Балістичний крутильний маятник

Вінниця 2006

Балістичний крутильний маятник

Мета роботи: вивчення законів динаміки обертового руху на прикладі вимірювання швидкості "снаряда" з допомогою балістичного крутильного маятника.

Прилади і матеріали: балістичний крутильний маятник з вмонтованим мілісекундоміром; досліджуване тіло-”снаряд”.

Теоретичні відомості

Крутильний маятник у найпростішому варіанті являє собою горизонтальний стержень, підвішений на пружній нитці довжиною l. З допомогою крутильного маятника одержані фундаментальні результати в фізиці, а саме: виміряно гравітаційну сталу (Г.Кавендіш), вивчено закон взаємодії точкових зарядів (Ш.0.Кулон), виміряно тиск світла (П.І.Лебедєв). Крутильний маятник, являючись основним елементом прецензійних вимірювальних приладів, знаходить широке застосування і в сучасній дослідницькій практиці, наприклад, для вимірювання магнітної сприйнятливості, вивчення процесів внутрішнього тертя в твердих тілах і ін.

В даній лабораторній роботі з допомогою балістичного крутильного маятника вимірюється швидкість "снаряда" - тіла масою m, яке вистрілює стиснена пружина.

Схема досліду для визначення швидкості v "снаряда" зображена на рис. 1. Нехай плече імпульсу, тобто віддаль від осі обертання Z (вісь співпадає з ниткою) до лінії, вздовж якої рухається "снаряд", дорівнює r. Попадаючи в мішень, "снаряд" застрягає в пластиліні і рухається разом з мішенню. Таким чином, має місце абсолютно непружний удар. Обертання маятника відносно z описується рівнянням динаміки обертового руху:

(1)

де L_z -- проекція моменту імпульсу системи на вертикальну вісь z ,

M_z - проекція результуючого моменту сил на цю ж вісь.

Размещено на http://www.allbest.ru/

До удару і безпосередньо після нього всі діючі сили (тяжіння, реакції) напрямлені вздовж осі z, тому проекція моменту цих сил рівна нулеві. Враховуючи це, з рівняння (1) одержуємо:

(2)

Звідки слідує, що L_z = const .

До удару маятник знаходився в стані спокою, а момент імпульсу "снаряда" був рівний mvr. Після удару маятник разом з "снарядом" обертається з початковою кутовою швидкістю . Якщо в указаному на рис.1 положенні вантажів М (на віддалі R₂ від осі обертання) момент інерції маятника позначити через I₂, то момент імпульсу його безпосередньо після удару буде:

(3)

На основі закону збереження моменту імпульсу (2) можемо записати:

(4)

Маючи початковий момент імпульсу L_2Z, маятник повертається відносно осі Z, але внаслідок деформації кручення виникають пружні сили, момент яких M() залежить від кута повороту маятника , що приводить до зменшення моменту імпульсу, а також кутової швидкості обертання. У той момент часу, коли кутова швидкість стає рівною нулю, кут повороту досягає максимального значення , яке піддається безпосередньому вимірюванню. У процесі удару механічна енергія системи не зберігається, бо частина її перетворюється у внутрішню енергію тіл, які стикаються. Але після удару рух відбувається під дією пружних сил, а дисипативними силами, внаслідок малих значень лінійних швидкостей елементів маятника, можемо знехтувати. Тому надалі правомірне застосування закону збереження механічної енергії:

(5)

причому, безпосередньо перед ударом W_1П= 0, а при = W_1К = 0.

Кінетична енергія системи як енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі, визначається за формулою:

(6)

балістичний крутильний маятник швидкість

Врахувавши всі ці висновки, закон збереження (5), приводить нас до співвідношення

(7)

де W_П() -- є потенціальна енергія деформації при максимальному відхиленні маятника.

Тепер необхідно цю енергію явно виразити через кут . При повороті на безмежно малий кут d силами пружності виконується елементарна робота:

(8)

де знак "мінус" враховує, що момент сили протидіє зростанню кута повороту. Оскільки dW_П= - dA, то проінтегрувавши (8), одержуємо:

(9)

Вважаючи, що деформація має пружний характер, згідно з законом Гука запишемо:

(10)

де к -- коефіцієнт кручення, що залежить від пружних властивостей нитки, її геометричної форми та розмірів.

Підстановка (10) в (9) дає:

(11)

Таким чином, закон збереження енергії (7) набуває форми:

(12)

Розв'язуючи сумісно рівняння (4) та (12) відносно швидкості v, одержуємо:

(13)

Для доведення співвідношення (10) розглянемо більш детально деформацію кручення нитки, вважаючи що модуль зсуву матеріалу її дорівнює G, а радіус -- r₀. Виділимо в нижній основі частину кругового кільця радіусом x, товщиною dx з відповідним центральним кутом d (рис.2). Нехай в результаті кручення основа нитки повернулась на кут , тоді твірна AC повернеться на кут . При цьому виникне пружна напруга , тобто дотична сила, що діє на одиницю площі нижньої основи, яка визначається за законом Гука:

З трикутників ОАВ та АВС (рис. 2) знаходимо:

Враховуючи це, перепишемо закон Гука:

Знаючи механічну напругу , можемо розрахувати силу, що діє на виділений елемент кільця площиною dS = x dx d:

Плече цієї сили дорівнює x, тому момент її дії буде:

Інтегруючи одержаний вираз по x від 0 до r₀, а також по від 0 до 2, одержуємо:

що співпадає з виразом (10), причому

У співвідношенні (13) величини , m, r доступні безпосередньому вимірюванню. Але величини к та I₂ невідомі. Тому необхідно провести такі два незалежні досліди, з результатів яких ці невідомі можна було б визначити.

Звернемося до аналізу руху маятника під дією моменту пружних сил. Згідно з рівнянням динаміки обертового руху

Підставивши момент сили з (10), одержимо:

Таким чином, крутильний маятник здійснює гармонічні коливання, період яких визначається за формулою:

При віддаленні вантажів M від осі z на величину R₂ період крутильних коливань буде:

(15)

а якщо змістити вантажі на віддаль R₁, період зміниться і стане рівним

(16)

Використовуючи теорему Штейнера, визначимо моменти інерції маятника в цих випадках:

(17)

(18)

де I -- момент інерції важеля відносно осі z,

I₀ -- момент інерції вантажів відносно вертикальної осі, що проходить через центр їх мас.

Розв'язуючи сумісно систему рівнянь (15-18), знаходимо:

,(19)

,(20)

Підстановка виразів (19) та (20) в (13) приводить до одержання основної розрахункової формули швидкості:

,(21)

Таким чином, знаходження швидкості "снаряду" з допомогою балістичного крутильного маятника зводиться до безпосереднього вимірювання таких величин:

Маси вантажів М, маси "снаряду" m та плеча імпульсу "снаряда" r.

Максимального кута повороту маятника після пострілу.

Періодів T₁ і T₂ гармонічних коливань при двох положеннях вантажів M відносно осі R₁ і R₂.

Порядок виконання роботи