Математическое моделирование нелинейных характеристик элементов применительно к задаче реализации двухполюсников с заданными нелинейными зависимостями
Обоснование использования соответствующих дифференциальных уравнений для описания полюсных уравнений нелинейных резистивных двухполюсников. Рассмотрение расчета переходного процесса в схеме замещения в нелинейной электрической цепи первого порядка.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.07.2017 |
| Размер файла | 69,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Математическое моделирование нелинейных характеристик элементов применительно к задаче реализации двухполюсников с заданными нелинейными зависимостями
В.В. Пивнев, Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
С.Н. Басан, Российский государственный гидрометеорологический университет, филиал в г. Туапсе
Аннотация
В статье предлагается использовать для описания полюсных уравнений нелинейных резистивных двухполюсников соответствующие дифференциальные уравнения. Это упрощает реализацию нелинейных резисторов на базе аналого-цифро-аналогового элемента. Постоянные коэффициенты, входящие в предлагаемую математическую модель рассматриваются как постоянные интегрирования. Поэтому настройка элемента на требуемую вольтамперную характеристику осуществляется путём задания соответствующих начальных условий.
Ключевые слова: нелинейный элемент, математическая модель, полюсное уравнение, дифференциальная форма.
электрический цепь нелинейный двухполюсник
Многие нелинейные электрические цепи, находящие широкое применение в инженерной практике [1 - 12], в качестве нелинейных элементов содержат нелинейные резисторы. Реализация нелинейных резисторов с заданной вольтамперной характеристикой и требуемой степенью точности испытывает трудности, обусловленные необходимостью подбора выпускаемых промышленностью нелинейных элементов и способа соединения элементов между собой. При таком подходе возникают проблемы в обеспечении идентичности характеристик нелинейных элементов.
Избежать процедуры отладки аппаратной части нелинейного элемента позволяет применение аналого-цифро-аналогового элемента [4, 5]. Реализация требуемой вольтамперной характеристики этим элементом обеспечивается соответствующим программным обеспечением.
Вид требуемых вольтамперных характеристик определяется техническими требованиями и может быть самым разнообразным. Следовательно, для каждого вида характеристик требуется своё программное обеспечение.
В то же время вольтамперную характеристику нелинейного элемента можно рассматривать как частное решение соответствующего дифференциального уравнения. Частное решение дифференциального уравнения зависит от начальных условий. Следовательно, задавая начальные условия можно, управлять видом вольтамперной характеристики.
Целью работы является представление полюсного уравнения (1) (математической модели) нелинейного резистивного двухполюсника в виде дифференциального уравнения относительно тока , где коэффициенты и рассматриваются как постоянные интегрирования [9]:
(1)
Для восстановления дифференциального уравнения по известному решению (1) продифференцируем дважды уравнение (1):
, (2)
. (3)
Уравнения (2) и (3) образуют систему, позволяющую выразить в явном виде постоянные интегрирования через напряжение и ток двухполюсника.
Решая систему уравнений (2, 3) относительно постоянных интегрирования и , получим:
, (4)
. (5)
В этом выражении символ «» означает возведение в степень. После подстановки (4) и (5) в уравнение (1) и выполнив элементарные упрощения, получим уравнение (6):
(6)
Полученное уравнение относится к классу однородных дифференциальных нелинейных уравнений второго порядка и является полюсным уравнением нелинейного резистивного двухполюсника с вольтамперной характеристикой (1), записанного в дифференциальной форме.
Выражение (1) является общим решением уравнения (6). Для нахождения частного решения необходимо определить начальные условия и . Начальные условия , , являются зависимыми начальными условиями. В момент коммутации они могут скачком изменить свои значения, которые зависят от внешней по отношению к нелинейному элементу электрической цепи. При включении электрической цепи цифровое устройство фиксирует начальное значение тока (напряжения) элемента непосредственно после коммутации. Затем по уравнениям (7) вычисляются начальные условия:
(7)
Рассмотрим два частных случая, когда в уравнении (1) в качестве постоянной интегрирования рассматривается один из коэффициентов или . Если рассматривать в качестве постоянной интегрирования , то дифференциальное уравнение примет вид:
. (8)
В том случае, когда в качестве постоянной интегрирования рассматривается , математическая модель двухполюсника соответствует уравнение (9):
. (9)
В обоих частных случаях математическая модель представляет собой однородное дифференциальное уравнения первого порядка. Для нахождения частного решения необходимо определять начальные условия, которые являются зависимыми начальными условиями. Их значение зависит от внешней по отношению к нелинейному элементу электрической цепи после коммутации.
В качестве примера рассмотрим расчёт переходного процесса в схеме замещения в нелинейной электрической цепи первого порядка на рис.1.
Рис. 1. - Схема замещения нелинейной электрической цепи первого порядка
Пусть, в схеме на рис.1:, , , тогда
. (10)
Будем считать, что коммутация происходит в нулевой момент времени .
Запишем уравнение нелинейного элемента (10) в дифференциальной форме следующим образом (11):
(11)
Уравнения, описывающие процессы в схеме замещения на рис.1, после коммутации, имеют следующий вид:
, (12)
. (13)
Решим данную систему уравнений явным методом Эйлера, выполнив следующую последовательность действий:
1. Запишем уравнения (12) и (13) в форме Коши (14, 15, 16):
, (14)
, (15)
. (16)
2. Определим численные значения независимых начальных условий. В данной схеме (в соответствии с законами коммутации) одно независимое нулевое начальное условие . Все остальные начальные условия являются зависимыми, их значения определяются в процессе решения задачи из уравнений (14, 15, 16). Из полюсного уравнения нелинейного элемента следует, что .
3. Выберем шаг интегрирования по времени: с. Результаты решения будем отображать в таблице 1.
Таблица № 1. Результаты решения задачи
|
«к» Номер шага |
|||||||||
|
- |
(А) |
(А/с) |
(В) |
(Ом) |
(Ом/А) |
(А) |
(Ом) |
(В) |
|
|
0 |
0 |
50 |
0 |
- |
- |
0.005 |
- |
- |
|
|
1 |
0.005 |
49.509 87 |
0.049012741 |
6.861783865 |
-411.712 08 |
0.004950987 |
-2.038 381156 |
0.0339726034 |
|
|
2 |
0.0099 50987 |
49.170 1469662 |
0.08298530338 |
4.82340285 |
-204.362 586282 |
0.004917014697 |
-1.004 85383 88 |
0.02371 674266 |
|
|
3 |
0.0148 680017 |
48.93 29795396 |
0.10670204604 |
3.818549011 |
-120.17 5492352 |
0.004893297954 |
-0.588 05449 04 |
0.01868529804 |
|
|
4 |
0.0197 612996 |
48.7461265592 |
0.12538734408 |
3.23049452081 |
-80.244 965742 |
0.00487461265 |
-0.391 16312 51 |
0.01574760328 |
|
|
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
4. Из формулы (14) для получаем:
. (17)
5.Приращение тока на нулевом шаге будет равно:
(18)
6. Далее вычисляется значение тока на первом шаге интегрирования:
А. (19)
7. Зная ток первого шага интегрирования, вычисляем значения и по формулам (8, 9):
В, (20)
Ом. (21)
8. Вычисляем теперь значение первой производной силы тока в первой точке по соотношению (14):
А/с. (22)
9. Знание производной тока позволяет определить приращение тока на первом шаге:
А. (23)
10. Соотношение (15) позволяет вычислить значение производной :
Ом/А. (24)
11. Вычисляем значения и :
Ом, (25)
В. (26)
12. Таким образом, все ячейки первой строки таблицы 1 заполнены. Теперь вычисляем значения переменных величин :
А, (27)
В, (28)
Ом. (29)
Далее, за исключением п. 7 процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение за весь период времени, с заданной степенью точности, удовлетворяющий требованиям задачи.
Из изложенного материала видно, что если использовать степенные функции для моделирования вольтамперных характеристик нелинейных резисторов [12], записанных в дифференциальной форме, то при реализации соответствующих нелинейных резисторов нет необходимости изменять ни схему, ни программу функционирования цифровой части на рис. 1. Для получения требуемых численных значений , достаточно задать начальные условия в соответствии с соотношениями (7).
Благодарности.
Работа выполнена при поддержке гранта Южного федерального университета России: «Теория и методы энергосберегающего управления распределенными системами генерации, транспортировки и потребления электроэнергии».
Литература
1. Пивнев В.В., Басан С.Н. Некоторые аспекты обратимости процессов в линейных электрических цепях второго порядка // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/1969/.
2. Филиппов Е. Нелинейная электротехника. М.: Энергия, 1968. 503 с.
3. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными R элементами. М.: Связь, 1974. 135 с.
4. Басан С.Н., Изотов М.В. Применение микропроцессорных устройств в задачах синтеза нелинейных электрических цепей с заданными свойствами. // Materiaіy VII Miкdzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji «Perspektywiczne opracowania s№ nauk№ i technikami - 2011». Volume 56. Techniczne nauki. Przemyњl. Nauka i studia, 2011. рр.17-24.
5. Басан С.Н., Изотов М.В. Универсальный аналого - цифровой элемент электронной техники // Труды международной научной конференции. Таганрог- Дивноморск: 2009. С. 486-489.
6. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Ленинград: Энергоатомиздат, 1990. 252 с.
7. Басан С.Н. Электрические цепи с нелинейными резисторами. Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 1984. 200 с.
8. Басан С.Н., Данилов Л.В. Классы эквивалентных пассивных нелинейных цепей. В кн.: Методы математического моделирования и теория электрических цепей, вып. 2. Киев: 1973. 263 с.
9. Пивнев В.В., Басан С.Н. К вопросу о разработке модели нелинейного двухполюсника с управляемой вольт-амперной характеристикой // Инженерный вестник Дона, 2015, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3203/.
10. Pivnev V.V., Basan S.N. Some questions about equivalent circuit synthesis and nonlinear electrical circuit implementation with the specified properties in the electronic simulation tasks // Applied Mechanics and Materials Vols. 670-671. 2014. pp. 1454-1457.
11. Pivnev V.V., Basan S.N., Voloshchenko Y.P. The application of approximation characteristics non-linear resistor implement the required current-voltage characteristics // Proceedings of the International Conference on Advances in the field of energy, environmental and chemical engineering. Рart of series: Advances in Engineering Research (September 2015). - Access: doi:10.2991/aeece-15.2015.2.
12. Pivnev V.V., Basan S.N. Some the application of the Taylor series for the analysis of processes in non-linear resistive circuits // Applied Mechanics and Materials Vols. 701-702. 2015. pp. 1173-1176.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Что такое нелинейные цепи и нелинейный элемент. Классификация нелинейных элементов, параметры и некоторые схемы замещения. Методы расчёта нелинейных цепей постоянного тока. Графический способ расчета цепей с применением кусочно-линейной аппроксимации.
реферат [686,7 K], добавлен 28.11.2010Расчет переходного процесса классическим методом и решение дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Схема замещения электрической цепи. Определение производной напряжения на емкости в момент коммутации. Построение графиков переходных процессов.
контрольная работа [384,2 K], добавлен 29.11.2015Экспериментальное определение и построение вольтамперных характеристик нелинейных резистивных элементов. Проверка достоверности графического метода расчёта нелинейных электрических цепей. Основные теоретические положения, порядок выполнения работы.
лабораторная работа [297,6 K], добавлен 22.12.2009Решение линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока, однофазных и трехфазных линейных электрических цепей переменного тока. Схема замещения электрической цепи, определение реактивных сопротивлений элементов цепи. Нахождение фазных токов.
курсовая работа [685,5 K], добавлен 28.09.2014Теоретическое описание метода Ньютона. Решение нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Влияние установившегося отклонения напряжения на работу электропотребителей. Аналитическая запись решения и численный расчет энергосистемы.
контрольная работа [911,1 K], добавлен 15.01.2014Применение метода междуузлового напряжения при анализе многоконтурной электрической схемы, имеющей два потенциальных узла. Нелинейные электрические цепи постоянного тока. Цепи с параллельным, последовательно-параллельным соединением резистивных элементов.
презентация [1,8 M], добавлен 25.07.2013Составление уравнений состояния цепи, построение графиков полученных зависимостей. Решения дифференциальных уравнений методом Эйлера. Анализ цепи операторным и частотным методами при апериодическом воздействии. Характеристики выходного напряжения и тока.
курсовая работа [541,5 K], добавлен 05.11.2011Физическая интерпретация свойств решений эволюционных уравнений, описывающих амплитудно-фазовую модуляцию нелинейных волн. Основные принципы нелинейных многоволновых взаимодействий. Теория нормальных форм уравнений, резонанс в многоволновых системах.
реферат [165,9 K], добавлен 14.02.2010Параллельное, последовательное и смешанное соединения нелинейных элементов, их вольтамперная характеристика. Определение значения тока неразветвлённой части цепи и значения напряжения цепи как суммы напряжений на отдельных участках; метод "свертывания".
лабораторная работа [45,7 K], добавлен 12.01.2010Виды определения напряжения и состояния цепи методом контурных токов. Примеры расчета переходного процесса классическим методом в линейной электрической цепи. Решение системы уравнений методом Крамера. Вычисление затраченной мощности на сопротивлениях.
контрольная работа [494,5 K], добавлен 28.01.2015
