Расчёт на жёсткость пластины, подкреплённой рёбрами, на упругом основании методом Бубнова-Галёркина

Размещено на http://www.allbest.ru/

¹Академия строительства и архитектуры Донского государственного технического университета, Ростов-на-Дону

²Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

Расчёт на жёсткость пластины, подкреплённой рёбрами, на упругом основании методом Бубнова-Галёркина

Е.Э. Кадомцева,

А.Н. Бескопыльный,

Я.А. Бердник

Аннотация

В работе рассматривается изгиб пластины на упругом основании. Пластина в плане имеет прямоугольное очертание. Материал пластины изотропный. Пластина подкреплена рёбрами жёсткости, направленными параллельно сторонам пластины. Учитывается, что рёбра жёсткости, параллельные разным сторонам, имеют разные жёсткости на изгиб и кручение. За расчётную схему принимается ортотропная пластина, имеющая различные цилиндрические жёсткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных подкрепляющим рёбрам. Упругое основание принимается Винклеровским, т.е. считается, что реакция основания прямо пропорциональна прогибу пластины в каждой точке. За неизвестные НДС принимается прогиб пластины. Для определения прогиба используется метод Бубнова - Галёркина. Прогиб берётся в виде разложения в ряд с неизвестными коэффициентами по функциям, удовлетворяющим граничным условиям. Для определения неизвестных коэффициентов получена система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Рассмотрен случай действия внешней нагрузки и реакции основания, передающихся на пластину через рёбра жёсткости.

Ключевые слова: Пластина, рёбра, упругое, основание, изгиб, прогиб, Бубнов-Галёркин, ортотропная, прямоугольная, распределённая нагрузка.

Расчёт различных конструкций из армированных элементов имеет широкое применение при проектировании железобетонных строительных сооружений [1-5].

Рассматривается прямоугольная пластина с рёбрами жёсткости, направленными параллельно краям пластины, нагруженная распределённой нагрузкой, перпендикулярной срединной плоскости (Рис. 1).

Пластинка рассматривается как конструктивно ортотропная. Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пластинки на упругом основании имеет вид [6,7]:

+ + = q(x, y) - w(x, y). (1)

где = , = , = +,

D - Цилиндрическая жёсткость пластинки, и - жёсткость при изгибе рёбер, и - моменты инерции при кручении рёбер, w(x, y) - прогиб пластины.

Перейдём к безразмерным переменным

, , .

Учитывая дифференциальные зависимости

, , ,

получим (1) в следующем виде:

+ + =. (2)

Рис.1 изгиб прямоугольный армированный изотропный

Решение принимается в виде двойного ряда:

w () = (),

где w() - функция, удовлетворяющая всем граничным условиям пластинки, - неизвестные коэффициенты.

Функциональное уравнение метода Бубнова - Галёркина [8] для пластинки, подкреплённой рёбрами жёсткости, на упругом основании примет вид:

. k, = 1,2,3,... (3)

После подстановки w () в (3) получим:

. k, = 1,2,3,...

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

= k, = 1,2,3,...(4)

Где

= ,

Если распределённая нагрузка и действие упругого основания передаются на пластинку через рёбра жёсткости [9,10], то

=

,

=

,

=

= ,

где ,

b -

- число рёбер параллельных оси x,- число рёбер параллельных оси y.

Определив из системы линейных алгебраических уравнений, найдём выражение прогиба пластинки w ().

Литература

1. Кадомцева Е.Э., Моргун Л.В. Учёт влияния отличия модулей упругости на сжатие и растяжение при расчёте на прочность армированных балок с заполнителем из фибропенобетона. // Инженерный вестник Дона, 2013, № 2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.

2.Кадомцева Е.Э.,Бескопыльный А.Н. Расчёт на прочность армированных балок с заполнителем из бимодульного материала с использованием различных теорий прочности. // Инженерный вестник Дона, 2013, № 4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.

3. Кадомцева Е.Э.Прочность при ударе по составной балке. "Строительство 2009", Материалы юбилейной международной научно- практической конференции / Ростовский государственный строительный университет - Ростов-на-Дону: редакционно-издательский центр РГСУ, 2009, -C. 41.

4. Моргун В.Н., Курочка П.Н., Богатина А.Ю., Кадомцева Е.Э.,

Моргун Л.В. К вопросу о сцеплении стержневой арматуры с бетоном и фибробетоном. Ж. "Строительные материалы", 2014, №8. - С.56-59.

5. Моргун Л.В., Богатина А.Ю., Кадомцева Е.Э. О поведении фибропенобетона при изгибе армированных балок. Бетон и железобетон - взгляд в будущее: научные труды I Всероссийской (П Международной) конференции по бетону и ж/б (Москва, 12-16 мая 2014) в 7 т. Т.3. Арматура и системы армирования. Фибробетоны и армоцементы. Проблемы долговечности. Москва: МГСУ, 2014. - С.151-157.

6. Филин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т.1. - М. изд-во" Наука", Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1981.-832 с.

7. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трёх томах. Под общей редакцией Биргер И.А. и Пановко Я.Г. Т.2. - М., изд-во " Машиностроение", 1988.- с.464.

8. Мышкис А.Д. Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы. - М. изд-во "Физматлит", МАИК "Наука/Интерпериодика", 2007.

-687 с.

9. Shukla S.K. Shallow foundations in geo synthetics and their applications. -Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163

10. Yin J.H. Comparative modeling study on reinforced beam on elastic foundation // ASCE Journ. of Geotechn. and Geoenvironmental Engineering. -2000. Vol. 126, № 3. pp. 265-271.

References

1. Kadomceva E.E., Morgun L.V. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, № 2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.

2. E.E. Kadomceva E.E., Beskopyl'nyj A.N. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, № 4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.

3. Kadomceva E.E. Stroitel'stvo 2009.Materialy yubilejnoj mezhdunarodnoj nauchno- prakticheskoj konferencii. Rostovskij gosudarstvennyj stroitel'nyj universitet. Rostov-na-Donu: redakcionno-izdatel'skij centr RGSU, 2009, p. 41.

4. Morgun V.N, Kurochka P.N.,Bogatina A.U., Kadomceva E.E., Morgun L.V. Stroitel'nye materialy. Mezhdistsiplinarnyy zhurnal. 2014. №8. pp. 56-59.

5. Morgun L.V., Bogatina A.U., Kadomceva E.E.Beton i zhelezobeton-vzglyad v budushchee: nauchnyetrudy I Vserossijskoj (P Mezhdunarodnoj) konferencii pobetonu i zh/b (Moskva, 12-16 maya 2014) v 7 t. T.3. Armatura i sistemy armirovaniya. Fibrobetony i armocementy. Problemy dolgovechnosti. [Concrete and reinforced concrete - glance at future: proceedings of I all-Russian (II International) conference on concrete and reinforced concrete (Moscow, 12-16 may 2014) 7 T. T. 3. Valves and system reinforcement. The fiber-reinforced concrete and amazement. Durability problems.] Moskva: MGSU, 2014. Pp.151-157.

6. Filin A.P. Prikladnaya mekhanika tvyordogo deformiruemogo tela. [Applied mechanics of solid deformable body]. T.1. Moskva:izd-vo" Nauka", Gl. red. fiz.-mat. literatury, 1981.832 p.

7. Prochnost', ustojchivost', kolebaniya. Spravochnik v tryohtomah. Pod obshchej redakciej BirgerI.A. i Panovko YA.G.. [Strength, stability, oscillations. Handbook in three volumes. Under the General editorship of BirgerI. A. and Panovko YA.G.] T.2. Moskva: izd-vo" Mashinostroenie", 1988. 464 p.

8. Myshkis A.D. Prikladnaya matematika dlya inzhenerov. Special'nye kursy.

[Applied mathematics for engineers. Special courses] Moskva: izd-vo "Fizmatlit", MAIK "Nauka/Interperiodika", 2007.687 p.

9. Shukla S.K. Shallow foundations in geosynthetics and their applications. Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163

10. Yin J.H. Comparative modeling study on reinforced beam on elastic foundation // ASCE Journ. of Geotechn. and Geoenvironmental Engineering. -2000. Vol. 126, № 3. pp. 265-271.

Размещено на Allbest.ru