Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ЮСТИЦИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ

ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

кафедра основ радиотехники и электроники

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Основы теории цепей»

Тема: «Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии»

Лёдова О.В.

Воронеж 2017

ЗАДАНИЕ

на выполнение курсовой работы по дисциплине «Основы теории цепей»

Курсант: 2-го курса инженерно-технического факультета, уч. группы Ио4-15

^{(ФИО, факультет, курс, № группы)}

Лёдова Ольга Васильевна

Тема: «Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии»

Содержание работы:

1. Расчет токов и напряжений в цепи

2. Проверка результатов расчетов

3. Исследование избирательных свойств цепи

4. Расчет параметров четырехполюсника

5. Построение временных диаграмм напряжения

Исходные данные по варианту 3:

e(t) = 6·cos(2р·10⁵t+0⁰) В;

= 350+j240 Ом;

R = 64 Ом;

C = 18 нФ;

L = 80 мГн.

В п.4 рассчитываются Y-параметры.



введение

В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электронной цепи, т.е. четырёхполюсники.

В ходе данной курсовой работы в соответствии с выданным заданием производится расчет токов и напряжений в цепи, содержащей реактивные элементы. Так как в исследуемой цепи присутствуют такие элементы, то протекающие в цепи процессы будут описаны в комплексном виде, и при проведении аналитических расчетов будет использовании метод комплексных амплитуд, использующий алгебру комплексных чисел и позволяющий применять все методы расчетов цепей постоянного тока к цепям переменного тока. Используемый метод позволяет упростить аналог цепи, сведя переменные функции времени к расчету комплексных чисел. При этом комплексные числа как сами значения токов и напряжений, так и фазовый сдвиг (аргумент комплексного числа). В работе применяются метод эквивалентного преобразования линейных электрических цепей, закон Ома и законы Кирхгофа. кирхгоф сопротивление цепь напряжение

В ходе курсовой работы необходимо рассчитать все токи и напряжения в цепи, правильность расчетов подтвердить проверкой по законам Кирхгофа и методу баланса мощностей, цепь на ее избирательные свойства, рассчитать Y-параметры четырехполюсника и построить временные диаграммы напряжений.



1. СОСТАВЛЯЕМ СХЕМУ ИССЛЕДУЕМОЙ ЦЕПИ

В соответствии с заданием курсовой работы ко входу схемы необходимо подключить источник э.д.с. с внутренним сопротивлением, произвести нумерацию элементов (слева направо, сверху вниз) и расставить токи. После указанных действий исходная схема имеет вид, приведенный на рисунке 1.

1.2 рассчитываем комплексные сопротивления элементов цепи

Комплексное сопротивление источника равно:

отсюда:

Расчет токов и напряжений в данной схеме целесообразно начать с последовательного соединения элементови. Комплексное сопротивление этого участка цепи как любого последовате6льного соединения равно:

, (1.2.1)

Где комплексное сопротивление а комплексное сопротивление емкости равно

Упростим расчеты при помощи Калькулятора комплексных и рациональных чисел, для ОС Windows. В нем мы можем не только считать комплексные числа в любой форме представления, но и переводить их из показательной формы в алгебраическую и обратно, а также строить векторные диаграммы.

Комплексное сопротивление последовательного участка цепи равно:

В дальнейшем, при нахождении токов и напряжений элементов цепи, необходимо будет применять закон Ома в комплексной форме, а значит, придется совершать алгебраические операции с комплексными величинами. Для этого все числа необходимо перевести в показательную форму. Для перевода числа в показательную форму воспользуемся разделом «Преобразование» в приложении ComplexCalc.

Комплексное сопротивление участка запишется так:

Участок цепипредставляет собой параллельное соединение элемента и участка цепи . Комплексное сопротивление участка цепи определим по формуле:

.(1.2.2)

Получаем, что комплексное сопротивление участка равно:

Переведем в показательную форму:

Ом.

Рассчитаем общее комплексное сопротивление всей цепи как последовательно соединенных элементов,,, и участка цепи по следующей формуле:

, (1.2.3)

где:

Подставляя в формулу (2.3) данные значения получим, что комплексное сопротивление всей цепи равно

Переведём полученное комплексное сопротивление всей цепи в показательную форму

Ом.

2. рассчитываем токи и напряжения элементов цепи

(2.1)

Так как элементы и участок цепи соединены последовательно, значит, через них протекает один и тот же ток:

(2.2)

В соответствии с законом Ома в комплексной форме для участка цепи этот ток может быть рассчитан как отношение комплексной амплитуды э.д.с. к комплексному сопротивлению всей цепи, т.е.:

. (2.3)

Подставляя значения комплексной амплитуды э.д.с. и комплексного сопротивления всей цепи в формулу (3.3), получаем:

Напряжение на сопротивлении рассчитаем по формуле

. (2.4)

Подставляя в формулу (3.4) значения комплексной амплитуды тока и комплексного сопротивления , получим:

Аналогичным образом рассчитаем напряжение на индуктивности :

. (2.5)

Подставив в формулу (3.5) значения комплексной амплитуды тока и комплексного сопротивления , получим:

Напряжение на сопротивлении рассчитаем по формуле:

. (2.6)

Подставив в формулу (3.6) значения комплексной амплитуды тока и комплексного сопротивления , получим:

Аналогичным образом рассчитаем напряжение на сопротивлении :

. (2.7)

Подставляя в формулу (3.7) значения комплексной амплитуды тока и комплексного сопротивления , получим:

Напряжение на участке цепи может быть рассчитано как произведение комплексной амплитуды протекающего через него тока на комплексное сопротивление этого участка. Данное соединение - параллельное, значит:

Следовательно, напряжение на участке равно:

, (2.8)

Подставляя в формулу (3.8) значения комплексной амплитуды тока и комплексного сопротивления , получим:

Комплексная амплитуда тока, протекающего через элемент , равна отношению комплексной амплитуды напряжения элемента к его комплексному сопротивлению

. (2.9)

Рассчитаем значение тока на элементе , подставив значения в формулу (3.9):

При определении тока на участке цепи учтем, что так как элементы соединены последовательно.

Комплексную амплитуду тока, протекающего через данный участок цепи, определим по формуле:

. (2.10)

Подставив значения в формулу (3.10), получим:

Напряжение на элементахиопределим как произведение комплексной амплитуды протекающего через них тока на комплексное сопротивление этого элемента:

- для

(2.11)

Подставим значения комплексной амплитуды протекающего через тока и комплексного сопротивления в формулу (3.11):

Аналогично найдем напряжение на элементе

(2.12)

Подставим значения комплексной амплитуды протекающего через тока и комплексного сопротивления в формулу (3.11):

Полученные результаты расчетов представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Результаты расчетов

	Номинал	i(t), А	u(t), В
R1	350 Ом	0,012	4,2
R2	64 Ом	0,000016	0,00102
R3	64 Ом	0,012	0,786
R4	64 Ом	0,012	0,786
L 1	0,4мГн	0,012	2,88
L 2	80 мГн	0,000016	0,016016
С1	18 нФ	0,012	1,08

Проверяем результаты расчетов

2.1 Проверка результатов с помощью первого закона Кирхгофа

Исследуемая цепь состоит из 2 узлов. Отсюда следуем, что по первому закону Кирхгофа проверка будет выполняться исследованием одного уравнения.

Проверим выполнение первого закона Кирхгофа для одного из узлов цепи.

Согласно формулировке данного закона в комплексной форме, алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю. Иначе говоря, сумма всех входящих в узел токов должна быть равна сумме всех выходящих из узла токов.

В исследуемой цепи присутствуют реактивные элементы, поэтому все расчеты и величины мы используем в комплексной форме.

Итак:

применимо к рассматриваемой схеме для первого (левого) узла цепи первый закон Кирхгофа выглядит следующим образом:

(2.13)

Подставив значения, полученные в пункте 2 курсовой работы, в формулу (3.1), получим:

=+

=.

Левая и правая части равны, что говорит о соблюдении и выполнении первого закона Кирхгофа.



2.2 Проверка результатов с помощью второго закона Кирхгофа

Проверим выполнение второго закона Кирхгофа.

Согласно формулировке данного закона, в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура. Иначе говоря, алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех элементах в этом контуре.

(2.14)

Подставив значения, полученные в первом задании, в формулу (3.2), получим:

=+;

=.

Левая часть уравнения приблизительно равна правой, что говорит о выполнении второго закона Кирхгофа.

Из сказанного в пунктах 3.1 и 3.2 следует, что оба закона Кирхгофа выполняются.

2.3 Проверка выполнения баланса активной мощности

Полная мощность исследуемой цепи равна:

Так, как фазовый сдвиг равен нулю, то полученная величина является чисто действительной. Выражение для баланса активной мощности цепи имеет следующий вид:

(2.15)

Левая часть уравнения приблизительно равна правой, следовательно, баланс мощностей для данной схемы выполняется.

2.4 Проверка выполнения баланса реактивной мощности

В предыдущем пункте мы уже рассчитали полную мощность цепи. Отсюда следует, что суммарная реактивная мощность будет равна нулю.

Сумма реактивных мощностей равна:

(2.16)

В результате проверки мы убедились в правильном выполнении двух законов Кирхгофа и выполнении баланса мощностей, значит расчеты в первом задании выполнены верно.



3. Исследуем избирательные свойства цепи

Для выполнения исследования определим комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению. Упростим расчеты, для чего выведем общую формулу комплексного коэффициента передачи для данной цепи.

Найдем комплексное сопротивление двух последовательно соединенных элементов

; (3.1)

Комплексное сопротивление участка цепи равно:

; (3.2)

Общее комплексное сопротивление всей цепи равно:

(3.3)

Найдем общий ток, протекающий в цепи:

; (3.4)

Напряжение на выходе равно напряжению на

; (3.5)

Формула для нахождения комплексного коэффициента передачи выглядит следующим образом:

. (3.6)

Подставим известные значения в формулу (3.6):

;

Найдем комплексный коэффициент при частоте рад/с:

Ом;

Ом;

Найдем комплексный коэффициент при частоте рад/с:

Ом;

Ом;

;

Найдем еще одну точку, соответствующую частоте рад/с:

Ом;

Ом;

;

Аналогично найдем точку, соответствующую частоте рад/с:

Ом;

Ом;

;

Найдем еще одну точку, соответствующую частоте рад/с:

Ом;

Ом;

;

Найдем комплексный коэффициент при частоте рад/с:

Ом;

Ом;

;

Аналогично найдем точку, соответствующую частоте рад/с:

Ом;

Ом;

Определим полосу пропускания:

Для определения полосы пропускания прежде всего определяется максимум () АЧХ и величина АЧХ на границе полосы пропускания, равная

Затем по графику находятся частоты среза. Тогда полоса пропускания равна:

(3.7)

Построим график АЧХ(рис.2)

Рисунок 2 -График АЧХ

Исходная цепь, по виду АЧХ, напоминает фильтр нижних частот. По графику АЧХ (рисунок 2) определим полосу пропускания цепи.

Полоса пропускания данного фильтра рад/с.

График фазочастотной характеристики изображен на рисунке 3.

Рисунок 3 - График ФЧХ



4. РАСЧЕТ Y-ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Четырехполюсники имеют два входных полюса со стороны источника сигнала и два выходных полюса со стороны нагрузки. Для анализа этих цепей можно сначала узнать набор параметров, определяющих цепь, а затем использовать уравнения, составленные исходя из этих параметров. Этот метод анализа особенно полезен, когда изменяются источник сигнала и нагрузка, а сам четырехполюсник остается неизменным.

Рисунок 4 - Схема исследуемого четырехполюсника

У четырехполюсника вида рис. 4 четыре переменных - входной и выходной токи, входное и выходное напряжения.

Любые две из них можно выбрать в качестве независимых, тогда две оставшихся будут зависимыми. В результате модель будет представлять собой систему из двух линейных алгебраических уравнений.

Если в качестве независимых переменных выбрать входное и выходное напряжения, то модель можно записать в виде:

(4.1)

Модель полностью характеризуется четырьмя коэффициентами (, , , ) и поэтому ее называют системой Y-параметров. Все Y-параметры являются комплексными проводимостями, зависят от схемы и параметров элементов четырехполюсника, а также частоты сигнала.

Рассмотрим коэффициенты системы Y-параметров на основе уравнений (4.1):

(4.2)

(комплексная входная проводимость при кз выхода)

(4.3)

(комплексная проходная проводимость при кз выхода)

(4.4)



(комплексная входная проводимость обратной передачи при кз входа)

(4.5)

(комплексная выходная проводимость обратной передачи при кз входа)

; (4.4)

; (4.5)

Параметр является входным сопротивлением в режиме холостого хода на выходе, - коэффициент обратной связи по напряжению, параметр - коэффициент передачи по току, является выходной проводимостью четырехполюсника в режиме холостого хода на входе.

Рассмотрим формулу (5.2) и (5.4), в соответствие с формулой преобразуем исходную цепь (рисунок. 5).

Рисунок 5 - Схема четырехполюсника в режиме холостого хода на выходе

Как видно на схеме, при расчете общего сопротивления, мы не будем учитывать сопротивление конденсатора.

Сопротивление двух параллельно соединенных резисторов равно

Ом;

Тогда общее сопротивление цепи, как сумма последовательно соединенных элементов, и участка цепи

Ом;

Переведем в показательную форму

Ом

Найдем общий ток в цепи который соответствует току

А.

Напряжение на участке цепи равно

;

Найдем ток на резисторе который соответствует току, текущему в противоположном направлении

.

Рассмотрим формулы (5.3) и (5.5), преобразуем исходный четырехполюсник в соответствие с ней.

Рисунок 6 - Схема четырехполюсника в режиме холостого хода на входе

Общее комплексное сопротивление всей цепи представляет собой параллельное соединение участка иконденсатора

Ом;

Найдем общий ток в цепи который соответствует току .

А.

Найдем ток на участке цепи

A.

Напряжение на резисторе соответствует напряжению

B.

Рассчитаем параметр по формуле (5.2)

Ом.

Рассчитаем параметр по формуле (5.3)

.

Рассчитаем параметр по формуле (5.4)

.

Рассчитаем параметр по формуле (5.5)

Ом.

После всех расчетов система (5.1) принимает вид



5. ПОСТРОЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ДИАГРАММ НАПРЯЖЕНИЯ

Построение временных диаграмм напряжения производится для входа и выхода четырехполюсника на основе данных п. 1. Если обе диаграммы строятся на разных координатных плоскостях, то масштаб по оси времени должен быть одинаковым.

Для входа схемы четырехполюсника:

Для построения временных диаграмм вычислим значения э.д.с при различных значениях времени.

e(t) = 6·cos(2р·10⁵t+0⁰) В. (6.1)

Таблица 2. Зависимость входного сигнала от времени

, мс	E(t), В
-0,01	6
-0,008	1.85
-0,006	-4.85
-0,004	-4.85
-0,002	1.85
0	6
0.002	1.85
0,004	-4.85
0,006	-4.85
0.008	1.85
0.01	6

Изобразим эту зависимость на графике (Рисунок 7), используя онлайн сервис построения графиков математических функций[8].



Рисунок 7. График зависимости входного напряжения от времени

Для выхода схемы четырехполюсника:

Для построения временных диаграмм вычислим значения напряжения на при различных значениях времени.

В.

Таблица 3. Зависимость выходного сигнала от времени

, мс	U2, В
-0,01	0.0118
-0,00	0.0058
-0,006	-0.0082
-0,004	-0.0108
-0,002	0.0015
0	0.0118
0.002	0.0058
0,004	-0.0082
0,006	-0.0108
0.008	0.0015
0.01	0.0118

Изобразим эту зависимость на графике (Рисунок 8).[8]

Рисунок 8. График зависимости выходного напряжения от времени



заключение

В данной работе с использованием комплексного метода расчета были определены значения амплитуд и начальные фазы токов и напряжений, а также их начальные фазы в элементах рассматриваемой цепи. Имеющаяся погрешность может быть объяснена большим объемом вычислений и производимыми округлениями при каждом из них.

В ходе курсовой работы исследовали цепь на ее избирательные свойства, рассчитали Y-параметры четырехполюсника, на основании задания 1п. построили временные диаграммы напряжений, а правильность расчетов подтвердила проверка по I и II законам Кирхгофа и методу баланса мощностей.

Список используемой литературы

1. Бакалов, В.П.Основы теории цепей: учебное пособие для вузов. [Текст] /В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И. Крук. - 4-е изд. - М.: Горячая линия - Телеком, 2013.

2. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. для вузов по спец. «Радиотехника»[Текст] / С.И. Баскаков. - 5-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005.

3. Бычков, Ю.А. Основы теории электрических цепей: учебник для вузов[Текст]/ Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышев. - Изд. 3-е, стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2004.

4. Попов, В.П. Основы теории цепей: учебник для вузов [Текст]/ В.П. Попов. - Изд. 5-е изд., стер.- М.: Высш. шк., 2005.

5. Цветков, В.В. Основы теории цепей: методические указания по выполнению курсовой работы[Текст]/ В.В. Цветков, М.Ю. Чепелев. - Воронеж: ФГОУ ВПО Воронежскогоинститута ФСИН России, 2009.

6. Справочная книга радиолюбителя-конструктора [Текст] /А.А. Бокуняев, Н.М. Борисов, Р.Г. Варламов и др.; Под ред. Н.И. Чистякова.- М.: Радио и связь, 1990.-624 с.: ил.- (Массовая радиобиблиотека; Вып. 1147).

7. GooglePlay: [Электронный ресурс] URL: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.complcalc&hl=ru

8. Построение графиков функций онлайн: [Электронный ресурс] URL: http://www.yotx.ru.

Калькулятор комплексных и рациональных чисел.

http://h4e.ru/images/Overview/kompleksnie_chisla/Calc_V1.7z

Размещено на Allbest.ru