3. Чему равен момент инерции вала, если под действием момента сил 5·10 Н·м он стал вращаться с угловым ускорением 5 рад/с².

4. Определить момент сил действующих на неподвижный блок, если в течение 30с его момент импульса стал равным 3·10³ .

5. Найти силу действующую на тело массой m=1г, если оно двигалось со скоростью 10 м/с, а его импульс за время ?t=1мкс увеличился вдвое.

6. Определить силу давления пассажира массой 60 кг на стенку сидения в автомобиле движущейся со скоростью 80 км/ч при тормозном пути 30м.

7. Найти силу действия и противодействия тела лежащего на наклонной поверхности с углом наклона к горизонту б=30є.

8. Определить результирующую силу действующую на груз массой 9т в вагоне, если поезд движется с ускорением 2 м/с².

9. Определить модуль равнодействующей силы действующих на вагон массой 10т спускающегося с горки с уклоном 5^є и коэффициентом трения 5·10^-2.

10. Определить силу тяжести космического корабля массой 1т на высоте равной радиусу Земли.

11. Определить силу реакции опоры поверхности прямоугольного клина с катетами 3 и 5 см, если на ней лежит тело массой 10кг.

12. Найти коэффициент трения тела о поверхность, если оно начинает движение при ее угле наклона к горизонту равным 30є.

13. Определить силу трения качения пары колес массой 200 кг, радиусом 50 см, если коэффициент трения качения равен 5·10^-2м.

14. Определить удлинение закрепленного металлического стержня длиной 1м и сечением 1см², если на него перпендикулярно его торцам действует сила 10⁶ Н, а модуль Юнга равен 2·10¹¹ .

15. Найти модуль сдвига цилиндрического стержня, если он под действием тангенциального напряжения ф=10⁷ имеет относительный сдвиг .

16. Определить коэффициент упругости пружины, если она растягивается на 2 мм под действием силы 5 кН.

17. Определить силы внутреннего трения и сопротивления цилиндрического тела сечением S=1 см² и длиной 10см движущегося со скоростью 10 м/с в воде вдоль трубы диаметром 5см.

18. Определить максимальною скорость колебаний пружинного маятника с параметрами, если максимальное смещение от положения равновесия груза равно 5 см.

19. Определить период затухающих колебаний, если частота свободных колебаний 1 Гц, а коэффициет затухания 2 с^-1

20. Определить время релаксации затухающих колебаний с коэффициентом затухания 2 с^-1

21. Определить резонанстную частоту колебаний пружинного маятника с коэффициентом упругости 100 Н/м, массой груза 10 кг и коэффициентом затухания 2 с^-1

22. Определить период и частоту колебаний пружинного маятника с коэффициентом упругости пружины 100 и массой груза 10 кг.

23. Определить максимальную скорость колебаний пружинного маятника с параметрами k=200, m=5 кг, если максимальное смещение от положения равновесия груза равно 5 см.

24. Определить период затухающих колебаний, если частота свободных колебаний 1 Гц, а коэффициент затухания 2 с^-1.

25. Определить время релаксации затухающих колебаний с коэффициентом затухания 2 с^-1.

Определить резонансную частоту колебаний пружинного маятника с коэффициентом упругости 100 , массой груза 10 кг и коэффициентом затухания 2 с^-1.

Глава 3. Работа и энергия

3.1 Работа. Мощность

При перемещении тела на расстояние s под действием постоянной силы F совершается работа.

(3.1)

где б - угол между вектором силы и направлением перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой на участке , определяется интегрированием элементарных работ dA на участках dr (рис 3.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Работа постоянной силы F на участке r₂-r₁

.

Работа может быть положительной, если 0 ? б < р/2, и отрицательной, если р/2 < б ? р.

Если на тело действует сила перпендикулярно перемещению, то её работа А = 0.

Если на тело действует несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ всех составляющих сил (принцип независимости действия сил):

.

Скорость совершения работы определяется средней мощностью

и мгновенной мощностью

, (3.2)

где б - угол между векторами силы и скорости движущегося тела

Работа в СИ измеряется в джоулях (Дж). Один джоуль -- это работа, совершаемая силой F = 1 Н на пути в s = 1 м при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения.

Мощность в СИ измеряется ваттах (Вт). Один ватт -- это такая мощность, при которой совершается работа в A=1 Дж за время t=1 с.

3.2 Энергия поступательного движения (кинетическая энергия)

Если тело массой m движется под действием некоторой силы и изменяет скорость на пути s от до то элементарная работа на бесконечно малом участке ds (рис. 3.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Работа на всём пути s

(3.3)

Величины и характеризуют состояние тела в его начальном и конечном положении.

Механическое состояние, зависящее от скорости движения тела, называют кинетической энергией

, (3.4)

где С - постоянная интегрирования, зависящая от выбора системы отсчета

Соотношение (3.3) можно записать в виде

.

Изменение кинетической энергии тела при переходе его из одного состояния в другое равно работе, совершаемой силой, действующей на тело в процессе этого перехода.

Если А > 0, то ДЕ_k > 0, тело получает энергию от тел, которые являются «источником» сил, совершающих работу; если А < 0, то ДЕ_k < 0, тело отдает энергию окружающим телам. Обладая кинетической энергией, тело способно совершить работу, т.е. отдать эту энергию другим телам (заставить их двигаться, изменять скорость или деформироваться).

Кинетическая энергия связанна с импульсом тела p соотношением

(3.5)

и всегда положительна в любой системе отсчета.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3.3 Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)

Энергию, которой обладает тело взаимодействуя с другими телами называют потенциальной.

Потенциальной энергией обладает, например, тело поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина.

Найдем потенциальную энергию системы из двух тел испытывающих гравитационное взаимодействие. Пусть два тела с массами m₁ и m₂ под действием силы гравитационного притяжения перемещаются относительно друг друга (рис. 3.3). Будем считать, что тело массой m₁ покоится, а изменение расстояния между телами происходит в результате перемещения тела массой m₂. Тогда работу совершает лишь сила , действующей на тело массой m₂. Сила зависит от расстояния между телами r и равна гравитационной силе взаимодействия.

.

Элементарную работу силы на бесконечно малом перемещении тела

.

где G = 6,67*10^-11 Нм²/кг²- гравитационная постоянная.

Полная работа при перемещении второго тела к первому на расстояние r₂

Работа силы гравитационного взаимодействия при изменении расстояния между телами зависит только от начального и конечного положения тел и не зависит от формы траектории перехода из начального положения в конечное.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называются консервативными.

Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются неконсервативными (силы трения, силы сопротивления при движении тела в газе или жидкости).

Величина в соотношении (3.6) является функцией параметров состояния одного тела относительно другого и называется потенциальной энергией их взаимодействия. Изменение потенциальной энергии не зависит от формы траектории тела при его переходе из одного состояния в другое.

Работа силы гравитационного взаимодействия положительна, так как и направлены одинаково. Однако, численное значение 1-го слагаемого в соотношении (3.6) меньше численного значения 2-го слагаемого r₁ > r₂. Неравенство Е_п1 - Е_п2 > 0 будет выполнено, если Е_п1 и Е_п2 будут отрицательны:

,

где С - постоянная интегрирования.

Постоянная интегрирования С находится из условия, что при потенциальная энергия взаимодействия двух тел Е_п = 0, тогда 0 = ? 0 + С, и

С = 0.

Потенциальная энергия двух взаимодействующих тел с массами m₁ и m₂ находящихся на расстоянии r друг от друга

. (3.7)

Энергия, как и работа, в системе СИ измеряется в джоулях (Дж).

Потенциальная энергия взаимодействующих тел связана с консервативной силой, обусловливающей это взаимодействие.

Предположим, что тело под действием силы переместилось в произвольном направлении на бесконечно малое расстояние dr (рис. 4.4). Тогда работа

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (3.8)

где - проекция силы на направление .

Так как сила F консервативна, то для нее справедливо соотношение

,

Сравнивая последнее равенство с (4.8) получим

,

. (3.9)

Из последнего равенства следует:

1) если в направлении потенциальная энергия возрастает , то . Это означает, что направление силы образует с направлением угол а проекция этой силы противоположна направлению возрастания потенциальной энергии;

2) если потенциальная энергия вдоль убывает , то , угол между и направлением а проекция силы совпадает с направлением убывания потенциальной энергии.

Изменение потенциальной энергии связанно с проекциями силы соотношениями:

.

Зная проекции силы , можно записать вектор силы в декартовой системе координат:

,

Или (3.10)

Вектор, стоящий в скобках, называется градиентом потенциальной энергии.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Консервативная сила, действующая на тело, равна по величине и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии.

Градиент потенциальной энергии - это вектор, быстрейшего возрастания потенциальной энергии модуль которого равен ее изменению.

3.4 Работа и энергия вращательного движения

При повороте тела под действием силы F на бесконечно малый угол dц любая его точка переместится на расстоянии dr (рис 3.8).Работа силы F при повороте на угол dц

где ; - касательная составляющая силы F.

Произведение F_ф r₁ = M_z есть проекция момента силы F на ось оZ. Следовательно,

(3.14)

При повороте тела на угол Дц=ц₂-ц₁

. (3.15)

При M_z=const

(3.16)

При повороте тела на угол dц

При вращении тела в пределах изменения угловой скорости от щ₁ до щ₂

,

где - кинетическая энергия вращательного движения.

Твердое тело может одновременно вращаться и двигаться поступательно. Тогда полная кинетическая энергия

. (3.17)

где - скорость поступательного движения центра инерции; щ - угловая скорость вращения вокруг оси.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3.5 Энергия колебательного движения

В процессе колебаний тела или системы тел происходят периодические переходы его кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую.

Кинетическая энергия

(3.18)

где - коэффициент упругости

.

Потенциальная энергия

. (3.19)

где

Полная энергия

(3.20)

Полная энергия затухающих колебаний

(3.21)

где - начальная энергия колебаний.

На рис 4.9 приведены графики изменения энергии колебательного движения в зависимости от времени.

Затухающие колебания с течением времени изменяют свою энергию. Скорость изменения энергии определяется добротностью

, (3.22)

где Е(t) и E(t+T) - энергия колебаний в момент времени t и t+T.

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то добротность

.

Подставим вместо А² его значение ()² тогда

. (3.23)

Используя понятия и определения характеристик затухающих колебаний приведем часто используемые формулы для вычисления добротности.

.

3.6 Для самостоятельного изучения

3.6.1 Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли

Потенциальная энергия тела массой m, относительно поверхности Земли на высоте h (рис 3.10).

.

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что за нулевой уровень примем потенциальную энергию тела на поверхности Земли Е_п=0

; .

Потенциальная энергия тела на высоте h

При h << R₃ и

(3.24)

3.6.2 Работа силы тяжести

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдем работу, которую совершает сила тяжести , действующая на падающее тело массой m, при его перемещении из точки 1 в точку 2 по произвольному пути (рис.4.6).

Полная работа:

.

Силу тяжести при можно считать постоянной, тогда

.

Так как направление вектора противоположно возрастанию высоты h (б = 180), то

.

Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии, зависит от начального и конечного положений тела над Землей и не зависит от формы траектории его движения. Следовательно, сила тяжести есть консервативная сила.

3.6.3 Потенциальная энергия пружины

Внешняя сила, сжимая или растягивая пружину, совершает работу. Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму, а потенциальная энергия, запасенная пружиной в процессе деформации, превращается в другие виды энергии. Мерой энергии превратившейся в другие виды, является величина работы, совершенная упругой силой.

Работа упругой силы на участке dx

dA = F_хdx = - kxdx,

Полная работа при изменении длины пружины на Дх = х₂ - х₁

(3.25)

Потенциальная энергия деформированной пружины

(3.26)

где С = 0, так как потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю.

Работа упругой силы не зависит от того, как произошло изменение длины пружины. Поэтому упругая сила так же как и сила гравитационного притяжения консервативна.

3.6.4 Потенциальный барьер и яма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Потенциальная энергия может быть представлена графически. График, выражающий зависимость потенциальной энергии от соответствующей координаты, называется потенциальной кривой. По характеру потенциальной кривой определяется величина и направление силы, действующей на тело вдоль соответствующего направления.

Проанализируем одну из возможных потенциальных кривых. Возьмем кривую изменения потенциальной энергии Е_п системы тел, когда в системе одно тело перемещается вдоль оси х (рис. 3.12). Сила действующая на тело

.

где - угол наклона к оси касательной проведенной в соответствующей точке кривой Е_п=f(x) .

B точке х₁ (, поэтому ) cила противоположна направлению х и препятствует удалению тела из системы. В точке х₂ (tgб < 0, сила F_х > 0) сила F_х совпадает с направлением оси х, и способствует движению тела в данном направлении. В точке х₀ (tgб = 0) сила на тело не действует. Величину силы можно определить по крутизне потенциальной кривой: чем круче кривая, тем больше численное значение tg б, например, величина силы в точке 2 больше, чем в точке 1.

Резкое возрастание потенциальной кривой вдоль направления движения тела определяет потенциальный барьер, который характеризуется высотой и шириной. Так, для тела, находящейся в точке с координатой х₁, высота потенциального барьера ДЕ_п, ширина Дх = (х₂ - x₁).

Если потенциальный барьер встречается на пути движения тела, как в положительном, так и в отрицательном направлении оси, то, оно находится в потенциальной яме. Форма и глубина потенциальной ямы зависят от природы сил взаимодействия и конфигурации системы тел.

3.7 Задание для самоконтроля знаний

1. Определить работу и мощность силы тяжести тела массой 1 кг на всем пути его движения, если оно было брошено вертикально вверх со скоростью 10 м/с.

2. Определить кинетическую энергию и импульс Земли движущуюся по орбите вокруг Солнца.

3. Определить потенциальную энергию взаимодействия Земли и Луны.

4. Определить модуль и направление силы действующую на тело в гравитационном поле Земли, если его потенциальная энергия уменьшается на 10 Дж при каждом миллиметре его пути.

5. Определить работу силы натяжения ремня Т=100Н при вращении вала R=0,2 м, если он в момент времени t=1c от начала движения имеет угловую скорость

6. Определить массу движущегося по горизонтальной поверхности диска R=0,2 м, если при угловой скорости щ = 2 рад/с он имеет полную энергию 100 Дж.

7. Определить энергию затухающих колебаний с в=2 в момент времени t=1мин., когда его амплитуда была 10см при коэффициенте к=100 Н/м.

8. Определить добротность колебательной системы, если она имеет коэффициент затухания 2с^-1, и частоту свободных колебаний р рад/с.

Глава 4. Законы сохранения

4.1 Закон сохранения импульса

Тело массой m движущееся со скоростью имеет импульс

.

Согласно второму закону Ньютона

,

где - равнодействующая сила.

Если =0, то , что возможно только при . Следовательно, импульс тела остаётся постоянным, если на него не действуют силы или их равнодействующая рана нулю.

Рассмотрим взаимодействие двух тел, составляющих замкнутую систему (рис 4.1). Замкнутой системой называется такая система тел, в которой действует только внутренние силы f взаимодействия между телами. Для каждого тела этой системы импульс сил взаимодействия

Размещено на http://www.allbest.ru/

(4.1)

где - внутренние силы, действующие на первое и второе тело со стороны второго и первого тела соответственно; - массы и скорости взаимодействующих тел.

Из третьего закона Ньютона следует, что

.

Тогда сумма импульсов сил действующих на тело

(4.2)

При механическом взаимодействии тел в замкнутой системе изменения их импульсов попарно равны по величине и противоположны по направлению. Изменение суммарного импульса системы . Последнее равенство возможно, когда . Импульс замкнутой системы тел не изменяется с течением времени и называется законом сохранения импульса. Из закона сохранения импульса следует, что в замкнутой системе, состоящей из n тел, их векторные суммы импульсов до и после взаимодействия равны:

(4.3)

где - скорость i тела до и после взаимодействия.

Для двух тел, при взаимодействии которых внешние силы отсутствуют или они скомпенсированы, закон сохранения импульса запишем в виде

. (4.4)

Для замкнутой системы из n тел импульс остается постоянной. Следовательно, остается постоянной и скорость центра инерции. В этом случае, центр инерции либо остается неподвижным, либо движется равномерно и прямолинейно относительно некоторой инерциальной системы отчета.

4.2 Закон сохранения момента импульса

Вращательное движение отдельного тела определятся уравнениями

, ,

где - момент импульса тела в плоскости относительно некоторой точки О через которую проходит ось вращения Z(рис 4.2).

Модуль момента импульса материальной точки.

.

Учитывая, что , а - есть радиус вектор, соединяющий точку О с центром инерции тела, то можно записать

где - плечо вектора относительно точки О.

Вектор направлен вдоль оси Z и совпадает с поступательным движением правого винта (буравчика), если он вращается от вектора к по кратчайшему пути.

Закон сохранения момента импульса отдельного тела определяется из соотношения

.

Если .

Если результирующий момент M всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остаётся постоянным.

Рассмотрим систему из двух материальных точек вращающихсяв плоскости S вокруг оси проходящей через точку О взаимодействующих между собой и с внешними телами (рис 4.3)

.

В произвольный момент времени t моменты импульсов этих тел , .

Изменение момента импульса каждого из тел обусловлено действием как внутренних, так и внешних моментов сил .

где , ,.

Изменение момента импульса системы тел

+= (4.5)

Где

При составлении равенства (4.5) учтено, что и .

Так как и векторное произведение двух параллельных векторов , то , и

 (4.6)

Рассмотрим два случая:

1)если суммарный момент внешних сил =0 (система замкнутая) 0, =const.

2)если система не является замкнутой, то =

где -суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему.

В замкнутой системе геометрическая сумма моментов импульсов тел всегда остается постоянной

, (4.7)

где - угловая скорость вращения i-го тела системы в момент времени t.

4.3 Закон сохранения энергии

Движущаяся система тел обладает кинетической энергией. Изменение кинетической энергии может быть обусловлено работой как консервативных F_конс, так и неконсервативных сил F_неконс:

dE_к = A_конс + А_неконс.

Работа, совершаемая консервативными и не консервативными силами

A_конс = - dE_п,

А_неконс= dE_к + dE_п= d(E_к + E_п). (4.8)

Изменение полной механической энергии обусловлено работой только неконсервативных сил.

Если на систему действуют только консервативные силы, то А_неконс=0 а полная механическая энергия остаётся постоянной (dE=0, E=const).

В замкнутой консервативной системе, в которой взаимодействие с внешними телами отсутствует, могут происходить лишь взаимные превращения кинетической и потенциальной энергии. При этом убыль кинетической энергии всегда равна приращению потенциальной и наоборот.

Если внутри замкнутой системы действуют неконсервативные силы, например силы трения, то механическая энергия такой системы уменьшается, превращаясь в другие, немеханические виды энергии. Мерой этого превращения является работа, совершаемая неконсервативными силами.

Если система не замкнута и не консервативна, то изменение полной механической энергии при ее переходе из одного механического состояния в другое равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних неконсервативных сил, действующих на систему в процессе этого перехода.

4.4 Для самостоятельного изучения

4.4.1 Применение законов сохранения к упругому и неупругому соударению двух тел

При соударении тела деформируются. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Столкновения могут быть упругими и неупругими. Их предельные идеализированные случаи - абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

При абсолютно упругом ударе (например, столкновении шаров из слоновой кости или закаленной стали) механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия тел полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации. По завершении удара первоначальная форма тел полностью восстанавливается. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются законом сохранения механической энергии и законом сохранения полного импульса системы тел.

Пpи неупругом ударе (например столкновении шаров из воска, двух разноименных ионов с образованием молекулы, захвате свободного электрона положительным ионом и т.д.) тела не восстанавливают свою первоначальную форму, кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе тела движутся после удара как единое целое с одинаковой скоростью или покоятся. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не соблюдается. Выполняется лишь закон сохранения импульса и закон сохранения суммарной энергии различных видов - механической и внутренней.

Рассмотрим случай центрального соударения двух однородных шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, соединяющей их центры (рис 4.12).

Поскольку удар упругий, то механическая энергия не переходит в другие виды энергии а кинетическая энергия сохраняется:

, (4.9)

где , , , - скорости шаров до и после удара.

Потенциальная энергия при упругом столкновении шаров не меняется закон сохранения импульса:

, (4.10)

Уравнения (4.9) следует:

,

=

. (4.11)

Из уравнения (4.10) с учетом проекции скоростей на ось Х:

. (4.12)

Поделив левые и правые части уравнении (4.11) (4.12), получим:

(4.13)

Подставим (4.13) в (4.12):

,

.

. (4.14)

По аналогии, подставим в формулу (4.13) полученное значение для :

. (4.15)

Рассмотрим частные случаи.

1) Массы шаров равны .

Тогда

,

.

Если до столкновения второй шар покоился , то после столкновения первый шар остановился , а второй будет двигаться со скоростью .

2) Масса второго шара значительно больше массы первого (т₂ >> т₁). Разделим числитель и знаменатель выражений (4.14) и (4.15) на m₂:

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

.

Отношением m₁/m₂ пренебрегаем. Тогда , , т.е. скорость большого шара практически не меняется.

Если массивный шар покоился , то он покоится и после удара , а малый шар будет иметь скорость . Такой тип столкновения рассматривается при расчете давления, оказываемого молекулами газа на стенки сосуда.

4.4.2 Абсолютно неупругий удар

Пусть абсолютно не упруго сталкиваются два тела с массами m₁ и m₂, движущихся со скоростями и . Считаем, что тела образуют замкнутую систему. По закону сохранения импульса

.

Отсюда скорость после столкновения равна

.

Из этой формулы видно, что после столкновения тела двигаются вдоль диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

Закон сохранения суммарной энергии в случае абсолютно неупругого удара запишется в виде

+ А_деформ.

4.5 Задание для самоконтроля знаний

1. Определить скорость вагонов одинаковой массы после неупругого столкновения, если они двигались навстречу со скоростями и .

2. На сколько изменится угловая скорость фигуриста при его вращении, если он изменит свой момент инерции в 2 раза.

3. Определить потенциальную, кинетическую и полную энергию тела массой 1кг падающего с высоты 2м на середине пути и в точке удара о Землю.

4. Определить скорость второго шара u₂ после упругого столкновения его с первым шаром, движущимся со скоростью х₁ = 10 м/с, если их массы равны, а до столкновения скорость второго шара х₂ = 0 м/с.

5. Определить скорость двух вагонов массой 10т, движущихся вместе после их не упругого столкновения, когда один стоял, а другой двигался со скоростью 20 км/час.

Глава 5. Механические волны

5.1 Продольные и поперечные волны

Если какую-либо частицу или совокупность частиц упругой среды привести в колебательное движение, то колебания не останутся локализованными в том месте, где они возникли, а благодаря взаимодействию между частицами будут распространяться с некоторой скоростью по всем направлениям. Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется механической волной.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В волне частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия, причем соседние частицы, даже самые ближайшие, колеблются с некоторым сдвигом по фазе. Наличие сдвига фаз объясняется упругим взаимодействием между частицами которое распространяется в среде с конечной скоростью.

Различают поперечные и продольные волны. Волна называется поперечной, если колебания частиц среды происходят вдоль направлений, перпендикулярных к направлению распространения волны (например, колебания струны). Поперечные волны могут распространяться в тех средах, в которых возникают упругие силы при деформации сдвига.

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят вдоль направлений, параллельных направлению распространения волны (например, звуковые волны). Продольные волны распространяются в упругих средах при их сжатии или растяжении

Расположение частиц в упругой среде в момент возникновения продольной или поперечной волны приведены на рис. 5.1. До появления волны частицы среды вдоль направления х находились на одинаковых расстояниях.

Распространение волны в упругой среде происходит с фазовой скоростью , частотой колебаний , периодом колебаний Т, циклической частотой и длиной .

Фазовая скорость, или скорость распространения волны , - это скорость с которой перемещается в пространстве фаза колебания. Фазовая скорость зависит от плотности среды и ее упругих свойств.

Частота колебаний - число полных колебаний частиц среды за единицу времени.

Период колебаний Т - промежуток времени, в течение которого частицы совершает одно полное колебание.

Циклическая частота - число полных колебаний, совершаемых за 2 секунд.

Длина волны - расстояние между ближайшими частицами, с одинаковой фазой или сдвигом фаз равным 2.

Волновая поверхность - это геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновые поверхности проводятся через равновесные положения частиц, колеблющихся в одинаковых фазах и поэтому они неподвижны. В зависимости от формы волновой поверхности различают плоские, сферические, цилиндрические, эллиптические волны и др.

Поверхность, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц, находящихся в покое называется фронтом волны. Фронт волны в отличие от волновых поверхностей перемещается со скоростью, равной скорости распространения волны.

Нормаль восстановленная в точке фронта волны определят направление распространения волны.

Параметры волны связаны между собой соотношениями

(5.1)

Отношение называется волновым числом.

5.2 Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение

Уравнение волны позволяет найти смещение s любой частицы среды от ее положения равновесия. Смещение зависит от координат частицы и времени s(x, y, z, t) и является периодической функцией.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Будем считать, что частицы среды совершают гармонические колебания и образуют плоскую волну движущихся в направлении оси х.

Выделим в среде две волновые поверхности так, чтобы одна проходила через начало координат (поверхность О), другая - через произвольную точку с координатой х (поверхность Х) (рис. 5.2). Пусть смещение частиц принадлежащих волновой поверхности О, изменяется как Колебания частиц, принадлежащих поверхности Х, начнутся позже, так как требуется время за которое волна проходит расстояние х, отделяющее поверхности О и Х.

Смещения частиц поверхности Х будут отставать по времени от аналогичных смещений частиц поверхности О на и для них

(5.2)

Уравнение (5.2) - есть уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси х. s определяет смещение от положения равновесия любой из частиц с координатой х в момент времени t, А - максимальное смещение.

Запишем уравнение волны

(5.3)

где волновое плечо.

Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси, имеет вид

График и функции s(t) и s(x) при некотором фиксированном значении х и t приведены на рис. 5.3

Уравнение плоской волны записывается в результате решения волнового дифференциального уравнения в котором вторые частные производные от смешения по координатам связаны со вторыми производными от смещения по времени Продифференцируем уравнение волны (5.3) дважды по времени t и координатой х и полученные равенства поделим

Так как то , и волновое уравнение плоской гармонической волны запишется в виде

(5.4)

Для волны распространяющейся в произвольном направлении, волновое уравнение имеет вид:

(5.5)

Приведем формулы для расчета скорости распространения волны в разных средах, которые могут быть полезны при решении инженерных задач.

1. В растянутой струне скорость распространения поперечной волны зависит от силы натяжения струны и от ее массы, приходящейся на единицу длины, (, где - плотность материала, S - площадь поперечного сечения, - длина струны)

. (5.7)

2. Скорость распространения колебаний в твердом тонком стержне для продольной волны

,(5.8)

, (5.9)

где Е - модуль Юнга, G - модуль сдвига, - плотность материала стержня.

3. Скорость распространения звуковой волны в идеальном газе

, (5.10)

где - показатель адиабаты, Т - температура, R- универсальная газовая постоянная, - молярная масса газа.

5.3 Задания для самоконтроля знаний

1. В чем различие поперечной и продольной волны?

2. Чему равно волновое число и скорость волны, если ее длина 20 м, а частота 2Гц.

3. Определить смещение частиц среды в ее в волновом движении в момент времени равное периоду от начла колебания, если длина волны 20м, а частота 2 Гц, амплитуда 1м.

Глава 6. Молекулярное движение

6.1 Размеры и масса молекул

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вещество в молекулярной физике рассчитывается как совокупность гигантского количества атомов и молекул.

Молекулы движутся хаотически в разных направления. Диаметр молекул d ~ 10^-10 м и масса m ~ 10^-27 ч 10^-25 кг.

Количество молекул в веществе измеряется в молях. Количество молекул в 1 моле любого вещества = 6,02·10²³ 1/моль и называется числом Авогадро. Объем одного моля V=22,4·10^-3 м³.

Масса молекул в одном моле однородного вещества называется молярной массой µ [кг/моль]. Масса одной молекулы

(6.1)

Молярную массу любого вещества можно определить с noмощью таблицы элементов Менделеева. На рис. 6.2 приведена ячейка из данной таблицы для элемента Не. В левом верхнем углу обозначен порядковый номер элемента в, а в нижнем углу показана относительная молярная масса элемента Не (). Молярная масса в кг/кмоль м = м₀^отн (м_Не= 4 кг/кмоль).

Молярная масса молекулы, равна сумме молярных масс атомов входящих в ее химическую формулу. Например, молярная масса воды: кг/кмоль. Масса молекулы воды

6.2 Движение и столкновение молекул газа

В газе молекулы перемещаются, испытывая соударения друг с другом. При каждом соударении скорость молекулы изменяется по величине и по направлению. Путь, проходимый молекулой, представляет ломанную линию (рис 6.2). Средняя длина пути (средняя длина свободного пробега л) проходимого молекулой без соударений

где l_1,2 ..., l_{n-1, n} -- длина пробега молекулы между последовательными столкновениями; z --число которых z.

Среднее время пробега

, (6.2)

где - средняя скорость молекулы.

При столкновении, центры молекул находятся на минимальном расстоянии друг от друга равном диаметру d молекулы (рис. 6.3). Эффективное сечение столкновения у = р, что соответствует площади окружности с радиусом равным диаметру молекулы. С учетом движения молекул у = рd². Длина пробега обратно пропорциональна сечению у и числу молекул в единице объема (концентрация молекул - n)

. (6.3)

Концентрация молекул в одном моле определяется из отношения числа Авагадро N_A и объема V_A =22,4·10^-3 м³/моль.

При диаметре молекулы d=3·10^-10 м средняя длина свободного пробега равна

.

6.3 Давление и температура

Вещество может находиться объеме, при температуре Т и давление Р. Эти три величины, характеризующие состояние вещества, называются параметрами состояния.

Давление P -- это скалярная величина, характеризующая распределение силы по поверхности, на которую она действует, и численно равная силе, действующей по нормали единичной площади. (рис.6.4)

(6.4)

где б - угол между направлением силы и нормалью к площади S.

Давление в системе СИ измеряется в паскалях (Па); 1Па = 1H/м².

Внесистемные единицы измерения давления:

физическая атмосфера 1 кгс/см² = 9,8·10⁴ Н/м²=0,98·10⁵ Н/м²,

техническая атмосфера 1,013·10⁵ Н/м², 1 мм рт. ст. = 133 Н/м²,

1 бар = 10⁵ Н/м².

Температуру измеряют по шкале Цельсия, где за ноль принята температура таяния льда а по шкале Кельвина - температура при которой скорость молекул х=0 (рис 6.5).

Температура в градусах Цельсия (єС) и Кельвина (єК) связана соотношением Т єК= t єC+273.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Шкала Цельсия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Шкала Кельвина

6.4 Скорость и энергия молекул [распределение Максвелла]

Для простоты рассмотрения движения молекул. Примем:

а)соударения молекул газа происходят как соударения упругих шаров;

б)размеры молекул пренебрежительно малы по сравнению с объемом, занимаемым газом;

в)между молекулами не проявляются силы взаимного притяжения.

Газ в котором выполняются эти условия называется идеальным. Реальным приближением к этой простейшей системе являются газы при низких давлениях и не очень высоких температурах. Идеальным можно считать воздух, азот, кислород, гелий и водород при обычных условиях.

Из предположения хаотичности молекулярного движения следует, что скорости молекул идеального газа могут принимать любые значения в пределах от 0 до ?. Максвеллом в 1859 г. теоретически найдена функция распределения молекул по скоростям и энергиям, которая позволяет вычислять число молекул, находящихся в единице объема газа, скорость которых лежит в единичном интервале скоростей dх в окрестности заданной скорости х. Функция распределения имеет вид

, (6.5)

где k - постоянная Больцмана, равная 1,38·10^-23 Дж/К.

При некотором значении скорости функция распределения проходит через максимум (рис. 6.6). Скорость, соответствующая максимуму функции распределения, называется вероятной скоростью

Размещено на http://www.allbest.ru/

, (6.6)

Средняя скорость молекул

, (6.7)

Среднеквадратичная скорость молекул

(6.8)

Распределение молекул по энергиям поступательного движения

(6.9)

где .

Наряду с поступательным движением возможно вращение и колебание молекул. На каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится энергия теплового движения , колебательную - kT.

Числом степеней свободы материального объекта называется количество независимых координат, которые необходимо задать, чтобы однозначно определить положение этого объекта относительно рассматриваемой системы отсчета.

Так, как материальная точка в пространстве определяется тремя координатами х, у, z. то, она имеет три степени свободы. Твердое тело имеет шесть степеней свободы: координаты х, у, z определяют положение центра масс, углы и, ц,ш - вращение тела вокруг оси x, y, z.

Система из N материальных точек, между которыми нет жестких связей, имеет 3 N степеней свободы. Двухатомная молекула с жесткой связью между атомами имеет пять степеней свободы: три поступательные и две вращательные.

Трех- и многоатомные молекулы с жесткой связью имеют, как и твердое тело, шесть степеней свободы.

Двухатомная молекула с упругой связью между атомами имеет шесть степеней свободы: координаты х, у, г определяют положение центра инерции, углы и и ц-- положение оси системы, l -- расстояние между молекулами.

Распределение энергии по степеням свободы остается справедливым, пока кинетическая энергия частиц является квадратичной функцией скорости , а потенциальная -- квадратичной функцией координат (малые гармонические колебания).

Энергия хаотического теплового движения одной молекулы

,

где i -- сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы.

6.5 Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность

В газе находящимся в объеме всегда имеется неоднородность плотности, давления, температуры. Хаотическое движение молекул постепенно выравнивает эту неоднородность, и газ приходит в состояние равновесия.

Процессы выравнивания сопровождаются направленным переносом: массы, температуры, импульса, молекул.

Диффузия-- движение молекул, приводящее к переносу вещества из мест с большой концентрацией молекул в места с их меньшей концентрацией.

Внутреннее трение -- взаимодействие между слоями газа, движущимися с различными скоростями, при котором импульс направленного движения молекул из быстрых слоев передается в более медленные

Теплопроводность -- процесс выравнивания температуры газа, заключающийся в направленном переносе тепла из более нагретых слоев в менее нагретые.

В процессе диффузии за время dt, через площадку dS переносится масса

( 6.10)

где D -- коэффициент диффузии; dn/dr -- градиент концентрации в направлении r.

В результате внутреннего трения переносится импульс направленного движения молекул

(6.11)

где з-- коэффициент внутреннего трения (коэффициент вязкости); dх/dr-- градиент скорости движения молекул в направлении r.

Теплопроводность определяет интенсивность переноса количества тепла

(6.12)

где -- коэффициент теплопроводности; dT/dr -- градиент температуры в направлении r.

Диффузия измеряется в м²/с, внутреннее трение -- Н·с, теплопроводность -- Дж/(м·с·К).

При диффузии в среде с разной концентрацией n молекул вещества движутся через площадку dS как по выбранному направлению так и против него (рис 6.7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Будем считать, что средняя скорость молекул около площадки dS на расстоянии длины свободного пробега одинакова. Число молекул пересекающую площадку в направлении на участке dr равному

в обратном направлении

где объем из которого молекулы пересекают площадку dS

Разность между числом молекул прошедших площадку dS

На участке dr равному 2 число молекул

.

Сравнивая последнее равенство с уравнением (6.10) получим

 (6.13)

Количество тепла перенесенного из более нагретого слоя в менее нагретый на участке 2л вещества с концентрацией n молекул.

Тогда

(6.14)

Импульс молекул прошедших через площадку ds в том и другом направлении

где коэффициент внутреннего трения

. (6.15)

6.6 Давление идеального газа на стенку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Давление газа в сосуде определяется взаимодействием его молекул со стенкой. Выделим на поверхности стенки сосуда достаточно малую площадку dS (рис 6.8), чтобы можно было ее считать кулы, находящиеся в сосуде, движутся в направлении этой площадки с одной и той же скоростью х. Вдоль оси ОХ движется 1/3 общего числа молекул N и 1/6 N к стенке сосуда.

Тогда о площадку dS, за некоторый промежуток времени dt ударяется число молекул:

где n - концентрация молекул в сосуде. хdtdS - объем слоя из которого молекулы ударяются о стенку.

Каждая молекула будет отскакивать от стенки со скоростью, равной скорости до соударения, но противоположного направления (упругое соударение) и передавать импульс силы

fdt=?(mх),

где ?(mх)=mх₂ - mх₁, ?(mх) = mх - (-mх) = 2mх.

Импульс силы, полученный стенкой от молекул, ударяющихся о площадку dS, будет равен

.

Сила действующая на площадку dS стенки сосуда

Давление молекул на стенку

(6.16)

Если учесть, что скорости молекул имеют разные величины и направления, то

(6.17)

где =1/2(mх²) - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Так как концентрация молекул, п = N/V, то

, (6.18)

где E_к·Nе_пост.=е_пост. -- суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

6.7 Уравнение состояния идеального газа

Опытным путем было получено отношение, которое равно постоянной велечине.

При условии, что газ имеет Р = 1,01•10⁵Па,

Т = 273 К, V = 22,4·10^-3 м³/моль (нормальные условия).

.

Полученное значение называется универсальной газовой постоянной и обозначается R. В соответствии с принятым обозначением для одного моля газа .

Для идеального газа молярной массой м и массой M

(6.20)

где н - число молей в газе массой М.

Уравнение (6,20) носит название уравнения Менделеева-Клапейрона. Преобразуем его, умножив числитель и знаменатель на число Авогадро

где k = R/N_А = 8,31/6,023·10²³ = 1,38·10^-23Дж/К постоянна Больцмана,

N = N_A -- число молекул в газе массой М.

Учитывая приведенные выше обозначения и определение кон-центрации n = N/V, запишем

(6.21)

Давление идеального газа зависит только от концентрации молекул и температуры газа, но не зависит от массы молекул. В случае механической смеси газов, не вступающих в химические реакции, давление определяется по формуле Р = nkT,

где n=n₁+n₂+n₃+…n_i - суммарная концентрация смеси.

Приравняем правые части уравнений (7.15.)(7.17):

и определим энергию поступательного движения молекулы

(6.22)

Средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре и является мерой интенсивности теплового движения молекул. Соответственно температура

Глава 7. Основы термодинамики

7.1 Термодинамическая система. Внутренняя энергия идеального газа

Термодинамическая система (ТС) - это совокупность макроскопических тел обменивающихся энергией в форме работы и тепла как друг с другом, так и внешней средой.

Внутренняя энергия системы U складывается из внутренних энергий тел, входящих в данную систему и является однозначной функцией параметров ее состояния P, V, T: U = f(P,V,T).

Изменение внутренней энергии ДU при переходе системы из одного состояния в другое не зависит от вида процесса (ДU =U₂ - U₁). Если система совершает круговой процесс, то изменение ее внутренней энергии не происходит.

Внутренняя энергия идеального газа складывается из хаотического поступательного, вращательного и колебательного движения молекул.

Внутренняя энергия одного моля идеального газа равна произведению средней энергии одной молекулы и числа Авогадро N_A:

.

Внутренняя энергия произвольной массы М идеального газа

. (7.1)

где м - молярная масса; М/ м - число молей.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры.

7.2 Работа и теплопередача

Обмен энергией между (ТС) и окружающими ее телами может проходить в двух формах: макроскопической (в форме работы) и микроскопической (в форме теплопередачи, или теплооборота).

Работа - это мера обмена энергией между рассматриваемой (ТС) и окружающими ее телами, в результате которого изменяются ее параметры P, V, T. Так, при расширении (ТС) совершает работу против внешних сил и отдает свою энергию. В качестве примера рассмотрим расширение газа в цилиндре с поршнем (рис. 7.1). Предположим, что газ расширяется равновесно, т. е. в любой момент времени внешнее давление Р_вн практически равно давлению газа под поршнем Р. При перемещении поршня на dх сила F совершает работу dА = Fdх и создает давление на поршень. Работа газа dА = Fdx=РSdx = РdV, где dV - приращение объема при перемещение поршня площадью S на dx. При изменении объема газа от V₁ до V₂ работа

. (7.2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приращение объема может быть как положительным (dV>0), так и отрицательным (dV<0). В первом случае совершается работа над внешними телами (отдается им часть энергии), во втором - внешние тела совершают работу (ТС система энергию извне).

Состояние ТС, при котором все ее параметры при неизменных внешних условиях изменяются во времени, называется равновесным. Равновесное состояние на РV-диаграмме изображается точкой (рис. 7.2, 7.3).

Переход ТС из одного равновесного состояния в другое изображается линией. Работа dА, совершенная ТС при изменении ее объема на dV, равна площади заштрихованной полоски (рис 7.2.). Полная работа перехода ТС из первого положения во второе А_1,2 равна площади криволинейной трапеции под кривой 1,2. Работа зависит от направления перехода системы из одного состояния в другое. Так, если ТС переходит из состояния 1 в состояние 2 один раз по пути а), а другой по пути b (рис. 7.3), то А_1a2 А_1b2 (не равны площади под кривыми перехода).

Процесс, при котором ТС, пройдя некоторую последовательность состояний, вновь возвращается в исходное, называется круговым процессом (циклом). Работа, совершаемая ТС за цикл, отличается от нуля (А_ц0). Если цикл идет по часовой стрелке (1a2c1), то А_ц>0, против часовой стрелки (1b2c1) А_ц<0. В первом случае ТС отдает энергию, во втором получает.

Теплопередача - процесс передачи энергии неупорядоченного движения молекул от одних тел к другим.

Теплопередача осуществляется либо путем непосредственного взаимодействия частиц системы с частицами среды при их случайных столкновениях, либо путем обмена электромагнитным излучением (лучеиспускание).