Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Теоретическая часть
• 1. Статика
• 1.1 Типы связей и реакций связей
• 1.2 Принцип освобождаемости от связей
• 1.3 Пара сил. Момент силы относительно точки
• 1.4 Теорема Пуансо
• 1.5 Теорема Вариньона
• 2. Кинематика
• 2.1 План скоростей
• 2.2 Мгновенный центр скоростей (МЦС). Примеры определения МЦС
• 2.3 Поступательное движение твердого тела (скорость и ускорение точки)
• 2.4 Вращательное движение твердого тела (скорость и ускорение точки)
• 2.5 Передаточные механизмы
• 3. Динамика
• 3.1 Сила инерции материальной точки.
• 3.2 Принцип Даламбера
• 3.3 Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду

Теоретическая часть

1. Статика

1.1 Типы связей и реакций связей

1.2 Принцип освобождаемости от связей

Принцип освобождаемости от связей: несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие реакциями. В статике этот принцип позволяет рассматривать равновесие несвободного твердого тела как свободного под действием активных (заданных) сил и реакций связей.

Приведенная аксиома дает возможность применить к несвободному телу условия равновесия, справедливые для свободного тела. Для этого следует мысленно отбросить связи, наложенные на тело, заменив их действие соответствующими силами, равными реакциям связей. Затем нужно рассмотреть равновесие несвободного тела как тела свободного, находящегося под действием активных сил и реакций, связей.

Определение модулей и направлений реакций связей имеет первостепенное практическое значение, так как согласно четвертой аксиоме, зная реакции, будем знать и силы давления на связи. А это, в свою очередь, позволит, пользуясь законами сопротивления материалов, рассчитать прочность конструкций или сооружений.

При решении некоторых задач о равновесии тела можно сразу указать направление реакций связей, поэтому остается определить модули реакций связей.

Во многих задачах статики для их упрощения условно пренебрегают силами трения между связью и телом. Связь в таких случаях считают идеально гладкой в отличие от реальной связи, в которой учитывается влияние сил трения.

Таким образом, различают связи без трения (идеальные) и связи с трением (реальные).

кинематический поступательный даламбер инерция



1.3 Пара сил. Момент силы относительно точки

Парой сил называются две параллельные силы, равные по модулю и противоположно направленные.

Рис.1

Свойства пары сил:

1. Пара сил не имеет равнодействующую, т.к. силы расположены на параллельных прямых.

2. Действие пары сил на тело не изменяется, если её перенести на какое-либо другое место на плоскости.

3. Две пары оказывают одинаковое действие на тело, если их моменты эквивалентны.

4. Проекции пары сил на две взаимоперпендикулярные плоскости равны.

Момент силы относительно точки - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. Момент создает вращение. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки, происходит по часовой стрелке. Момент силы относительно точки положителен, если сила поворачивает плечо против часовой стрелки.



Рис.2

Плечом называется расстояние между линией действия силы и точкой, взятой по перпендикуляру.

1.4 Теорема Пуансо

Основная теорема статики (теорема Пуансо) - произвольная система сил, приложенная к твердому телу, эквивалентна одной силе, приложенной в центре приведения и равной главному вектору, и одной паре сил, момент которой равен главному моменту относительно центра приведения:

Главным моментом системы сил относительно центра называют вектор, равный сумме моментов всех сил системы относительно центра.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный сумме всех сил системы

Доказательство теоремы: Пусть к твердому телу приложена произвольная система сил (F1, F2, ..., Fn). Какую либо точку тела выберем за центр приведения и обозначим буквой O. Силы системы переносим в эту точку и получаем систему пар сил и пучок сил в центре приведения. Складывая все силы пучка и пары сил, получаем одну силу в центре приведения и одну пару сил. Силы пучка по величине и направлению равны силам исходной системы, поэтому полученная сила равна главному вектору системы R. Моменты пар равны моментам соответствующих сил относительно центра O, поэтому момент полученной пары сил (F,F') равен главному моменту системы MO. Теорема доказана.

1.5 Теорема Вариньона

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона) - если система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно любого центра равен сумме моментов всех сил системы относительного того же центра.

Доказательство теоремы:

Рис.3

Отметим, что к равнодействующей приводятся система сходящихся сил и система параллельных сил, для которых главный момент равен нулю.

В общем случае к равнодействующей, не проходящей через центр приведения, приводится система сил, у которой главный вектор и главный момент взаимно ортогональны. Чтобы это показать, представим главный момент MO в виде пары (F,F'), лежащей в одной плоскости с главным вектором R (рис. 3 а). Пользуясь свойствами пары, трансформируем ее в пару (R*,R') , а затем повернем ее так, чтобы сила R' уравновесила главный вектор (рис. 3 b). Тогда останется одна сила R*, равная главному вектору по величине и направлению, но не проходящая через точку O (рис. 3 c). Момент равнодействующей относительно центра O равен моменту исходной пары, а он равен главному моменту или сумме моментов всех сил системы:

За центр приведения может быть выбрана любая точка тела, и поэтому выражения справедливы для любого центра, когда система сил приводится к равнодействующей. Так доказана теорема Вариньона в самом общем виде.

Выражения являются векторными для пространственной системы сил и алгебраическими для плоской системы сил, когда

где A - любая точка плоскости, где лежат силы.

Теорема Вариньона может быть распространена и на моменты относительно осей, например, для оси OZ, так как момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента относительно центра на оси:

Итак, произвольная система сил приводится к одной силе и паре сил, причем сила является статическим инвариантом системы сил. Эту же систему сил можно привести к динамическому винту, в котором сила и момент пары будут статическими инвариантами. Кроме того, произвольная система сил может быть представлена в простейшем виде, как две силы, не лежащие в одной плоскости.

В частных случаях, когда система сил приводиться к одной силе или равнодействующей, выполняется теорема Вариньона о моменте равнодействующей, справедливая для векторов-моментов, алгебраических моментов и моментов силы относительно оси.



2. Кинематика

2.1 План скоростей

Планом скоростей (ускорений) механизма называют чертеж, на котором изображенные в виде направленных отрезков векторы, которые в масштабе определяют модуль и направление скоростей (ускорений) разных точек звеньев для данного положения механизма. План скоростей (ускорений) механизма является совокупностью планов скоростей (ускорений) отдельных звеньев, которые построены из одного полюса, общего для всех звеньев.

Кинематический анализ механизма проводится в таком порядке:

- сначала определяются кинематические параметры начального звена;

- дальше выполняется кинематическое исследование отдельных структурных групп Ассура в последовательности их присоединения к начальному звену при образовании механизма. При этом, каждое звено механизма рассматривается как таковая, что осуществляет плоское движение; необходимо определить скорость и ускорение по меньшей мере двух ее точек. Этими точками являются центры шарниров вращательных пар и одноименные точки элементов поступательных кинематических пар. Как сказано, построение планов выполняется по структурным группам в порядке их присоединения, начиная с начального звена. В этом случае в каждой группе Ассура будут известные скорости и ускорения внешних кинематических пар, которыми присоединяется данная группа. Исследование каждой группы должно начинаться с определения кинематических параметров внутренней пары, которая является общей для звеньев, которые образуют эту пару. Потом, при потребности, определяются кинематические параметры других характерных точек группы и угловые скорости и ускорения звеньев.

Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.9). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить их концы прямыми, то получится картинка, которая называется планом скоростей. (На рисунке ).

Рис.4

Свойства плана скоростей.

а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендикулярны соответствующим прямым на плоскости тела.

Действительно,

.

Но на плане скоростей

.

Значит

причём перпендикулярна АВ, поэтому и . Точно так же и .

б) Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим отрезкам прямых на плоскости тела.

Так как

,

то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.

Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительно её на 90? по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.

2.2 Мгновенный центр скоростей (МЦС). Примеры определения МЦС

Теорема Эйлера-Шаля доказывает, что любое непоступательное перемещение фигуры в плоскости можно осуществить поворотом вокруг некоторого неподвижного центра. В соответствии с этим легко доказывается, что при плоскопараллельном движении в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нолю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В учебниках эту точку пишут с индексом V, например PV, CV.

При определении положения МЦС скорость любой точки может быть записана:

VM=VCV+VMCV,



где точка СV выбрана за полюс. Поскольку это МЦС и VCV=0 , то скорость любой точки определяется как скорость вращении вокруг мгновенного центра скоростей.

Из рис. 5 видно, что мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям точек, при этом всегда справедливо соотношение

Рис. 5

На нижеприведенных рисунках показаны примеры определения положения мгновенного центра скоростей и приведены формулы для расчета скоростей точек.



Рис.6

Для рисунка 6:

С_V совпадает с точкой В V_B=0. Шатун АВ вращается вокруг точки В

2.

3. МЦС лежит в «бесконечности»



4.

Рис.7

Рис.8

здесь V_B II V_A

В этом случае МЦС находится в «бесконечности», т.е.



Рис.9

Формулы справедливы при отсутствии проскальзывания в точке СV.

Рис.10



2.3 Поступательное движение твердого тела (скорость и ускорение точки)

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором прямая, проходящая через любые две точки в этом теле, будет оставаться параллельной своему первоначальному положению во все время движения. Заметим, что при этом траектории точек тела могут быть любыми и иметь форму прямой, окружности, пространственной кривой и т.д.

Примерами поступательного движения служат движения контактной рейки трамвайного пантографа относительно вагона, кабины колеса обозрения в парке относительно земли, ступеней эскалатора относительно пола в метро и т. д.

Свойства поступательного движения:

1) траектории всех точек тела, совершающего поступательное движение, конгруэнтны, т. е. одинаковы, и могут быть получены одна из другой параллельным переносом;

2) скорости всех точек тела одинаковы;

3) ускорения всех точек тела одинаковы.

Эти выводы можно подтвердить на основании следующего анализа. Для двух любых точек А и В тела, совершающего поступательное движение, можно записать соотношение , где АВ=const - вектор, имеющий постоянные модуль и направление во время движения, так что траектории точек А и В как годографы соответствующих радиус-векторов rA и rB оказываются смещенными в любой момент времени одна относительно другой на одну и ту же величину в одном и том же направлении, что и доказывает первое свойство.



Рис.11

Дифференцируя левую и правую части приведенного выше векторного соотношения и учитывая, что

Получаем

Дифференцируя по времени левую и правую части полученного соотношения для скоростей, находим

dVB/dt=dVA/dt,

или аB = аА.

На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод: чтобы задать движение и определить кинематические характеристики тела, совершающего поступательное движение, достаточно задать движение одной его любой точки (полюса) и найти ее кинематические характеристики.

Как и материальная точка, тело при его поступательном движении будет иметь одну степень свободы при движении по направляющей, задающей траекторию его точкам; две степени свободы в случае движения на плоскости (при постоянном контакте с ней хотя бы одной точкой) и три степени свободы в общем случае движения в пространстве.

2.4 Вращательное движение твердого тела (скорость и ускорение точки)

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь точки принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки, лежащие на оси так же неподвижны.

Чтобы определить положение вращающегося тела, введем две плоскости, проходящие через ось вращения (Рис.12) А - плоскость неподвижная; В - плоскость связанная с телом и вращающаяся с ним; DE - ось вращения, совпадающая с осью z.

Рис.12

Теперь в любой момент времени положение тела будет определяться углом между плоскостями А и В или углом поворота тела, положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Закон вращательного движения



Угол поворота обычно измеряют в радианах.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Если за промежуток времени

тело совершает поворот на угол

,

то средняя угловая скорость будет численно равна

Угловой скоростью тела в данный момент t называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость , если стремится к нулю.

Угловая скорость твердого тела является первой производной от угла поворота по времени.

Угловую скорость можно изображать вектором. Вектор угловой скорости направляют по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.

Если угловая скорость не является постоянной величиной, то вводят еще одну характеристику вращения - угловое ускорение.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени

угловая скорость получает приращение

,

то среднее угловое ускорение равно

Угловым ускорением твердого тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится при стремящемся к нулю

Как вектор, угловое ускорение направлен так же, как и , вдоль оси (Рис.13)

Рис.13

Если направление и совпадает, то вращение ускоренное, если противоположно, то замедленное.

Если

= const,

то вращение будет равномерным.

Найдем его закон. Так как

,

то, интегрируя при начальных условиях t = 0, = 0, получаем

Это и есть закон равномерного вращения.

В технике вращение характеризуют оборотами в минуту n [об/мин]. Угловая скорость и обороты в минуту n связаны следующим соотношением:

Если угловое ускорение тела все время остается постоянным, то вращение называют равнопеременным (= const).

Найдем закон вращения, если в начальный момент t = 0, = 0 и :

,

интегрируя получаем

Подставляем вместо правую часть, разделяем переменные и, вновь интегрируя, имеем

Это закон равнопеременного вращения.

Если и имеют один знак, то вращение равноускоренное. Если знаки разные - равнозамедленное. (Рис.13 а,б)

2.5 Передаточные механизмы

Передаточные механизмы передают движение от одного тела к другому. Параметры движения тел определяются с учетом параметров точек соприкосновения (зацепления) этих тел. На рисунке 14 (а, б, в, г) приведены различные схемы передачи движения от одного тела к другому.

Рис.14



На рисунках 14,а и 14,б зависимости угловых скоростей колес определяются из соотношения Vc=щ1? r1=щ2? r2, т.е.

щ1/щ2=r2/r1

На рисунке 14,а (внешнее зацепление) колёса вращаются в противоположные стороны, на рисунке 14,б (внутреннее зацепление) колеса вращаются в одну сторону.

На рисунке 14,в показана цепная (ременная) передача. Скорости точек A и B цепи должны быть равны соответственно скоростям точек A и B , принадлежащих шкивам:

VA=щ1? r1=VB=щ2?r2, щ1/щ2=r2/r1.

На рисунке 14,г поступательное движение стержня обеспечивает вращение колеса:

VA=VC=щ?r, щ=VA/r

Рис.15



На рисунке 15 изображена фрикционная передача: колесо 1, прижимаясь к торцу колеса 2 в точке C, обеспечивает его вращение вокруг вертикальной оси.

VC=щ1?r1=щ2?d, щ1/щ2=d/r1



3. Динамика

3.1 Сила инерции материальной точки

Материальная точка (тело) всегда оказывает сопротивление изменению состояния движения - изменению величины или направления скорости. Сила, с которой точка сопротивляется изменению движения, называется силой инерции материальной точки. Сила инерции направлена противоположно ускорению точки и равна массе, умноженной на ускорение. В криволинейном движении сила инерции состоит из двух составляющих: касательной, направленной противоположно скорости при ускоренном движении и по скорости при замедленном движении, и нормальной (центробежной), направленной противоположно центростремительному ускорению и равной массе, умноженной на центростремительное ускорение:

Qц = m*an.

Рис.16

В круговом движении точки центробежная сила инерции направлена по радиусу от центра (фиг. 48) и равна

Qц=mRщ2=0,00112GRn2 (G в кг, R в м, n в об/мин.)

В равномерном движении точки имеется только центробежная сила инерции. Сила инерции тела равна массе тела, умноженной на ускорение центра тяжести тела:

Q= m*ac.

Сила инерции тела = Масса *

Ускорение центра тяжести. Сила инерции вращающегося тела передается на подшипники, вызывая дополнительную нагрузку на них.

3.2 Принцип Даламбера

Важнейшим из принципов механики является принцип Даламбера. С принципом Даламбера тесно связан метод кинетостатики -- способ решения задач динамики, в котором динамические уравнения записываются в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики широко применяется в таких общеинженерных дисциплинах, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, в других областях прикладной механики. Принцип Даламбера результативно используется и внутри самой теоретической механики, где с его помощью созданы эффективные способы решения задач динамики.

Принцип Даламбера для материальной точки.

Пусть материальная точка массы m совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы Fa и реакции связи R (рис. 17).



Рис. 17.

Определим вектор

численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор Fu имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки.

Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.

Вспоминая из статики условие равновесия сходящихся сил, принцип Даламбера можем записать также в следующей форме:

Легко видеть, что принцип Даламбера эквивалентен основному уравнению динамики, и, наоборот, из основного уравнения динамики следует принцип Даламбера. Действительно, перенося в последнем равенстве вектор Fu в другую часть равенства и -Fu заменяя на ma, получаем основное уравнение динамики. Наоборот, перенося в основном уравнении динамики член та в одну сторону с силами и используя обозначение -ma= Fu, получаем запись принципа Даламбера.

Принцип Даламбера для материальной точки, будучи вполне эквивалентным основному закону динамики, выражает этот закон в совершенно иной форме -- в форме уравнения статики. Это дает возможность пользоваться при составлении уравнений динамики методами статики, что и называется методом кинетостатики.

Метод кинетостатики особенно удобен при решении первой задачи динамики.

Пример. Из наивысшей точки гладкого сферического купола радиуса R соскальзывает материальная точка М массы m с пренебрежимо малой начальной скоростью (рис. 18). Определить, в каком месте точка сойдет с купола.

Рис. 18.

Решение. Точка будет двигаться по дуге некоторого меридиана L. Пусть в некоторый (текущий) момент радиус ОМ составляет с вертикалью угол . Раскладывая ускорение точки, а на касательное ()и нормальное представим силу инерции точки также в виде суммы двух составляющих:

Касательная составляющая силы инерции имеет модуль =mdv/dt и направлена противоположно касательному ускорению, нормальная составляющая - модуль m/R и направлена противоположно нормальному ускорению.

Добавляя эти силы к фактически действующим на точку активной силе mg и реакции купола N, составляем уравнение кинетостатики

Проектируя это векторное уравнение на направления касательной и главной нормали, получаем два уравнения кинетостатики в скалярной форме:

Из второго уравнения находим

Реакция N окончательно найдется после того, как будет определена величина v и подставлена в это выражение.

Для определения v служит первое уравнение, которое является дифференциальным уравнением и требует интегрирования. Однако можно избежать интегрирования, если воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Применяя эту теорему для точки М на участке траектории и учитывая, что



T=m/2, =m/2=0, A=mgR(1-cos)

(работу совершает только сила тяжести), получаем:

Отсюда находим

и далее

В момент отделения от купола реакция N равна нулю. Следовательно, точка сойдет с купола при

3.3 Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду

Поступательное движение.

При поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся до одной равнодействующей, проходящей через центр масс тела, и равной по модулю произведению массы тела на модуль ускорения его центра масс и направленной противоположно этому ускорению.

Вращения вокруг центра масс нет, поэтому момент силы инерции равен нулю.

Вращательное движение тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси проходящей через центр масс тела, то силы инерции приводятся к одной паре сил, лежащей в плоскости перпендикулярной оси вращения.

Поскольку центр масс не движется, главный вектор сил инерции равен нулю.

Плоскопараллельное движение

При плоском движении тела система сил инерции приводится к силе, приложенной в центре масс тела и паре сил. Направление момента силы инерции противоположен угловому ускорению тела.

Размещено на Allbest.ru