Задачи механики как науки

3. Определение допускаемой нагрузки.

Смятие

1. При сжатии двух тел возникает опасность смятия контактирующих поверхностей.

2. Напряжение смятия - напряжение, возникающее при сжатии двух контактирующих поверхностей.

3. Пример смятия: клёпаные и болтовые соединения.

4. Формула для расчёта напряжения смятия

у_см = F\S_см

5. Условие прочности на смятие

у_см = F\S_см [у_см]

F - сила, с которой сдавливаются контактирующие поверхности

S_см - площадь смятия

5. Если поверхность смятия криволинейная, то S_см = S поверхности этой поверхности на плоскость, перпендикулярную линии действия сминающей силы.

6. Расчёты на смятии носят условный характер: считают, что силы давления распределены по поверхности смятия равномерно и перпендикулярны ей.

Самостоятельная работа обучающихся (эзс - 1 час, арх - 2 час, авто - нет)

1. Выполнить чертёж для демонстрации закона Гука при сдвиге и сделать к нему краткое описание

2.4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Моменты инерции сечений

1. Статический момент инерции - алгебраическая сумма произведений элементарных площадей на координаты их центров тяжести - мм^3, см³, м³

(сумма d S • х или d S • у)



а) в интегральной форме

S_х = ? уdS - статический момент инерции относительно оси х

S_у = ? хdS- статический момент инерции относительно оси у

б) по формулам статики S_х = Sy_с S_у = Sх_с

S - площадь сечения

y_с и х_с - координаты центра тяжести сечения

в) если ось х проходит через центр тяжести сечения > y_с = 0> S_х = Sy_с = S•0 = 0

г) статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю (центральные оси - проходят через центр тяжести сечения - так как y_с = 0 и х_с = 0)

2. Полярный момент инерции - сумма произведений площадей элементарных площадок поперечного сечения на квадраты их расстояний от центра (для круглого сечения - мм^4, см⁴, м⁴)

J_р = ?p²dS

р - расстояние от центра до центра тяжести элементарной площадки.

3. Осевые моменты инерции относительно координатных осей х и у.

а) представим, что сечение разделено на множество элементарных площадок dS

б) координаты элементарной площадки х и у.

в) тогда интегралы

J_х = ?у²dS и J_у = ?х²dS

S S

называются моментами инерции сечения относительно осей х или у

4. Центробежные моменты инерции относительно координатных осей х и у.

J_ху = ?хуdS

S

5. Связь между осевыми моментами инерции относительно параллельных осей

а) введём две системы координат О₁х₁у₁ и О₂х₂у₂ - оси которых попарно параллельны и находятся на расстоянии а и b

б) система О₂х₂у₂ - связана с телом

в) х₂ = х₁ - а у₂ = у₁ - b

г) определение статического момента сечения относительно оси х₂

S_х2 = ?( у₁ - b)dS = ?у₁dS - ?bdS

_{S S S}

S_х2 = S_х1 - bS

д) определение статического момента сечения относительно оси у₂

S_у2 = ?( х₁ - а)dS = ?х₁dS - ?аdS

_{S S S}

S_у2 = S_у1 - аS

Вывод: при параллельном переносе осей статический момент меняется на величину, равную произведению площади S на расстояние между ними (осями)

6. Всегда можно ( единственный вариант) подобрать оси так, чтобы

А) S_х1 - bS = 0- (центр тяжести лежит на оси х₁> у₁ = 0, b = 0> S_х1= ?у₁dS = 0> bS = 0

Б). S_у1 - аS= 0 (центр тяжести лежит на оси у₁> х₁ = 0, а = 0> S_у1= ?х₁dS = 0> аS = 0

7. Вывод:

А) центральная ось - ось, относительно которой статический момент равен нулю.

Б) центр тяжести сечения - точка пересечения центральных осей

В) статический момент относительно всякой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

8. Расстояние до центральных осей от произвольно взятых определяется зависимостями

Из S_х = Sy_с S_у = Sх_с > Ус = S_х1\S Xс = S_у1\S

10. Понятие о главных центральных моментах инерции

А) главные оси - оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент равен нулю.

Б) практическое значение имеют не любые главные оси, а только главные центральные оси (через центр тяжести)

В) сечение с двумя осями симметрии (например, прямоугольник) имеет две главные центральные оси симметрии (центральные > проходят через центр тяжести, главные >

- по одну сторону от оси площадка dS (dA) с элементарным моментом инерции + хуdA (так же, как у треугольника)

- по другую сторону от - хуdA

- при суммировании их по всему сечению Jху = 0

- осевые моменты сечения экстремальные: относительно оси у - произведение площади на координату х)

Г) у квадрата две пары две пары центральных главных осей

Д) у правильного шестиугольника три пары центральных главных осей

Е) у круга - бесчисленное множество пар

Ж) главные центральные моменты инерции - моменты инерции сечения относительно главных центральных осей.

З) главные плоскости - плоскости, проведённые через ось бруса и главные оси инерции его поперечного сечения.

Самостоятельная работа обучающихся (эзс - 2 час, арх - 4 час, авто - 2)

1. Заполнить таблицу основных геометрических характеристик для наиболее распространенных форм сечений и вложить их в «Приложения».

2. Решить задачи по определению центра тяжести и геометрических характеристик сложных фигур

1. Решение задач на определение главных центральных моментов инерции составных сечений, имеющих ось симметрии - авто

2.5 ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА

Основные понятия и определения

1. Изгиб - вид нагружения, при котором в поперечных сечения бруса возникают изгибающие моменты, прямолинейная ось бруса искривляется;

2. Классификация видов изгиба

А) продольный (колонны) и поперечный: прямой и косой

Б) простой (прямой, чистый) или сложный

3. Наиболее распространённая конструкция, работающая на изгиб - балка (брус, работающий на изгиб)

4. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, то такой изгиб называется чистым;

5. Простейший случай изгиба балки - плоский поперечный изгиб;

6. Изгиб называется плоским, если поперечное сечение балки симметрично относительно вертикальной оси и действующие нагрузки расположены в плоскости сечения;

7. Если при этом все нагрузки вертикальные, то изгиб называется плоским поперечным;

Напряжённо-деформированное состояние балки при прямом поперечном изгибе

Внешние нагрузки.

1. В простейшем случае прямого изгиба балки внешние нагрузки действуют в одной (вертикальной) плоскости перпендикулярно оси балки.

2. На балку могут действовать силы:

А) сосредоточенные

Б) распределённые по длине (встречаются в строительстве чаще)

В) изгибающие моменты

Анализ внутренних силовых факторов начинается с определения полной системы внешних сил.

3. Рассмотрим горизонтальную балку прямоугольного сечения на двух опорах и загруженную равномерно распределённой вертикальной нагрузкой q.

4. Поперечное сечение балки имеет высоту h

5. Если балка опирается на опоры свободно, то одна опора считается шарнирно-неподвижной, другая - шарнирно-подвижной. Такая балка называется простой.



Деформации

1. Если до загружения балка представляла собой прямолинейный стержень, то под нагрузкой стержень искривился и появился изгиб:

А) со стороны нагрузки стержень стал вогнутым (сжат);

Б) с противоположной стороны - выпуклым (растянут)

2. Деформации (неравномерное распределение)

А) при изгибе продольные волокна деформируются по-разному: одни удлиняются в нижней части балки, другие укорачиваются - в верхней части балки;

Б) эти удлинения и укорочения различны в зависимости от расположения волокон по отношению к середине сечения: чем ближе к краю, тем больше деформация.

В) нейтральная ось (слой) при искривлении свою длину не меняет. Нейтральная ось - разделяет участки сжатия и растяжения, меняет своё положение при увеличении нагрузки

3. Прогиб - перемещения точек балки вниз вследствие искривления оси. Наибольший прогиб - в середине балки

f_max = 5\384 • ql⁴\EJ

Внутренние усилия

1. В любом сечении по длине балки возникают:

А) изгибающие моменты М_х и

Б) поперечные силы Q_x

2. Величина М_х и Q_x зависит от:

А) расчётной схемы балки;

Б) характера нагрузки

3. Эпюры М_х и Q_x для простой балки от равномерно распределённой нагрузки



4. Наибольшее значение М_х определяют по формуле

М_х^max = ql²\8

5. Наибольшее значение Q_х определяют по формуле

Q_х^max = ql\2

Напряжения

Нормальные напряжения

1. В соответствии с неравномерным распределением деформаций: напряжения по высоте сечения не одинаковы.

2. Наибольшее напряжение соответствует наибольшим деформациям (закон Гука)

3. Краевые части поперечного сечения, наиболее удалённые от середины по высоте сечения, находятся в напряжённом состоянии.

4. Следовательно, при определении напряжений при изгибе не обходимо учитывать не только количество материалов (S_{сечения}), но и его распределение по высоте сечения.

5. Наиболее выгодными при изгибе оказываются сечения, в которых основная масса материала расположена по краям элемента.

6. Распределение напряжений

А) в крайних верхних волокнах возникают наибольшие сжимающие напряжения у_х^сж. Условно принимают отрицательными > у_х^min (верхние волокна укорачиваются)

Б) в крайних нижних - наибольшие растягивающие напряжения у_х^раст. Условно принимают положительными > у_х^max (нижние волокна удлиняются)

В) на уровне нейтрального слоя (оси) у_х = 0

7. Удлинения и укорочения зависят от расстояния до нейтрального слоя (оси)

8. Также от этого расстояния зависят и нормальные напряжения, т.е. они изменяются по линейному закону. График изменения нормальных напряжений у_х (эпюра нормальных напряжений) - в

у_х^max = у_х^min = M_x: bh²\6 > у_х^max = у_х^min = M_x\W_x

Момент сопротивления W_X = bh²\6 - геометрический показатель сопротивления прямоугольного сечения изгибу (табличная величина) (по аналогии аb - геометрический показатель сопротивления прямоугольного сечения растяжению\сжатию)

9. Из формулы - если размеры балки b и h одинаковы по длине балки, то нормальные напряжения

у_х напрямую зависят от изгибающего момента M_x - чем больше изгибающий момент, тем больше нормальное напряжение.

10. В середине балки изгибающий момент достигает максимального значения и > напряжения (max и min) будут наибольшими для всей балки.

Касательные напряжения

1. Определяются по формуле Журавского

ф_у = Q_xS_x\J_xb

Q_x - поперечная сила в рассматриваемом сечении

S_x - статический момент сечения (по формулам или из таблиц)

J_x - момент инерции сечения

b - ширина сечения балки

Прим. Для описания явления изгиба используют такие характеристики, которые учитывают распределение материала по высоте сечения (эти характеристики называются геометрическими)

2. Из формулы - касательные напряжения зависят от поперечной силы Q_x

А) там, где она достигает максимального значения (здесь: на опорах) наибольшими будут и касательные напряжения.

Б) где Q_x = 0 (здесь: в середине балки) > ф_у =0

3. Касательные напряжения ф_у изменяются не по линейному закону (как у_х), а по закону параболы (ф зависит не только от Q_x, но и от S_x - зависит от положения точки по высоте сечения)

4. График изменения напряжений по высоте сечения называется эпюрой (г - эпюра Q)

5. Для наглядности изменение касательных и нормальных напряжений показано в аксонометрии

Примечания.

1. Нормальные напряжения направлены горизонтально (вдоль оси х) > индекс х

2. Касательные напряжения направлены вертикально (вдоль оси у) > индекс у

3. В обозначениях момента инерции J, момента сопротивления W, статического момента S - нижний индекс (J_х W_х S_х или у) - указывает на ось, относительно которой характеристики вычисляются.

Основные расчётные предпосылки при изгибе

1. Перпендикулярное оси недеформированного бруса плоское сечение остаётся и после изгиба плоским и нормальным к изогнутой оси бруса (гипотеза плоских сечений)

2. Продольные волокна при его деформации не надавливают друг на друга

Расчёт балок на прочность

1. По нормальным напряжениям

у_изг^min,min R_изг

R_изг - расчётное сопротивление материала при работе на изгиб (табличная величина)

Т.к.

у_изг = М_х\W_x > М_х\W_x R_изг

2. Задачи трёх типов при расчётах на прочность при изгибе (как при растяжении и сжатии)

А) определение несущей способности балки

Б) проверка несущей способности балки

В) подбор сечения балки (встречается чаще)

2. По касательным напряжениям

ф_max R_сдв

R_сдв - расчётное сопротивление материала при работе на сдвиг (табличная величина. Для стали вместо R_сдв > R_ср)

Q_xS_x\J_xb R_{сдв (срез)}

Расчёт балок на жёсткость (по деформациям)

1. Балки могут быть прочными и устойчивыми, но иметь чрезмерные (больше нормативных) прогибы

f_max f_пред

f_max - наибольший расчётный прогиб конструкции

f_пред - предельный прогиб по СНиП

2. Для междуэтажного перекрытия f_пред = 1\200 l, балок чердачного перекрытия f_пред = 1\150 l

где l - длина пролёта балки

Интеграл Мора и правило Верещагина

1. Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление.

2. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр (метод перемножения эпюр).

Общий порядок расчёта балки для задач типа III

1. Построение эпюр М_х и Q_х

2. Подбор сечения балки (размеров)

А) определение требуемого момента сопротивления балки

W_x^треб М_max\ R_изг

Б) по значению W_x подбирают номер балки (и её размер)

3. Проверка прочности подобранной балки по нормальным напряжениям

М_max\W_x R_изг

W_x - момент сопротивления выбранного сечения

4. Построение эпюры нормальных напряжений

5. Проверка прочности подобранной балки по касательным напряжениям по формуле Журавского

ф_у = Q_xS_x\J_xb

Q_x - поперечная сила в рассматриваемом сечении

S_x - статический момент сечения (по формулам или из таблиц)

J_x - момент инерции сечения

b - ширина сечения балки

6. Построение эпюры касательных напряжений

7. Проверка жёсткости балки

Понятие о рациональных формах простых балок

1. Рациональные конструкции - наиболее экономичные.

2. Наиболее обобщённый показатель экономичности - собственный вес балки - чем меньше вес, тем она рациональнее (экономичнее)

3. Вес балки напрямую связан с размерами - чем меньше размеры балки и её сечения, тем она экономичнее (при соблюдении прочности)

Самостоятельная работа обучающихся (эзс - 6 час, арх - 6 час, авто - 5)

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки по вариантам

2. Рассчитать балки на прочность по нормальным, касательным и эквивалентным напряжениям по вариантам

3. Составить краткий алгоритм решения задач на определение линейных и угловых перемещений при поперечном изгибе статически определимых балок

1. Расчётно-графическая работа на построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и расчёт на прочность при изгибе - авто

2.6 КРУЧЕНИЕ

Кручение прямого бруса круглого сечения.

1. Кручение - вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

2. Прочие внутренние силовые факторы (нормальная и поперечная силы, изгибающие моменты) равны нулю.

3. Пример: круглый брус, жёстко заделанный в стену. На свободном торце приложен скручивающий момент М.



Деформации

От скручивающего момента брус деформируется:

1. Смежные сечения поворачиваются относительно друг друга

2. Образующая ОВ искривляется и занимает положение АС

Допущения при рассмотрении кручения

1. Ось бруса не деформируется

2. Плоские до деформации поперечные сечения остаются плоскими и после деформации

3. Продольные волокна не изменяют своей длины (угол г настолько мал, что изменением длины можно пренебречь)

Правило знаков для крутящих моментов

1. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит внутренний крутящий момент М_кр против часовой стрелки, то момент считается положительным.

2. По часовой стрелке - отрицательным.

Напряжения в поперечном сечении бруса при кручении.

А) При кручении в поперечном сечении бруса возникают касательные напряжения (чистый сдвиг)

Б) касательные напряжения ф при кручении распределяются в сечении по линейной зависимости: в центре равны нулю, на максимальном радиусе - максимальное значение ф_max (по которому ведётся расчёт)

В) Значение ф_max зависит от внутреннего крутящего момента и геометрической характеристики поперечного сечения

ф_max = М_кр\W_р

W_р - полярный момент сопротивления

W_р = 0,2 D³ - для сплошного сечения

W_р = 0,2 D³ (1 - d⁴\D⁴)

d - внутренний диаметр (диаметр отверстия)

D - внешний диаметр бруса (авто - вала)

Понятие угла закручивания

А) существуют понятия угла закручивания ц и относительного угла закручивания и

Б) зависимость между ц и и

и = ц\l

ц = М_крl\GW_pr

W_pr = J_p - полярный момент инерции сечения

J_p = 0,1D⁴ - для сплошного круглого бруса

J_p = 0,1D⁴ (1 - d⁴\D⁴) - для полого круглого бруса

G J_p - жёсткость поперечного бруса при кручении

Построение эпюр крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания

1. При кручении, как и при растяжении, строят:

А) эпюры внутренних силовых факторов - крутящих моментов (при растяжении - нормальных сил);

Б) эпюры касательных напряжений ф (при растяжении - нормальных у)

В) эпюры углов закручивания ц (при растяжении - перемещений)

2. Рисунок стр.78

- разделим брус на 3 части - до силы М₂, от силы М₂ до силы М₁, после силы М₁

3. Условное обозначение:

А) кружок с точкой - сила, направленная на наблюдателя;

Б) кружок с крестиком - сила, направленная от наблюдателя.

Построение эпюры М_кр

1. Участок III не загружен - момент на эпюре равен нулю.

2. М₁ - сила направлена против часовой стрелки: знак +

На эпюре от силы М₂ до силы М₁ -на участке II значение 2М

Контроль: на эпюре скачок 2М

3. В точке воздействия М₂: +М₁ - М₂ = 2М-М = М

- на участке I значение М

Контроль: на эпюре скачок М

Построение эпюры ф _max

ф_max = М_кр\W_р

1. Участок I

М_{кр =} +М (с эпюры М_кр > W_p = 0,2* (2d)³ = 1,6 d³ ф _max= М/1,6 d³

2. Участок II



М_{кр =} +М W_p = 0,2d³ > W_p = 0,2* (d)³ = 0,2 d³ ф _max= М/0,2d³*5\5 = 5М\ d³

3. Участок III

М_кр = +2М W_p = 0,2d³ ф _max= 2М/0,2 d³*5\5 = 10М\ d³

4. Участок IV

М_кр = 0 W_p = 0,2d³ ф _max= 0\0,2d³ = 0

W_p - полярный момент сопротивления (геометрический фактор, на который воздействует изгибающий момент)

Для сплошного сечения W_p = 0,2D³

Так как все внутренние крутящие моменты имели положительный знак, то и касательные напряжения ф _max будут положительны.

Построение эпюры ц (углов закручивания)

1. Участок I

ц= М_крIl: GJ_pI = М * l \G * 0,1(2d)⁴ = Мl \ G * 0,1*2*2*2*2*d⁴ = М * l \ G *1,6*d⁴

2. Участок II

ц = М_крII l: GJ_pII

М * l	+	М * l
G *1,6*d4		G * 0,1d4

Под общий знаменатель принимаем G *d⁴ (1: 1,6 = 0,6 1: 0,1 = 10)



0,6 М * l + 10 М * l	=	10,6 М * l
G *d4		G *d4

3. Участок III

ц = М_крIII * l: GJ_pIII

10,6 М * l	+	2М * l	=	10,6 М * l + 20М * l	=	30,6М * l
G *d4		G * 0,1d4		G *d4		G *d4

3. Участок IV

30,6М * l\ G *d⁴ + 0* l\G *d⁴ = 30,6М * l\ G *d⁴ (постоянная величина на этом участке)

Условия прочности и жесткости при кручении

1. Условие прочности бруса при кручении

ф _кр ^max R_кр или

М_кр\W_p R_кр

где R_кр - расчётное сопротивление материала кручению.

1. Условие жёсткости бруса при кручении

и [и]

и - относительный угол закручивания

[и] - допускаемый относительный угол закручивания, принимают по СНиП в заваисимости о материала бруса.

и = М_кр\GJ_p

G - модуль поперечной деформации

Три типа задач при расчете на прочность и жесткость при кручении

1. Проектировочный расчёт - определение диаметра бруса при заданной нагрузки

2. Проверочный расчёт - определение в брусе максимального касательного напряжения от заданной нагрузки и сравнение его с допустимым

3. Расчёт допускаемой нагрузки - расчёт допускаемой нагрузки для бруса (вала) заданного сечения (размеры и материал).

Самостоятельная работа (эзс - нет, арх - 1 нет, авто - 2)

1. Выполнение расчётно-графической работы на построение эпюр крутящих моментов, углов закручивания и расчёт на прочность и жёсткость при кручении - авто



2.7 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ

Косой изгиб, основные понятия и определения

1. Прямой поперечный изгиб - внешние силы лежат в вертикальной плоскости сечения ₊ нейтральной оси

2. Косой изгиб, при котором плоскость действия силы не совпадает ни с одной из осей симметрии (более сложный случай изгиба)

Напряжённо-деформированное состояние балки при косом изгибе

А) на балку одновременно действует и вертикальная, и горизонтальная внешние силы или одна внешняя сила, которая может быть разложена на две.

Б) сила F действует под углом. Разложим её на две составляющие F_х и F_у

F_х = Fsinб

F_у = Fcosб

В) заменив силу F двумя составляющими, косой изгиб заменили двумя прямыми изгибами от сил F_х и F_у в двух главных плоскостях бруса.

Г) деформации при косом изгибе: балка прогибается от действия каждой из сил (или её составляющих) в плоскости их действия > она одновременно прогибается и в вертикальной, и в горизонтальной плоскостях.

Д) изогнутая ось при этом не лежит ни в одной из указанных плоскостей

Е) т.к. балка изгибается в двух плоскостях, то и внутренние усилия М и Q будут возникать в каждой из плоскостей: в одной - М_х и Q_х, в другой - М_у и Q_у

Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса

А) нормальные и касательные напряжения при косом изгибе находят по внутренним усилиям.

Б) например, нормальные напряжения

у_мх = М_х\W_x у_мy = М_у\W_у

В) полное напряжение у = у_мх + у_мy = М_х\W_x + М_у\W_у - разное значение в разных точках

Г) при этом «+» - растянутая зона, «-» сжатая (по эпюре)

Д) линия действия силы F, приложенной к вертикали под углом б и направление прогиба, образующее с вертикалью Lв, не совпадают.

Нулевая линия (нейтральная).

Нулевая линия (нейтральная) - это геометрическое место точек поперечного сечения стержня, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Расчёт балок на прочность при косом изгибе

у^{max, minк}_{.к. изг.} R_.изг

у^{max, min}_{.к. изг} = М_х\W_x + М_у\W_у R_.изг

у^max_{.к. изг} = наибольшие растягивающее напряжения (точка С - г, на эпюре)

у^max_{.к. изг} = наибольшие сжимающие напряжения (точка А - г, на эпюре)

R_.изг - расчётное сопротивление материала косому изгибу (принимают как при прямом изгибе)

Конструкции, испытывающие косой изгиб: прогоны и обрешётки в стропильных конструкциях.

Внецентренное сжатие (внеосевое)

1. Линия действия сжимающей силы не совпадает, с центром тяжести сечения.

2. Эксцентриситет е - расстояние от центра тяжести сечения до линии действия сжимающей силы.

3. Случаи внецентренного сжатия:

А) внецентренное сжатие бруса большой жёсткости

Б) внецентренное сжатие гибких стержней (или брусьев)

Внецентренное сжатие бруса большой жёсткости

1. Жёсткий брус прямоугольного сечения - отношение высоты бруса к меньшей стороне сечения не более 8-10 (пример, высота 200 см, меньшая сторона сечения - 20 см)

2. Деформации: одновременное укорочение и изгиб бруса - незначительные по сравнению с размерами бруса, т.е. внецентренное сжатие - комбинация центрального сжатия с чистым изгибом.

3. Усилия в любом сечении бруса - продольная сила N = F и изгибающий момент M = Fe

4. Напряжения при внецентренном сжатии - только нормальные: сумма нормальных напряжений от центрального сжатия и нормальных напряжений от прямого изгиба, т.е.

у^{max, min}_{.внец.сж.} = у_N + ум

5. Напряжения от продольной силы N распределяются по сечению равномерно, а напряжения от изгибающего момента - по линейному закону.

6. Случаи внецентренного сжатия

А) точки приложения силы - удаляются от центра

Б) на рис а, б - только сжатие, сдвигается нулевая линия

В) на рис в - смещение нулевой линии и появление растягивающей зоны

Расчёт на прочность внецентренно сжатого бруса большой жёсткости

Расчёт на прочность ведётся исходя из условия

у^{max, minк}_{.внец.сж.} R_.сж

у^{max, min}_{.внец.сж.} = -N\А ± R_.сж + М_у\W_у R_.сж

Понятие о расчёте внецентренно сжатого бруса большой гибкости

1. Брус большой гибкости - стержень

2. Представляет собой комбинацию продольного и прямого поперечного изгиба

3. В расчёте используют коэффициент продольного изгиба ц

Сложное напряжённое состояние и теории прочности

1. При растяжении или сжатии - возникают только нормальные напряжения у_раст или у_сж

2. Эти напряжения равномерно распределены по поперечному сечению

3. Такое напряжённое состояние называется одноосным или линейным - простым.

4. На растяжение работают стержни (балки), на сжатие - колонны

Понятие о простом и сложном напряжённых состояниях

1. Виды напряжённого состояния.

Простое:

А) линейное - днище прямоугольного в плане резервуара для жидкости испытывает растягивающие напряжения в обоих направлениях

Сложное:

Б) плоское (двухосное) - напряжённое состояние, возникающее при растяжении или сжатии в двух направлениях. Например, несущие стеновые панели воспринимают вертикальные нагрузки сжатия от вышележащих конструкций и горизонтальные ветровые нагрузки.

В) объёмное (трёхосное) - напряжённое состояние, возникающее при растяжении или сжатии в трёх направлениях. Например, подводная часть опоры моста - сверху вертикальная нагрузка, с боков - давление воды.

Гипотезы прочности и их назначение

1. Предельное напряжение для пластичного материала - предел текучести у_т. Предельное напряжённое состояние наступает при возникновении остаточных деформаций.

2. Предельное напряжение для хрупкого материала - у_в. Предельное напряжённое состояние наступает в начале разрушения.

3. Основная задача теории предельных напряжённых состояний - разработка критерия для сравнения разнотипных напряжённых состояний с точки зрения близости их к предельному состоянию.

4. Сравнение разнотипных напряжённых состояний производится с помощью эквивалентного напряжённого состояния.

5. За эквивалентное принимают наиболее изученное напряжённое состояние при простом напряжении.

6. Эквивалентное напряжение уэ - напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его состояние было равноопасным исследуемому напряжённому состоянию.

7. Условная схема напряжений:

А - исследуемое напряжённое состояние

В - эквивалентное напряжённое состояние

С - напряжённое состояние С, подобное эквивалентному

8. Разработка критериев предельных напряжённых состояний основывается на различных гипотезах о преимущественном влиянии того или иного фактора на прочность материала

Первая гипотеза (Галилей, 17в):

причина разрушения материала - наибольшее нормальное напряжение растяжения у_р или сжатия у_с

Вторая гипотеза (Мариотт, 17в):

Прочность материала в исследуемой точке достигает критического состояния при максимальном значении линейной деформации е

Третья гипотеза (Кулон, 18в):

Предельное напряжённое состояние возникает, когда в двух взаимно ₊ сечениях, проведённых через исследуемую точку, наибольшие касательные напряжения достигают предельного значения, при котором возможно разрушение путём сдвига и скольжения одной части материала по другой.

Четвёртая гипотеза (Мор, 1900в):

- базируется не на каком-либо одном факторе у, ф или е

- а на двух у и ф

-поэтому более совершенна

- экспериментально получен критерий перехода от исследуемого напряжённого состояния А к эквивалентному В

- справедлив как для пластичных, так и для хрупких материалов

Пятая гипотеза (Бельтрами, 19в) - энергетическая гипотеза:

- гипотеза энергии формоизменения:

- критерий перехода от А к В основан на том, что

- предельное напряжённое состояние возникает при

- некотором значении потенциальной энергии

- накапливаемой элементом конструкции при изменении только его формы

>Самостоятельная работа обучающихся. (эзс - 5 час, арх - 6 час, авто - 2)

1. Выписать новые термины и коэффициенты в глоссарий.

2. Составить краткий алгоритм решения задач при расчете на прочность при косом изгибе и внецентренном сжатии

3. Построение эпюр нормальных напряжений по сечению при косом изгибе и внецентренном сжатии по вариантам

1. Выполнение расчётно-графической работы «Расчёт на прочность при сочетании основных видов деформаций»

2. Решение задач по расчёту вала цилиндрического косозубого редуктора на совместную деформацию изгиба и кручения

2.8 УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Понятие об устойчивых и неустойчивых формах равновесия. Критическая сила.

1. Устойчивость - свойство системы самостоятельно восстанавливать своё первоначальное положение после того, как ей было сообщено некоторое отклонение от положения равновесия.

2. Если система таким свойством не обладает, называется неустойчивой. (третья задача сопротивления материалов - расчёт на устойчивость (прочность, жёсткость - 1, 2 задачи)

3. В механике различают три состояния равновесия

А) безразличное - при малом отклонении тело остаётся в равновесии. Пример: катящееся колесо, шар. Если их остановить в любой точке, оно окажется равновесии - рис.1.

Б) неустойчивое - при малом отклонении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся увеличить это отклонение. Пример: шар в верхней точке - рис.2.

В) устойчивое - при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесие. Пример: шар в нижней точке - рис.3.

4. Потеря устойчивости - если упругое тело (конструкция) при отклонении от равновесия не возвращается к исходному положению. Явление потери устойчивости рассмотрим на примерах:

А) центрально-сжатого стержня - при некоторой продольно сжимающей силе стержень потеряет прямолинейную форму равновесия и изогнётся, иначе говоря, прямая форма равновесия становится неустойчивой.

Б) тонкостенной трубы - нагруженная внешним давлением: круговая форма становится неустойчивой и становится эллиптической, изогнувшись.

5. Критическая сила - максимальная сжимающая нагрузка F_кр, при которой прямолинейная форма стержня устойчива. (сила, при превышении которой происходит потеря устойчивости - критическое состояние)

Формула Эйлера при различных случаях опорных закреплений. Критическое напряжение.

1. Формула Эйлера для стержня длиной l, шарнирно закреплённого с двух сторон

F_кр = р²ЕJ_min\l²

2. Формула Эйлера при различных случаях опорных закреплений

l_пр = µl > F_кр = р²ЕJ_min\(µl)²

Вывод: значение критической силы зависит от способа закрепления его концов

3. Критические напряжения - нормальные напряжения, соответствующие критической силе, опасные для сжатого стержня. Критическая сила F_кр вызывает в сжатом стержне критическое напряжение у_кр.

у_кр = р²Е\ л²

Гибкость - безразмерная величина, характеризует размеры стержня и способ закрепления концов

л = µl\i_min

Пределы применимости формулы Эйлера

А) применима только в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости того материала, из которого он изготовлен.

л ? л_пред

напряжение статика сила эйлер

л_пред - предельная гибкость

Б) Как правило, многие конструкции имеют стержни с гибкостью меньше предельной

Формулы Ясинского. График критических напряжений в зависимости от гибкости.

1. Для стержней большой гибкости л ? л_пред критическое напряжение по формуле Эйлера.

у_кр = р²Е\ л²

2. Для стержней средней гибкости л_о ? л <л _пред F_кр по формуле Ясинского

у_кр = а - b л

Коэффициенты а, b - разные для разных материалов (определяют экспериментально)

3. Для стержней малой гибкости л <л _о, для которых у_кр соответствует у_пред,

т.е. у_кр = у_т для пластичных материалов

у_кр = у_в.с. для хрупких материалов

Такие стержни рассчитывают не на устойчивость, а на прочность, как при простом сжатии

Расчёты на устойчивость сжатых стержней:

Условие устойчивости:

у = F\S [у_у]

[у_у] = у_кр\k_у

[у_у] - допускаемое напряжение на устойчивость

у_кр - критическое напряжение

k_у - коэффициент запаса на устойчивость

Самостоятельная работа обучающихся (эзс - 4 час, арх - 4 час, авто -1)

1. Решить задачи на определение критической силы для стержней большой гибкости по вариантам

2. Составить краткий алгоритм решения задач на определение критической силы для стержней большой гибкости

1. Решение задач по расчёту на устойчивость сжатых стержней - авто



2.9 ПОНЯТИЕ О ДЕЙСТВИИ ДИНАМИЧЕСКИХ И ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗОК

Основные понятия о действии динамических нагрузок

1. Статическая нагрузка - прикладывается без ускорения или с малым ускорением, которым можно пренебречь.

2. Динамическая нагрузка:

А) возникает при изменении скорости приложения нагрузки (груза) за очень короткий промежуток времени, т.е. ускоренно.

Б) часто нагрузки динамические, так как изменяются во времени с большой скоростью.

В) действие таких нагрузок сопровождается колебаниями сооружений и их отдельных элементов.

3. Усилия, напряжения и перемещения для динамических нагрузок больше и опаснее.

4. Виды динамических нагрузок:

А) инерционные - груз ускоренно поднимается вверх, оказывая динамическое воздействие на трос;

Б) ударные - груз падает с некоторой высоты (например, на плиту). Аналогичная нагрузка - при забивке сваи копром.

В) подвижные - перемещение поезда по мосту

Г) переменные или повторно-переменные (циклические) - действуют на элемент конструкции периодически, многократно изменяясь во времени по величине и по направлению. Пример: для отделения куска проволоки от мотка - сгибаем его в разном направлении в одном месте > знакопеременные нагрузки > усталостные разрушения > от удлинений, укорочений, прогибов, сдвигов.

5. В машинах и механизмах встречаются все виды динамических нагрузок. Они характерны для многих машиностроительных конструкций - оси, валы, штоки, пружины, шатуны и т. д - авто.

5. В строительстве чаще встречаются инерционные и ударные нагрузки

Понятие об усталости

1. Нагрузки, циклически изменяющиеся во времени по величине или по величине и по знаку, могут привести к разрушению конструкции при напряжениях, существенно меньших, чем предел текучести (или предел прочности).

2. Такое разрушение принято называть «усталостным». Материал как бы «устает» под действием многократных периодических нагрузок.

3. Усталостное разрушение - разрушение материала под действием повторно- переменных напряжений.

4. Усталость материала - постепенное накопление повреждений в материале под действием переменных напряжений, приводящих к образованию трещин в материале и разрушению.

5. Выносливость - способность материала сопротивляться усталостному разрушению.

6. Предел выносливости (предел усталости) - наибольшее значение максимального по величине напряжения цикла, которому материал может сопротивляться без разрушения неограниченно долго.

7. Виды усталости:

А) многоцикловое усталостное разрушение, характеризуемое повреждением и разрушением материала за большое число циклов нагружения (более 10⁵) при напряжениях, меньших предела текучести материала.

Б) малоцикловая усталость, которая наблюдается при относительно малом числе циклов (порядка 10³…10⁵), когда действующие напряжения вызывают упругопластические деформации, что характерно для высоконапряженных конструкций.

Расчеты деталей сооружений на динамические нагрузки

1. Расчёт более сложный, чем на статическую нагрузку:

А) сложнее методы определения внутренних усилий и напряжений от динамической нагрузки

Б) сложнее методы определения механических свойств материалов при динамической нагрузке.

2. Пример: при действии ударной нагрузки (малой продолжительности) многие материалы, которые при статическом действии нагрузок оказывались пластичными, работают как хрупкие.

3. От многократно повторяющейся переменной нагрузки прочность материалов резко снижается

4. Общий метод расчета на динамическую нагрузку основан на принципе Даламбера:

всякое движущееся тело может рассматриваться как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, равную произведению массы тела на его ускорение и направленную в сторону, противоположную ускорению

Задачи на динамические нагрузки

1. Задачи с учетом сил инерции (силы инерции не зависят от свойств и деформаций системы)

2. Расчеты на ударную нагрузку

3. Задачи на циклические нагружения и колебания

Расчет при известных силах инерции (при ускоренном подъёме груза)



1. Статическое действие груза на трос

N_ст - G = 0

N_ст = G

Вывод: Статическое усилие в тросе N_ст = весу груза G

2. Динамическое действие груза на трос

N_дин - G - F_ин = 0

N_дин = G + F_ин

Вывод: так как груз поднимается ускоренно, то трос воспринимает динамическое усилие N_дин не только от веса груза G, но ещё и от силы инерции этого груза F_ин, которая направлена вниз

Напряжения, возникающие при колебаниях деталей (динамические), могут во много раз превосходить по своей величине напряжения от действия статических нагрузок.