В’язі. Плоска система сил. Умови рівноваги

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція

В'язі. Плоска система сил. Умови рівноваги

План

1. В'язі та реакції в'язей. Принцип звільнення

2. Момент сили відносно точки

3. Пара сил і момент пари. Властивості пари

4. Плоска системи сил

5. Умови рівноваги плоскої системи сил

1. В'язі та реакції в'язей. Принцип звільнення

У теоретичній механіці розрізняють вільні та невільні системи матеріальних точок, а також вільні й невільні тверді тіла.

Система матеріальних точок називається вільною, якщо на рух цих точок не накладено обмежень. В іншому випадку система є невільно.

Вязі - це обмеження, що накладаються на положення і швидкості точок тіла у просторі.

Сила, з якою тіло діє на в'язь, називається силою тиску; сила, з якою в'язь діє на тіло, називається силою реакції або просто реакцією. Згідно аксіоми взаємодії, ці сили рівні по модулю і діють по одній прямій у протилежні сторони. Сили реакції і тиску прикладені до різних тіл, тому не є системою сил.

Сили, що діють на тіло, поділяються на активні і реактивні. Активні сили намагаються переміщати тіло, до якого вони прикладені. Реактивні сили протидіють цьому переміщенню. Принципова різниця активних і реактивних сил - величина реактивних сил залежить від величини активних, але не навпаки. Активні сили називають навантаженнями.

При розв'язанні задач статики невільне тіло умовно зображають як вільне з допомогою принципу звільнення.

Принцип звільнення - всяке невільне тіло можна розглядати як вільне, якщо відкинути в'язі, замінивши їх реакціями.

У результаті використання цього принципу одержуємо тіло, що знаходиться під дією деякої системи активних і реактивних сил.

Правило для визначення напрямку реакції в'язі. Напрямок реакції в'язі протилежний напрямку переміщення, яке ця в'язь забороняє.

1. Ідеально гладка площина (рис. 2.1а). Реакція направлена перпендикулярно опорній площині в бік тіла, оскільки в'язь не дає тілу переміщатися у бік опорної площини

Якщо тіло знаходиться на похилій площині, то розклавши силу тяжіння на дві складові паралельну і перпендикулярну опорній площині, побачимо, що паралельна буде рухати тіло вздовж площини, а перпендикулярна притискати тіло до площини і зрівноважуватися реакцією .

2. Ідеально гладка поверхня (рис. 2.1б). Реакція направлена перпендикулярно дотичній площині, тобто по нормалі до опорної поверхні в бік тіла, так як нормаль, це єдиний напрямок переміщення тіла, який не дозволяє дана в'язь.

3. Закріплена точка або ребро кута (рис. 2.2, ребро В). Реакція направлена по нормалі до поверхні ідеально гладкого тіла в бік тіла, оскільки це єдиний напрямок, який не дозволяє дана в'язь.

4. Гнучка в'язь (рис. 2.2). Реакція не дає тілу відділятися від точки підвісу і тому направлена вздовж в'язі від тіла до точки підвісу.

а) б)

Рис. 2.1

У багатьох конструкціях застосовують вязі, які називають шарнірами.

5. Шарнір - це рухоме з'єднання двох тіл, що допускає тільки обертання навколо спільної осі (циліндричний шарнір) або спільної точки (шаровий шарнір). Використовують такі шарніри як опори балок.

Опори балок за їх будовою можна розділити на три основні типи (рис. 2.3):

- шарнірно-рухома опора (опора А);

- шарнірно-нерухома опора (опора В);

- жорстке закріплення або защемлення (опора С).

Рис. 2.3

Шарнірно-рухома опора допускає поворот навколо осі шарніра і лінійне переміщення паралельно опорній площині. Якщо знехтувати тертям на опорі і в шарнірі, то реакція такої в'язі буде направлена перпендикулярно опорній площині і невідома тільки за модулем (одна невідома).

Шарнірно-нерухома опора допускає тільки поворот навколо осі шарніра і не допускає ніяких лінійних переміщень. Реакція такої опори направлена перпендикулярно осі шарніра; модуль і напрям її невідомі (дві невідомі). При розв'язку задач таку реакцію розкладають на дві взаємно перпендикулярні складові, невідомі за модулем, але відомі за напрямом.

Жорстке закріплення (защемлення) не допускає ні лінійних переміщень, ні поворотів защемленого кінця балки. Жорстке защемлення замінюють реактивною силою, невідомою за модулем і напрямом, і реактивним моментом (три невідомих). Реактивну силу, невідому за напрямом, розкладають на дві взаємно перпендикулярні складові.

Якщо при розв'язку задач реактивна сила або реактивний момент одержують із від'ємним знаком, то дійсний їх напрям протилежний прийнятому на рисунку.

2. Момент сили відносно точки

Рис. 2.4 називається центром моменту.

Поняття моменту сили відносно точки ввів Леонардо да Вінчі.

Момент сили відносно точки - це добуток модуля сили на її плече (рис. 2.4)

Обертова дія сили характеризується моментом. Точка відносно якої береться момент,

Плече сили відносно точки - це найкоротша відстань від центра моменту до лінії дії сили. Одиниця вимірювання моменту сили Нм.

Правило знаків: момент сили додатний, якщо сила намагається обернути своє плече навколо центра моменту проти годинникової стрілки і навпаки (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Одна і та ж сила відносно різних точок може давати «+» і «-» момент.

Момент сили відносно точки, що лежить на лінії дії цієї сили, рівний нулю, так як плече у цьому випадку рівне нулю.

Момент сили відносно точки не змінюється при перенесенні сили вздовж лінії її дії, так як модуль сили і плече залишаються незмінними.

3. Пара сил і момент пари

Дві антипаралельні сили, рівні по модулю - це пара сил, або просто пара (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Поняття пари сил ввів у механіку на початку ХІХст. французький вчений Пуансо, який розробив теорію пар.

Площина, в якій розташована пара - це площина дії пари.

Відстань між лініями дії сил - це плече пари.

Ефект дії пари полягає в тому, що вона намагається обертати тіло, до якого вона прикладена. ЇЇ обертова дія називається моментом пари.

Момент пари - це добуток модуля одної із сил, що складають пару на плече

.

Момент пари і момент сили мають однакову одиницю вимірювання. Момент пари «+», якщо вона обертає своє плече проти годинникової стрілки і навпаки.

Дві пари еквівалентні, якщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи механічного стану вільного твердого тіла.

Основні властивості пари (характеризуються трьома теоремами)

Теорема 1. Пара сил не має рівнодійної.

Тобто при рівнодійної не існує.

З цієї теореми випливає, що пара сил не може бути зрівноважена однією силою; пара сил може бути зрівноважена тільки парою.

Теорема 2. Алгебраїчна сума моментів сил, що складають пару, відносно будь-якої точки площини дії пари є величина постійна, рівна моменту пари.

З цієї теореми випливає, що при будь-якому центрі моментів пара сил увійде у рівняння моментів з одним і тим же знаком і однією і тією ж величиною.

Теорема 3. Алгебраїчна сума проекцій сил пари на вісь завжди рівна нулю.

З теореми випливає, що пара сил не входить ні в рівняння сил, ні в рівняння проекцій сил.

4. Плоска система сил

Система сил, лінії дії яких лежать в одній площині, називається плоскою. Така система сил може бути:

- системою паралельних сил,

- системою збіжних сил;

- системою довільно розташованих сил.

Система сил, лінії дії яких паралельні і лежать в одній площині, називається плоскою системою паралельних сил.

У будь-якому випадку, рівнодійна системи паралельних сил рівна їх алгебраїчній сумі (фізика за середню школу)

.

Система сил, лінії дії яких лежать в одній площині і перети-наються в одній точці називається плоскою системою збіжних сил.

Теорема. Плоска система збіжних сил у загальному випадку еквівалентна рівнодійній, яка рівна векторній сумі цих сил; лінія дії рівнодійної проходить через точку перетину лінії дії складових (рис. 2.7).

Рис. 2.7

пара багатокутник сила рівновага

Дана плоска система трьох сил , лінії дії яких сходяться у точці А. На основі наслідку із аксіом 1 і 2 перенесемо ці сили вздовж ліній їх дії у точку А. Склавши за правилом паралелограма, одержимо їх рівнодійну . Користуючись цією ж аксіомою складемо і , одержимо рівнодійну даної системи трьох сил.

На основі аксіоми 3 діє правило багатокутника сил. Будь-яке число сил, прикладених в одній точці можна скласти геометрично. Рівнодійну сил, визначають як векторну суму прикладених сил

.

Багатокутник побудований на силах як на сторонах, називається силовим. Сторона , яка з'єднує початок першого з кінцем останнього називається замикаючою стороною і визначає напрямок і величину рівнодійної.

Якщо визначити рівнодійну з допомогою геометрії, то такий спосіб називається геометричним.

Якщо силовий багатокутник побудувати в масштабі, то рівнодійна визначається вимірюванням замикаючої сторони і перемноженням на масштаб. Такий спосіб називається графічним.

Порядок додавання векторів при побудові силового багатокутника на величину рівнодійної не впливає, так як векторна сума від зміни місць доданків не міняється.

Система сил, лінії дії яких лежать в одній площині і направлені як завгодно, називається плоскою системою довільно розташованих сил. Таку систему сил приводять до одного центру (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Теорема. Плоска система довільно розташованих сил у загальному випадку еквівалентна одній силі, прикладеній у центрі приведення і одній парі.

Плоска система сил, прикладених в одній точці, еквівалента одній силі, яка рівна векторній сумі цих сил і прикладена в тій самій точці

.

Називають цю силу головним вектором даної системи. Знаходять її із силового багатокутника, модуль визначають за формулою

.

Силовий багатокутник будуть користуючись лемою про паралельний перенос сили.

Лема. Механічний стан твердого тіла не порушиться, якщо дану силу перенести паралельно самій собі у довільну точку тіла, добавивши при цьому пару, момент якої рівний моменту даної сили відносно нової точки прикладання.

Теорема Варіньона. Момент рівнодійної сили відносно будь-якої точки, розташованої у площині дії сил, рівний алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно тієї ж точки.

5. Умови рівноваги плоскої системи сил

Плоска система паралельних сил і плоска система збіжних сил є частковими випадками плоскої системи довільно розташованих сил.

Для рівноваги плоскої системи довільно розташованих сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил на осі координат і дорівнювали нулю і щоб алгебраїчна сума моментів цих сил відносно будь-якої точки площини також дорівнювала нулю.

Умови рівноваги, записані у вигляді рівнянь, що містять невідомі величини, називаються рівняннями рівноваги:

; ; .

При розв'язанні деяких задач доцільно замість одного рівняння проекцій складати рівняння моментів. Якщо замінити одне рівняння проекцій, то умови рівноваги плоскої системи довільно розташованих сил мають вигляд:

; ; .

Ці умови є недостатніми для рівноваги, якщо центри моментів і лежать на одному перпендикулярі до осі , оскільки система сил може мати рівнодійну, яка проходить через ці точки і тому не бути у рівновазі.

Умови рівноваги плоскої системи довільно розташованих сил можна записати у вигляді:

; ; .

Ці умови є недостатніми для рівноваги, якщо центри моментів , і лежать на одній прямій. Система сил може мати рівнодійну, яка проходить через ці точки і тому не бути у рівновазі.

Умови рівноваги плоскої системи паралельних сил: для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума моментів всіх сил дорівнювала нулю і щоб алгебраїчна сума моментів всіх сил відносно будь-якої точки площини також дорівнювала нулю

; .

Умови рівноваги плоскої системи збіжних сил: для рівноваги плоскої системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій цих сил на кожну із двох координатних осей дорівнювала нулю:

; .

Всі види аналітичних умов рівноваги дійсні для будь-яких прямокутних осей координат, тому під час розв'язку задачі або її перевірки, осі можна змінювати, тобто одні рівняння проекцій сил складати для однієї системи координат, інші для нової системи координат.

При розв'язку задач статики аналітичним способом доцільно складати рівняння рівноваги так, щоб у кожному з них була тільки одна невідома величина. Для цього необхідно раціонально вибрати осі координат і центри моментів.

Порядок розв'язку задач статики:

1) вибирають тіло, рівновага якого буде розглядатися;

2) відкидають в'язі, замінюючи їх реакціями і встановлюють, яка система сил діє на тіло;

3) використовуючи умови рівноваги, знаходять невідомі величини.

Примітка. При розв'язанні задач механіки необхідно строго дотримуватися правила: розмірності і одинці вимірювання всіх доданків і обох частин рівнянь мають бути однаковими.

Размещено на Allbest.ru