). Обозначим напряжения на гранях, ближайших к началу координат (АВКЕ, AEHD, ABCD),

Первый индекс указывает направление оси, которой перпендикулярна данная грань, т. е. направление нормали к граням, второй - направление действия напряжения, т. е. параллельно какой оси координат оно направлено.

Так, касательное напряжение действует на грани, перпендикулярной оси OY, в направлении оси ОХ; действует на грани, перпендикулярной оси OZ, в направлении оси ОХ и т. д.

Считая напряжения непрерывно изменяющимися по объему жидкости, получим значения напряжений на всех гранях параллелепипеда, пользуясь разложением функций напряжения в ряд Тейлора (табл.1).

Отметим (без доказательства), что в любой точке потока вязкой жидкости касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, направленные по нормали к линии пересечения этих площадок, равны друг другу, т. е.

жидкость напряжение скорость поток

.

Таблица 1

Грань	Напряжения
	нормальные	касательные
АВКЕ DCGH AEHD BKGC ABCD EKGH

Таким образом, напряженное состояние вязкой движущейся жидкости характеризуется шестью независимыми компонентами напряжений

Уравнения движения вязкой жидкости в напряжениях

Составим уравнения движения массы жидкости, заключенной в элементарном параллелепипеде (рис.).

Сначала рассмотрим сумму проекций сил на направление оси ОХ. Эта сумма равна произведению массы параллелепипеда на проекцию ускорения движения его полюса (центра). При составлении проекций принято считать направления нормальных напряжений совпадающими с направлениями внешних нормалей к граням параллелепипеда.

В проекции на ось ОХ уравнение движения имеет вид

где - проекция суммарной массовой силы на ось ОХ.

После сокращений получим

.

Выполним аналогичные преобразования для проекций сил на направления осей OY и OZ, получим систему дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости в напряжениях



Если считать заданными проекции плотности распределения массовых сил, то в уравнения движения жидкости в напряжениях (5.1) входят десять неизвестных функций:

.

Так как уравнений движения всего три, то система уравнений движения вязкой жидкости оказывается незамкнутой. Замыкание этой системы уравнений может быть осуществлено с помощью уравнения неразрывности и других соотношений, устанавливающих связи между неизвестными. Обычно эти соотношения вводятся на основе гипотез и потому обязательно должны быть подтверждены экспериментально.

Соотношения между напряжениями и скоростями деформаций в движущейся вязкой жидкости

В основу получения соотношений между касательными напряжениями и скоростями деформаций жидких частиц положен закон внутреннего трения Ньютона:

где - динамическая вязкость; - градиент скорости по нормали к направлению движения.

Закон Ньютона применим только к слоистым потокам. Знак плюс или минус выбирается так, чтобы величина была положительной независимо от выбора положительного направления .

Градиент скорости при слоистом движении жидкости выражает скорость угловой деформации частицы

т.е. .

Распространяя закон вязкого трения на трехмерное (пространственное) движение, получим следующие выражения для касательных напряжений:

В каждой точке движущейся вязкой жидкости кроме касательных напряжений есть нормальные напряжения, значения которых зависят от направления действия. Нормальные напряжения обладают следующим свойством: сумма значений нормальных напряжений, действующих на три взаимно перпендикулярные площадки, является инвариантом и не зависит от выбора площадок. Основываясь на этом свойстве, в рассмотрение вводят скалярную величину - давление в движущейся жидкости, которая определяется как среднее арифметическое из нормальных напряжений в данной точке, действующих по трем взаимно перпендикулярным направлениям:



Очевидно, зависимость нормального напряжения от направления действия, наблюдающаяся в вязкой жидкости, является следствием проявления вязкости.

Выразим нормальное напряжение через давление и некоторые добавочные напряжения, зависящие от вязкости:

где - добавочные нормальные напряжения от действия сил вязкости. Эти добавочные напряжения не зависят от значения давления, но зависят от направления действия. Знак минус перед давлением означает, что направление давления всегда совпадает с внутренними нормалями (внутрь объема) к соответствующим граням выделенного объема. Принято, как уже указывалось, считать значения положительными, если их направления совпадают с соответствующими внешними нормалями к граням.

В вязкой несжимаемой жидкости добавочные напряжения прямо пропорционально соответствующим скоростям деформаций (скоростям относительных удлинений), причем коэффициент пропорциональности равен т. е.

Тогда

При положительных значениях частных производных соответствующие добавочные напряжения от действия сил вязкости будут растягивающими, при отрицательных значениях - сжимающими.

Окончательно для нормальных и касательных напряжений в вязкой несжимаемой жидкости имеем

Отметим, что у твердого (упругого) тела, как следует из закона Гука, напряжения пропорциональны соответствующим относительным деформациям. Для вязких жидкостей напряжения пропорциональны скоростям деформаций. Запишем уравнение движения (5.1), объединив в скобках все члены, зависящие от вязкости:



Уравнения Навье-Стокса

Подставив значения напряжений и произведя необходимые преобразования, получим уравнения движения вязкой несжимаемой (=const) жидкости в виде

Учтено, что получающаяся при преобразованиях сумма для несжимаемой жидкости по уравнению неразрывности равна нулю. Уравнения (5 6) можно переписать в сокращенной форме

воспользовавшись знаком для оператора Лапласа

.

Отнесенные к единице массы силы вязкости (внутреннего трения) выражаются в (5.7) проекциями на оси координат

Выразив субстанциональное ускорение через локальное и конвективное, получим еще один вид уравнений движения вязкой жидкости

Эти уравнения записаны для неустановившегося движения несжимаемой вязкой жидкости

Динамическая вязкость жидкостей в общем случае зависит от давления и температуры. В обычных условиях при соответствующем обосновании можно принять =const.

Составляющие плотности распределения массовых сил считаются заданными (известными), а плотность и кинематическая вязкость - постоянными.

Полученные уравнения совместно с уравнением неразрывности образуют замкнутую систему: при четырех уравнениях имеем четыре неизвестные функции

.

Эти уравнения называются уравнениями Навье-Стокса.

Общее решение нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса пока не найдено. Но в ряде случаев получены частные решения Для получения решения должны быть заданы начальные и граничные условия. Начальными условиями обычно задается распределение скоростей в области движения в некоторый момент времени. Граничными условиями задаются значения скорости или давления на границах потока. Граничные условия зависят от характера границ. На твердой границе используется условие прилипания частиц жидкости к твердому телу. Поэтому граничное условие на неподвижной твердой границе заключается в равенстве нулю скоростей потока. На подвижной твердой границе скорость жидкости совпадает со скоростью границы.

Границей потока может служить свободная поверхность. В качестве граничного условия на свободной поверхности принимается условие давление во всех точках свободной поверхности одинаково и равно давлению во внешней среде.

Уравнения в форме Громеки для вязкой жидкости при установившемся движении несжимаемой жидкости при действии массовых сил имеют вид

Уравнение Бернулли для элементарной струйки (для линии тока) вязкой жидкости при установившемся движении

Умножим уравнения (5 9) на проекции элементарного перемещения вдоль линии тока соответственно и просуммируем. Получим

Обозначим

Тогда представляет собой работу сил вязкости на элементарном перемещении вдоль линии тока, отнесенную к единице массы жидкости. Получим

так как определитель равен нулю из-за пропорциональности первой и третьей строки.

После интегрирования (для линии тока) найдем

Если из массовых сил действует только сила тяжести, то принимает вид

Здесь все члены уравнения отнесены к единице массы.

Для двух точек одной и той же линии тока, относя члены уравнения к единице веса, имеем

.

Всегда . Обозначим .

Окончательно имеем уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости (вдоль линии тока)

Используя рассуждения, аналогичные приводящимся для невязкой жидкости, укажем, что полученное уравнение (5.13) можно рассматривать как уравнение для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости при установившемся движения в поле тяжести Земли.

Здесь - потери напора (потери удельной энергии) на участке между сечениями 1-1 и 2-2.

Напомним, что как и ранее, удельной называем энергию, отнесенную к единице веса.

Затраченная на работу сил вязкости часть энергии превращается из механической в тепловую, причем этот процесс необратим. Он называется диссипацией энергии.

Очевидно, что представляет собой разность удельной энергии жидкости в положениях 1 и 2 на одной и той же линии тока.

Уравнение Бернулли для потока при установившемся плавно изменяющемся движении вязкой жидкости

Полученное уравнение Бернулли для струйки вязкой несжимаемой жидкости при установившемся движении является основой, от которой перейдем к уравнению Бернулли для потока.

Сначала необходимо решить вопрос о распространении уравнения Бернулли на поток в целом. Рассмотрим отдельно удельную потенциальную и кинетическую энергии.

Удельная потенциальная энергия потока. В плавно изменяющемся установившемся потоке

.

Уравнения движения для плавно изменяющегося установившегося потока имеют вид

Два последних уравнения аналогичны уравнениям Эйлера для покоящейся жидкости (2.4). Отсюда можно сделать вывод, что при установившемся плавно изменяющемся движении вязкой жидкости давление по живому сечению распределяется по гидростатическому закону, т. е.

Теперь можем определить в уравнении Бернулли для потока удельную потенциальную энергию применительно к любой выбранной в данном живом сечении точке. Сумма для всех точек живого сечения при рассматриваемом движении будет одинаковой.

Если поле скоростей потока имеет искривленные линии тока, то частицы жидкости движутся по криволинейным траекториям, при этом нарушается гидростатический закон распределения давления в живом сечении. Если линии тока обращены выпуклостью вниз, то давление нарастает по вертикали более интенсивно, чем при гидростатическом законе. (На рис показаны безнапорные потоки, пьезометры присоединены к дну.)

Удельная кинетическая энергия потока. Удельная кинетическая энергия массы жидкости, протекающей через живое сечение в единицу времени, вычисленная по местным скоростям потока и отнесенная к единице веса,

Числитель представляет собой кинетическую энергию массы жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение, найденную по элементарным массам, проходящим через площадки со скоростью .

Рис.

Вычисление по местным скоростям потока весьма затруднительно, так как функция для живого, сечения потока не всегда известна. Целесообразно вычислять не по местным скоростям, а по средней скорости потока в живом сечении . При расходе и средней скорости удельная кинетическая энергия, вычисленная по средней скорости, равна

.

Обозначим отношение и через :

или

.

или

.

Коэффициент называется коэффициентом кинетической энергии, или коэффициентом Кориолиса.

Запишем местную скорость через среднюю скорость и некоторую знакопеременную добавку :

.

Получим

.

Далее

.

Из

следует, что .

Далее в силу знакопеременности

.

Таким образом

или

.

Из ясно, что .

Таким образом, удельная кинетическая энергия потока в данном сечении может быть определена по средней скорости в этом сечении, если известно значение коэффициента кинетической энергии

В таком виде удельная кинетическая энергия входит в уравнение Бернулли для потока.

Коэффициент кинетической энергии равен отношению действительной кинетической энергии массы жидкости, протекающей через живое сечение (), к кинетической энергии , вычисленной в предположении, что во всех точках живого сечения местные скорости равны средней скорости.

Обычно при прямолинейном турбулентном движении в трубах 1,05-1,10, при таком же движении в земляных каналах 1,14-1,25, при прямолинейном ламинарном движении в трубах =2. В ряде случаев турбулентного движения, происходящего в сложных условиях (например, в криволинейных потоках), коэффициент может быть существенно большим.

Значения коэффициента определяют экспериментально. Для этого сечение разбивают на малые площадки , и измеряют скорости в центрах этих площадок. Затем, считая скорость постоянной в пределах площадок, определяют коэффициент кинетической энергии по соотношению

По полученным данным затем предлагаются рекомендации о значениях для использования в расчетах.

Уравнение Бернулли для потока. Распространим на поток жидкости, ограниченный неподвижными границами (канал, река, трубопровод), уравнение Бернулли, выведенное для струйки. В сечениях, выделенных по длине потока (рис.), движение должно быть плавно изменяющимся. Тогда для любой точки данного живого сечения удельная потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Удельная кинетическая энергия будет равна .

Рис.

Тогда в сечении, например, 1-1 удельная энергия потока равна

где - высота произвольно выбранной в рассматриваемом сечении точки относительно любой горизонтальной плоскости сравнения (на рис. она обозначена 0--0).

Для потока вязкой жидкости сумма удельной потенциальной и удельной кинетической энергии

называется гидродинамическим напором.

Потери удельной энергии на преодоление сопротивлений движению жидкости (на преодоление трения) на пути от сечения 1--1 до рассматриваемого сечения, например 2--2 или 3--3, оцениваются величиной , т. е. частью механической энергии, необратимо переходящей в тепловую.

Уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости между двумя сечениями, в которых движение является плавно изменяющимся, имеет вид

где и - высоты положения произвольных точек, выбранных в двух сечениях потока; и - давления в этих же точках; и - средние скорости в рассматриваемых сечениях 1--1 и 2--2; и - коэффициенты кинетической энергии (коэффициенты Кориолиса) в сечениях; - потери удельной энергии (напора) на участке между рассматриваемыми сечениями.

Рис.4

Подчеркнем, что движение должно удовлетворять условиям плавной изменяемости только в сечениях, к которым применяется уравнение Бернулли. На участке между сечениями движение может и не быть плавно изменяющимся.

Все члены уравнения Бернулли (5.21) имеют линейную размерность и могут быть представлены графически.

При движении вязкой жидкости линия удельной энергии (напорная линия) не горизонтальна, как при движении невязкой жидкости, а представляет собой наклонную линию, так как удельная энергия потока (гидродинамический напор) при движении вязкой жидкости уменьшается в направлении движения. Пьезометрический напор (удельная потенциальная энергия) в направлении движения может и уменьшаться, и увеличиваться в зависимости от конкретных условий. Если в напорном потоке в трубе при построении пьезометрической линии, соответствующей избыточному давлению, окажется, что на некотором участке она опустилась ниже точек оси трубы (рис.), то в потоке на этом участке давление ниже атмосферного (вакуум). Разность между ординатами рассматриваемой точки сечения и пьезометрической линии на данной вертикали соответствует

.

Гидравлическим уклоном называют отношение потерь напора к длине участка , на котором эти потери происходят. При равномерном уменьшении отметок напорной линии

В общем виде

.

Пьезометрический уклон равен

При равномерном движении средняя скорость по длине не изменяется. Следовательно, линия удельной энергии расположена выше пьезометрической линии на значение скоростного напора . В безнапорном потоке пьезометрическая линия совпадает со свободной поверхностью, а линия удельной энергии проходит параллельно ей и выше на . При равномерном движении в открытом русле уклон дна , пьезометрический и гидравлический уклоны равны между собой:

.

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим уравнения Навье-Стокса в форме Громеки для неустановившегося движения несжимаемой вязкой жидкости при условии, что массовые силы имеют потенциал



Умножив уравнения соответственно на на линии тока, и сложив уравнения, получим

Рассмотрим движение вдоль линии тока. В этом случае определитель равен нулю. Далее, так как ,

где - элементарный отрезок на линии тока. Здесь учтено, что .

Проинтегрировав в данный момент времени вдоль линии тока в пределах от до , получим

Учтена и работа сил вязкости , затраченная при элементарном перемещении единицы массы жидкости по линии тока.

Если из массовых сил действует только сила тяжести (const), то, относя все члены к единице веса жидкости, найдем

,

причем

.

Здесь инерционный напор. Штрих при означает, что рассматривается элементарная струйка. Инерционный напор определяет изменения во времени удельной кинетической энергии жидкости на участке линии тока от до . Это изменение кинетической энергии обусловлено локальными ускорениями. Инерционный напор имеет линейную размерность. Потери удельной энергии (напора) при неустановившемся движении обозначены .

При неустановившемся движении сила инерции, отнесенная к единице веса жидкости, равна

.

Учитывая, что

,

имеем для силы инерции, отнесенной к единице веса жидкости,

Первый член представляет собой локальную силу инерции, а второй - конвективную.

Полученное уравнение (5.27) называется уравнением Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости при неустановившемся движении.

При переходе к уравнению Бернулли для потока при неустановившемся движении вязкой несжимаемой жидкости условимся рассматривать только такие случаи неустановившегося движения, при которых форма линий тока во времени не изменяется (а значения скоростей переменны во времени). По сути дела, это потоки, ограниченные недеформируемыми стенками.

Для перехода к уравнению Бернулли для потока необходимо осреднить по живому сечению все члены полученного уравнения Бернулли для элементарной струйки (для линии тока) при неустановившемся движении. При этом инерционный напор для элементарной струйки и инерционный напор для потока отнесем к единице веса жидкости:

.

В данный момент времени в связи с принятой выше неизменностью линий тока и несжимаемостью жидкости расход по длине струйки не изменяется, т. е. не зависит от длины.

Количество движения для потока, подсчитанное по местным скоростям, равно

.

По аналогии с изложенным выше (для кинетической энергии) имеем выражение количества движения для потока, полученное при допущении, что во всех точках живого сечения скорости одинаковы и равны средней скорости:

Тогда коэффициент количества движения (коэффициент Буссинеска) равен

или , т. е.

Найдем , вновь приняв ( -знакопеременная величина):

или

.

Так как по вышеизложенному , то

Очевидно, что коэффициент количества движения меньше, чем коэффициент кинетической энергии , на

Запишем

,

где коэффициент количества движения (коэффициент Буссинеска); средняя скорость в живом сечении. Так как средняя скорость и расход зависят только от времени и не зависят от продольной координаты, то

и

Тогда

Считая, что коэффициент не зависит от времени, получаем

где - расстояние между выбранными сечениями.

Поскольку распределение скоростей по живому сечению при неустановившемся движении, строго говоря, не соответствует распределению скоростей при установившемся движении со средней скоростью , выражение для инерционного напора с учетом того, что при неустановившемся движении и коэффициент количества движения изменяется во времени, примет вид

.

Без учета изменения во времени получим, что для движения в прямолинейной цилиндрической трубе (=const, а средняя скорость является функцией только времени и не изменяется по длине)

и .

Тогда средний по живому сечению инерционный напор

или

.

Уравнение Бернулли для потока несжимаемой жидкости при неустановившемся движении в прямолинейной цилиндрической трубе имеет вид

,

где

.

Важно отметить, что инерционный напор может быть и положительным, и отрицательным. Если движение ускоренное (), то . Если движение замедленное (), то . Инерционный напор не является мерой дополнительных потерь энергии, он выражает обратимые преобразования энергии. Полученное уравнение Бернулли для неустановившегося движения можно представить графически. При этом надо помнить, что уравнение выражает соотношение между параметрами потока только. Для данного момента времени.

При ускоренном движении линия удельной энергии понижается в направлении движения. Но при замедляющемся движении () на пути от первого до второго сечения будет происходить восстановление кинетической энергии и переход ее в потенциальную. Если при этом меньше, чем , то полная удельная энергия по длине возрастает, т. е. отметки линии удельной энергии будут по длине увеличиваться. Такое положение линии удельной энергии невозможно при установившемся движении.

В практических расчетах обычно принимают потери удельной энергии при установившемся () и неустановившемся () движении равными. Такое допущение связано с недостаточным объемом исследований, посвященных гидравлическому сопротивлению неустановившегося движения жидкости, и несогласованностью (а иногда и противоречивостью) имеющихся данных о влиянии ускорений на потери удельной энергии.

Размещено на Allbest.ur