Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение:

Для построения эпюр разобьем балку на два участка.

Аналитические выражения поперечной силы Q и изгибающего момента М_z для каждого участка имеют следующий вид в соответствии с правилом знаков.

1-й участок: 0 x₁ a

, .

При х₁ = 0: , М_z = 0.

При х₁ = а: кН,

.

Определим экстремальное значение момента на 1-ом участке.

Для этого возьмем первую производную от изгибающего момента по x и приравняем ее нулю:

, м.

Тогда кН·м.

2-й участок: 0 x₂ b

, .

При х₂ = 0: кН,

кН·м.

При x₂ = b: кН,

Строим эпюры Q и M (см. рис. 11).

Проверка правильности построения эпюр.

В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

на эпюре Q будет скачок на величину приложенной силы F (сечение А, рис. 11);

на эпюре М будет скачок на величину приложенного момента М₀ (сечение В, рис. 11).

На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра Q ограничена наклонной прямой, а эпюра М - квадратичной параболой (участок АВ, рис. 11). При построении эпюры М на сжатых волокнах выпуклость параболы обращена навстречу стрелкам направления нагрузки q.

Эпюра Q представляет собой график производной от М.

На тех участках, где Q по длине участка равно нулю, момент имеет экстремальное значение.

На тех участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюра Q ограничена прямыми линиями, параллельными базовой, а эпюра М - наклонными (участок ВС, рис. 11).

Расчет на прочность при изгибе.

Условие прочности: , , .

Принимаем коэффициент запаса прочности n = 2. Материал - сталь 10. Из табл. 1 Приложения для стали 10 . Тогда . С эпюры моментов:

.

Тогда .

Подбор размеров сечений:

а) круглое сечение. Осевой момент сопротивления круглого сечения . Из условия прочности

;

б) кольцевое сечение (d/D = 0,5). Осевой момент сопротивления кольцевого сечения:

Из условия прочности:

Тогда внутренний диаметр кольца

в) прямоугольное сечение (h/д =2).

Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения

Нормальные максимальные напряжения возникают в точках максимально удаленных от нейтральной оси z (рис. 12).

.

Максимальные касательные напряжения возникают в точках, лежащих на оси z (см. рис.12).

,

где Q_max=10 кН = 10000 Н, h = 0,179 м, д = 0,0894 м,

статический момент части площади поперечного сечения относительно оси z (рис. 12):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эпюры нормальных и касательных напряжений показаны на рис. 12;

г) двутавровое сечение: используя таблицы прокатного сортамента из Приложения, выбираем по W_z = 476 см³ наиболее близкий номер двутавра. Выбираем двутавр номер 30, для которого: W_z = 472 см³, h = 30 см, b = 13,5 см, d = 0,65 см, t = 1,02 см, А = 46,5 см², J_z = 7080 см⁴, S_z = 268 cм³.

Максимальные напряжения будут равны

.

Имеем перенапряжение , что допустимо.

Проверка прочности по максимальным касательным напряжениям:

по III теории прочности

,

, прочность обеспечена.

Проверка по теориям прочности в точке C на границе полки и стенки:

По III теории прочности (теория максимальных касательных напряжений) эквивалентные напряжения будут равны:

,

прочность обеспечена;

д) два швеллера (составное сечение):

Так как швеллера два, то

Используя таблицы прокатного сортамента, выбираем по W_z = 238 см³ наиболее близкий номер швеллера. Выбираем № 24, для которого: W_z = 242 см³, h = 24 см, b = 9 см, d = 0,56 см, t = 1 см, J_z = 2900 см⁴, S_z = 139 cм³.

Тогда максимальные напряжения

.

Имеем недонапряжение , что допустимо.

7. Сравним расход материала для выбранных поперечных сечений.

Объемный вес стали .

а) Круглое сплошное сечение: объем элемента конструкции

где площадь сечения , длина элемента конструкции: тогда вес элемента конструкции

б) Кольцевое сечение: объем элемента конструкции где площадь сечения

длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

в) Прямоугольное сечение: объем элемента конструкции V = AЧl = 0,016 Ч 3 = 0,048 м³, где площадь сечения A = hЧд = 0,179 Ч0,0894 = 0,016 м², длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

г) Двутавровое сечение № 30: по сортаменту вес погонного метра полученного двутавра равен 36,5 кГ, длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

д) Составное сечение из двух швеллеров № 24: по сортаменту вес погонного метра одного швеллера равен 24 кГ, длина элемента конструкции: тогда вес элемента конструкции

Анализ расхода материала показывает, что наиболее выгодным является двутавровое сечение. Наиболее невыгодное - круглое сплошное сечение.

Пример выполнения задачи № 5

Исходные данные: а = 1м, в = 2м, с = 3м, М₀ = 10 кН•м, F = 20 кН, q = 20 кН/м, материал балки - серый чугун марки СЧ 36. Согласно таблице 2 Приложения, , . Сечение балки показано на рис. 13.

Решение

Определение реакций опор: .

; .

.; .

.

Проверка правильности определения реакций:

,

46,7 - 20•6 + 30 + 43,3=0, 120 - 120=0.

Реакции определены верно.

Данная балка имеет три участка (рис. 13).

Аналитические выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М_z для каждого участка имеют следующий вид с соответствующим расчетом значений Q и М_z в характерных точках (начало и конец участка, экстремальные значения):

1-й участок: 0 ? х₁ ? а, , .

Размещено на http://www.allbest.ru/

При х₁ = 0; Q_y = R_A = 46,7 кН, М_z = 0.

При х₁ = а; .

2-й участок: 0 ? х₂ ? b, , .

При х₂ = 0; ,

.

При x₂ = b; ,

.

Определим экстремальное значение изгибающего момента М_z на втором участке. Возьмем производную от выражения изгибающего момента на втором участке по x и приравняем к нулю. Координата положения экстремума x_o определяется из условия равенства нулю поперечной силы Q_y = 0.

.

Тогда

3-й участок: 0 ? х₃ ? с (идем справа налево):

При х₃ = 0; , M_z = 0.

При х₃ = c; = - 43,3 + 20•3 = 16,7кН.

.

Определим экстремальный момент на 3-ем участке:

.

,

.

Строим эпюры Q_y и М_z (рис. 13).

Проверка правильности построения эпюр производится аналогично задаче 4.

По условию задачи сечение балки имеет вид тавра (рис. 14).

Определим положение главных центральных моментов инерции для чугунной балки (рис. 14): а) выбираем исходную систему координат y и z.

Показываем собственные центральные оси каждой фигуры y_i и z_i параллельно выбранным осям y и z.

Определим расстояние между параллельными осями y_i и y, z_i и z.

Вычислим статические моменты инерции относительно осей у и z.

Определение положения центра тяжести сложной фигуры.

б) проводим через центр тяжести оси у₀ и z₀.

Определим главные центральные осевые J_zo, J_yo и центробежный моменты инерции J_yozo. Для этого определим расстояние между центральными осями у₀, z₀ и собственными центральными осями у_i, z_i.

Между осями z₀ и z_i

Между осями у₀ и у_i b₁ = b₂ = 0.

Тогда

,

.

.

.

Следовательно, главные центральные оси инерции U и V совпадают с осями у₀ и z₀.

, .

Расчет на прочность.

Наибольшие нормальные напряжения (по модулю) определим следующим образом: при сжатии

,

где ,

,

.

При растяжении , где ,

.

Эпюра напряжений показана на рис. 15.

По табл. 2 приложения находим механические характеристики серого чугуна СЧ 36:

Примем коэффициент запаса прочности равным 2,5.

Тогда допускаемые напряжения: на растяжение

на сжатие .

Условие прочности на сжатие , 512 < 560 выполняется,

прочность на растяжение не обеспечена, так как , 307 >152.

Контрольная работа № 3. Расчеты на прочность при сложном сопротивлении

Шкив с диаметром D₁ и с углом наклона ветвей ремня к горизонту б₁ делает n оборотов в минуту и передает мощность P кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D₂ и одинаковые углы наклона ветвей ремня к горизонту б₂, и каждый из них передает мощность P/2.

Требуется:

1) определить моменты, приложенные к шкивам, по заданным P и n;

2) построить эпюру крутящих моментов М_кр;

3) определить окружные усилия t₁ и t₂ , действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D₁ и D₂ ;

4) определить давления на вал, принимая их равными трем окружным усилиям;

5) определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов и вала не учитывать);

6) построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил М_гор и от вертикальных сил М_верт ;

7) построить эпюру суммарных изгибающих моментов, пользуясь формулой М_изг = (для каждого поперечного сечения вала имеется своя плоскость действия суммарного изгибающего момента, но для круглого сечения можно совместить плоскости М_изг всех поперечных сечений и построить суммарную эпюру в плоскости чертежа; при построении эпюры надо учесть, что для некоторых участков вала она не будет прямолинейной);

8) по третьей теории прочности подобрать диаметр вала при [у] =70 МПа, округляя его значение до стандартного ряда: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 и далее через 10 мм;

9) в наиболее напряженной точке опасного сечения определить аналитически и графически (с помощью круга Мора) величины и направление главных напряжений, нарисовать элемент, повернутый на угол б, по граням которого действуют главные напряжения.

Расчетные схемы приведены на рис. 16, численные данные - в таблице 5

Таблица 5

Пример выполнения задачи № 6

Дано: кВт; об/мин; м; м; ; ; МПа.

Решение:

1) Определяем моменты, приложенные к шкивам.

кН·м; кН·м .

2) По полученным значениям строим эпюру (рис. 18).

кН·м; кН·м.

3) Определяем окружные усилия, действующие на шкивы, из соотношения:

. Отсюда

кН;кН.

4) Определяем давления на вал в местах установки шкивов.

кН; кН.

5) Определяем проекции полученных сил на горизонтальную и вертикальную плоскости.

кН; кН;

кН; кН.

Определяем реакции опор в вертикальной плоскости.

: ;

кН.

: ;

кН.

Проверка:;

.

В горизонтальной плоскости.

: ;

:

Проверка: : .

6. Построение эпюр изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях:

Определяем моменты в характерных сечениях.

В вертикальной плоскости:

В горизонтальной плоскости: кН·м;

кН·м.

7. Для построения эпюры суммарных изгибающих моментов вычисляем в характерных сечениях:

кН·м;

кН·м.

На участках АС, СВ эпюра - криволинейная.

8. Опасными сечениями (равноопасными) являются сечения А и В, в которых кН·м, кН м.

Условие прочности по III-й теории:

; ;

кН·м.

мм.

Округляем до стандартного ряда и окончательно принимаем мм.

9. В опасной точке поперечного сечения у наружной поверхности вала имеем плоское напряженное состояние.

МПа.

МПа;МПа.

; .

На рис. 20 задача определения величины и направления главных напряжений решена графически с использованием круга Мора.

З А Д А Ч А № 7

Внецентренное растяжение (сжатие)

Жесткий брус заданного поперечного сечения (рис. 21) сжимается силой F, параллельной оси бруса и приложенной в точке, показанной на схеме поперечного сечения.

Требуется:

1) найти положение центра тяжести поперечного сечения;

2) вычислить квадраты радиусов инерции относительно главных центральных осей инерции поперечного сечения;

3) определить положение нейтральной линии;

4) вычислить наибольшие по абсолютной величине сжимающие и растягивающие напряжения и построить эпюру напряжений;

5) проверить прочность бруса, принимая допускаемые напряжения при растяжении [у]₊ = 30 МПа, при сжатии [у]_- = 150 МПа;

6) найти допускаемую нагрузку [F] при заданных размерах сечения;

7) построить ядро сечения.

Форма сечения выбирается по рис. 21, численные данные - в таблице 6.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таблица 6

Пример выполнения задачи № 7

Дано: F =200 кН; a = 40 см; b = 50 см; z_F = -14 см; y_F = 15 см (рис. 22). [у]₊ = 3 МПа; [у]_- = 30 МПа.

Решение:

В поперечном сечении будет действовать 3 ВСФ:

;

(знаки моментов не проставляем, будем определять знак напряжений по растянутым - сжатым волокнам).

Определяем геометрические характеристики поперечного сечения:

;

;

.

Определяем положение нулевой линии:

; .

Вычисленные координаты откладываются на соответствующих осях с учетом знака (рис.23) и через полученные точки проводится нулевая линия.

Для построения эпюры нормальных напряжений найдем точки, которые наиболее удалены от нулевой линии: A(-20; 25); B(20; 25).

.

.

Проверка прочности: у_max ? [у]₊. 2,9 ? 3. Условие прочности выполняется. Условие прочности на сжатых волокнах также выполняется.

Допускаемая нагрузка определяется по напряжению в точке, которые ближе по величине к допускаемым напряжениям. Это точка В:

[F] = F [у]₊/ у_max= 200 3/2,9 = 207 кН.

Построим ядро сечения для прямоугольника, используя выражения:

и .

Для этого проведем ряд нейтральных осей, касательных к контуру поперечного сечения (рис. 24).

Для положения н. о. (1):

.

. Покажем эту точку (1). Для положения н.

о. (2): Покажем эту точку (2).

Соединим точки (1) и (2) прямой линией. Точки (3) и (4) найдем, задавая положения нейтральных осей 3 и 4. Затем, используя свойство угловых точек, вокруг которых поворачивается нейтральная ось, построим ядро сечения, которое будет иметь форму ромба.

З А Д А Ч А № 8

Пространственный ломаный брус

Пространственный ломаный брус состоит из трех жестко соединенных под прямыми углами стержней круглого поперечного сечения одинаковой длины. Брус нагружен силами, расположенными в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Материал стержней - сталь с [у] = 210 МПа; [ф] = 130 МПа. Требуется:

1) построить в аксонометрии эпюры ВСФ;

2) установить вид сложного сопротивления для каждого участка;

3) определить положение опасных сечений и найти диаметр стержня для каждого участка;

4) проверить прочность в опасных сечениях с учетом всех действующих ВСФ.

Схемы брусьев приведены на рис. 25, числовые данные в табл. 7.

Таблица 7

Пример выполнения задачи

Дано: ; ; ; ; ; . Схема на рис. 26.

Решение:

1. Строим эпюры ВСФ.

Особенности построения эпюр смотри в [4, 7]. Брус разбиваем на три участка 0-1, 1-2, 2-3. На каждом участке движемся со свободного конца.