Кинематика жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кинематика жидкости

1. Способы описания движения жидкости

Кинематика жидкости - раздел гидромеханики (механики жидкости), в котором изучаются виды и кинематические характеристики движений жидкости, но не рассматриваются силы, под действием которых происходит движение.

Жидкость представляет собой совокупность частиц, заполняющих объем без пустот и разрывов.

Жидкая частица - часть жидкости, малая по сравнению с объемом рассматриваемой жидкости, и в то же время объем частицы велик по сравнению с объемом молекулы жидкости. В частице содержится так много молекул, что жидкость в пределах частицы можно считать сплошной средой - континуумом.

Сплошная среда является моделью жидкости, используемой при рассмотрении ее покоя и движения: предположение о сплошности позволяет считать все параметры, характеризующие движущуюся жидкость, непрерывными и дифференцируемыми функциями координат и времени.

В процессе движения жидкости изменяются во времени взаимные положения жидких частиц и их форма. Положение жидкой частицы определяется координатами некоторой точки, выбранной произвольно в пределах частицы. Эта точка называется полюсом. Различные точки частицы имеют различные скорости. Под скоростью частицы понимается скорость выбранного полюса. В общем случае движение жидкости можно считать определенным, если известны законы движения всех частиц, т. е. положение каждой частицы задано как функция времени.

Существуют два способа описания движений жидкости.

1. Способ Лагранжа. В этом способе предлагается рассматривать движение каждой частицы жидкости. В начальный момент времени положение частицы определено начальными координатами ее полюса . При движении частица перемещается и координаты ее полюса изменяются. Движение жидкости определено, если для каждой частицы можно указать координаты как функции начального положения () и времени :

(1)

Переменные и называют переменными Лагранжа. Совокупность приведенных функций (1) описывает траектории движений частиц жидкости. Из уравнений (1) можно найти проекции на координатные оси скоростей и ускорений всех жидких частиц. Если обозначить через и вектор скорости жидкой частицы, то проекции скоростей

(2)

и ускорений

.(3)

При описании движений жидкости методом Лагранжа можно пользоваться также криволинейными координатами.

Способ Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например волновых движений.

2. Способ Эйлера. В этом способе движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторой неподвижной области, выбранной в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этой области, определяемой координатами находится частица жидкости, имеющая некоторую скорость .

Эта скорость называется мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей может изменяться во времени и по координатам:

(4)

Рис.1

Переменные называют переменными Эйлера.

Векторными линиями поля скоростей являются линии тока. Линия тока - кривая, в каждой точке которой в данный момент времени вектор местной скорости направлен по касательной (рис. 1) (или касательная к ней совпадает с направлением скорости в этой точке).

Как следует из определения, составляющие скорости, нормальные к линии тока, в любой точке этой линии равны нулю.

Уравнение линии тока можно получить из условия совпадения направления касательной к линии тока с направлением вектора местной скорости в каждой точке. Направляющие косинусы (косинусы углов касательной к линии тока с осями координат) равны (- проекции элемента линии тока на оси координат).

Косинусы углов вектора скорости с осями координат (направляющие косинусы для скорости ) равны .

На линии тока

Отсюда дифференциальные уравнения линий тока для данного момента времени

(5)

Здесь рассматривается как параметр, имеющий заданное значение. Задавая различные значения можно определить линии тока для различных моментов времени.

Линии тока можно построить следующим образом (рис. 1). Пусть в области, через которую движется жидкость, в выделенной нами в некоторый момент времени точке 1 скорость равна . В точке 2, расположенной бесконечно близко на отложенном из точки 1 векторе скорости , в тот же момент времени скорость равна . На векторе в бесконечно близкой точке 3 в тот же момент времени скорость равна и т. п. Векторы скоростей и т. д. образуют в общем случае ломаную линию. Если провести огибающую этой ломаной, то получим линию тока.

Через точку, где скорость не обращается в нуль или бесконечность, может проходить лишь одна линия тока, т. е. линии тока не пересекаются. В точках, где скорость равна нулю или бесконечности, линии тока могут пересекаться или разветвляться. Такие точки называются особыми или критическими.

По характеру изменения поля скоростей во времени движения жидкости делятся на неустановившиеся и установившиеся.

Неустановившееся (нестационарное) движение такое, когда в точках области, где движется жидкость, местные скорости изменяются с течением времени. Такое движение описывается уравнениями (4).

При неустановившемся движении в общем случае линии тока соответствуют только мгновенному состоянию поля скоростей. В последующие моменты времени поле скоростей и, следовательно, линии тока могут изменяться. В связи с этим в общем случае при неустановившемся движении линии тока и траектории могут не совпадать. Но может встретиться частный случай неустановившегося движения, когда направление и форма линий тока не изменяются во времени (направления скоростей остаются неизменными, изменяются только значения скоростей в точках). В этом случае линии тока и траектории частиц жидкости совпадут.

Установившееся (стационарное) движение такое, когда в каждой точке области, где движется жидкость, местные скорости во времени не изменяются. Тогда уравнения (4) превращаются в следующие:

(6)

При установившемся движении линия тока и траектории движения частиц совпадают.

При установившемся движении уравнения линии тока принимают вид

(7)

Если в некоторый данный момент времени выделить в области, через которую движется жидкость, замкнутый, не пересекающий себя контур abed (рис. 2), ни одна из точек которого не является особой точкой потока, то через каждую точку такого контура в данный момент времени проходит единственная линия тока.

Рис. 2

Совокупность линий тока, проведенных через все точки этого контура, образует поверхность, которая называется трубкой тока. Жидкость, движущаяся внутри трубки тока, образует струйку. Внутри трубки тока в данный момент жидкость течет, пересекая соковых «стенок», так как скорости потока касательны к линиям тока. Если контур abcd ограничивает бесконечно малую площадку, то струйка называется элементарной. Если контур abcd ограничивает конечную площадку, то струйка называется конечной. Живым сечением струйки называется сечение, нормальное в каждой своей точке к линиям тока. Обозначим площадь живого сечения элементарной струйки через , а конечной струйки - через .

В силу малости живого сечения элементарной струйки местные скорости жидкости в его пределах можно считать одинаковыми; для конечных струек равномерность распределения скоростей в пределах живого сечения в общем случае не выполняется.

В общем случае скорости и площади живых сечений по длине струйки могут изменяться.

При установившемся движении струйки жидкости существуют физически, так как непроницаемые для потока зубки тока неизменны во времени. При неустановившемся движении в связи с изменяемостью поля скоростей во времени струйки являются только мгновенными, так как трубки тока непрерывно изменяются.

Расходом струйки называют объемное количество жидкости, проходящей через данное живое сечение в единицу времени. Размерность величины расхода [L³T^-1]. Для элементарной струйки с равномерным распределением скоростей по живому сечению получим

.

Для конечной струйки вводим понятие средней по живому сечению скорости в данном живом сечении площадью

и тогда расход можно выразить произведением средней скорости на площадь :

.

От понятия об элементарной и конечной струйках жидкости в дальнейшем переходят к понятию о потоке жидкости как совокупности струек.

2. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении

При движении жидкости происходят изменения положения частиц в пространстве и их деформации, т. е. изменения формы и объема.

Рассмотрим жидкую частицу, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с бесконечно малыми ребрами , параллельными координатным осям (рис. 3). Пусть в вершине A параллелепипеда с координатами в некоторый момент времени составляющие местной скорости равны .

Если точку А выбрать в качестве полюса, то поступательное перемещение параллелепипеда как целого за время представится проекциями (рис. 4,а).

Считая скорость непрерывной и дифференцируемой функцией координат, выразим скорости в остальных вершинах параллелепипеда через скорость в вершине А. Для вершин нижней грани параллелепипеда составляющие скорости показаны на рис. При таких различных в разных точках составляющих скорости рассматриваемая грань будет не только перемещаться в пространстве, но и деформироваться. В силу малости ребер параллелепипеда можно считать, что в течение малого промежутка времени ребра остаются прямыми.

Аналогичные рассуждения можно провести и в отношении других граней.

Деформацию параллелепипеда можно представить как сумму объемной и угловых деформаций.

Объемная деформация параллелепипеда может быть охарактеризована удлинениями ребер (рис. 4, б)

; ; .

Рис.3

Скорости удлинений отрезков единичной длины равны соответственно

; ; .

Угловая деформация характеризуется изменениями углов. Прямой угол, составленный ребрами параллелепипеда АВ и AD в плоскости XOY, при движении жидкости изменяется на сумму углов (рис. 4,в).

Рис.4

Угол сдвига между осью ОХ и ребром AD' найдется как

а угол сдвига между осью OY и стороной АВ' равен

.

Тогда угловая деформация (деформация сдвига)

.

Скорость угловой деформации в плоскости XOY равна

.

Для скоростей угловых деформаций в плоскостях YOZ и XOZ получим соответственно

; .

Обычно скорости угловых деформаций представляют в виде

(8)

Индекс при скорости угловой деформации указывает, что угловая деформация происходит в плоскости, нормальной к данной оси координат.

Если приняты скорости угловых деформаций по соотношениям (8), то для осуществления истинного перемещения ребер параллелепипеда следует деформированные грани повернуть на некоторые углы. При этом угловая скорость грани ABCD относительно оси OZ найдется как

или .

Для угловых скоростей граней относительно осей OX, OY и OZ получим выражения

(9)

Таким образом, движение рассматриваемой грани представляется в виде суммы поступательного перемещения вместе с полюсом, деформационного движения и вращения относительно некоторой мгновенной оси, проходящей через полюс.

Чтобы установить применимость такого подхода ко всей частице, рассмотрим проекции скорости в двух точках, принадлежащих данной частице.

Пусть одна из этих точек - точка М, которую примем в качестве полюса, а другая - точка G (рис. 5). Точки М и G расположены достаточно близко друг от друга, на расстоянии . Разложим в ряд Тейлора мгновенные значения проекций скорости в точке G, ограничиваясь линейными членами. Для проекции и_х в точке G имеем

,

где - проекция скорости полюса М.

Рис.5

Частные производные и представим в виде

.

Тогда

Учитывая ранее введенные обозначения, получим

.

Для других составляющих скорости найдем

;

,

где - проекции скорости полюса частицы.

Таким образом, убедились в том, что движение жидкой частицы можно представить в виде суммы поступательного движения, деформационного движения (линейные и угловые деформации) и вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.

Поступательное движение характеризуется составляющими скорости

.

Деформационное движение характеризуется скоростями линейных деформации

и скоростями угловых деформаций

Угловая скорость жидкой частицы относительно мгновенной оси, проходящей через полюс, характеризуется составляющими (компонентами) угловой скорости

(10)

Вектор угловой скорости всегда нормален к плоскости, в которой происходит вращение. Индексы у компонентов угловой скорости показывают направление осей вращения.

Угловая скорость

. (11)

Удвоенные компоненты угловой скорости называются компонентами вектора вихря

Понятие вектора вихря введено для описания движения частиц Совокупность этих векторов составляет векторное поле.

Вихревая линия - линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости совпадает с касательной к этой линии (рис. 6). Дифференциальные уравнения вихревых линий

(12)

где время рассматривается как параметр.

Вихревые линии, так же как и линии тока, при установившемся движении не изменяются во времени. А при неустановившемся движении конфигурация вихревых линий может изменяться во времени.

По характеру движения частиц различают вихревое и потенциальное (безвихревое) движение жидкости.

Движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы, называется вихревым движением.

Движение, при котором такое вращение отсутствует, называется безвихревым (потенциальным) движением. При безвихревом движении

. (13)

Рис.6

Тогда согласно (3 9) получим, что при безвихревом движении

(13a)

Из (13а) следует, что должна существовать функция , удовлетворяющая условиям

(14)

Эта функция называется потенциалом скорости.

Действительно, учитывая, что потенциал скорости является непрерывной функцией от и принимая во внимание независимость значений второй производной непрерывной функции от порядка дифференцирования, имеем

Знак минус в (14) принят для того, чтобы подчеркнуть, что движение происходит от точек с большим значением потенциала скорости к точкам с меньшим его значением. В общем случае потенциал скорости может зависеть не только от координат но и от времени :

.

Таким образом, потенциальное движение может быть установившимся и неустановившимся.

3. Ускорение жидкой частицы

Ускорение жидкой частицы можно представить в виде

Так как , в проекциях на оси координат имеем

(15)

Частные производные по времени от проекций скорости представляют собой проекции локального (местного) ускорения в точке. Они характеризуют закон изменения поля скоростей во времени. Локальное ускорение равно нулю при установившемся движении.

Суммы такого вида

называют проекциями конвективного ускорения, поскольку оно определяет ускорение частицы при изменении ее положения в поле скоростей (конвекции). Конвективное ускорение характеризует неоднородность поля скоростей в данный момент времени.

Суммы проекций локального и конвективного ускорений называются проекциями субстанционального, или полного, ускорения

.

4. Уравнение неразрывности жидкости

Как уже отмечалось, будем рассматривать только такие движения, при которых внутри жидкости не возникают пустоты, не появляются разрывы.

Выделим в области, занятой движущейся жидкостью, неподвижный бесконечно малый параллелепипед, у которого ребра параллельны соответственно осям координат (рис. 7). Через выделенный параллелепипед течет жидкость Определим массу жидкости, проходящей через поверхность параллелепипеда за время .

Рис.7

Сначала проведем эти расчеты для направления, совпадающего с направлением оси ОХ. Масса, поступающая в выделенный параллелепипед через грань АВКЕ за время равна

.

Считаем плотность и скорость движения жидкости непрерывными и дифференцируемыми функциями координат и времени, тогда для массы, выходящей за время через грань DCGH из параллелепипеда, получим выражение кинематика ток жидкость

.

Приращение массы внутри параллелепипеда за счет движения жидкости вдоль оси ОХ равно разности

Определяя аналогично приращения массы в параллелепипеде за счет движения жидкости вдоль осей 0Y и 0Z, получим соответственно

Суммарное изменение массы внутри элементарного параллелепипеда за счет движения жидкости, т.е. за счет разности приносимой потоком в параллелепипед и уносимой из него массы, равно

. (16)

Изменение массы в неизменном объеме должно вызвать изменение плотности

Изменение массы за время , выраженное через изменение плотности, равно

. (17)

Приравнивая (16) к (17), после сокращений получим

(18)

Учитывая, что

,

после преобразований получим

. (19)

Полученное уравнение выражает условие неразрывности жидкости и называется уравнением неразрывности. Для несжимаемой жидкости = const и . Поэтому для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности приобретает вид

. (20)

Каждый из членов этой суммы характеризует скорость изменения длины единичного отрезка по соответствующему направлению. Сумма этих членов представляет собой скорость относительного изменения элементарного объема жидкости (объемное расширение) и называется дивергенцией, или расхождением вектора скорости:

.

Дивергенция - скалярная величина.

Уравнение неразрывности может быть записано в виде

Для несжимаемой жидкости (const) имеем

Для установившегося движения сжимаемой жидкости, когда = 0, из (18) получим

4. Потоки жидкости

Классификация потоков по характеру границ. Потоком жидкости в гидравлике называют движущуюся массу жидкости, ограниченную направляющими твердыми поверхностями, поверхностями раздела жидкостей или свободными поверхностями. В зависимости от характера и сочетания ограничивающих поток поверхностей потоки делятся на безнапорные, напорные потоки и гидравлические струи.

Безнапорные потоки ограничены частично твердой, частично свободной поверхностью. Примером таких потоков может служить поток в реке или канале, а также в трубе, работающей неполным сечением.

Напорные потоки ограничены твердыми поверхностями, например поток в трубе, все сечение которой заполнено движущейся жидкостью и при этом стенки трубы испытывают давление со стороны потока, отличающееся от давления окружающей среды (в таких случаях говорят, что труба работает полным сечением под напором).

Гидравлические струи ограничены только жидкостью или газовой средой, например, струя, вытекающая из сосуда через отверстие в атмосферу, или струя воды, выбрасываемая гидромонитором при подводной разработке грунта.

Живое сечение, гидравлический радиус. Сечение потока, во всех точках которого линии тока, пересекающие эту поверхность, нормальны к ней, называется живым сечением потока. Разбив поток на элементарные струйки, получим, что площадь живого сечения потока равна сумме площадей живых сечений элементарных струек:

.

Смоченный периметр представляет собой длину линии, по которой жидкость в живом сечении соприкасается с твердыми поверхностями, ограничивающими поток. При напорных потоках длина смоченного периметра равна длине всего периметра живого сечения, а в безнапорных потоках смоченный периметр составляет некоторую часть полного периметра.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения к смоченному периметру в этом сечении:

.

Как будет показано далее, гидравлический радиус - важная характеристика при определении расхода, проходящего через живое сечение.

В напорном потоке для круглого живого сечения (диаметр , радиус ) имеем

или .

Следовательно, в данном случае гидравлический радиус равен половине геометрического радиуса или 0,25 диаметра.

В безнапорном потоке для прямоугольного живого сечения (ширина по дну , глубина жидкости ) гидравлический радиус равен

.

В достаточно широких потоках (малые значения отношения ) гидравлический радиус принимают равным глубине наполнения.

Расход. Средняя скорость. Объемное количество жидкости, проходящей через живое сечение потока в единицу времени, называется расходом потока в данном сечении или просто расходом. Расход потока равен сумме расходов элементарных струек, составляющих поток:

.

Важной характеристикой потока является средняя скорость потока в данном сечении, представляющая собой частное от деления расхода на площадь живого сечения потока:

.

В реальных потоках вязкой жидкости местные скорости в различных точках живого сечения будут различными. Как будет показано далее, только в отдельных точках живого сечения местная скорость будет равна средней скорости . Введение понятия о средней скорости потока в данном живом сечении позволяет проще решать практические задачи.

Рассматривается некий условный (фиктивный) поток, все точки живого сечения в котором характеризуются одними и теми же местными скоростями, равными средней скорости в данном живом сечении. Тогда, умножив площадь живого сечения на среднюю скорость в данном живом сечении , получим действительный расход , проходящий через это живое сечение.

Средняя скорость в сечении представляет собой одинаковую для всех точек сечения воображаемую скорость, при которой через данное живое сечение проходит тот же расход, что и при действительных местных скоростях, разных в различных точках сечения.

По характеру изменения поля скоростей по координатам установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное.

Равномерное движение характеризуется параллельностью и прямолинейностью линий тока. Размеры и форма живых сечений и средние скорости потока по его длине не изменяются. Местные скорости в соответственных точках всех живых сечений но длине потока также одинаковы. Ускорения при равномерном движении равны нулю. В безнапорном равномерном потоке как следствие вышесказанного и глубины будут неизменными по длине.

Неравномерное движение характеризуется тем, то семейство линий тока уже не представлено параллельными прямыми. Площади живых сечений и средние скорости могут быть переменными по длине потока. Неравномерное движение может быть ускоренным или замедленным.

Среди неравномерных движений выделяют плавно изменяющееся движение, которое характеризуется следующими признаками: линии тока примерно параллельны, кривизна их достаточна мала; живые сечения можно считать плоскими; изменения формы и площади живых сечений по длине потока происходят весьма плавно.

В связи с отмеченными особенностями при расчетах плавно изменяющихся потоков пренебрегают составляющими скоростей (и ускорений) в плоскости живого сечения. Если ось ОХ совпадает с направлением линий тока, то при плавно изменяющемся движении

Тогда уравнение неразрывности (20) примет вид

,

т. е. вдоль данной линии тока (вдоль потока) скорость не изменяется. В таком случае движение рассматривают как равномерное прямолинейное.

Неустановившееся (нестационарное) движение по характеру изменения скоростей во времени подразделяется на быстро изменяющееся и медленно изменяющееся. Последний вид движения часто называется также квазиустановившимся (квазистационарным). Поясним, что «квази» в переводе с латинского означает «якобы», «почти», «как бы».

В движущейся жидкости различают продольную составляющую скорости (или продольную скорость) и поперечные составляющие скорости. Обычно направление оси ОХ совпадает с направлением продольной скорости. Соответственно направление поперечных составляющих скорости совпадает с направлениями осей 0Y и 0Z.

Распределение продольных скоростей по живому сечению или в различных точках вертикали, принадлежащей данному живому сечению, характеризует эпюра скоростей. Для всех точек живого сечения эпюра скоростей - объемная фигура, а эпюра скоростей на данной вертикали - плоская фигура.

Движения также подразделяются на пространственные (трехмерные), плоские и одномерные. В пространственном движении кинематические характеристики зависят от трех координат: , например движение на повороте безнапорного потока в канале или на повороте напорного потока в трубопроводе или движение в канале с изменяющимся по длине живым сечением.

Плоским (двухмерным) движением считается такое, при котором кинематические характеристики зависят только от двух координат и не зависят от третьей. Например, если , а то движение происходит в плоскостях, параллельных одной плоскости, в данном случае X0Z, и характеристики такого движения одинаковы во всех этих плоскостях. Такое движение происходит в достаточно широком канале: открытом - безнапорное движение или в закрытом, полностью заполненном жидкостью (напорное движение), а также при перемещении грунтовых вод в достаточно широкой подземной области, поперечное сечение которой близко к прямоугольнику.

Одномерным движением называется такое, в котором скорости зависят только от одной координаты. Такое движение характерно для большинства гидравлических задач, когда достаточно принять в рассмотрение только среднюю скорость и определять ее в зависимости лишь от продольной координаты.

Уравнение неразрывности для потока. От уравнения неразрывности для элементарной струйки несжимаемой жидкости (22) можно перейти к уравнению неразрывности для потока. Для потока несжимаемой (капельной) жидкости оно имеет вид

Размещено на Allbest.ru