Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н.ТУПОЛЕВА

Конспект лекций

«Теоретические основы вычислительной диагностики»

Даутов О.Ш.

Казань 2008

Конспект лекций посвящен моделям и методам вычислительной диагностики применительно к задачам электромагнитного зондирования в диапазоне волн от оптического до длинноволнового радиодиапазона, включая методы эллипсометрии и классической компьютерной томографии. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки “Проектирование и технология электронных средств” и специальности “Проектирование и технология электронных вычислительных средств”. Пособие предназначено для самостоятельного изучения предмета и может служить методической основой для заочного обучения.

Ил. 4. Библиогр.: 10 наим.

Рецензенты: докт. физ.-мат. наук А.В. Голенищев- Кутузов (Казан. гос. энерг. ун-т), канд. техн. наук Е.С. Воробьёв (Казан. гос. технолог. ун-т)

С Изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 2008.

С Даутов О.Ш., 2008.

1. Предмет, цель изучения и содержание дисциплины «Теоретические основы вычислительной диагностики»

Одним из важнейших применений современной вычислительной техники является новое направление науки и техники - вычислительная диагностика, как совокупность аппаратных средств и математических методов решения задач исследования свойств объектов, путем их зондирования физическими полями различной природы и последующей обработки результатов измерений с помощью современных вычислительных средств. Общеизвестны блестящие достижения компьютерной томографии. Значительные успехи достигнуты в области электроразведки полезных ископаемых в геологии, подповерхностной радиолокации. Метод эллипсометрии успешно применяется в микроэлектронике для контроля параметров тонких пленок в процессе их нанесения на полупроводниковую подложку и позволяет “ощущать” изменение их толщины в пределах несколько атомных слоев и контролировать электрофизические параметры.

Для всех задач вычислительной диагностики характерно использование сложных математических моделей для интерпретации результатов измерений, выполняемых, зачастую, на традиционном оборудовании. Рентгеновский компьютерный томограф отличается от рентгеновского аппарата не только и не столько схемой применения рентгеновского излучения, сколько последующей компьютерной обработкой результатов измерений, дающей качественно новый вид информации - изображение разреза объекта на экране монитора с деталями внутреннего строения, недоступными для обычного рентгеновского снимка.

Ознакомление с вычислительной диагностикой, как с новой возможной областью приложений своих знаний будущих специалистов по проектированию и технологии электронной аппаратуры и конструированию электронной вычислительной аппаратуры и преследует цель преподавания данной дисциплины.

В процессе изучения дисциплины студенты знакомятся с физическими принципами взаимодействия зондирующих полей различной природы с изучаемыми объектами, с элементами математического аппарата, используемого в вычислительной диагностике, приобретают навыки решения на ЭВМ простейших диагностических задач.

Изучение дисциплины требует знаний по физике и математике, владения вычислительной техникой в пределах образовательной программы направления подготовки «Проектирование и технология электронно-вычислительных средств».

Содержание дисциплины можно условно разделить на три раздела. В первом разделе рассматривается моделирование полей различной природы с помощью дифференциальных уравнений. Приводятся необходимые понятия векторного анализа и сведения о дифференциальных операторах теории поля. Сходство математического описания полей различной природы позволяет ограничиться рассмотрением электромагнитного поля, математическое описание которого может быть перенесено на большинство видов полей. Наряду с общими уравнениями электромагнитного поля рассматривается и их спектральное представление в виде интегральной суперпозиции полей, изменяющихся во времени по гармоническому (синусоидальному) закону. Это дает возможность использовать уравнения в комплексной форме, с одной стороны исключая из уравнений явную зависимость от времени, а с другой стороны характеризовать поляризационные и проводящие свойства исследуемых объектов одним параметром - комплексной диэлектрической проницаемостью. Изучение диагностических задач начинается с рассмотрения отражения и преломления плоских волн на границе раздела однородных сред и в плоско-слоистой структуре. На этой основе рассматривается один из наиболее чувствительных методов контроля параметров тонких пленок, используемый в технологии микросхем в процессе их нанесения на полупроводниковую подложку. Анализ прохождения плоской волны через слоистую структуру при частотах, соответствующих рентгеновскому диапазону, позволяет перейти к модели распространения рентгеновского луча в неоднородной среде и получить основное уравнение компьютерной томографии. В следующем разделе рассматриваются элементы математического аппарата классической рентгеновской компьютерной томографии, подробно рассматривается решение, полученное Радоном и дальнейшие модификации решения с использованием потенциала Рисса, удобные для различных вариантов реализации. Реализация компьютерной томографии требует решения проблемы дискретизации, поскольку значения функции Радона получаются в результате ее измерений на дискретном множестве значений точек сканирования и направлений сканирующего луча. На основе теоремы Котельникова - Шеннона устанавливается связь между размерами минимальных деталей изображения, которые могут быть достигнуты для данного набора измерений. Другой важной проблемой является некорректность задачи компьютерной томографии. В данном разделе раскрывается понятие некорректных задач математической физики и как способ решения проблемы некорректности рассматриваются методы регуляризации. В частности, для компьютерной томографии рассматривается метод ограничения спектра. Завершающая тема дисциплины посвящена рассмотрению задачи диагностики в общем случае, в частности, в длинноволновой области, где метод классической томографии заведомо не работает. Тем не менее, важность данного направления исследований делает вычислительную диагностику весьма актуальной.

2. Области применения вычислительной диагностики

Содержание термина диагностика претерпело эволюцию от медицинского понятия, означающего учение о методах и принципах распознавания болезней и постановки диагноза до более широкого понятия, включающего установление и изучение признаков, характеризующих дефекты машин, устройств и их элементов, окружающей среды и, вообще, любых систем, требующих для своего нормального функционирования поддержания их параметров в определенных пределах. Естественным образом возникает проблема нахождения определяющих работоспособность системы параметров, которые недоступны для непосредственного наблюдения. Как правило, измеримые параметры связаны с искомыми сложной функциональной зависимостью и требуется большая вычислительная работа с привлечением самых быстродействующих ЭВМ для нахождения искомых параметров по результатам измерений. Эту процедуру принято называть вычислительной диагностикой. Под столь общее определение можно собрать широчайший круг задач, отличающихся как физическими процессами, положенными в основу процедуры, так и используемыми математическими моделями и методами. В частности, зондирующими воздействиями и измеряемыми параметрами могут быть дискретные сигналы на входах и выходах электронного устройства и характеристиками, физические поля в окрестности исследуемого объекта. Компьютерная томография - это частный случай вычислительной диагностики, когда исследуемым параметром, характеризующим свойства объекта, я является некоторая функция координат и, вообще говоря, времени, наглядное и удобное представление, которой может быть осуществлено в виде рельефных изображений двумерных функций, соответствующих значениям исследуемой трехмерной функции при фиксированном значении одной из координат - так называемых разрезов, что и отражено самим термином томография (изображение разрезов, греч.). Разумеется компьютер используется здесь не только для наглядного представления разрезов функции, хранящейся в его памяти в аналитической или дискретной форме, на экране дисплея. Как раз наиболее существенным является нахождение этой функции по результатам измерений с помощью алгоритмов и программ, которые ввиду их сложности, могут быть реализованы только с помощью ЭВМ.

В настоящее время уже трудно охватить все области применения вычислительной диагностики. В медицине - это диагностика травматических повреждений головы, некрозов, опухолей. В дефектоскопии широко используется метод эллипсометрии для контроля параметров тонких пленок, наносимых на полупроводниковую подложку с разрешающей способностью до 2-3А⁰.

Своевременные биологические исследования невозможны без применения электронного микроскопа в сочетании с принципом томографии.

В геофизике все более широкое применение находят методы подповерхностного зондирования, один из которых - метод радиоволнового просвечивания может быть реализован по принципу традиционной компьютерной томографии.

В астрофизике принцип принцип компьютерной томографии был использован для исследования распределения СВЧ-излучения Солнца, а позднее - распределения плотности электронов вокруг него.

Более поздние варианты компьютерной томографии используют ядерный магнитный резонанс (ЯМР) и парамагнитный резонанс (ЭПР). Их применение позволяет исследовать особенности кристаллической структуры твердых тел пространственным разрешением в несколько микрон.

В аэро- и гидродинамике нашел применение метод голографической интерферометрии для исследования полей плотности, температуры, скорости.

В вычислительной диагностике могут использоваться поля различной природы. Необходимыми условиями являются возможность проникновения поля внутрь объекта и изменения его характеристик в результате взаимодействия с внутренними элементами объекта без заметного влияния на сам исследуемый объект. Этим условиям удовлетворяют электромагнитные, звуковые, тепловые поля, сейсмические волны и т.д. Каждое из этих полей имеет свои особенности взаимодействия с объектом и позволяет исследовать распределение тех физических параметров, которые связаны именно с данным видом поля. Тем не менее существует нечто общее для всех видов полей в их математическом описании, что позволяет исследовать одни и те же алгоритмы диагностики для полей различной природы. Так, например, синусоидальные во времени звуковые и электромагнитные волны описываются в неоднородной среде уравнением Гельмгольца. Близким к нему по свойствам является уравнение стационарной теплопроводности. Это позволяет для описания звуковых и тепловых полей использовать тот же математический аппарат, что и для электромагнитного поля в большинстве случаев с существенным упрощением, связанным со скалярным характером этих полей. Поэтому в дальнейшем мы остановимся на рассмотрении электромагнитной вычислительной диагностики. Отметим также, что электромагнитное поле является наиболее распространенным типом поля в задачах вычислительной диагностики.

3. Моделирование полей в задачах вычислительной диагностики с помощью дифференциальных уравнений

Полное математическое описание задач вычислительной диагностики требует привлечение теории поля. Простейшим типом поля является скалярное поле, когда в каждой точке пространства определена скалярная величина (температура, давление, проекция вектора на заданное направление и т.д.)

, (3.1)

где - радиус-вектор точки,

- время, (- единичные векторы декартовой системы x,y,z.)

Важнейшей характеристикой скалярного поля является производная по направлению. Приращения независимых переменных x, y, z определяет вектор приращения

, (3.2)

который удобно представить в виде:

,

где - длина вектора приращений,

- единичный вектор определяющий направление вектора приращения:

.

Производная по направлению определяется следующим образом:

Для достаточно малых приращений с помощью формулы для полного дифференциала можно записать:

. (3.3)

Правую часть соотношения (3.3) можно рассматривать как скалярное произведение на вектор:

. (3.4)

Соотношение (3.4) можно рассматривать как определение вектора градиента скалярной функции . Так как - единичный вектор, из уравнения (3.3) следует, что производная по направлению функции - это проекция вектора градиента на направление . Максимальное значение достигается для направления , совпадающего с направлением градиента. Отсюда следует другое определение градиента: градиент равен вектору максимальной скорости возрастания функции в данной точке. Совокупность векторов , перпендикулярных вектору градиента, определяют плоскость, касательной к так называемой поверхности уровня. Производная по любому направлению , касательному к этой поверхности, равно нулю

и значения функции на этой поверхности постоянны

.

Семейство поверхностей уровня ортогонально линиям поля градиента. Таким образом градиент скалярного поля ставит в соответствие скалярному полю векторное поле.

Векторное поле ставит в соответствие каждой точке пространства значение вектора : вычислительный электромагнитный слоистый

, (3.5)

что эквивалентно заданию трех скалярных полей - проекций поля на координатные оси. Поместим в поле некоторую поверхность S, в каждой точке которой определена нормаль . Разбив эту поверхность на элементарные участки , в пределах каждого из которых изменениями векторов можно пренебречь, составим сумму:

.

Предел этой функции при неограниченном увеличении числа элементов и соответствующем их измельчении (), определяет величину, называемую потоком вектора через поверхность:

. (3.6)

Здесь - направленный элемент поверхности.

Поток через замкнутую поверхность обозначают следующим образом:

. (3.7)

Если - скорость несжимаемой жидкости, то Q_S() - объем жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени. Если поток через замкнутую поверхность положителен, то внутри этой поверхности имеются источники поля , а отрицательный знак соответствует стокам поля. Если поток вектора равен нулю через любую замкнутую поверхность, вектор называется соленоидальным.

Для рассмотрения пространственного распределения источников поля удобно ввести величину:

, (3.8)

называемую расходимостью или дивергенцией векторного поля. Здесь V - объем содержащий данную точку пространства, ограниченный замкнутой поверхностью. Поскольку результат не должен зависеть от формы объема V, обычно в декартовой системе выбирают элемент объема в виде прямоугольного параллелепипеда, ориентированного вдоль координатных осей по сторонам x, y, z. Тогда предельный переход в (8) дает следующее выражение для вычисления дивергенции:

. (3.9)

В ортогональных криволинейных координатах можно вычислить значение дивергенции через криволинейный элемент объема, образованный координатными поверхностями.

Важной характеристикой векторного поля является его способность образовывать вихри. Рассмотрим в поле линию с непрерывным единичным вектором касательной . Разобьем линию на элементы _i, так чтобы в пределах каждого элемента изменения поля и можно было пренебречь. Вычислим предел суммы:

. (3.10)

Криволинейный интеграл можно истолковать как работу силы при перемещении точки вдоль . В случае замкнутого контура величина записывается в виде:

(3.11)

и называется циркуляцией вектора по контуру . Очевидно величина циркуляции зависит от положения контура в поле . Возьмем малый контур , опирающийся на поверхность S с нормалью и пренебрежимо малой кривизной. Направление нормали выберем так чтобы и образовывали правовинтовую систему. Будем вычислять предел при различных положениях нормали, определяющей пространственную ориентацию контура. Зафиксируем положение нормали , при котором достигается максимальное значение рассматриваемого предела. Вектор равный по величине этому максимальному значению и направленный вдоль называется вихрем поля или ротором :

. (3.12)

Значение предела при произвольном положении нормали можно рассматривать как проекцию на это направление нормали. Это позволяет вычислить проекции на выбранные координатные оси. Взяв контур в виде плоского прямоугольника со сторонами x, y в плоскости, перпендикулярной оси х вычислим проекцию на ось х:

. (3.13)

Аналогично вычисляются проекции на оси y и z:

, (3.14)

. (3.15)

Эти равенства можно объединить в одно векторное равенство, выразить через символический определитель:

. (3.16)

С помощью операций дифференцирования grad, div, rot можно вводить более сложные дифференциальные операторы. Так оператор divgrad является известным оператором Лапласа:

. (3.17)

Можно получить и другие аналогичные соотношения:

, (3.18)

, 3.19)

. (3.20)

(формула справедлива в прямоугольных декартовых координатах).

Кроме того полезны формулы для комбинированных полей:

, (3.21)

, (3.22)

. (3.23)

Рассмотрим элементарный пример составления дифференциального уравнения поля. Связь плотности мощности теплового потока с температурным полем Т в твердом теле устанавливается законом Фурье:

,

где - коэффициент теплопроводности.

В свою очередь связь с объемной плотностью источников тепла W устанавливается с помощью соотношения:

div = W.

Откуда уравнение температурного поля получается в виде:

div(gradT)=-W. (3.24)

Для однородной изотропной среды (=const) имеем так называемое уравнение Пуассона:

T=-W/. (3.25)

Для синусоидального во времени звукового поля в области, свободной от источника, справедливо уравнение Гельмгольца:

+ ²(x,y,z)² = 0; (3.26)

Этому уравнению подчиняются и декартовые проекции векторов монохроматического электромагнитного поля. Такое сходство описания полей различной физической природы позволяет ограничиться подробным рассмотрением поля одного вида и переносом, при необходимости, результатов на поля других типов.

4. Уравнения электромагнитного поля в дифференциальной форме

Электромагнитное поле является наиболее распространенным в задачах вычислительной диагностики, охватывая рентгеновский, оптический, инфракрасный, радио-диапазоны волн, а также длинноволновый диапазон и статические поля. С математической точки зрения его описание является одним из наиболее общих, включая как частные случаи математическое описание других физических полей. Поэтому целесообразно рассмотреть именно это поле.

Электромагнитное поле проявляется силовым воздействием на заряды. Сила, действующая на элементарный точечный заряд q, дается формулой:

, (4.1)

где [в/м] - напряженность электрического поля,

- скорость перемещения заряда,

[вб/м²] - магнитная индукция.

В свою очередь векторы поля , определяются зарядами и токами, создающими поле, и физическими свойствами среды. Для полного описания поля поэтому принято вводить кроме силовых векторов , дополнительные векторные функции: вектор электромагнитного смещения [кл/м²] и вектор напряженности магнитного поля [а/м]. Перемещение зарядов характеризуется вектором плотности электрического тока [а/м²]. Связь между векторами поля дается уравнениями Максвелла, которые формулируются в виде четырех основных законов электромагнитного поля.

Закон полного тока устанавливает связь между магнитным полем и полным током (суммой плотности тока проводимости и тока смещения ):

. (4.2)

Обобщенный закон Фарадея связывает ротор электрического поля со скоростью изменения магнитной индукции:

. (4.3)

Обобщенный закон Гаусса отражает связь вектора смещения с его источниками - электрическими зарядами:

, (4.4)

где - объемная плотность зарядов.

Закон непрерывности магнитной индукции отражает отсутствие источников поля магнитной индукции:

. (4.5)

Кроме основных уравнений (4.2-4.5) между векторами поля существуют связи, учитывающие влияние среды

, (4.6)

, (4.7)

, (4.8)

которые иногда называют материальными уравнениями. Входящие в них коэффициенты , , не всегда являются скалярными сомножителями, а могут быть и тензорами. Более того, они могут в свою очередь зависеть от векторов поля, что делает в этом случае систему уравнений поля нелинейной. (В данной дисциплине эти случаи рассматриваться не будут). Здесь [фарад/м] - диэлектрическая проницаемость среды, [генри/м] - магнитная проницаемость, - [ом^-1м^-1] - проводимость среды. Диэлектрическую и магнитную проницаемости удобно сравнивать с параметрами вакуума ф/м, ₀=410^-7 гн/м и характеризовать относительными величинами:

_r=/₀, _r=/₀.

Условия однозначной разрешимости системы уравнений (4.3 - 4.8) сводятся к начальным и граничным условиям. В области, для которой ищется решение, необходимо знать распределение поля в некоторый начальный момент t₀ и во все последующие моменты времени тангенциальную составляющую электрического или магнитного поля на границе области. На границах участков рассматриваемой области с различными электромагнитными параметрами касательные к границе составляющие электрического или магнитного поля должны быть непрерывны при переходе границы. Для установившегося во времени синусоидального поля время из уравнений исключается и достаточно граничных условий и условий излучения для однозначной разрешимости уравнений поля.

5. Спектральное представление полей

Во многих разделах физики и техники широко используется спектральный метод, когда представляющие интерес величины рассчитываются с помощью разложения в суммы и интегралы по некоторым хорошо изученным функциям. Эти ряды и интегралы известны как ряды и интегралы Фурье. При определенных условиях функции времени могут быть представлены в виде интеграла Фурье по комплексным показательным функциям:

. (5.1)

Эту формулу в соответствии с формулой Эйлера

можно рассматривать как представление функции времени f(t) в виде интеграла от тригонометрических функций с круговой частотой с комплексными амплитудами f_с() и jf_c(). Комплексная функция f_с() называется спектром функции f(t). Вычисление спектра по заданной функции f_c(t) по заданной функции осуществляется помощью формулы:

. (5.2)

Это соотношение осуществляет так называемое прямое преобразование Фурье функции f(t) в ее спектр f_c(). Исходная формула (1.34) возвращает нас обратно от спектра к функции f(t) и называется обратным преобразованием Фурье. Преобразование Фурье и представление в виде интеграла Фурье можно осуществлять и над векторными функциями. В частности, найдя спектр каждой декартовой составляющей электрического поля, образуем с помощью (1.35) вектор:

и с помощью обратного преобразования представляем электрическое поле в виде:

. (5.3)

Между векторной функцией и векторной комплексной амплитудой спектра существует взаимно однозначное соответствие по формулам (5.2), (5.1).

Операции дифференцирования любой функции по времени в ее спектре соответствует умножение на i.

6. Уравнения электромагнитного поля в комплексной форме

Связь между векторами поля с помощью (4.2 - 4.8) отображается в связь между векторными комплексными амплитудами спектров полей:

, (6.1)

. (6.2)

Вид остальных уравнений при переходе к спектрам сохраняется и поэтому мы их не записываем. Уравнения (6.1) и (6.2) называются уравнениями Максвелла в комплексной форме. Поскольку поля реальные описываются вещественными функциями, соответствующие спектральные функции обладают следующим свойством:

. (6.3)

Отсюда при восстановлении реального процесса по спектру можно ограничиться областью положительных частот:

(6.4)

Пример. Рассмотрим гармонический во времени процесс:

где амплитуды E_0x, E_0y, E_0z и фазы _x, _y, _z функции точки . Выражая тригонометрические функции через экспоненциальные и используя представление - функции в виде интеграла:

(6.5)

с помощью (5.2) получаем спектральные представления проекций поля: Например, спектр проекции поля на ось х:

то есть это сумма двух спектральных составляющих на частотах =₀. Подстановка в (3.7) слагаемого с положительной частотой возвращает к E_x(r,t)=E_0xcos(₀t+_x). Переход к спектральным уравнениям позволяет диэлектрические и спектральные свойства сред характеризовать одним параметром - комплексной диэлектрической проницаемостью . Подставляя в (6.1) значение плотности тока (4.8) через напряженность уравнению можно придать вид:

(6.6)

где .

7. Энергетические характеристики электромагнитного поля

Распространение зондирующих полей сопровождается затуханием и переходом их энергии в другие виды. В этой связи всегда возникает необходимость анализа распространения энергии в зондирующей системе для того чтобы оценить степень взаимодействия зондирующего поля с отдельными фрагментами исследуемого объекта. Непосредственно из уравнения поля можно установить уравнение баланса энергии электромагнитного поля:

,

Одной из энергетических характеристик взаимодействия электромагнитного поля является мощность джоулевых потерь. Пусть малый элемент объема с плотностью заряда при действии электрического поля подвергается перемещению , так что работа совершаемая полем при перемещении заряда равна проекции силы , действующей на заряд на направление перемещения и на на его величину. В соответствии с определением силы, действующей на заряд (2.27) эта работа равна:

(7.1)

Предел отношения этой величины к равен мощности, расходуемой полем в элементе по перемещению заряда против тормозящих сил на омические или джоулевы потери:

(7.2)

где - плотность тока проводимости. Умножив первое уравнение (4.2) скалярно на , а (4.3) на и вычитая друг из друга полученные равенства получим:

(7.3)

Первое слагаемое в правой части представляет собой плотность мощности омических потерь с размерностью Вт/м³ :

. (7.4)

Второе слагаемое может быть представлено следующим образом:

где величина , имеющая размерность Дж/м³, интерпретируется как плотность энергии, запасенной электрическим полем. Последнее слагаемое в правой части представляется аналогичным образом:

где - плотность энергии, запасенной магнитным полем. Левая часть с помощью тождества (2.22) преобразовывается в дивергенцию некоторого вектора:

.

Окончательно преобразованное уравнение можно представить в виде

. (7.5)

Это уравнение является математической формулировкой теоремы Умова-Пойнтинга о балансе энергии электромагнитного поля. Вектор называется вектором Пойнтинга и является плотностью потока мощности. Он связан с векторами поля соотношением:

. (7.6)

Величины W_e и W_h - это плотности запасенной энергии соответственно электрическим и магнитным полями:

, (7.7)

. (7.8)

Слагаемое характеризует плотность мощности джоулевых потерь. Вектор Пойнтинга характеризует движение энергии. Таким образом уравнение баланса энергии отражает простой факт - в отсутствие внешних источников источниками и стоками поля вектора Пойнтинга является скорость изменения запасенной полем энергии и плотность мощности джоулевых потерь. Внешними источниками электромагнитного поля являются т. н. сторонние токи - токи обусловленные движением зарядов, вызванным не полем (т. е. не силой (4.1)), а сторонними, внешними силами, не связанными с рассматриваемым полем. Эти токи обычно считаются заданными и включаются в правую часть (4.2):

и уравнение баланса энергии записывается в виде:

. (7.9)

Правая часть этого уравнения интерпретируется как плотность мощности, получаемой полем от сторонних источников, а левая - как плотность мощности расходуемая на пополнение запасенной полем энергии, джоулевы потери и излучение мощности в окружающее пространство. Следует отметить возможную неоднозначность введения вектора , так как к нему можно добавить любое поле , дивергенция которого равна нулю. Но именно определение его в виде (7.6) согласуется с экспериментом.

Для полей, гармонически изменяющихся во времени, уравнение баланса можно записать для мгновенных значений поля и применяя метод комплексных амплитуд получить комплексную форму уравнения баланса. Но для многих задач диагностики можно ограничиться средними за период энергетическими характеристиками и уравнение баланса записывается обычно в усредненном за период колебаний виде. Среднее за период изменение запасенной полем энергии в установившемся режиме равно нулю и уравнение баланса связывает среднее за период джоулевы потери W_a со средним значением вектора Пойнтинга

, (7.10)

где , а среднее за период значение вектора Пойнтинга равно:

, (7.11)

где звездочка означает знак комплексного сопряжения.

8. Плоская электромагнитная волна в однородной среде с потерями

Простейшее решение уравнений поля, является поле, зависящее лишь от одной координаты. Обратимся к уравнениям в комплексной форме для синусоидального во времени поля и представим векторы поля в виде:

, (8.1)

. (8.2)

Формулу (3.16) можно рассматривать как векторное произведение символического вектора

(8.3)

на вектор . (В рассматриваемом случае имеем 0, так как поле не зависит от поперечных координат). Уравнения поля запишутся в следующем виде:

, (8.4)

. (8.5)

Левые части (8.4) (8.5) поперечны и поэтому E_zH_z0 (поле поперечно направлению распространения). Умножив векторно (8.5) слева на с учетом (8.4) получим:

. (8.6)

Его общим решением будет:

(8.7)

- сумма двух волн распространяющейся вдоль оси z и возвращающейся соответственно с амплитудами , где - волновое число среды. Для магнитного поля можно было бы составить уравнение, аналогичное (8.6), но оно может быть найдено с помощью (8.5):

, (8.8)

где - волновое сопротивление среды.

Магнитное поле также содержит два слагаемых, амплитуды которых получаются путем поворота составляющего электрического вектора на 90 по правовинтовой системе с направлением распространения и деления на волновое сопротивление. Магнитное поле при этом запаздывает по фазе от электрического на угол из-за комплексного характера диэлектрической проницаемости. В совокупности (8.7) и (8.8) представляют две независимые электромагнитные волны, в каждой из которых векторы поля ортогональны друг другу и направлению распространения. Волновое сопротивление также комплексное и наряду с фазовыми множителями в уравнениях поля появляются множители, дающие для каждой волны экспоненциальное затухание вдоль направления распространения. Если волна распространяется в произвольном направлении, которое задается единичным вектором уравнения для векторов поля приобретают вид:

, (8.9)

, (8.10)

где - радиус-вектор точки наблюдения. При этом - вектор электрического поля в начале координат. Можно получить простую зависимость для значений поля плоской волны в двух произвольных точках и :

, (8.11)

. (8.12)

Ориентация вектора электрического поля определяет поляризацию волны. Положение вектора в плоскости, перпендикулярной направлению распространения можно задать его проекциями на поперечные оси координат

. (8.13)

Комплексные функции Е_х и Е_y можно представить в виде:

,

.

Если фазы _х и _y равны ориентация вектора относительно координатных осей остается неизменной. Вектор совершает колебания вдоль фиксированной линии и поэтому эта поляризация поля называется линейной. Если фаза поля Е_y отстает от фазы Е_х, вектор Е будет вращаться вокруг оси z по правовинтовому направлению. Его конец будет при этом описывать эллипс и соответствующая поляризация поля называется эллиптической. В частном случае она может оказаться и круговой, когда, например, модули проекций равны, а фазы различаются на /2.

9. Наклонное падение плоской волны на плоскую границу раздела двух сред

Наиболее интересные с точки зрения диагностики явления происходят при отражении зондирующего поля от препятствий. Рассмотрим падение на плоскую границу раздела однородных сред из среды с параметрами,на среду с параметрами₁плоской монохроматической волны с зависимостью от времени :

, (9.1)

где - соответственно радиус -вектор точки наблюдения и единичный вектор направления распространения волны, - волновое число первой среды,- комплексная амплитуда напряженности электрического поля волны в начале координат, - единичный вектор, задающий ориентацию вектора электрического поля, перпендикулярный направлению распространения . Введем систему координат таким образом, чтобы плоскость , перпендикулярная границе, была параллельна единичному вектору направления распространения . Эта плоскость называется плоскостью падения.

Магнитная составляющая поля плоской волны однозначно определяется ее электрическим полем:

, (9.2)

где - волновое сопротивление среды распространения.

При решении краевых задач теории поля часто используется концепция пробного решения. В частности, в рассматриваемом случае можно предположить, что взаимодействие падающей волны с границей раздела приводит к возникновению в первой среде отраженной волны:

(9.3),

а во второй среде - преломленной волны:

(9.4).

Магнитные составляющие этих волн вычисляются с помощью соотношений, аналогичных (1.2). Задача считается решенной, если параметры пробного решения позволяют удовлетворить условиям однозначной разрешимости. В данном случае - условиям непрерывности касательных составляющих поля при переходе через границу раздела.

Ориентация падающего поля относительно плоскости падения (поляризация) может быть произвольной. Удобно разложить его на две ортогональные составляющие, ориентированные соответственно параллельно и перпендикулярно плоскости падения

(9.5).

Из соображений симметрии нетрудно убедиться, что каждая составляющая падающего поля порождает отраженное и преломленное поле той же ориентации относительно плоскости падения. Это позволяет отдельно рассматривать преломление параллельной и перпендикулярной поляризаций падающего поля отдельно, а для общего случая использовать суперпозицию двух решений.

Для параллельной поляризации ориентационные векторы можно представить в виде:

Неизвестные амплитуды отраженного и преломленного полей можно определить их условия непрерывности касательных составляющих полного поля при переходе через границу раздела:

(9.6)

При вычислении магнитных состаляющих следует учесть, что в соответствии с формулолой (9.2) магнитное поле всех трех волн данной поляризации перпендикулярно плоскости падения. В самом деле, например, векторное произведение в (9.2) для магнитной составляющей падающего поля можно записать:

.

А для отраженной волны соответственно получим:

Так что условие непрерывности магнитных составляющих можно записать в виде:

(9.7)

Система уравнений (9.6) и (9.7) разрешается относительно неизвестных комплексных амплитуд при условии равенства показателей экспонент, которые представляют собой линейные функции координат. Например,

Вблизи границы раздела () должно выполняться соотношение:

,

из которого следует требование равенства угла падения и угла отражения :

, (9.8)

и выполнение закона преломления:

(9.9).

Эти условия соответствуют известным оптическим законам, экспериментально проверенным Г. Герцем и для электромагнитных волн.

Система уравнений (9.7),(9.8) после сокращения общих экспоненциальных множителей и с учетом (9.8),(9.9) записывается в виде:

, (9.10)

. (9.11)

Ее решение принято записывать в виде:

(9.12)

через коэффициенты отражения и преломления (прохождения) Френеля:

(9.13)

Для поляризации, перпендикулярной плоскости падения, ориентационные векторы представляются в виде:

, (9.14)

В соответствии с (9.2) магнитная составляющая падающего поля может быть представлена в виде:

. (9.15)

С помощью аналогичных представлений для магнитных составляющих отраженного и преломленного полей, а также с учетом (9.14) и необходимости выполнения законов отражения и преломления, граничные условия непрерывности касательных составляющих в данном случае записываются в виде системы:

(9.16)

решение которой может быть представлено в виде, аналогичном формулам для параллельной поляризации:

, (9.17)

где коэффициенты Френеля для перпендикулярной поляризации имеют вид:

. (9.18)

Простые на вид формулы Френеля (9.13),(9.18) имеют глубокое физическое содержание и описывают такие интересные для практики эффекты, как полное преломление (для параллельной поляризации) и полное внутреннее отражение, лежащие в основе работы многих оптических приборов. Они будут использоваться в дальнейшем изложении.

10. Отражение и преломление волн в слоистой среде

Пусть из полупространства с параметрами ₀, ₀ на плоскослоистую структуру падает плоская волна с гармонической зависимостью поля во времени е^it и направлением . Систему декартовых координат введем таким образом, чтобы плоскость, в которой лежит вектор и нормаль к границе структуры, называемая плоскостью падения, совместилась с плоскостью xoz. Параметры i-го слоя и его толщину обозначим через _i, _i, d_i соответственно. Параметры полупространств перед структурой и за ней соответственно обозначить через ₀, ₀ и _N+1, _N+1.

Поле падающей волны произвольной поляризации можно разложить на две ортогональные составляющие, одна из которых параллельна плоскости падения, а другая перпендикулярна. Поле падающей волны не зависит от координаты y, поскольку ось oy лежит в плоскости фронта волны. В результате взаимодействия с системой возбуждаемые поля также не зависят от координаты y. Рассмотрев отдельно возбуждение структуры полем каждой поляризации можно затем используя принцип суперпозиции найти суммарное поле в системе. Для поляризации замечаем, что поля, возникающие в системе, из-за ее симметрии относительно плоскости xoz, должны сохранять ориентацию вектора параллельно же плоскости. Из этих же соображений поля возбуждаемые поляризацией также должны оставаться перпендикулярными к плоскости падения. В самом деле проекция векторов должна сохраняться по крайней мере в плоскости симметрии. А поскольку поля не зависят от y, любая плоскость, параллельная плоскости падения, сама является плоскостью симметрии.

Рассмотрим падение плоской волны, поляризованной в плоскости падения . Можно предположить, что после окончания переходных процессов в системе устанавливается стационарное состояние, когда в каждом слое и в полупространстве, откуда падает поле, будут существовать две плоские волны , с волновыми векторами и , лежащими в плоскости падения. Назовем эти волны падающей и отраженной соответственно. Острые углы _it и _is образованные векторами и с осью z, назовем углами падения и отражения соответственно. Поле в однородном полупространстве за структурой представлено лишь падающей волной с направлением распространения . Поле в каждом слое в соответствии с вышеизложенным можно представить следующим образом:

, (10.1)

, (10.2)

, (10.3)

где для краткости обозначено:

c_it = cos_it, s_it = sin_it,

c_is = cos_is, s_is = sin_is.

Магнитные поля падающей и отраженной волны имеют вид:

, (10.4)

. (10.5)

Значения комплексных амплитуд Е_it и Е_is на оси z вблизи левой и правой границы i-го слоя будем снабжать индексом и r соответственно. Потребуем непрерывности касательных составляющих полного поля на границе i-го и i+1-го слоев.

Для этого с помощью (8.11) выразить касательные составляющие поля через комплексные амплитуды на оси Z. Представим единичные векторы , через декартовые компоненты:

= е_xs_it + е_zc_it,

= е_xs_is - е_zc_is.

Разность - в (8.11) можно представить:

-= е_xх.

Тогда условия равенства касательных составляющих электрического поля приобретет вид:

(10.6)

Поскольку равенство должно выполняться при любом x оно возможно лишь если равны показатели степени экспонент:

s_it=s_is, (10.7)

_is_it=_i+1s_i+1,t, (10.8)

(i=0,N).

Таким образом, наше предложение о структуре полей может выполняться лишь при условии _it = _is (угол падения в каждом слое равен углу отражения) и условия (10.8) (обобщенный на многослойную структуру закон преломления Снелла). Эти законы согласуются с экспериментальными данными. Таким образом, второй индекс в обозначениях тригонометрических функций с_it = с_is = = с_i можно опускать. Условия непрерывности касательных составляющих упрощаются:

. (10.9)

Аналогично для составляющих магнитного поля:

. (10.10)

Выразим комплексные амплитуды i-го слоя через комплексные амплитуды следующего:

, (10.11)

, (10.12)

где .

Для волн, поляризованных перпендикулярно плоскости падения, имеем следующие представления полей:

, (10.13)

,

Требуя выполнения граничных условий, также устанавливаем необходимость выполнения обобщенных оптических законов (10.7) (10.8) и получаем уравнения аналогичные (10.11) (10.12):

, (10.14)

, (10.15)

.

В частном случае N=0 имеем для обоих поляризаций известные соотношения для отражения и преломления плоской волны на границе раздела двух сред ₀, ₀ и ₁, ₁. Отношения амплитуд отраженной и прошедшей волны к амплитуде падающей волны для этого случая называются соответственно коэффициентами отражения и преломления Френеля:

, (10.16)

. (10.17)

Для нахождения неизвестных амплитуд отраженных полей Е_isr и прошедших полей Е_i+1,s в многослойной структуре введем следующие обозначения:

, (10.18)

. (10.19)

Коэффициент отражения R_i в i-м слое является функцией z. Его значения вблизи левой и правой границы i-го слоя будем снабжать теми же индексами и r. Дальнейшие рассуждения одинаковы для обеих поляризаций, поэтому уравнения (10.11) (10.12) и (10.14) (10.15) запишем в обобщенном виде:

, (10.20)

, (10.21)

Разделив (10.21) на (10.20), а затем в правой части полученного равенства числитель и знаменатель на Е_i+1,ti, получим связь между коэффициентами отражения в соседних слоях:

, (10.22)

где R_i,i+1 - коэффициент отражения Френеля на границе i-го и i+1-го слоев:

.

Связь между значениями коэффициента отражения в i-м слое вблизи левой и правой границы можно получить с помощью (8.11):

_. (10.23)

Поскольку коэффициент отражения за слоистой структурой известен и равен нулю:

R_N+1,=0 (10.24)

мы получим возможность последовательно вычислять коэффициент отражения во всех слоях с помощью (10.22) и (10.23) начиная с i=N до i=0.

11. Распространение волн в слоистой среде

Найдем теперь коэффициент прохождения слоистой структуры. Составим произведения частичных коэффициентов прохождения (10.19):

. (11.1)

Перегруппировав сомножители в правой части, получим:

. (11.2)

С помощью (10.20) (10.21) (10.22) можно получить для частичного коэффициента прохождения:

, (11.3)

где коэффициент преломления Френеля на границе i-го и i+1-го слоев. Поскольку согласно (8.11)

,

получаем окончательную формулу для коэффициента прохождения i слоев:

. (11.4)

При анализе зондирующих систем соотношение (11.4) позволяет количественно оценить степень проникновения падающего поля внутрь слоистой структуры и осуществимость каждой конкретной схемы зондирования.

Входящие сюда коэффициенты Френеля имеют представление:

(11.5)

(11.6)

Полученные формулы дают точное решение для кусочно-однородной слоистой среды и позволяют рассчитывать поле в любом интересующем слое. В формуле (2.22) можно выделить отдельно три фактора:

(11.7)

- произведение коэффициентов передачи Френеля, который можно назвать трансформационным фактором,

(11.8)

-трансляционный фактор, и, наконец, рефлекторный фактор, учитывающий отражения

, (11.9),

влиянием которых удобно описывать распространение волны в слоистой структуре.

12. Задачи диагностики плоско-слоистых объектов

Диагностику плоско-слоистой структуры удобно проводить в зависимости от числа слоев и распределения электрофизических параметров по слоям. Если исследуются параметры слоистой структуры над плотной подстилающей средой измерению доступно отраженное поле. В настоящее время для этих целей применяется метод эллипсометрии. Наклонно под углом падения ₀ на плоско-слоистую структуру направляется монохроматический световой луч с заданной (обычно круговой) поляризацией.

Каждая из поляризаций (параллельная и перпендикулярная плоскости падения) по-разному отражаются от плоско-слоистой структуры и складываясь после отражения образуют луч, поляризованный эллиптически. Это обстоятельство положено в основу метода диагностики слоистых структур, называемого эллипсометрией. Ширина светового луча, применяемого в эллипсометрии, много больше длины волны. Поэтому дифракционные эффекты вблизи границы луча оказывают малое влияние на характер его распространения и соотношения прохождения и отражения для плоской волны, рассмотренные выше, выполняются с достаточно высокой точностью. Измеряемыми величинами являются модуль и фаза отношения коэффициентов отражения для параллельной и перпендикулярной поляризаций поля:

, (12.1)

где .

Рассмотрим использование метода эллипсометрии для контроля параметров диэлектрических слоев (пленок) наносимых на полупроводниковую подложку. Для простоты ограничимся немагнитными материалами _i = ₀ однослойной структурой (i=0, 1, 2).

Угол падения ₀ выбирается таким образом, чтобы угол был близок к /2. При этом условии параметры эллипса поляризации оказываются наиболее чувствительными к изменениям толщины и показателя преломления наносимого диэлектрического слоя ₁. Исходными параметрами метода эллипсометрии являются параметры подложки ₂, ₀; длина волны зондирующего поля _z (определяется конкретным типом лазера - генератора когерентного излучения), главный угол падения ₀, определяемый из условия близости к /2 (этот угол называется главным углом падения). По этим исходным параметрам строится номограмма в координатах и . Каждому постоянному значению показателя преломления непоглощающей пленки:

(12.2)

Параметры и при изменении толщины периодически повторяются. По конкретным измерениям углов в соответствующей точке номограммы определяются n₁ и d наносимого диэлектрического слоя. При большем числе слоев эллипсометрический метод при одном угле падения ₀ позволяет определить любые два параметра из совокупности параметров, определяющих систему. При числе слоев N количество параметров составляет 3N+3. Для определения большего числа параметров измерения можно осуществлять для серии углов падения _0j, добиваясь однозначной разрешимости уравнения эллипсометрии.

13. Зондирование слоистой среды точечным источником

При рассмотрении плоской структуры с непрерывными изменением параметров вдоль координаты z можно воспользоваться предельным переходом N d_imax0. Условия однозначной разрешимости требуют детального исследования. Знание рассеянного поля, созданного одиночной плоской волной, недостаточно для однозначного определения (z). Однозначность может быть обеспечена в этом случае зондированием структуры совокупностью плоских волн различной длины волны или источником плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. Таким источником является, например, любой локальный источник (вибратор Герца, рамка с током и т.п.). Поле любого такого источника может быть точно представлено в виде совокупности полей элементарных диполей. Рассмотрим представление поля диполя в виде интеграла плоских волн. Диполь с синусоидальной во времени зависимостью от времени может быть представлен как элемент линейного тока J малой длины по сравнению с длиной волны с данной частотой и два точечных заряда на концах элемента J/(i). Векторный потенциал, связанный с током представляется в виде:

, (13.1)

где G(R) = [exp(-iR)]/(4R) - функция Грина однородного пространства, R = - расстояние между точкой наблюдения и точкой размещения диполя . Векторы поля в точке наблюдения:

(13.2)

Представление функции Грина в виде плоских волн может быть получено с помощью преобразования Фурье и теории вычетов [5]:

, (13.3)

где - волновой вектор, проекциями которого на оси координат являются пространственные частоты:

, (13.4)

где в свою очередь:

Волны, соответствующие неравенству , являются обычными распространяющимися волнами, остальная часть спектра представлена волнами, затухающими в обе стороны от плоскости размещения источника z = z_d. Их можно рассматривать, как волны с волновым вектором, имеющим мнимую компоненту. Тем не менее при анализе прохождения такой волны через слоистую структуру с помощью формул, приведенных в 11-ой лекции получается решение удовлетворяющее граничным условиям и уравнениям поля, т.е. условиям однозначной разрешимости. Т.е. нет необходимости отдельного рассмотрения прохождения отдельных частей спектра через слоистую структуру. После подстановки (13.3) в (13.2) получаем требуемое представление поля в виде интеграла плоских волн:

(13.5)

(13.6)

где - единичный вектор, параллельный вектору пространственных частот (13.4),

Применение (13.5) и (13.6) позволяет моделировать зондирование плоскослоистой структуры локальным источником с помощью приведенных выше соотношений для коэффициентов отражения и прохождения плоской волны в слоистой среде. Весьма важным, например, представляется выяснение вопроса, до каких глубин проникает зондирующее поле при выбранных частотах и схеме зондирования в слоистую структуру. Еще до реализации процедуры диагностики необходимо подобрать параметры системы зонд - объект, таким образом, чтобы была обеспечена наибольшая чувствительность метода, возможность получения необходимого объема измерений, т.е. ее принципиальная осуществимость. После того, как этот предварительный этап пройден, можно переходить к построению алгоритма вычислительной диагностики, который даже для рассматриваемой сравнительно простой плоско-слоистой структуры представляет сложную задачу, требующую тонких математических исследований. Ниже мы рассмотрим условия применимости в данной задаче методов компьютерной томографии.