.

Полагаем и

Тогда

В адиабатном процессе S=const и правая часть этого уравнения также является константой, если

(128)

Уравнение (128) называется уравнением адиабаты идеального газа или уравнением Пуассона.

Окончательно, адиабатные процессы идеального газа описываются тремя равнозначными уравнениями Пуассона.

;

; (129)

.

Вернемся к формуле (115) и возьмём определённый интеграл энтропии:

(130)

Из (130) следуют два частных случая:

(формула (121))

(формула (109))

Принимая за начало отсчёта S нормальные физические условия, из (130) получим формулу:

 (131)

где - удельный объем идеального газа при н.ф.у.

Получим формулы для случая линейной зависимости теплоёмкостей от температуры:

c_v=c_0v+aT и c_p=c_0p+aT, где c_0v, c_0p, а - постоянные величины.

(132)

Найдём значение из уравнения Менделеева-Клапейрона после его логарифмирования и дифференцирования:

Подставим это выражение в (132)

(133)

Интегрируя (133) получим:

 (134)

Из (134) следует три частных случая:

(135)

(136)

Преобразуем эту формулу:

Или

(формула (120))

Полагая S=0 при нормальных физических условиях, из (134) получим формулу для расчета значения энтропии идеального газа в любом процессе

(137)

III.2 Уравнение адиабаты реального газа в общем виде

Для обратимого адиабатного процесса реального газа из (126) при dS=0 получим:

.

Откуда:

Здесь, - третий тип дифференциальных соотношений

- второй тип дифференциальных соотношений

Окончательно получаем:

(138)

Здесь, K - показатель адиабаты (K>1)

Уравнение (138) называется уравнением адиабаты в общем виде.

Из (138) следует, что адиабатная сжимаемость в K раз меньше изотермической сжимаемости

Физическая природа различия сжимаемостей состоит в том, что при адиабатном сжатии, температура газа повышается и, в соответствии с уравнением состояния, происходит повышение давления, то есть увеличивается сопротивление системы ее сжатию.

Раздел IV. Политропный (политропический) процесс

IV.1 Уравнение политропы. Определение показателя политропы

Из физики известно четыре простейших процесса (изопроцесса):

1) изобарный;

2) изохорный;

3) адиабатный;

4) изотермический,

Для сравнения изобразим на рис.10 эти процессы, проходящими через общую точку А:

Но в целом ряде случаев реальные процессы, например рис.11, не соответствуют ни одному из изопроцессов.

Для выполнения теплотехнических расчётов в таких случаях, пусть даже с какими-то погрешностями, реальный процесс заменяется гипотетическим, имеющим формулу, удобную с точки зрения математических преобразований. Этому требованию удовлетворяет уравнение вида . Так как это уравнение должно описывать всё многообразие реальных процессов, то в этом уравнении должен присутствовать коэффициент согласования (идентификации). Этим коэффициентом является показатель степени n, называемый показателем политропы. Так как n коэффициент согласования, то, в отличие от показателя адиабаты k в уравнении Пуассона , где k>1, показатель политропы может иметь любые значения в интервале (,+). Показатель политропы определяется только путем обработки опытных данных.

Алгоритм определения показателя политропы n.

1) Разбиваем pv-диаграмму реального процесса на N точек (чем больше точек, тем точнее n).

2) Снимаем с pv-диаграммы реального процесса значение давления p_i удельного объёма v_i в каждой i-той точке и заносим в таблицу.

3) Для каждой i-той точки вычисляем значения lnp_i и lnv_i и заносим в таблицу.

4) Перестраиваем pv-диаграмму в координатах: lnp - lnv.

5) Аппроксимируем точки на графике в логарифмических координатах одной прямой, используя метод наименьших квадратов или другой аналогичный метод. Если это удаётся без значительных погрешностей, то тангенс угла наклона прямой к оси lnv равен показателю политропы.

На рис. 12 и 13 представлен пример определения показателя политропы.

i - номер точки	pi, Па	vi,	lnp	lnv
1	p1	v1	lnp1	lnv1
2	p2	v2	lnp2	lnv2
…	…	…	…	…
N	pN	vN	lnpN	lnvN



Если все точки не укладываются удовлетворительно на одной прямой, то используется метод линейно-кусочной аппроксимации, по которому показатели политропы определяются для отдельных участков процесса.

В этом случае реальный процесс рассчитывается по уравнению pvⁿ = const при последовательно изменяющемся значении показателя политропы n: n₁, n₂, n₃ и т.д. Значения А,Q,U, найденные на отдельных участках процессов затем суммируются.

В тех случаях, когда расчёты выполняются для небольшого участка процесса или для всего процесса известны только две точки, можно использовать метод определения показателя политропы n по двум точкам.

Если реальный процесс задан pv-координатах, то используется уравнение политропы в виде

pvⁿ = p₁v₁ⁿ = p₂v₂ⁿ =const

После логарифмирования и приведения подобных, получим искомое значение n:

ln p₁ + n ln v₁ = ln p₂ + n ln v₂

ln p₁ - ln p₂ = n (ln v₂ - ln v₁)

(139)

В политропном процессе газ считается идеальным. Так как основное уравнение политропы pvⁿ =const по форме совпадает с уравнением адиабаты идеального газа pv^k =const (уравнение Пуассона), то без вывода запишем еще два уравнения политропы:

(140)

(141)

Для определения показателя политропы может использоваться любое из трех уравнений политропы.

Так как теплоёмкость является функцией процесса, то получим формулу для теплоёмкости в политропном процессе с_n:

Из общей формулы теплоёмкостей однородных систем (74) для политропного процесса имеем:

(формула(76))

Так как в политропном процессе газ считается идеальным, то

(формула(77))

Требуется найти . Для этого воспользуемся уравнением политропы (140):

.

Логарифмируя и дифференцируя это уравнение, приводя подобные получим:

Откуда

Подставим найденное значение в уравнение (76):

Окончательно

(142)

В (142) показатель адиабаты k>1, в то время как n(, +).

При 1<n<k значение c_n получается отрицательным. С физической точки зрения это трудно объяснимо, поэтому, придавая отрицательной величине c_n формальный характер, вычисление А, Q, U проводим с этим отрицательным значением.

Изопроцессы, в силу универсальности уравнения , можно рассмотривать как частные случаи политропного процесса:

1) при n = 0 получается уравнение изобарного процесса (p=const);

2) при n = 1 - уравнение изотермического процесса (pv=const);

3) при n = k - уравнение адиабатного процесса pv^k=const (или S=const);

4) при n = - уравнение изохорного процесса (v=const).

На рис.16 представлены различные процессы с указанием значений показателя политропы. Пунктирной линией в качестве примера изображены процессы, не относящиеся к изопроцессам.

IV.2 Работа, теплота и внутренняя энергия в политропном процессе

Как известно, удельная абсолютная деформационная работа определяется по формуле:

Для того, чтобы найти этот интеграл, необходимо знать уравнение, связывающее давление и объем. Таким уравнением является уравнение политропы pvⁿ=const. Запишем это уравнение развернутом виде:

, откуда

Тогда

Окончательно

(143)

Так как в политропном процессе газ считается идеальным, то преобразуем (143) к виду:

Или окончательно:

(144)

Получим ещё несколько формул для А_n, для чего подставим в (144) , найденные из других уравнений политропы. Из уравнения

Тогда

(145)

Из уравнения следует

Или

(146)

После подстановки (146) в (144) окончательно получим

 (147)

Формула (147) широко используется в теории газовых турбин, газовой динамике и так далее.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только температуры, поэтому соотношение (73) для идеального газа примет вид

, (148)

откуда после интегрирования при с_v=const

(149)

Формула (148) справедлива для любого процесса, в том числе и для политропного, поэтому

(150)

Как известно

, откуда для политропного процесса

dQ_n=c_ndT (151)

После подстановки (142) в (151) и интегрирования при окончательно получим:

(152)

IV.3 Изменение энтропии в политропном процессе

Для обратимых процессов, как известно

dQ = T dS

Так как одновременно

dQ = c dT,

то из равенства правых частей этих уравнений получим

dS = c (153)

Из (153) и (142) для политропного процесса

dS_n = ,

Откуда после интегрирования окончательно получим:

(154)

Подставляя в (154) отношения из (144*) и (146) получим еще две формулы для расчета ?S_n:

Или

(155)

Или

(156)

Как известно, в инженерных расчетах полагают, что энтропия равна нулю при нормальных физических условиях. Тогда, подставляя в (154) Т_н вместо Т₁ и Т вместо Т₂ получим формулу для расчета энтропии:

(157)

Из формул (155) и (156) аналогично получим:

 (158)

(159)

Раздел V. Исследование изопроцессов. Работа, теплота, внутренняя энергия в изопроцессах

V.1 Изохорный процесс (v = const)

Из общей формулы для абсолютной работы термодеформационной системы при dU=0 следует

A_v = 0 (160)

Изменение внутренней энергии из (148) определяется по формуле:

(161)

Из первого начала термодинамики в обычной интегральной форме Q = U + A для изохорного процесса получаем:

Q_v = U_v (162)

или (163)

Ранее для изохорного процесса была получена формула:

Этот же результат может быть получен из (154) при n_v=±?.

V.2 Изотермический процесс (T = const)

В формуле (143) при n_T = 1 и p₁v₁ = p₂v₂ = RT = const получается неопределенность види {0/0}, которую нужно раскрывать специальным образом (например, по правилу Лопиталя). Проще найти абсолютную механическую работу в изотермическом процессе из общей формулы .

Из уравнения изотермического процеса

следует связь между p и v: ,

откуда после подстановки в (163) и интегрирования получаем

(164)

Или

(165)

Или

(166)

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому при Т=const

U_T = 0 (167)

Этот же результат формально следует из (148).

Из первого начала термодинамики для изотермического процесса с учетом (167) получаем:

Q_T = A_T (168)

Таким образом в изотермическом процессе вся подведенная к системе теплота идет на совершение системой абсолютной работы.

Из (154), (155) при n=1 получаются известные формулу для расчета изменения энтропии в изотермическом процессе:

Здесь: R=c_p-c_v

c_p/c_v=K

Окончательно

(169)

Формула (169) совпадает с полученной ранее.

V.3 Изобарный процесс (p = const)

Из общей формулы для удельной абсолютной деформационной работы в политропном процессе (143) при n_p=0 получим:

(170)

Из уравнения удельная теплота в изобарном процессе равна. При получим

(171)

Ранее из первого начала термодинамики в энтальпийной форме было получено:

Q_p = i₂-i₁ (формула (58))

Изменение внутренней энергии в изобарном процессе в соответствии с формулой (149) определяется как

(172)

Из (154) получим:

 (173)

Формула (173) совпадает с полученной ранее.

V.4 Адиабатный процесс (dQ=0)

Как известно, обратимые адиабатные процессы являются изоэнтропными (S=const)

Из формулы (143) при n_s = k, получаем:

(174)

По аналогии с формулами (145) и (147), заменяя n на k, можно сразу записать:

(175)

(176)

или

(177)

Из первого начала термодинамики в дифференциальной форме получим еще одну формулу для абсолютной работы в адиабатном процессе

dQ = dU + dA, откуда при dQ=0

dA_S = - dU_S (178)

или после интегрирования

(179)

Из (149) изменение удельной внутренней энергии определяется по формуле:

(180)

Подставляя (180) в (179) окончательно получим:

(181)

Раздел VI. Второй закон термодинамики

Первый закон термодинамики говорит о том, что невозможно получить работу без подвода энергии извне, в частности в форме теплоты, то есть закон устанавливает возможность взаимопревращений работы и теплоты, но не устанавливает особенности превращения теплоты в работу и работы в теплоту. Но работа в теплоту превращается легко, просто и без потерь, а для превращения теплоты в работу нужны сложные технические устройства, и это превращение теплоты всегда сопровождается потерями энергии. С точки зрения физики, различие кроется на уровне превращения упорядоченного движения в хаотическое (AQ) и хаотического в упорядоченное (QA).

Все процессы в природе подразделяются на самопроизвольные и вынужденные. Самопроизвольные: падение давления в сосуде при разгерметизации, диффузия газов, передача теплоты от более к менее нагретому телу и т.д., и в общем случае - превращении работы в теплоту. Вынужденные: нагнетание давления, разделение газов и т.д., и в общем случае - превращение теплоты в работу.

Ранняя формулировка 2-ого закона термодинамики (формулировка Томсона): «Невозможно провести отрицательный (вынужденный) процесс без компенсации его положительным самопроизвольным процессом».

Пример: Таяние снега - вынужденный процесс, так как сопровождается самопроизвольным процессом передачей тепла от более нагретого тела к менее нагретому (от Солнца к Земле).

Известны также другие формулировки второго закона термодинамики:

- «Каждый вынужденный процесс избегает одиночества и требует сопровождения себя самопроизвольным процессом»;

- «Невозможно построить тепловой двигатель, термический КПД которого превышал бы термо-КПД цикла Карно»;

- «Энтропия в адиабатически изолированных системах всегда возрастает»;

- «Вечный двигатель 2-ого рода невозможен».

Вечный двигатель 2-ого рода - двигатель, единственным источником теплоты которого, являлась бы теплота окружающей среды.

С точки зрения первого закона термодинамики это возможно, но второй закон термодинамики утверждает, что должно быть как минимум два источника теплоты: нагреватель (ВИТ) и холодильник (НИТ).

Рассмотрим прямой обратимый цикл Карно:

Для обратимых процессов известно соотношение dQ = TdS.

Для изотермических процессов после интегрирования получаем:

Q₁ = T₁(S₂ - S₁), Q₂ = T₂(S₁ - S₂). Отведенная теплота Q₂ считается отрицательной.

Термический КПД для любых процессов (обратимых и необратимых) имеет общую формулу

(182)

Тогда .

(183)

Из (183) следует теорема Карно:

Термо-КПД обратимого цикла Карно не зависит от состава рабочего тела и определяется только температурами нагревателя T₁ (ВИТ) и холодильника T₂ (НИТ)

Все реальные процессы являются необратимыми, так как всегда сопровождаются дополнительными потерями энергии в окружающую среду, то есть:

Откуда из (182)

(184)

Подставим в (184) значения из (182) и (183) и получим:

, откуда окончательно

(185)

Формула (185) справедлива для необратимых процессов.

Для обратимых процессов, когда , из (182) и (184) получим

, откуда для обратимых процессов

(186)

Рассмотрим на рис.18 произвольный прямой обратимый цикл 1-а-2-в-1 и разобьем его бесчисленным числом адиабат, добавим к ним элементарные изотермические участки и образуем таким образом бесчисленное количество элементарных циклов Карно:

Для элементарного цикла Карно уравнение (186) запишется следующим образом:

(187)

Проинтегрируем (187) по замкнутому контуру:

или (188)

Из математики известно, что равенство нулю линейного интеграла по замкнутому контуру означает наличие полного дифференциала в качестве подинтегральной функции.

Для обратимых процессов dQ/Т = dS, поэтому из (188) следует, что dS является полным дифференциалом, и, соответственно, энтропия является функцией состояния. Изменение S не зависит от пути перехода и определяется только ее значениями в начальном и конечном состояниях: ?S=S₂-S₁.

Для необратимых процессов dQ T dS.

На рис.19 изображен гипотетический цикл, часть которого (1-а-2) является обратимой, а оставшаяся (2-в-1) - необратимой. Суммарно такой процесс является необратимым. Для элементарного прямого необратимого цикла Карно (185) запишется следующим образом:

(189)

Проинтегрируем (193) по замкнутому контуру

откуда ?S=S₂-S₁>

Или после дифференцирования

(190)

В необратимых процессах изменение энтропии всегда больше, нежели в обратимых процессах

Клаузиус предположил, что все процессы в масштабах Вселенной являются суммарно - адиабатными, для которых dQ = 0. Тогда из (190), получаем

 (195)

Уравнение (191) называют математической формулировкой второго закона термодинамики.

Энтропия - это мера неупорядоченности системы.

S_газа>S_жидк>S_тв.тел.

По Клаузиусу, теплота, переходя от более нагретых тел к менее нагретым телам, будет излучаться в космическое пространство, передаваться к другим космическим телам и через какое-то время температура во Вселенной должна выровняться. Для преобразования теплоты в работу необходимо иметь как минимум два источника теплоты (ВИТ и НИТ), но так как температура НИТ и ВИТ будет одинаковой, то преобразование теплоты в работу станет невозможным. Именно эта потеря энергией способности к преобразованиям называется тепловой смертью Вселенной.

Критика тепловой смерти Вселенной.

С философской точки зрения, у любого конца, есть свое начало, а в масштабах бесконечного вселенского времени таких чередований «начало-конец», «конец-начало», должно быть бесчисленное множество. Эта позиция хорошо согласуется с современной теорией пульсирующей Вселенной. Факт разбегания Вселенной установили по так называемому «красному смещению» (эффект Доплера): излучение удаляющихся тел смещается в красную часть спектра, а приближающихся - в фиолетовую («фиолетовое смещение»).

С точки зрения статистической физики критику тепловой смерти дал Больцман, по которому термодинамическое состояние системы - это её наиболее вероятное состояние. Но наряду с наиболее вероятными состояниями, есть маловероятные, называемые флуктуациями. Процессы с dS>0 - это наиболее вероятные, но должны быть и флуктуации с dS<0, компенсирующие наиболее вероятные события.

И, наконец, последний аргумент. Строение Вселенной только начинает изучаться, поэтому считать ее адиабатической системой преждевременно…

Третьим законом термодинамики называют следствие тепловой теоремы Нернста (рассматривается в химической термодинамике). По этой теореме при T0, величина S0, поэтому получить абсолютный ноль температур невозможно так как при S = 0 все формы движения должны прекратится.

Размещено на Allbest.ru