Дифференциальные уравнения Эйлера, описывающие движения невязкой жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Напряженное состояние жидкости, находящейся в покое, устанавливается уравнениями Эйлера. В процессе движения силы, действующие на жидкость, определяются не только напряжениями, но и скоростями.

Использование уравнений статики для описания движения - принцип кинетостатики или принцип Д'Аламбера - состоит во введении сил инерции:

. (1)

Относя силы инерции к массе частицы жидкости, можно записать:

. (2)

Проекции удельной силы инерции выражаются через компоненты скорости:

; ; . (3)

В соответствии с принципом Д'Аламбера уравнения движения принимают вид:

(4)

Это уравнения идеальной (невязкой), несжимаемой жидкости, поскольку в них учитываются процессы внутреннего трения и связанные с ними касательные напряжения.

Эквивалентные формы уравнений невязкой несжимаемой жидкости.

В зависимости от представления компонент ускорений можно записать следующие эквивалентные формы уравнений невязкой несжимаемой жидкости:

а) в декартовой системе координат :

(5)

б) в форме Громеки-Ламба при выполнении условий несжимаемости и существования потенциала массовых сил:

;

(6)

Уравнение непрерывности

Замыкание системы уравнений движения невязкой жидкости производится с помощью уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы.

Рис. 1. Движение жидкости сквозь элементарный объем

Определим изменение расхода несжимаемой жидкости ()при ее движении через элементарный объем с ребрами длиной и (рис. 1). Масса жидкости в выделенном объеме сохраняется, поэтому .

Если жидкость протекает через грани параллельные плоскости , то она входит в левую грань со скоростью и выходит через противоположную грань со скоростью:

(7)

Из условия баланса масс жидкости, входящей в элементарный объем и выходящей из него за время , следует уравнение изменения потока массы:

(8)

Для других пар граней запишем:

и (9)

Суммарное изменение массы равно:

(10)

Поскольку в замкнутом объеме , то, после сокращения на получим:

(11)

Это дифференциальная форма уравнения неразрывности.

Если движение жидкости потенциально, то проекции скорости на оси координат могут быть определены в виде:

, , . (12)

С учетом выражений для производных от компонент скорости по соответствующим координатам:

;

;

;

получим уравнение Лапласа для безвихревого движения жидкости:

(13)

где - оператор Лапласа.

Уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стокса

Касательные напряжения вызываются трением. При отнесении сил трения к массе несжимаемой жидкости () можно записать:

(14)

где кинематическая вязкость.

Уравнение Рейнольдса.

В случае пульсационного изменения скоростей в каждой точке потока действительная мгновенная скорость в соответствии равна с проекциями на оси координат , , . Из уравнений Навье-Стокса в результате замены действительных составляющих вектора скорости на компоненты осредненных и пульсационных скоростей выводятся уравнения Рейнольдса:

(15)

Уравнение неразрывности для компонент осредненных скоростей имеет вид:

(16)

Однако, система из трех уравнений Рейнольдса и уравнения неразрывности не являются замкнутыми. Недостающие уравнения полуэмпирическим путем определяют турбулентные напряжения , , , , , , , .

Граничные и начальные условия. Набор постоянных и функций, входящих в дифференциальные уравнения движения жидкости определяется дополнительными условиями, которые часто называются краевыми.

Краевые условия включают граничные и начальные условия.

Граничные условия формируются на границе области потока жидкости:

1) если граница является свободной поверхностью, то давление на ней постоянно

2) если поток ограничен твердой стенкой, то образуется условие непротекания и нормальная к стенке компонента скорости

3) вязкая жидкость «прилипает» к твердой стенке и

4) в живом сечении, ограничивающем поток, задается распределение скоростей.

Начальные условия требуют знания о параметрах потока в момент времени (обычно ). Например, при движении из состояния покоя а давление распределяется по гидростатическому закону:

(17)

Плавно изменяющееся движение.

Если радиусы кривизны потока велики, то поток называется плавно изменяющимся. Если оси X и Y лежат в плоскости живого сечения, то компонентами скорости и можно пренебречь и уравнения Навье-Стокса будут:

дифференциальный уравнение пульсационный поток

т.е. условие плавно изменяющегося движения означает, что распределение давления подчиняется закону гидростатики.

Размещено на Allbest.ru