Корпускулярно-хвильовий дуалізм

Спектри багатоелектронних атомів. Ефект Зеємана

Спектр випромінювання атома дуже змінюється, якщо випромінювальний атом перебуває в магнітному полі. За відсутності магнітного поля енергія валентного електрона не залежить від його магнітного моменту, тобто визначається тільки числами n і l. Енергетичні рівні, які відповідають електронам з однаковим числом l, але різними значеннями числа m збігаються. У магнітному полі енергія електрона залежить від модуля та орієнтації магнітного моменту. Тепер енергетичні рівні, які відповідають електронам з однаковим числом l, але різними значеннями числа m, розщеплюються на стільки підрівнів, скільки значень може мати число m. Розщеплення рівнів викликає розщеплення спектральних ліній. Таке розщеплення ліній на три складові в сильному магнітному полі виявив у 1896 році голландський фізик Зеєман. Це явище названо нормальним ефектом Зеємана, який теоретично вдалося пояснити значно пізніше засобами квантової механіки.



З точки зору квантової механіки можна пояснити ефект Зеємана.

Розглянемо перехід електрона. Електрону в s- стані відповідають такі квантові числа: l = 0 і m = 0, а у р- стані - числа: l = 1, m = 0, m = +1, m = -1. На рис. 2.18 зображено енергетичні рівні електрона і спектральні лінії за відсутності магнітного поля (а) і в магнітному полі (б). У частини збуджених атомів електрони перебувають на основному рівні, в іншої частини - на одному з розщеплених підрівнів, а в решти атомів - на другому розщепленому підрівні. Коли електрони переходять з основного рівня і підрівнів на нижній рівень, випромінюються фотони з різною енергією, або частотою. Тому спектральна лінія з частотою розщеплюється на три лінії з частотами і . Під час переходу електрона енергетичні рівні розщеплюються в магнітному полі на стільки підрівнів, скільки значень може мати число m, яке відповідає d- і p- станам. Однак спектральних ліній все одно утворюється тільки три: з частотами і .

Для магнітного квантового числа також існує правило добору: дозволені тільки такі переходи електрона, при яких це число або не змінюється, або змінюється на одиницю:

.

У магнітному полі атом набуває додаткової енергії

.

Проекція магнітного моменту на вісь Z:

,

де - маса спокою електрона.

Тоді додаткова енергія дорівнює:

.

Рівням і , які утворюються в магнітному полі, відповідає енергія:

і ,

де і - енергії рівнів без магнітного поля (); і - магнітні квантові числа.

Частота спектральної лінії під час переходу електрона з одного стану в інший у магнітному полі визначається так:

.

Це означає, що частота лінії, яка утворюється в магнітному полі:

.

Якщо , то . Але якщо = ±1, то

.

Частота видимої частини спектра становить близько . Для магнітного поля з індукцією (1Гс (гаусс) = 10-4 Тл) розщеплення спектральних ліній .

Енергія електрона залежить і від спінового квантового числа , тобто власного моменту імпульсу електрона.

Взаємодія орбітального магнітного моменту і власного моменту імпульсу (спіну) робить свій внесок у значення енергії електрона. Спін має дві можливі проекції на напрям орбітального моменту, тому енергія електрона залежить від напряму спіну. Розглянемо, наприклад, атом натрію (Z = 11). Десять електронів К- і L- оболонок в оптичних переходах участі не беруть, їхній спін-орбітальний момент дорівнює нулю. Одинадцятий валентний електрон у незбудженому атомі перебуває у стані 3s. Отже, його орбітальний момент дорівнює нулю, а спіновий момент має довільний напрям. Якщо атом збуджений, то валентний електрон перебуває у стані, наприклад, 3р. Проекція спіну електрона на напрям орбітального магнітного моменту може бути або . Тому енергія спін-орбітальної взаємодії буде мати два можливі значення. Відповідно, рівень 3р (а також 4р і всі наступні) розщеплюватимуться на два підрівні. У частини збуджених атомів електрони перебувають на одному з розщеплених підрівнів, у решти атомів - на другому розщепленому підрівні. Під час переходу електронів з підрівнів на нижній рівень випромінюються фотони з різною (хоча і дуже близькою) енергією, або частотою. Тоді жовта лінія натрію розщеплюється на дві лінії, відстань між якими , тобто утворюється жовтий дублет натрію.

Зауваження. Наявність спектральних дублетів була одним із фактів, які наштовхнули Гаудсміта і Уленбека на ідею про існування спіну в електрона.

Природа характеристичних рентгенівських променів.

Закон Мозлі

Характеристичне рентгенівське випромінювання виникає внаслідок того, що потужне катодне проміння, проникаючи у глибину електронних оболонок атомів, вириває електрони з нижніх шарів і спричиняє вихід їх за межі атома. Якщо, наприклад, електрон буде вирваний з шару К, то на його місце переміститься електрон з якого-небудь дальшого шару L, M, і т.д. На вивільнене місце у дальшому шарі перейде електрон з ще дальшого шару. При таких переходах електронів у важких атомах випромінюються фотони рентгенівського проміння. Оскільки енергія фотонів визначається різницею енергетичних рівнів атомів даної речовини, то випромінювання такого типу дає лінійчатий спектр, характерний для речовини анода.



Якщо енергія електронів, які бомбардують, збільшується (збільшується напруга між катодом та анодом), то на фоні суцільного спектра рентгенівського випромінювання з'являються лінійчаті спектри. Частота цих ліній у спектрі залежить від природи речовини, з якої виготовлений анод. Тому дане випромінювання називають характеристичним, оскільки воно характеризує анод.

Електрон, що має досить велику енергію, може вирвати інший електрон (віддати йому частину енергії), що знаходиться на глибинних забудованих електронних оболонках анода.

Внаслідок цього на “вакантне” місце електрона, що вирвався, переміщається електрон з верхнього енергетичного стану, після чого випромінюється фотон характеристичного рентгенівського випромінювання.

Схема виникнення рентгенівських спектрів

Рентгенівські спектри складаються з декількох серій, що позначаються буквами . Кожна серія має певну кількість ліній, які позначаються , …(, …; …і т.д.) (рис. 2.19).

У 1913 році англійський вчений Мозлі встановив закон, що визначає частоти в характеристичних спектрах речовини в залежності від атомного номера .

Закон Мозлі

,

де ? стала Бальмера -Рідберга, ;

? атомний (порядковий) номер;

? стала екранування (фізичний зміст: поправка до сили, з якою електрон притягується до ядра; цю дію ядра послаблюють електрони, розміщені до нього ближче, ніж перехідний електрон; для - серії, для - серії);

? енергетичний рівень, на який переходить електрон;

? енергетичний рівень, з якого переходить електрон.

Зазвичай закон Мозлі виражають формулою:

,

де ? функція атомного номера елемента, ? константа.

Значення закону Мозлі: дозволяє за визначеною частотою рентгенівських ліній встановити атомний номер даного елемента; закон Мозлі довів справедливість ядерної моделі та періодичний закон системи елементів Менделєєва.

Поняття про хімічний зв'язок і валентність. Молекулярні спектри

Валентність та хімічний зв'язок

Валентністю називають здатність атомів елементів утворювати хімічні зв'язки. Кількісно валентність характеризується числом. Її можна розглядати як здатність атома віддавати чи приєднувати певне число електронів зовнішніх електронних оболонок (валентних електронів).

У випадку іонного зв'язку валентність - це число відданих чи приєднаних даним атомом електронів. У випадку ковалентного зв'язку валентність дорівнює числу усуспільнених електронних пар. Багато елементів можуть мати різну валентність залежно від того, до яких сполук вони входять.

Енергія і спектри молекул

Повна енергія молекули складається з кількох частин:

1) - енергії руху електронів в атомах молекули;

2) - енергії коливального руху ядер атомів, які входять до складу молекули, навколо їхніх положень рівноваги;

3) - енергії обертального руху молекул як цілого.

Повна енергія молекули:

.

Коливальна енергія визначається за формулою:

,

де - коливальне квантове число.

Обертальна енергія



,

де J = 0, 1, 2, 3,... - обертальне квантове число; I - момент інерції молекули відносно осі, яка проходить через її центр мас.

Тоді повну енергію молекули можна записати так:

.

За правилом частот Бора, частота кванта, що його випромінює молекула під час зміни свого енергетичного стану, така:

,

де - зміна відповідної частини енергії молекули.

Можливі тільки такі зміни коливальної і обертальної енергій молекули, при яких коливальне і обертальне квантові числа змінюються на одиницю, тобто для цих квантових чисел має виконуватися правило добору:

;

.

Як показують експерименти та теоретичні дослідження, складові повної енергії молекули задовольняють такі нерівності:

.

Саме цим пояснюється існування частот молекулярних спектрів у різних діапазонах електромагнітних хвиль.

Як відомо, спектри випромінювання і поглинання оборотні. Зручніше вивчати спектри поглинання. Тому розглянемо утворення саме цих спектрів молекули. Доти, доки енергія кванта, який падає на речовину, не дорівнюватиме найменшій можливій різниці енергій між двома найближчими енергетичними рівнями молекули, поглинання світла не відбувається і лінії спектра поглинання не утворюються. Поглинання починається при довжинах хвиль приблизно 0,1 - 1 мм, тобто в далекій інфрачервоній частині спектра, і відповідає зміні обертальної енергії молекули. Утворюється спектральна лінія обертального спектра. Поглинання світла в інфрачервоній області з довжиною хвилі від 1 до 10 мкм викликає переходи між коливальними енергетичними рівнями в молекулі, внаслідок чого утворюється коливальний спектр молекули. Проте виникають і обертальні переходи, тобто збуджуються коливально-обертальні спектри. Коливально-обертальний спектр складається з групи дуже близьких ліній, які відповідають різним обертальним переходам. Якщо спектральний прилад має низьку роздільну здатність, ці лінії зливаються в одну смугу, яка відповідає певному коливальному переходу.

У видимій та ультрафіолетовій областях спектра енергії квантів достатньо для того, щоб викликати переходи молекул між різними електронними енергетичними рівнями. Проте водночас збуджуються і коливальні переходи, тобто утворюються електронно-коливальні спектри молекули. Електронно-коливальний спектр у видимій і близькій до неї областях являє собою систему з кількох груп смуг. Таким чином, усі спектри молекули мають вигляд смуг, які складаються, у свою чергу, з окремих ліній. Тому спектри молекули називають смугастими.

Отже, спектри випромінювання і поглинання поділяються на три групи:

1) суцільні, що їх утворюють нагріті тверді тіла;

2) лінійчаті, які утворюються атомами речовин, що перебувають у газоподібному стані;

3) смугасті, що утворюються молекулами газоподібних речовин.

Комбінаційне розсіювання світла

Розсіювання світла - явище взаємодії світла з речовиною, в результаті якого змінюється напрям поширення світлових променів і виникає невласне світіння речовини.

У 1928 році радянські вчені Ландсберг та Мандельштам і одночасно індійські фізики Раман та Крішнан відкрили явище, що отримало назву комбінаційне розсіювання світла, що пояснюється квантовою теорією взаємодії випромінювання з речовиною, за якою елементарний одиничний акт розсіювання світла розглядається як поглинання частинкою речовини фотона, який падає на неї з енергією . Внаслідок розсіювання світла випромінюється вторинний фотон з частотою, що відрізняється від на певну величину .

Згідно квантової теорії, процес розсіювання світла можна розглядати як непружне співударяння фотонів з молекулами. При цьому фотон може віддати молекулі чи отримати від неї лише такі кількості енергії, які рівні різницям двох її енергетичних рівнів.

Вивчення комбінаційного розсіювання дає багато відомостей про будову молекул; можна визначити власну частоту коливання молекул, судити про характер симетрії молекули. За допомогою цього методу здійснюють аналіз складних молекулярних сумішей, особливо органічних молекул.

Люмінесценція

Люмінесценцією називається не теплове випромінювання тіл, яке збуджується різними факторами і має тривалість більшу за період світлових хвиль (10-10 с). Люмінесценція належить до нерівноважного випромінювання, оскільки збуджується додатковими джерелами енергії. Люмінесценція виникає при переході електрона в атомі з більш віддаленої орбіти на ближчу до ядра орбіту. Спектр люмінесценції містить лінії з певною довжиною хвилі і залежить від структури даного атома. Атом може випромінювати лише в тому випадку, якщо він знаходиться у збудженому стані, тобто якщо електрони попередньо переведені на більш високі орбіти. Існує декілька видів люмінесценції, які розрізняють за причиною її збудження.

Фотолюмінесценція, яка виникає при світловому збудженні.

Електролюмінесценція, що виникає при збудженні електричним полем.

Катодолюмінесценція, причиною якої є опромінення електронами.

Хемілюмінесценція, яка супроводжує, наприклад, процеси гниття.

За тривалістю збудженого стану атомів розрізняють:

флуоресценція, що збуджується більш короткохвильовим електромагнітним випромінюванням чи потоком частинок (електронів, протонів,- частинок та ін.); швидко затухає: час світіння ;

фосфоресценція - флуоресценція у вигляді залежного від температури після свічення, що виникає після припинення опромінення; тривалий час світіння: більше .

У природі явище люмінесценції спостерігають при північному сяйві, світінні деяких комах, мінералів, гнитті дерев тощо. Люмінесценція може мати суцільний, лінійчатий і смугастий спектри випромінювання, лінії яких визначаються складом люмінофору - речовини, що випромінює люмінесцентне світіння.

Люмінесценція широко використовується для створення потужних та економічних джерел світла (ртутні, натрієві, неонові лампи денного світла). Аналіз спектра люмінесценції дає змогу визначити незначні домішки (порядку %) у речовині.

Спонтанне та індуковане випромінювання. Квантові генератори (лазери), їх застосування

Одним із величезних досягнень квантової теорії є створення унікальних джерел світла, які називаються оптичними квантовими генераторами, або лазерами.

Під час взаємодії випромінювання з речовиною спостерігаються такі процеси, як поглинання і розсіювання, що призводить до зменшення інтенсивності випромінювання на виході з речовини. Однак можливі процеси, коли потік випромінювання, який проходить через речовину, підсилюється. Такі процеси вперше помітив В.О.Фабрикант у 1939 році, і саме їх реалізовано у квантових генераторах. У 1964 році за створення квантових генераторів М.Г.Басов, О.М.Прохоров і американський фізик Ч. Таунс удостоєні Нобелівської премії.

Нехай атоми речовини мають тільки два енергетичні рівні 1 і 2 (рис. 2.20), енергії яких дорівнюють і.

Нехай електромагнітне випромінювання інтенсивністю проходить через цю речовину і має частоту

,

тобто його частота дорівнює одній із частот цього атома. Тоді відбувається вимушений перехід атома зі стану з енергією у стан з енергією , тобто поглинання світла, і сам фотон hv «зникає».

Далі збуджений атом може самовільно перейти зі стану у стан , випромінюючи фотон з енергією hv. Так відбувається спонтанне випромінювання.



Спонтанне випромінювання ? випромінювання, що виникає у збудженому атомі при переході в нормальний стан (стаціонарний) без впливу зовнішньої дії (факторів) (рис. 2.20).

Тепер нехай електромагнітне випромінювання інтенсивністю і тієї самої частоти проходить через ту саму речовину, атоми якої перебувають у збудженому стані з енергією (рис. 2.21). Кількість атомів у збудженому стані позначено , а кількість атомів у незбудженому стані - . Тоді фотон з енергією hv може «перевести» атом зі збудженого стану в незбуджений стан . Відбудеться випромінювання фотона з енергією hv, який додається до падаючого фотона, а отже, інтенсивність I на виході з речовини зросте. Таке випромінювання називається вимушеним, або індукованим.

Індуковане (вимушене) випромінювання ? випромінювання, що виникає у збудженому атомі при переході в нормальний стан під дією зовнішніх факторів (наприклад, під впливом світла).

Поняття спонтанне і вимушене випромінювання уперше ввів Ейнштейн у 1915 році. Він створив і теорію індукованого випромінювання, визначивши, до речі, за допомогою цієї теорії теоретичне значення сталої Планка. Процес індукованого випромінювання знайшов практичне застосування у квантових генераторах. Лазерами називаються квантові генератори, які випромінюють у видимому й інфрачервоному діапазонах. Назву утворено від перших літер виразу:

light amplification by stimulated emission of radiation - підсилення світла індукованим випромінюванням. У генераторах, які випромінюють у мікрохвильовому діапазоні, літеру l (light - світло) замінено на m. Це так звані мазери.

Отже, для того, щоб відбувалося вимушене випромінювання, необхідно перевести речовину в інверсний стан.

Заселеність атомами рівня 2 має бути більшою, ніж заселеність рівня 1, тобто . Такий стан речовини називається інверсним станом (рис. 2.20).

Лазерному випромінюванню притаманні такі характерні особливості:

* когерентність;

* високий ступінь монохроматичності - ;

* поляризованість, якщо поставити дзеркало під кутом Брюстера;

* потужність сягає десятків і сотень мільйонів ват;

* ідеально паралельний пучок когерентних променів за допомогою звичайних лінз можна сфокусувати так, що діаметр його перерізу становитиме 0,001 см;

* інтенсивність потоку досягає ;

* амплітуда електричного поля світлової хвилі - до . Це поле має більшу напруженість, ніж те, яке зв'язує в атомах і молекулах зовнішні електрони. Тому воно руйнує будь-які речовини;

* світловий тиск, який дуже важко виміряти у звичайному випромінюванні, у сфокусованого лазерного випромінювання сягає мільйона атмосфер;

* розбіжність пучка дуже мала. Якщо вона дорівнює 2", випущений із Землі промінь освітить на Місяці площину діаметром близько 5 км.

Ці особливості лазерного випромінювання зумовили сфери його застосування. Назвемо деякі з них. Із теорії дифракції світла випливає ідея запису об'ємного (на відміну від фотографії -- плоского зображення) зображення предметів - так званих голограм. Але існуючі лампи та природні джерела світла не відповідають вимогам високого ступеня когерентності випромінювання. Лише створення лазерів дало змогу втілити в життя цю ідею - з'явилася голографія. Нині вже окрім статичних, монохроматичних голограм існують і рухомі, і поліхроматичні голограми.

Лазери прошивають калібровані отвори в надтвердих металах і алмазі; їх використовують у медицині - своєрідне зварювання тканин. Уможливлюється зв'язок на відстані, зокрема міжпланетний і навіть міжзоряний: за малої розбіжності пучка густина енергії потоку випромінювання зі зростанням відстані зменшується дуже повільно. Крім того, частота лазерного випромінювання дорівнює , що перевищує частоту радіозв'язку у раз. Стає можливим передавання по одному каналу величезного обсягу інформації, наприклад, десятки тисяч звукових і сотні телевізійних програм одночасно.

Тема: Хвилі де Бройля

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля л для двох випадків: 1) ; 2) .

Розв'язання. Довжина хвилі де Бройля л частинки залежить від її імпульсу р і визначається формулою:



. (1)

Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Ек. Зв'язок імпульсу з кінетичною енергією для нерелятивістського (коли ) і релятивістського () випадків відповідно виражається формулами:

; (2)

. (3)

Формула (1) з урахуванням співвідношень (2) і (3) запишеться відповідно у нерелятивістському та релятивістському випадках:

; (4)

. (5)

Порівняємо кінетичні енергії електрона, який пройшов задану в умові задачі різницю потенціалів і , з енергією спокою електрона і в залежності від цього вирішимо питання, яку з формул (4), (5) слід застосувати для обчислення довжини хвилі де Бройля.

Як відомо, кінетична енергія електрона, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів U, дорівнює:



.

У першому випадку , що набагато менша від енергії спокою електрона . Тобто, можна застосувати формулу (4).

Для спрощення розрахунків відмітимо, що . Підставивши цей вираз у формулу (4), перепишемо її у вигляді:

.

Врахувавши, що є комптонівська довжина хвилі лс, одержимо:

.

Так як , то

.

У другому випадку кінетична енергія дорівнює , тобто рівна енергії спокою електрона. Отже, необхідно застосувати релятивістську формулу (5).

Врахувавши, що , за формулою (5) знайдемо:



, або .

Підставивши значення лс в останню формулу і провівши обчислення, одержимо:

.

Приклад 2. На вузьку щілину шириною направлений паралельний пучок електронів, що мають швидкість . Враховуючи хвильові властивості електронів, визначити відстань х між двома максимумами інтенсивності першого порядку в дифракційній картині, одержаній на екрані, віддаленому на від щілини.

Розв'язання. Згідно гіпотезі де Бройля, довжина хвилі л, яка відповідає частинці масою т, що рухається зі швидкістю v, виражається формулою:

. (1)

Дифракційний максимум при дифракції на одній щілині спостерігається за умови:

, (2)

де k = 0, 1, 2, 3, ... - порядковий номер максимумів; а - ширина щілини.

Для максимумів першого порядку (k = 1) кут ц малий, тому sinц = ц, а, отже, формула (2) набуде вигляду:

; (3)

шукана величина х, як випливає з рис.1:

, (4)

оскільки tgц = ц.

Підставивши значення ц із співвідношення (3) у формулу (4), отримаємо:

.

Підстановка в останню рівність довжини хвилі де Бройля за формулою (1) дає:

. (5)

Після обчислення за формулою (5) одержимо:

.

Приклад 3. На грань кристала нікелю падає паралельний пучок електронів. Кристал повертають так, що кут ковзання и змінюється. Коли цей кут дорівнює 64°, спостерігається максимальне віддзеркалення електронів, відповідне дифракційному максимуму першого порядку (відстань d між атомними площинами кристала рівною 200 пм). Визначити довжину хвилі де Бройля л електронів та швидкість .

Розв'язання. До розрахунку дифракції електронів від кристалічної решітки застосовується те ж рівняння Вульфа-Брегга, яке використовується у разі рентгенівського випромінювання:

,

де d - відстань між атомними площинами кристала; и - кут ковзання; k - порядковий номер дифракційного максимуму; л - довжина хвилі де Бройля. Очевидно, що

.

Підставивши в цю формулу значення величин і обчисливши, одержимо

.

З формули довжини хвилі де Бройля

,

виразимо швидкість електрона:

.

Підставивши в цю формулу значення р, h, т (маса електрона), л і провівши обчислення, знайдемо

.

Задачі для самостійного розв'язування та домашнього завдання

Хвилі де Бройля

Визначити довжину хвилі де Бройля, що характеризує хвильові властивості електрона, якщо його швидкість . Зробити такий же підрахунок для протона.

Електрон рухається зі швидкістю . Визначити довжину хвилі де Бройля, враховуючи зміну маси електрона залежно від швидкості.

Яку прискорюючу різницю потенціалів U повинен пройти електрон, щоб довжина хвилі де Бройля дорівнювала 0,1 нм?

Визначити довжину хвилі де Бройля електрона, якщо його кінетична енергія .

Знайти довжину хвилі де Бройля протона, що пройшов прискорюючу різницю потенціалів U: 1) 1 кВ; 2) 1 MB.

Знайти довжину хвилі де Бройля для електрона, що рухається по круговій орбіті атома водню, що знаходиться в основному стані.

Визначити довжину хвилі де Бройля електрона, що знаходиться на другій орбіті атома водню.

З якою швидкістю рухається електрон, якщо довжина хвилі де Бройля електрона дорівнює його комптонівській довжині хвилі ?

Визначити довжину хвилі де Бройля електронів, бомбардуючих антикатод рентгенівської трубки, якщо межа суцільного рентгенівського спектра припадає на довжину хвилі .

Електрон рухається по колу радіусом в однорідному магнітному полі з індукцією . Визначити довжину хвилі де Бройля електрона.

На грань деякого кристала під кутом до її поверхні падає паралельний пучок електронів, що рухаються з однаковою швидкістю. Визначити швидкість електронів, якщо вони зазнають інтерференційне віддзеркалення першого порядку. Відстань d між атомними площинами кристалів дорівнює 0,2 нм.

Паралельний пучок електронів, рухаючись з однаковою швидкістю , падає нормально на діафрагму з довгою щілиною шириною . Проходячи через щілину, електрони розсіюються і утворюють дифракційну картину на екрані, розташованому на відстані від щілини і паралельному площині діафрагми. Визначити лінійну відстань х між першими дифракційними мінімумами.

Вузький пучок електронів, що пройшли прискорюючу різницю потенціалів U=30 кВ, падає нормально на тонкий лист золота, проходить через нього і розсіюється. На фотопластині, розташованій за листком на відстані від нього, отримана дифракційна картина, що складається з круглої центральної плями і ряду концентричних кіл. Радіус першого кола . Визначити: 1) кут віддзеркалення електронів від мікрокристалів золота, відповідний першому колу (кут вимірюється від поверхні кристала); 2) довжину хвилі де Бройля електронів; 3) постійну a кристалічної решітки золота.

Тема: Рівняння Шредінгера

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Електрон знаходиться в нескінченно глибокому одновимірному прямокутному потенційному ящику шириною l. Обчислити вірогідність того, що електрон, який знаходиться у збудженому стані (п = 2), буде виявлений у середній третині ящика.

Розв'язання. Вірогідність W виявити частинку в інтервалі х1<х<х2 визначається рівністю:

, (1)

де шn (х) - нормована власна хвильова функція, що відповідає даному стану.

Нормована власна хвильова функція, що описує стан електрона в потенційному ящику, має вигляд:

.

Збудженому стану (п = 2) відповідає власна функція:

. (2)

Підставивши у підінтегральний вираз формули (1) і виносячи постійні величини за знак інтеграла, одержимо:

. (3)

Згідно з умовою завдання, х1 = 1/3l і х2 = 2/3l (рис. 1). Підставимо ці межі інтегрування у формулу (3), здійснимо заміну і розіб'ємо інтеграл на два:

Відмітивши, що , a , отримаємо:

W = 0,195.

Приклад 2. Моноенергетичний потік електронів (Е = 100 еВ) падає на низький прямокутний потенційний бар'єр нескінченної ширини (рис. 2). Визначити висоту потенційного бар'єра U, якщо відомо, що 4% падаючих на бар'єр електронів відображається.

Розв'язання. Коефіцієнт відбивання с від низького потенційного бар'єра виражається формулою:

,



де k1 і k2 - хвильові числа, що відповідають руху електронів в областях І і ІІ (див. рис.2).

В області І кінетична енергія електрона дорівнює Е і хвильове число

.

Оскільки координата електрона не визначена, то імпульс електрона визначається точно і, отже, в даному випадку можна говорити про точне значення кінетичної енергії.

У області II кінетична енергія електрона дорівнює Е - U, і хвильове число

.

Коефіцієнт відбивання може бути записаний у вигляді:

.

Розділимо чисельник і знаменник дробу на :

.

Вирішуючи рівняння щодо , одержимо:

.

Піднесемо обидві частини рівності до квадрата, знайдемо висоту потенційного бар'єра:

.

Підставивши сюди значення величин і провівши обчислення, знайдемо:

U = 55,6 еВ.

Приклад 3. Електрон з енергією Е = 4,9 еВ рухається в позитивному напрямі осі X (рис. 3). Висота U потенційного бар'єра становить 5 еВ. При якій ширині d бар'єра вірогідність W проходження електрона через нього буде становити 0,2?



Розв'язання. Вірогідність W проходження частинки через потенційний бар'єр за своїм фізичним сенсом співпадає з коефіцієнтом прозорості D (W = D). Тоді вірогідність того, що електрон пройде через прямокутний потенційний бар'єр, виразиться співвідношенням:

, (1)

де m - маса електрона. Потенціюючи цей вираз, одержимо:

.

Для зручності обчислень змінимо знак у правій і лівій частині цієї рівності і знайдемо d:

.

Усі величини виразимо в одиницях СІ і проведемо обчислення:

d = 4,95·10-10м = 0,495нм.

Враховуючи, що формула (1) наближена і обчислення носять оцінюючий характер, можна прийняти, що

.

Задачі для самостійного розв'язування та домашнього завдання

Рівняння Шредінгера

Написати рівняння Шредінгера для електрона, що знаходиться у воднеподібному атомі.

Написати рівняння Шредінгера для лінійного гармонійного осцилятора. Врахувати, що сила, що повертає частинку в положення рівноваги, дорівнює (де - коефіцієнт пропорційності, х - зсув).

Тимчасова частина рівняння Шредінгера має вигляд . Знайти рішення рівняння.

Написати рівняння Шредінгера для вільного електрона, що рухається в позитивному напрямі осі X зі швидкістю . Знайти розв'язок цього рівняння.

Чому при фізичній інтерпретації хвильової функції говорять не про саму -функцію, а про квадрат її модуля ?

Чим обумовлена вимога скінченності -функції?

Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів має вигляд . Обґрунтувати, виходячи з цього рівняння, вимоги, що пред'являються до хвильової функції, - її безперервність і безперервність першої похідної від хвильової функції.

Чи може бути більшим від одиниці?

Показати, що для - функції виконується рівність , де означає функцію, комплексно пов'язану з .

Довести, що якщо - функція циклічно залежить від часу (тобто ), то густина ймовірності є функція тільки координати.

Тема: Постулати Бора. Квантові числа в атомі.

Періодична система елементів Д.І. Менделєєва

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Обчислити радіус першої орбіти атома водню (борівський радіус) і швидкість електрона на цій орбіті.

Розв'язок. Згідно теорії Бора, радіус r електронної орбіти і швидкість електрона на ній пов'язані рівністю:

.

Оскільки в завданні потрібно визначити величини, що відносяться до першої орбіти, то головне квантове число п = 1 і рівність набуде вигляду:

. (1)

Для визначення двох невідомих величин r і необхідне ще одне рівняння. Як друге рівняння використаємо рівняння руху електрона. Згідно теорії Бора, електрон обертається навколо ядра. При цьому сила взаємодії між електричними зарядами ядра і електрона надає електрону доцентрового прискорення. На підставі другого закону Ньютона можемо записати:



(тут e i m - заряд і маса електрона), або

. (2)

Розв'язавши систему рівнянь (1) і (2) щодо r , маємо:

.

Підставивши сюди значення h, е, m і провівши обчислення, знайдемо борівський радіус:

.

З рівності (1) одержимо вираз швидкості електрона на першій орбіті:

.

Провівши обчислення за цією формулою, знайдемо:

.

Приклад 2. Визначити енергію е фотона, що відповідає другій лінії в першій інфрачервоній серії (серії Пашена) атома водню.



Розв'язання. Енергія е фотона, випромінюваного атомом водню під час переходу електрона з однієї орбіти на іншу, дорівнює:

,

де Еi - енергія іонізації атома водню; n1 = 1,2,3... - номер орбіти, на яку переходить електрон (рис. 4); n2 = n1+1; n1+2; ...; n1+m - номер орбіти, з якої переходить електрон; т - номер спектральної лінії в даній серії. Для серії Пашена n1 = 3; для другої лінії цієї серії т = 2, п2 = n1+т = 3+2 = 5. Підставивши числові значення, знайдемо енергію фотона:

е = 0,97eВ.

Задачі для самостійного розв'язування та домашнього завдання

Атом водню за теорією Бора

Визначити швидкість електрона на другій орбіті атома водню.

Визначити частоту обертання електрона на другій орбіті атома водню.

Визначити потенційну П, кінетичну Т і повну Е енергії електрона, що знаходиться на першій орбіті атома водню.

Визначити довжину хвилі , що відповідає третій спектральній лінії в серії Бальмера.

Знайти найбільшу і найменшу довжини хвиль у першій інфрачервоній серії спектра водню (серії Пашена).

Обчислити енергію фотона, що випускається під час переходу електрона в атомі водню з третього енергетичного рівня на перший.

Визначити найменшу і найбільшу енергії фотона в ультрафіолетовій серії спектра водню (серії Лаймана).

Атомарний водень, збуджений світлом певної довжини хвилі, при переході в основний стан випускає тільки три спектральні лінії. Визначити довжини хвиль цих ліній і вказати, яким серіям вони належать.

Фотон з енергією =16,5еВ вибив електрон з незбудженого атома водню. Яку швидкість v матиме електрон далеко від ядра атома?

Обчислити довжину хвилі , яку випускає іон гелію Не+ при переході з другого енергетичного рівня на перший. Зробити такий же підрахунок для іона літію Li++.

Знайти енергію Eі і потенціал Uі іонізації іонів Не+ і Li++.

Обчислити частоти і обертання електрона в атомі водню на другій і третій орбітах. Порівняти ці частоти з частотою випромінювання під час переходу електрона з третьої на другу орбіту.

Атом водню в основному стані поглинув квант світла з довжиною хвилі = 121,5 нм. Визначити радіус електронної орбіти збудженого атома водню.

Визначити перший потенціал Ul збудження атома водню.

Тема: Характеристичне рентгенівське випромінювання

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Визначити довжину хвилі та енергію фотона Кб-лінії рентгенівського спектра, що випромінюється вольфрамом при бомбардуванні його швидкими електронами.

Розв'язання. При бомбардуванні вольфраму швидкими електронами виникає рентгенівське випромінювання, що має лінійчатий спектр. Швидкі електрони, проникаючи всередину електронної оболонки атома, вибивають електрони, що належать електронним шарам. Найближчий до ядра електронний шар (К-шар) містить два електрони. Якщо один з цих електронів виявляється вибитим за межі атома, то на місце, що звільнилося, переходить електрон з шарів (L, М, N), які розміщені вище. При цьому виникає відповідна лінія К-серії. Під час переходу електрона з L-шару на К-шар випромінюється найбільш інтенсивна Кб- лінія рентгенівського спектра (рис. 5).

Довжина хвилі цієї лінії визначається за законом Мозлі:

, звідки



Підставивши сюди значення Z (для вольфраму Z = 74) і R', знайдемо:

.

Знаючи довжину хвилі, визначимо енергію фотона за формулою:

.

Підставивши в цю формулу значення , с, і провівши обчислення, знайдемо:

=54,4 кеВ.

Задачі для самостійного розв'язування та домашнього завдання

Яку найменшу напругу треба прикласти до рентгенівської трубки, щоб отримати всі лінії К- серії, якщо за матеріал взяти: 1) мідь, 2) срібло, 3) вольфрам та 4) платину?

Враховуючи, що формула Мозлі з достатнім степенем точності дає зв'язок між частотою характеристичних рентгенівських променів та порядковим номером елемента, з якого зроблено антикатод, знайти найбільшу довжину хвилі К- серії рентгенівських променів, які дає трубка з антикатодом із: 1) заліза, 2) міді, 3) молібдену, 4) срібла, 5) танталу, 6) вольфраму, 7) платини. Для К- серії постійна екранування дорівнює одиниці.

Знайти постійну екранування для L- серії рентгенівських променів, якщо відомо, що при переході електрона в атомі вольфраму з М- шару на L- шар випромінюються рентгенівські промені з довжиною хвилі = 1,43 Е.

При переході електрона в атомі з L- шару на К- шар випромінюються рентгенівські промені з довжиною хвилі 0,788 Е. Який це атом? Для К- серії постійна екранування дорівнює одиниці.

Повітря в деякому об'ємі V опромінюється рентгенівськими променями. Доза випромінювання дорівнює 4,5 Р. Знайти, яка доля атомів, які знаходяться в даному об'єкті, буде іонізована цим випромінюванням.

Рентгенівська трубка створює на деякій відстані потужність дози Ре = 2,5810-5 А/кг. Яке число N пар іонів в одиницю часу утворює ця трубка на одиницю маси повітря на даній відстані?

Повітря, яке знаходиться при нормальних умовах в іонізаційній камері об'ємом в 6 см3, опромінюється рентгенівськими проміннями. Потужність дози рентгенівського проміння дорівнює 0,48 мР/год. Знайти іонізаційний струм насичення.

Знайти для алюмінію товщину х1/2 шару половинного послаблення для рентгенівських променів деякої довжини хвилі. Масовий коефіцієнт поглинання алюмінію для цієї довжини хвилі м = 5,3 м2/кг.

У скільки разів зменшиться інтенсивність рентгенівських променів з довжиною хвилі = 20 пм при проходженні шару заліза товщиною d = 0,15 мм? Масовий коефіцієнт поглинання заліза для цієї довжини хвилі м = 1,1 м2/кг.

Знайти товщину шару х1/2 половинного послаблення для заліза в умовах попередньої задачі.

У нижче поданій таблиці приведено для деяких матеріалів значення товщини шару х1/2 половинного послаблення рентгенівських променів, енергія яких W = 1 МеВ. Знайти лінійне та масовий м коефіцієнти поглинання цих матеріалів для даної енергії рентгенівських променів. Для якої довжини хвилі рентгенівських променів отримано ці дані?

Речовина	Вода	Алюміній	Залізо	Свинець
х1/2, см	10,2	4,5	1,56	0,87

Скільки шарів половинного послаблення необхідно для зменшення інтенсивності рентгенівських променів у 80 разів?

ПЕРЕЛІК КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ ДРУГОГО ЗМІСТОВОГО МОДУЛЯ

Необхідно зрозуміти:

Корпускулярно-хвильовий дуалізм, який було виявлено у світлових хвиль, притаманний і частинкам речовини.

Хвильові властивості притаманні будь-якому матеріальному об'єкту, що має масу і рухається. Однак від його характеристик залежить, чи проявляються хвильові властивості чи не проявляються.

Хвильові властивості притаманні не тільки потоку електронів, а й кожному електрону зокрема.

Співвідношення невизначеностей обмежують застосовність понять класичної фізики про координату та імпульс до мікрочастинок.

Зі співвідношень невизначеностей випливає, що стан мікрооб'єкта необхідно описувати за допомогою хвильової функції.

У квантовій фізиці існує межа точності вимірювань. Вона стосується природи речей, і її не можна перевищити ніяким удосконаленням приладів і методів вимірювань.

Стан частинки задається хвильовою функцією, визначеною в усіх точках простору і в кожен момент часу.

Рівняння Шредінгера постулюється і доводиться здобутими в атомній та ядерній фізиці результатами дослідів.

Рівняння Шредінгера описує зміни з часом стану квантового об'єкта і математично подає корпускулярно-хвильовий дуалізм.

Хвильова функція має бути неперервною і мати неперервну першу похідну, однозначну і скінченну в усіх точках простору.

Енергія вільної частинки має суцільний спектр.

Енергія частинки, яка перебуває в потенціальній «ямі», дискретна.

Зі збільшенням головного квантового числа частинки в потенціальній «ямі» дістаємо класичні результати, тобто енергетичний спектр стає суцільним.

Хвильові властивості лінійного гармонічного осцилятора спричиняють квантування його енергії.

Квантова частинка може перебувати в області, де її повна енергія менша за потенціальну.

Квантування енергії та моменту імпульсу в теорії Бора постулюється.

Теорія Бора пояснює стійкість атома; умови, при яких атом випромінює; чому спектр випромінювання атома лінійчатий.

Теорія Бора дає змогу визначити радіуси орбіт електронів в атомі, енергію стаціонарного стану електрона в атомі, довести серійну формулу Бальмера-Рітца.

Недоліком теорії Бора є її внутрішня суперечливість: на базі квантових постулатів рух електрона в атомі розглядається з класичного погляду.

Квантування енергії та моменту імпульсу електрона в теорії Бора постулюється. У квантовій механіці цей висновок випливає із розв'язання рівняння Шредінгера.

У квантовій механіці говорити про орбіти електрона можна лише наближено. Однак поняття моменту імпульсу як точної характеристики певного стану зберігає своє значення.

Орбіти Бора електрона являють собою геометричне місце точок, в яких з найбільшою ймовірністю може перебувати електрон.

Стан електрона в атомі задається квантовими числами, які випливають із розв'язку рівняння Шредінгера.

У квантовій механіці дискретних значень набуває не тільки модуль орбітального моменту імпульсу, а й напрям його у просторі.

У квантовій механіці знайдено ще одну (окрім маси і заряду) внутрішню характеристику електрона: власний момент імпульсу - спін. Його модуль і напрям у просторі набувають дискретних значень.

Енергія електрона в одноелектронному атомі, наприклад, атомі водню, залежить тільки від головного квантового числа. У багатоелектронних атомів енергетичний стан електрона визначається всіма чотирма квантовими числами.

Залежність енергії електрона від магнітного квантового числа виявляється тоді, коли випромінювальний атом перебуває в магнітному полі.

Енергія електрона залежить і від його власного моменту імпульсу, тобто спіна.

Характеристичне рентгенівське випромінювання утворюється внаслідок переходів електронів внутрішніх заповнених атомних оболонок.

Принцип дії лазерів ґрунтується на теорії індукованого випромінювання.

Суцільні спектри випромінюють нагріті тверді тіла і рідини, лінійчаті - атоми газів, смугасті - молекули газоподібних речовин.

Слід запам'ятати:

Квадрат модуля амплітуди хвилі де Бройля визначає ймовірність того, що деяка кількість частинок перебуває в даному об'ємі простору.

Уявлення про траєкторію руху частинки не має сенсу. Можна говорити лише про ймовірність, з якою вона перебуває в тому чи іншому місці простору.

У макроскопічних масштабах прояв співвідношень невизначеностей неістотний. Тому макроскопічні тіла завжди рухаються по траєкторіях.

Формули:

-- довжина хвилі де Бройля;

-



-- співвідношення невизначеностей Гейзенберга для енергії та часу.

Рівняння для визначення ймовірності перебування частинки в об'ємі простору.

Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера.

Імовірність визначення частинки в інтервалі координат від до .

Область руху вільної частинки нескінченно велика.

Рівняння Шредінгера для частинки в потенціальній «ямі» і власні значення енергії частинки.

Принцип відповідності Бора.

Енергія лінійного гармонічного осцилятора може змінюватися тільки порціями .

Енергія лінійного гармонічного осцилятора не може дорівнювати нулю.

Тунельний ефект - квантове явище, зумовлене тим, що не можна водночас точно визначити кінетичну і потенціальну енергію частинки.

Формулювання постулатів Бора.

Формули:

- серійна формула Бальмера-Рітца;

- правило частот Бора;

- радіус стаціонарних орбіт електрона в атомі;

- енергія стаціонарних станів електрона в атомі;

В - перший потенціал іонізації атома;

м - стала Рідберга.

Згідно з квантовою механікою, стан електрона в атомі визначається дискретним значенням чотирьох квантових фізичних величин: енергії, орбітального моменту імпульсу, проекції орбітального моменту імпульсу на напрям зовнішнього магнітного поля, проекції спінового моменту імпульсу на напрям зовнішнього магнітного поля.

Як згідно з квантовою механікою утворюються серії у спектрі випромінювання атома водню.

Значення і фізичний зміст чотирьох квантових чисел.

Принцип Паулі.

Правило добору для орбітального квантового числа.

У магнітному полі енергетичні рівні електрона розщеплюються на стільки підрівнів, скільки значень може мати магнітне квантове число, яке відповідає певному орбітальному квантовому числу. Таким розщепленням енергетичного рівня зумовлюється розщеплення спектральної лінії, якщо випромінювальний атом перебуває в магнітному полі. Це явище називається ефектом Зеємана.

Про залежність енергії електрона від власного моменту імпульсу (спіна) свідчить існування жовтого дублета у спектрі випромінювання натрію.

Механізм утворення характеристичних рентгенівських спектрів.

Закон Мозлі і його практичне застосування.

Визначення спонтанного і вимушеного випромінювань.

Чим інверсний стан речовини відрізняється від основного.

Особливості лазерного випромінювання.

Треба вміти:

Сформулювати і пояснити гіпотезу де Бройля.

Розкрити фізичний зміст хвиль де Бройля.

Пояснити результати дослідів Девісона і Джермера.

Записати і пояснити фізичний зміст співвідношень невизначеностей Гейзенберга.

Записати і пояснити фізичне значення умови нормування хвильової функції.

Перейти від загального рівняння Шредінгера до рівняння для стаціонарних станів.

Дати визначення принципу причинності.

Записати рівняння Шредінгера для вільної частинки, визначити хвильове число і повну енергію частинки.

Записати рівняння Шредінгера для частинки в потенціальній «ямі», повну енергію частинки.

Пояснити, як визначається положення електрона всередині потенціальної «ями» і графічно показати розподіл імовірності перебування електрона всередині цієї «ями».

Записати рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора і його розв'язок для власних значень енергії, проаналізувати їх.

Дати визначення явища тунельного ефекту, пояснити його. Намалювати потенціальний бар'єр і вигляд хвильової функції.

Пояснити досліди Франка і Герца.

Довести рівняння для визначення радіусів стаціонарних орбіт, енергії стаціонарних станів електрона в атомі, серійну формулу Бальмера-Рітца.

Пояснити, користуючись теорією Бора, утворення серій у спектрі випромінювання атома водню.

Визначити дискретні значення фізичних величин, які характеризують стан електрона в атомі.

Охарактеризувати основний стан атома водню згідно з квантовою механікою.

Формулювати принцип Паулі і визначати кількість електронів, які мають однакові значення одного, двох, трьох і чотирьох квантових чисел.

Визначити кількість електронів, якими заповнено електронні оболонки L, M, N, О.

Записати і пояснити, що таке електронна конфігурація.

Сформулювати і пояснити просторове квантування.

Пояснити результати дослідів Штерна і Герлаха.

Пояснити будову періодичної системи елементів Д.І.Менделєєва.

Пояснити сутність ефекту Зеємана.

Пояснити утворення жовтого дублета в спектрі випромінювання натрію.

Спираючись на закон Мозлі, визначити порядковий номер елемента в таблиці Менделєєва, якщо відома довжина хвилі характеристичного рентгенівського випромінювання цього елемента.

Пояснити принцип дії і будову лазера, його практичне застосування.

Пояснити утворення спектрів молекул.

Питання для самоконтролю другого змістового модуля

Хвильові властивості речовини
Досліди Девісона і Джемера
Дифракція електронів
Хвилі де Бройля
Ефект Рамзауера
Співвідношення невизначеностей Гейзенберга
Хвильова функція, її фізичний зміст
Рівняння Шредінгера
Квантування енергії частинки
Квантування енергії лінійного гармонічного осцилятора
Тунельний ефект
Модель атома за Томсоном
Дослід Резерфорда
Модель атома за Резерфордом
Модель атома Бора
Досліди Франка і Герца
Спектральні серії атома водню
Формула Бальмера-Рітца
Радіус, швидкість та енергія n- орбіти атома водню
Квантові числа в атомі
Досліди Штерна і Герлаха
Спін і магнітний момент електрона
Принцип Паулі
Електронні шари складних атомів
Періодична система елементів Д.І. Менделєєва
Природа характеристичних рентгенівських променів
Закон Мозлі
Валентність та хімічний зв'язок
Енергія і спектри молекул
Комбінаційне розсіювання світла
Люмінесценція
Спонтанне та індуковане випромінювання
Квантові генератори (лазери), їх застосування

Банк завдань до другого змістового модуля

Рівняння Шредінгера. Атом водню за Бором. Закон Мозлі

Задачі

Вважаючи, що невизначеність координати електрона в основному стані атома водню дорівнює радіусу першої борівської орбіти, знайти невизначеність швидкості електрона в цьому стані і порівняти її зі швидкістю електрона на першій борівській орбіті.

Вважаючи, що кінетична енергія електрона в основному стані атома водню невизначена у межах від 0 до 10 еВ, знайти невизначеність координати електрона в цьому стані і порівняти її з радіусом першої борівської орбіти.

Пучок електронів, прискорених різницею потенціалів 1000 В на виході з електронної пушки, має поперечний розмір 0,2 мм. Використовуючи співвідношення невизначеностей координати та імпульсу, оцінити поперечний розмір пучка на відстані 10 м.

Електрон знаходиться в дуже маленькій металевій кулі діаметром 0,5 мкм при температурі 27?С. Оцінити відносну неточність (у відсотках), з якою може бути визначена швидкість електрона.

Електрон із середньою кінетичною енергією 15 еВ знаходиться в дуже маленькій металевій кулі діаметром 1 мкм. З якою взагалі точністю ?Ек можна говорити про його кінетичну енергію?

У скільки разів дебройлівська довжина хвилі частинки менша від невизначеності її координати, якщо відносна невизначеність імпульсу складає 2%?

Знайти невизначеність координати протону, який має кінетичну енергію 100 еВ, а невизначеність його швидкості складає 5%.

Яка буде відносна невизначеність імпульсу (p/p) деякої частинки, якщо невизначеність координати цієї частинки дорівнює довжині її хвилі де Бройля?

Знайти невизначеність координати частинки, що має довжину хвилі де Бройля 100 ?. Невизначеність швидкості частинки складає 4%.

З якою точністю можна стверджувати про швидкість протона в атомному ядрі (r~10-15м) згідно співвідношенню невизначеностей координати та імпульсу?

Використовуючи співвідношення невизначеностей для енергії та часу, оцінити відносне розширення спектральної лінії, якщо час життя атома у збудженому стані t 10-8с, а довжина хвилі фотона, що випромінюється, 0,6 мкм.

Оцінити час життя атома у збудженому стані t, якщо відносне розширення спектральної лінії 0,54 мкм завдяки невизначеності енергії та часу складає 0,5%.

Використовуючи співвідношення невизначеностей для енергії та часу, оцінити ширину спектральної лінії, якщо час життя атома у збудженому стані t 3·10-8с.

Використовуючи співвідношення невизначеностей для енергії та часу оцінити невизначеність маси фотона, що випромінюється, коли час життя атома у збудженому стані t 2·10-8с.

Оцінити час життя атома у збудженому стані t, якщо відносна невизначеність маси фотонів (m/m), що відповідають спектральній лінії 0,35 мкм, завдяки невизначеності енергії та часу складає 0,3%.

Електрон знаходиться в потенціальному ящику шириною 5 ?. Знайти повну енергію електрона на трьох перших енергетичних рівнях.

Частинка знаходиться в потенціальному ящику. Знайдіть вираз для відносної різниці енергій сусідніх енергетичних рівнів (). Проаналізуйте отриману функцію для n від 1 до ?.

Частинка знаходиться в потенціальному ящику. У скільки разів енергія третього (n 3) стану більша від енергії другого (n 2) стану?

Частинка знаходиться в потенціальному ящику. У скільки разів енергія другого (n 2) стану більша від енергії основного стану?

Частинка знаходиться в потенціальному ящику. У скільки разів енергія збудження у третій (n 3) енергетичний стан з основного стану більша від енергії збудження у другий (n 2) стан?

Частинка знаходиться в потенціальному ящику. Знайти відношення енергії збудження у третій (n 3) енергетичний стан з другого (n 2) стану до енергії збудження у другий (n 2) стан з основного стану?

Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в основному стані. У яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки максимальна?

Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в основному стані. У яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки мінімальна?

Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в найнижчому збудженому стані. У яких точках ящика густина ймовірності знаходження частинки максимальна?

Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в найнижчому збудженому стані. У яких точках ящика густина ймовірності знаходження частинки мінімальна?

Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в третьому (n 3) енергетичному стані. У яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки максимальна?

Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в третьому (n 3) енергетичному стані. У яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки мінімальна?

Частинка знаходиться в потенціальному ящику. Знайдіть точки (0<x<l), в яких густина імовірності знаходження частинки в основному і другому (n 2) енергетичних станах однакова. Розв'язок пояснити графічно.