Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Київський національний університет будівництва і архітектури

Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічної роботи для студентів напряму підготовки 6.050101 - «Комп'ютерні науки»

Електротехніка та електроніка

Городжа А.Д., Ярас В.І., Ловейкін С.О.

Київ 2013

УДК 621.3 (075.8)

ББК 31.21

Е50

Укладачі:А.Д. Городжа, канд. техн. наук, професор

В.І. Ярас; канд. техн. наук, доцент

С.О. Ловейкін, інженер

Рецензент В.М. Скіданов, д-р техн. наук, професор

Відповідальний за випуск Л.І. Мазуренко, д-р. техн. наук, професор

Затверджено на засіданні кафедри електротехніки та електроприводу, протокол № 16 від 26 березня 2013 року.

Видається в авторській редакції.

Основи електротехніки та електроніки:

Е50методичні вказівки до виконання розрахунково-графічної роботи / уклад.:А.Д. Городжа, В.І. Ярас, С.О. Ловейкін - К.: КНУБА, 2013. - 52 с.

У методичних вказівках викладені основні теоретичні відомості та приклади розв'язання типових задач із розділів «Електричні кола» та «Електричні машини» дисципліни «Електротехніка та електроніка».

Призначено для студентів з напрямку 6.050101 - «Комп'ютерні науки».

© КНУБА, 2013

Зміст

Загальні положення

Загальні рекомендації для розв'язування задач

1. Лінійні електричні кола постійного струму

1.1 Розрахунок простих кіл постійного електричного струму

1.2 Розрахунок складних кіл постійного електричного струму

2. Лінійні електричні кола однофазного змінного струму

2.1 Окремі теоретичні положення.

2.2 Символічний метод (метод комплексних амплітуд) розрахунку електричних кіл змінного струму

3. Трифазні кола

4. Трансформатори

5. Асинхронні двигуни

Додатки

Загальні положення

Курс «Електротехніка та електроніка» е однією з базових, що необхідні фахівцю з спеціальності 6.092501 «Автоматизоване управління технологічними процесами» для його професійній діяльності у будівельній галузі.

Робочою програмою курсу передбачено виконання розрахунково-графічної роботи у яку увійшли розрахунок електричних кіл постійного та змінного струмів та розрахунок параметрів електричних машин.

Для кращого засвоєння матеріалу перед виконанням розрахунково-графічної роботи рекомендується на прикладах розглянути порядок розв'язання відповідних задач, наведених в даних методичних вказівках у порядку збільшення їх складності.

Загальні рекомендації для розв'язування задач

При виконанні розрахунково-графічного завдання доцільно:

1. Вивчити теоретичний матеріал даного розділу та теоретичні положення даних методичних вказівок.

2. Уважно прочитати завдання, записати умову задачі, і виписати з відповідної до завдання таблиці дані свого варіанту.

3. Щоб запобігти виникненню помилок при числових розрахунках необхідно у формулах всі фізичні величини визначити в одиницях системи СІ (вольтах, амперах, омах, Ватах і т.д.), а значення всіх похідних одиниць перевести в основні, наприклад: 1 кВ=10³ В;

4. Проаналізувати загальний алгоритм розрахунку задачі.

5.Коментувати рішення задачі текстом, тобто пояснювати, на підставі яких законів складені рівняння, які перетворення зроблені у схемі і формулах, послідовність дій при розрахунках і інше.

6.При виконанні розрахунків спочатку повинна бути написана формула, потім підставлені числові значення змінних, записані проміжні і кінцеві результати розрахунків.

7.Побудову графіків необхідно виконувати олівцем на міліметровому папері з дотримуванням наступних вимог:

а) накреслити осі координат;

б) на осях координат позначити величини (аргумент і функцію) і одиниці їх вимірів, на вісях координат нанести рівномірні шкали і на крупних поділках поставити їх цифрові значення.

в) графіки проводити плавно через найбільш можливе число точок.

8. Текст розрахунків необхідно акуратно написати вручну, схеми, графіки, векторні діаграми виконувати олівцем за допомогою креслярських приладів.

Неохайно оформлені роботи до перевірки не приймаються

1. Лінійні електричні кола постійного струму

В основі розрахунку електричних кіл постійного струму лежать основні закони електротехніки - закони Ома, Кірхгофа, Джоуля-Ленця.

Закон Ома показує звязок між напругою, струмом та еквівалентним опором ділянки електричного кола. Якщо при використанні закона Ома з`ясовується, що напрямок напруги U або електрорушійної сили (далі ЕРС)Е не співпадає з обраним додатнім напрямком струму, то у формулах закона Ома ці величин записуються із знаком “-”.

Перший закон Кірхгофа використовується для вузлів електричного кола: алгебраїчна сума струмів у вітках, які сходяться в вузлі, дорівнює нулю, причому, струми одного напрямку, наприклад, що приходять у вузол, записуються із знаком “ + ”, а ті що виходять з вузла, із знаком “ - “ або навпаки.

Другий закон Кірхгофа використовується для контурів електричного кола: алгебраїчна сума ЕРС у контурі електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі спадів напруг у цьому контурі. Напруги і ЕРС записують із знаком “+”, якщо їх напрямки співпадають з прийнятим напрямком обходу контура. Згідно закону Джоуля-Ленца для пасивних ділянок кола постійного струму енергія, що споживається споживачами, дорівнює W=Ut, де U - напруга на пасивній ділянці; - струм; t - час.

Потужність розраховується за формулою Р = = U = ²R =.

Потужність джерела ЕРС дорівнює Р_дж = Е. Якщо ЕРС Е і струм джерела мають різні знаки, то потужність джерела відємна, а це означає, що дане джерело не генерує, а споживає енергію.

1.1 Розрахунок простих кіл постійного електричного струму

При розв'язуванні задач з простими електричними колами, які мають тільки одне джерело живлення, доцільно використовувати метод еквівалентного перетворення електричного кола з метою його спрощення.

При послідовному з'єднанні резисторів еквівалентний опір розраховується по формулі:

,

де n - кількість послідовно з'єднаних резисторів.

При паралельному з'єднанні резисторів еквівалентна провідність буде дорівнювати:

,

де m - кількість паралельно з'єднаних резисторів, а еквівалентний опір:

.

При мішаному з'єднанні резисторів еквівалентний опір електричного кола R_екв знаходять поступовим спрощенням схеми і еквівалентним перетворенням, тобто “згортанням” її до одного еквівалентного опору. Тоді струм джерела можна розрахувати за законом Ома

Приклад 1

В електричному колі, схема якого зображена на рис.1.1 відомі значення опорів резисторів R1 =5,6 Ом, R2 =4 Ом, R3 =6 Ом, R4 =5,4Ом,

R5 =7 Ом і R6 =5 Ом та електрорушійна сила (ЕРС) Е = 63 В.

Розрахувати струми в вітках кола і перевірити баланс потужностей. .

Аналіз і розв`язок

1. Спростимо схему електричного кола до одного еквівалентного опору відносно затискачів джерела живлення.

Схема спрощується за допомогою заміни групи послідовно або паралельно з`єднаних резисторів одним еквівалентним опором. Так групу резисторів першої вітки, де R₂ та R₃, які з'єднані між собою паралельно, і послідовно приєднаного до них резистора R₁., можна замінити одним резистором з еквівалентним опором R₁₂₃ , який розраховується за формулою

.

В іншій вітці кола резистори R₅ і R₆ з'єднані послідовно. Їх еквівалентний опір дорівнює арифметичній сумі опорів R₅₆ = R₅ + R₆ =12 Ом.

Після проведених перетворень розрахункова схема кола приймає вигляд, показаний на рис.1.2, де еквівалентні опори та R₅₆ з'єднані між собою паралельно і приєднані до вузлів «a» і «d».

Еквівалентний опір всього кола відносно затискачів джерела енергії «с» і «d» розраховується за формулою:

.

Струм І₄ в нерозгалуженій частині даної схеми визначається по закону Ома:

Для того, щоб розрахувати струми І₁ та І₅ необхідно спочатку знайти напругу між вузлами «a» і «d».

За ІІ законом Кірхгофа Е = І₄ R₄+U_ad звідки U_ad =Е - І₄ R₄ =63 - 8,4?2,7 = 40,32 В.

Тоді струми у вітках І₁ та І₅ можна розрахувати по закону Ома

; .

Аналогічно розраховуються струми I₂ та I₃ , тобто розраховують спочатку величину напруги а потім за законом Ома струми в паралельних вітках. Для розрахунку струмів у паралельних вітках можна користуватись ще і таким правилом: струм в одній із паралельних віток дорівнює загальному струму цих віток помноженому на опір іншої вітки (сусідньої) і поділеному на суму опорів обох віток.

;

.

Для перевірки рішення можна користуватися рівняннями складеними за першим законом Кірхгофа , або рівнянням балансу потужностей, який для схеми, зображеної на рис1.1 має вигляд:

Р_дж.= Р_сп

Потужність джерела Р_дж = Е І₄ =63?8,4 =529,2 Вт

Потужність споживачів дорівнює

.=.

Потужність енергії, яку генерує джерело, повинно дорівнювати арифметичній сумі потужностей споживачів. Відносна похибка розрахунку не повинна бути більшою 3%.

Приклад 2. В електричних колах досить часто потрібно розрахувати зворотну задачу, коли значення ЕРС невідоме, а задано один із електричних параметрів кола, наприклад, величина напруги, струму або потужність на одному із елементів електричного кола.

Наприклад, в електричному колі (рис.1.1) в попередньому прикладі задано: потужність енергії P₃, яка споживається резистором R₃ та значення опорів резисторів R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆. Знайти величину ЕРС Е.

В цьому випадку порядок розрахунку буде таким:

1.Потужність енергії, що споживається резистором R₃ розраховується за формулою, звідки знаходимо значення струму І₃: .

2. Величину напруги на резисторі R₃ визначаємо за законом Ома: .

3. Оскільки резистори R₃ та R₂ приєднані до одних і тих же вузлів «b» і «d», тобто з'єднані паралельно, то величина напруги U₂ = U_bd =U_3. Тоді величина струму І₂ також розраховується за законом Ома: .

4.Величину струму в нерозгалуженій частині вітки І₁ можна визначити склавши рівняння за І законом Кірхгофа для вузла «b»: .

5 Величину напруги між вузлами «a» і «d» можна в даному випадку розрахувати одним із двох способів:

а) за законом Ома: ;

в) за ІІ законом Кірхгофа: .

Далі порядок розрахунку електричного кола не відрізняється від порядку приведеного в прикладі 1.

1.2 Розрахунок складних кіл постійного електричного струму

При розрахунках задач, що мають складне електричне коло, тобто розгалужене коло з декількома джерелами живлення, які розташовані в різних вітках, використовують методи, в основу яких покладені закон Ома та закони Кірхгофа

Класичним методом розрахунку таких кіл є метод рівнянь Кірхгофа, в якому безпосередньо використовуються І та ІІ закони Кірхгофа.

Всі інші методи розрахунку являються вихідними із цих фундаментальних законів електротехніки

До таких методів належать:

- метод контурних струмів;

- метод вузлових потенціалів;

- метод накладення;

- метод еквівалентного генератора та інші.

Розглянемо класичний метод рівнянь Кірхгофа на конкретному прикладі.

Метод рівнянь Кірхгофа

Для електричного кола, що складається з m - віток, n - вузлів, число невідомих струмів дорівнює числу віток і для їх визначення необхідно скласти m рівнянь по першому та другому законами (правилами) Кірхгофа.

Рекомендуємо дотримуватись такого порядку розрахунку:

а) довільно обрати і позначити на схемі стрілками додатній напрямок струмів у всіх вітках (₁, ₂, ₃, ..., _m) і напрямки обходу контурів

б) для n-1 вузлів скласти рівняння по першому закону Кірхгофа;

в) для m-(n-1) взаємно незалежних контурів скласти по другому закону Кірхгофа.

В результаті отримуємо систему, яка складається з m рівнянь з m невідомими. Знаходження числових значень невідомих виконується будь-яким математичним методом розрахунку системи алгебраїчних рівнянь (метод Жордана- Гауса, метод Крамера та інші).

Приклад 3

Для електричного кола (рис1.3) знайти струми у всіх вітках класичним методом рівнянь Кірхгофа, якщо: R₁=13 Ом, R₂=5 Ом, R₃=2 Ом, R₄=8 Ом, R₅=11 Ом, R₆=15 Ом, Е₁=20 В, Е₂ =8 В, Е₃=6 В.

Для електричного кола, схема якого зображена на рис 1.3, скласти систему рівнянь за законами Кірхгофа. Загальна кількість рівнянь повинна дорівнювати кількості невідомих струмів.

Довільно вибираємо додатні напрямки струмів І₁, І₂, І₃, І₄, І₅, І₆, у вітках і позначаємо їх стрілками. Для даного електричного кола необхідно скласти шість рівнянь.

Кількість рівнянь, які складають за першим законом Кірхгофа, повинна бути на одиницю менше ніж кількість вузлів.

При складанні рівнянь враховуємо, що струми, які направлені до вузла, записуються в рівняннях з одним знаком (наприклад з «+»), а ті що від вузла з протилежним знаком.

Для вузлів “а”, “в”, “с” складаємо три рівняння за першим законом Кірхгофа:

Решту три рівняння складаємо за другим законом Кірхгофа. Для цього довільно вибираємо три незалежних контури і напрямки обходу в цих контурах.

Напрямки обходу вибираємо за рухом годинникової стрілки. і позначаємо круглими стрілками.

Складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа:

для контура авса:

для контура асда:

для контура свдс:

Отже для розрахунків струмів у схемі (рис.2.1) методом законів Кірхгофа необхідно скласти шість рівнянь і знайти шість невідомих струмів.

Після складання рівнянь необхідно підставити числові значення висхідних даних і привести систему рівнянь до нормального вигляду.

В матричній формі запису система рівнянь має вигляд:

Після розрахунку системи рівнянь будь яким математичним методом отримаємо:

І₁ = 0,972 А;

І₂ = - 0,462 А;

І₃ = - 1,434 А;

І₄ = 0,209 А;

І₅ = 0,671 А;

І₆ = 0,763 А.

Єдиною незручністю в цьому методі є необхідність складання і розрахунок великої кількості (рівною кількості невідомих) рівнянь.

Розрахунок балансу потужностей

Рівняння балансу потужностей для складної схеми буде мати вигляд:

, де к - порядковий номер вітки, n - кількість джерел в електричному колі, m - кількість віток.

Алгебраїчна сума потужностей всіх джерел енергії повинна дорівнювати арифметичній сумі потужностей всіх споживачів енергії. При цьому, якщо напрямок струму співпадає з напрямком дії ЕРС, потужність джерела необхідно рахувати додатньою і записувати в рівнянні із знаком “+”. У протилежному випадку цю потужність рахують відємною і записують із знаком “-“.

Запишемо для цього кола рівняння балансу потужностей:

Відносна похибка розрахунку складає

, що менше дозволеної 3% похибки.

2. Лінійні електричні кола однофазного змінного струму

2.1 Окремі теоретичні положення

Миттєве значення ЕРС, що змінюється у часі по синусоїдному закону, має вигляд: де Е_т - максимальне значення електрорушійної сили, - кутова частота, t - час (мить), в який визначається миттєве значення, , - фаза або фазний кут в момент часу t, дорівнює фазі в початковий момент (при t =0) і тому називається початковою фазою.

По такому самому закону будуть змінюватись викликані нею струми і напруги в вітках електричного кола.

В електричних колах змінного струму крім активних опорів присутні ще і реактивні (індуктивні і ємнісні) величини яких залежать від кутової частоти струму - , .

Наявність в електричному колі реактивних опорів, індуктивності та ємності призводять до зсуву фаз між струмами та напругами, а саме - миттєва напруга на активному опорі дорівнює и= і·R і збігається по фазі із струмом. На індуктивності напруга випереджає струм на кут , а на ємності напруга відстає від струму на кут .

Якщо в вітках електричного кола присутні активні і реактивні опори, то перший та другий закони Кірхгофа в колах змінного струму можна застосовувати тільки для миттєвих значень, а розрахунок миттєвих значень струмів та напруг, навіть в простих колах, є досить громіздкою задачею.

При послідовному з'єднанні елементів в електричному колі, що містить активні та реактивні опори, діюче значення струму джерела розраховується по формулі:

,

де U - діюче значення напруги на затискачах джерела, Z, R_екв, X_екв - повний опір, еквівалентні активний та реактивний опори кола відповідно.

В колах з паралельним з'єднанням елементів струм джерела дорівнює:

де Y, g_екв, в_екв - повна провідність, еквівалентні активна та реактивна провідності кола відповідно.

Кут зсуву фаз між напругою та струмом джерела розраховується за формулами:

.

Активна потужність енергії - , Вт;

Реактивна потужність енергії - , ВАр;

Повна потужність - , ВА.

Баланс потужностей в електричному колі змінного струму має вигляд:

2.2 Символічний метод (метод комплексних амплітуд) розрахунку електричних кіл змінного струму

Розрахунок електричних кіл змінного струму спрощується, якщо синусоїдні величини зображувати векторами або комплексними числами.

Наприклад, електрорушійна сила, миттєве значення якої , рис 2.1,a, в прямокутній системі координат можна зобразити вектором - рис.2.1,б, довжина якого (згідно обраного масштабу) дорівнює максимальному Е_т (або діючому ) значенню ЕРС і який розташований відносно горизонтальної осі “x” під кутом початкової фази , причому додатні кути відкладаються проти, а від`ємні - за напрямком руху годинникової стрілки .

Підставою для такого зображення є те, що якщо даний вектор обертати проти руху годинникової стрілки з кутовою швидкістю , то проекція такого вектора на вісь ординат “у” в кожний момент часу буде дорівнювати миттєвому значенню ЕРС,

Так само зображуються і решта синусоїдних величин в колі (струми, напруги), які викликані дією ЕРС Оскільки всі вектори при однаковій частоті будуть обертатися з однією і тією ж швидкістю, то їх взаємне розташування в часі не змінюється. Тому такі вектори можна розглядати в системі координат в певний момент часу, як правило при t=0, як сукупність нерухомих векторів, яка називається векторною діаграмою. Векторна діаграма дає змогу досить просто розраховувати електричні параметри в електричних колах графічним методом.

Але метод векторних діаграм, як і всі графічні методи особливо в складних колах, призводить до похибок в розрахунках.

Задача значно спрощується, якщо вісь “х” вважати віссю дійсних чисел, а вісь “у” віссю уявних чисел комплексної площини. Тоді на такій площині положення векторів можна зафіксувати комплексними числами, наприклад вектор буде відповідати комплексному числу , рис.2.1,в.

Так само комплексними числами зображуються і інші величини електричного кола, що змінюються в часі синусоїдно. Наприклад, вираз для діючого значення електрорушійної сили, що змінюється в часі синусоїдно в комплексній формі запису має вигляд .

Прояв електромагнітних явищ, які обумовлюються реактивними елементами кола (зсув по фазі між струмом та напругою), в символічному методі врахований, а саме, спад напруги на індуктивному опорі помножується на оператор повороту на 90^?, тобто на j = , а спад напруги на ємнісному опорі необхідно помножити на оператор . Тоді напруги на індуктивності та ємності в символічному методі записуються як і відповідно. В цих виразах множники та є реактивними опорами індуктивності та ємності, що записані в комплексній формі.

Такі символічні зображення величин, що змінюються в часі синусоїдно, та зображення опорів комплексними числами дають можливість співвідношення між синусоїдними величинами та інтегро-диференціальні рівняння, складені за законами Кірхгофа в колах змінного струму, замінити простими алгебраїчними співвідношеннями комплексних чисел або рівняннями з комплексними коефіцієнтами. Після такої заміни в символічній формі запису виконуються необхідні розрахунки, а потім, якщо необхідно, виконують зворотній перехід до оригіналів, тобто до записів виразів миттєвих значень величин.

Докладніше розрахунок параметрів електричних кіл змінного струму розглянемо на конкретних прикладах №4 і №5.

Приклад №.4

Послідовно з конденсатором, ємність якого С=318,47 мкФ, включені дві котушки індуктивностей з параметрами L₁=0,034 Гн, R₁= 3 Ом, L₂= 25,92 мГн, R₂=1 Ом.

До даного електричного кола підведена напруга, миттєве значення якої . Необхідно накреслити схему електричного кола та розрахувати:

- діюче значення струму;

- діюче значення напруг на окремих елементах кола;

- повну, активну та реактивну потужності електричної енергії, що споживаються електричним колом;

- побудувати векторну діаграму струму та напруг;

- записати вираз миттєвих значень струму.

Схема електричного кола згідно умови задачі представлена на рис.2.2.

Аналізуючи умову задачі, з'ясовуємо, що кутова частота підведеної напруги (див. запис миттєвого значення напруги) = 314 рад/сек. На такій частоті опори реактивних елементів електричного кола дорівнюють:

Ом;

Ом;

Ом.

Зверніть увагу, що при розрахунках опорів величини ємності та індуктивностей переводяться в основні одиниці виміру згідно системи СІ (С - [Ф], L - [Гн]).

Розрахунок простих електричних кіл, а дане коло є просте, можна виконати так:

За законом Ома діюче значення струму , де U -діюче значення підведеної напруги, а Z_екв - еквівалентний опір електричного кола.

Діюче значення напруги дорівнює

В.

Еквівалентний опіp при послідовному з'єднанні елементів розраховується за формулою:

Тоді діюче значення струму дорівнює:

А

Але за цим методом необхідно окремо розраховувати ще й кут зсуву між струмом і напругою, який залежить від характеру загального опору.

.

Оскільки загальний опір кола має активно-індуктивний характер, то струм буде відставати від напруги на кут .

Вираз для миттєвого значення струму:

.

Активна потужність, що споживається електричним колом, розраховується за формулою:

= 110?11,38?cos = 518,12Вт.

Реактивна потужність:

= 110?11,38?sin65,55? = 1138,542 ВАр.

Повна потужність:

= 110?11,38 = 1251,8 ВА.

Ці самі потужності розраховуються ще і за такими формулами:

Для побудови векторної діаграми необхідно розрахувати по закону Ома діючі значення спадів напруг на окремих елементах електричного кола:

U_C=I?X_C =11,38?10 = 113,8 B;

U_R1=I?R₁ =11,38?3 = 34,14 B;

U_L1=I?X_L1 =11,38?10,7 = 121,76 B;

U_R2=I?R₂ =11,38?1 = 11,38 B;

U_L2=I?X_L2 =11,38?3,14 = 35,73 B

Векторну діаграму будуємо в такій послідовності:

1. Орієнтуючись на числові значення струму та спадів напруг вибираємо масштаби для векторів струму та напруг:

- 1см. довжини вектора струму буде відповідати 2 А,

- 1см. довжини векторів напруг буде відповідати 20В.

2. На площині довільно креслимо вісь дійсних чисел відносно якої під кутом -35,55?( що відповідає -35?33') в напрямку руху годинникової стрілки відкладаємо вектор струму . Довжина вектора в вибраному для струму масштабі дорівнює 5,69 см.

3 Відносно вектора струму відкладаємо вектора спадів напруг на окремих елементах електричного кола. Вектор напруги на ємності орієнтують під кутом 90? відносно вектора струму в сторону відставання. Вектора напруг на активних опорах співпадають по напрямку з вектором струму, а вектори спадів напруг на індуктивностях випереджають вектор струму на кут 90?.В результаті складання векторів напруг:

=

отримаємо вектор загальної напруги , який буде розташований під кутом 30^? проти руху годинникової стрілки і довжина якого в вибраному для напруги масштабі буде дорівнювати 5,5 см.

Векторна діаграма має вигляд як на рис.2.3.

Приклад 5

Задачу, яка задана в прикладі №4, розрахуємо символічним методом.

Якщо застосувати символічний метод, то розрахунок зводиться до таких дій над комплексними числами:

1. Записуємо комплексним числом діюче значення напруги, миттєве значення якої

.

2. Опори елементів кола також зображуємо комплексними числами.

Опір ємності ;

Повні комплексні опори котушок індуктивностей та

3. Еквівалентний опір кола в символічному зображенні має вигляд

=.

4. Діюче комплексне значення струму визначається за формулою

=.

Вираз миттєвого значення струму має вигляд:

.

5. Комплексна потужність розраховується за формулою:

В цьому виразі дійсна частина комплексного числа дорівнює величині активної потужності, а уявна частина - величині реактивної потужності.

Приклад №6

Параметри електричного кола, яке зображене на рис.2.4, задані у вигляді комплексних чисел:

Необхідно:

- накреслити принципову схему електричного кола;

- розрахувати комплексні струми в вітках електричного кола і записати вирази їх миттєвих значень;

- скласти і розрахувати баланс потужностей в електричному колі;

- побудувати векторну діаграму струмів та топографічну діаграму напруг.

Аналізуючи вирази опорів, записаних в символічній формі, приходимо до висновку, що в ділянці кола «ab» паралельно між собою включені резистор з активним опором R₁= 34Ом та ідеальна котушка індуктивності, індуктивний опір якої X_L2=8,5Ом а ділянка електричного кола «вс» складається із двох паралельно включених віток, кожна з яких має активні і реактивні елементи. В одній із віток послідовно включені резистор з опором R₃ = 2 Ом та конденсатор з реактивним ємнісним опором X_С3=5 Ом і відповідно в іншій паралельній вітці включені R₄ =3 Ом та X_L4 =4 Ом.

Отже схема електрична принципова буде мати вигляд як на рис.2.5.

Дане електричне коло є простим, оскільки в ньому присутнє тільки одне джерело напруги. Такі кола, як правило, розраховуються шляхом еквівалентних перетворень схеми і зведенням її до одного еквівалентного опору Z_екв, рис.2.6.

В електричному колі, яке складається тільки із джерела струму та одного еквівалентного опору (рис.2.6,б) струм І₁ розраховується по закону Ома. Оскільки розрахунки будемо виконувати символічним методом то закон Ома записується так:

,

де - еквівалентний комплексний опір кола , яке складається із двох послідовно включених ділянок кола „аb” та „bс”.

Тому

= + ,

де , .

Загальний еквівалентний комплексний опір електричного кола дорівнює:

=+= 2+j8 +5,268-j0,346= 7,268+j7,654 = 10,555 e^j46,48.

При виконанні розрахунків доцільно операції „додавання” та „віднімання” комплексних чисел виконувати в алгебраїчній формі запису, а при множенні та діленні комплексних чисел переводити комплексні числа в показникову форму. Як виконується перехід від однієї форми запису до іншої викладено в додатку № 1 в теоретичних відомостях про комплексні числа.

Отже діюче комплексне значення струму в нерозгалуженій частині кола дорівнює:

=

Величини струмів в паралельних вітках можна визначати різними шляхами. Наводимо один із них.

Розраховуємо напруги на паралельних вітках між вузлами «a» і «b» та «b» і «с». Згідно рис.

Тоді струми в паралельних вітках розраховуються за законом Ома для окремих ділянок електричного кола:

;

Перевірку правильності розрахунку можна виконати по I закону Кірхгофа або по балансу потужностей.

Рівняння, складені по першому закону Кірхгофа для вузлів «а» і «b» даного кола, мають вигляд:

Наприклад,що приблизно дорівнює значенню струму , розрахованому по закону Ома для еквівалентної схеми. Допустима похибка розрахунку дорівнює 3%.

Виконавши розрахунок кола символічним методом визначаємо діючі значення струмів в вітках:

I = 12,032 A, І₁ =2,917 А, І₂ =11,672 А, I₃ = 11,797 A, I₄ = 12,706 A.

Оскільки максимальне значення струму , то вирази миттєвих значень струмів мають вигляд:

;

;

.

Повна потужність енергії, яку джерело віддає в електричне коло, в символічному методі розраховується за формулою:

,

де вираз струму , що спряжений виразу .

= 127e ^j0 ?12,032е^+j46,481 = 1528,064 e ^j46,481.

Якщо даний вираз комплексної потужності перевести в алгебраїчну форму, то дійсна частина комплексної потужності буде дорівнювати активній потужності, а уявна частина - реактивній потужності.

1528,064 e ^j46,481 = 1052,217 + j1108,069.

З іншого боку, активна потужність, яка використовується споживачами дорівнює

Р =І_k²?R_k = I₁² ?R₁ + I₃² ?R₃₊ + I₄² ?R ₄ = 2,917² ?34 + 11,797²?2 + 12,706²?3 = 289,302+278,338 + 484,327 = 1052 Вт,

а реактивна потужність, яка використовується споживачами

Q =І_k²?X_k = I₂² ?X_L2- I₃² ?X_C3 + I₄² ?X_L4 = 11,672² ?8,5 - 11,797²?5 + 12,706²?4 = 1108 ВАр.

Приклад розрахований правильно. Похибка розрахунку складає менше дозволених 3%.

Наприклад:

Побудова векторної діаграми

Перед побудовою векторної діаграми необхідно розрахувати діючі значення спадів напруг на окремих елементах кола (по закону Ома).

U_R1 = U_L1= I₁·R₁= I₂·X_L2=2,917•34 = 11,672?8,5=99,2 B;

U_С3 = I₃·X_С3= 11,797•5 = 58,98 B;

U_R3 = I₃·R₃= 11,797•2 = 23,59 В

U_L4 = I₄·X _L4= 12,706•4 = 50,82 B;

U_R4 = I₄·R₄= 12,706•3 = 38,12 В

Побудову векторної діаграми (рис.2.7) виконуємо в такому порядку:

1. Проаналізувавши величини діючих значень струмів та напруг вибираємо зручні для побудови масштаби, а саме: 1 см. довжини вектора струму відповідає 2 А, а 1см. довжини вектора напруги відповідає 10 В.

2. На площині в довільному напрямку (як правило, горизонтально ) креслимо вісь дійсних чисел. Приймемо потенціал вузла „с” електричного кола рівним нулю і позначимо його на осі дійсних чисел V_с=0. З точки „с” відкладаємо вектор вхідної напруги. Оскільки початкова фаза заданої вхідної напруги дорівнює нулю, то вектор вхідної напруги, довжина якого в вибраному масштабі дорівнює 12,7 см, буде співпадати по напрямку з віссю дійсних чисел.

3.Відносно осі дійсних чисел, а в даному випадку відносно вектора вхідної напруги, будуємо в вибраному масштабі вектор загального струму та вектора струмів . Кути зсуву між вхідною напругою і струмами записаний в виразах миттєвих значень відповідних струмів. Наприклад, згідно результату розрахунку, струм І відстає від напруги на кут і тому вектор струму креслимо під кутом відносно вектора напруги в напрямку руху годинникової стрілки. Струм І₁ випереджає напругу на кут і тому вектор струму креслимо в сторону проти руху годинникової стрілки відносно вектора напруги. Аналогічно під відповідними кутами, які зазначені в виразах миттєвих значень струмів, креслимо на векторній діаграмі вектора струмів . Після побудови усіх векторів струмів доцільно графічно перевірити І закон Кірхгофа для вузлів «а» і « b».

4. Потім будуємо, в вибраному для напруги масштабі, векторну діаграму спадів напруг. Рекомендується при побудові векторів напруг обхід в контурі або на ділянці кола вибирати проти напрямку струму в вітках і відкладати вектора спадів напруг на елементах кола в тій самій послідовності, в якій відповідні елементи розташовані в електричному колі. Тоді кінець кожного вектора спаду напруги на комплексній площині буде відповідати потенціалу відповідних точок електричного кола.

Починаємо побудову векторної діаграми від вузла „с” електричного кола.

Оскільки напруги на активних опорах співпадають по фазі із струмами, які протікають по відповідних опорах, а напруги на реактивних опорах випереджають або відстають (залежно від характеру реактивного опору) на кут від своїх струмів, то вектор напруги _R2 креслимо співпадаючим із вектором струму , а вектор _C2 креслимо під кутом 90^? до вектора струму в сторону руху годинникової стрілки. Сума векторів _R2 та _C2 дорівнює вектору спаду напруги між точками схеми “b” та “с” , тобто _сb . Цей самий вектор _сb можна отримати шляхом побудови векторів _R3 та _L3, але при побудові вектор _R3 креслимо співпадаючим із струмом ₃, а вектор спаду напруги на індуктивності _L3 під кутом 90^? до струму₃ проти руху годинникової стрілки.

Згідно другого закону Кірхгофа в даному колі, загальна напруга дорівнює векторній сумі спадів напруг = _аb + _сb . Тому із точки “b” діаграми креслимо вектор спаду напруги на індуктивності _Ш1 під кутом 90? до вектора струму ₁ а потім креслимо вектор напруги на активному опорі _R1, який повинен бути паралельним (співпадаючим) вектору струму ₁ і нарешті вектор спаду напруги на ємності _C1 , який креслимо під кутом 90? в сторону відставання від вектора струму ₁, тобто в напрямку руху годинникової стрілки.

В результаті побудови діаграми даного кола отримали вектор загальної напруги , довжина якого в масштабі повинна дорівнювати 127В і співпадати з віссю дійсних чисел, оскільки в висхідних даних загальна напруга дорівнює

3. Трифазні кола

Теоретичні положення. Трифазною системою змінного струму називають сукупність трьох (зв'язаних або незв'язаних) однофазних кіл, в яких діють три електрорушійні сили (ЕРС) однакової частоти, зсунуті за фазою одна відносно іншої. Три електрорушійні сили створюються спеціальними трифазними генераторами. Такі генератори на статорі мають три однакові обмотки (фази), які в просторі зсунуті на кут . Крайні точки фазних обмоток називають «початками» А, В, С і, відповідно, «кінцями».X, Y, Z. Всередині статора розташований ротор на обмотки якого подається постійний струм і таким чином створюється магнітне поле. Якщо ротор обертати з кутовою швидкістю проти руху годинникової стрілки то з такою ж кутовою швидкістю буде обертатися магнітне поле і в обмотках статора АX, ВY, СZ будуть наводитись три ЕРС. Величини амплітуд ЕРС будуть однаковими і максимум кожної буде наступати в часі пізніше на періоду обертання від попередньої.

Створена при цьому система ЕРС буде симетричною з прямою послідовністю фаз і записується так:

або

Примітка. Термін «фаза» в трифазних колах має два різних значення:

а) поняття, що характеризує стадію, момент періодичного процесу;

б) назву частини електричного трифазного кола.

Фази трифазного генератора можуть бути з'єднані за схемою «трикутник» або «зірка». За такими схемами з'єднуються і споживачі, а разом із генератором вони створюють одне трифазне складне розгалужене коло яке може бути розраховане будь яким методом розрахунку складних кіл змінного струму. Але, враховуючи специфічні особливості трифазних кіл, розрахунки величин струмів, напруг, потужностей значно спрощуються.

Якщо комплексні опори усіх фаз однакові, тобто трифазне коло симетричне, то достатньо розрахунки виконати тільки в одній фазі. Струми в інших фазах будуть однаковими по величині і зсунуті між собою на кут .

При різному навантаженні фаз розрахунки фазних струмів необхідно виконувати для кожної фази окремо.

При з'єднанні обмоток генератора «зіркою» (рис. 3.1) кінці їх (x, y, z) з'єднуються в один вузол «N», який називають нульовою точкою генератора.

При такому з'єднанні на виході генератора маємо два різних діючих значень напруги: лінійні (U_л) - між затискачами генератора А, В, С, а саме U_АВ , U_ВС , _СА і фазні напруги (U_ф) між затискачами генератора А, В, С і нульовою точкою генератора N, тобто U_А0 , U_В0 , U_С0, інакше U_А , U_В , U_С .В симетричній трифазній системі між діючими значеннями лінійної та фазної напруги існує співвідношення:

При підключенні до затискачів генератора споживачів, які також з'єднані «зіркою», необхідно нульові точки генератора і споживачів з'єднати четвертим проводом, який називають нульовим (або нейтральним). При з'єднанні «зіркою» лінійний і фазний струм завжди будуть однаковими і тому І_ф =І_л. Діюче значення струму в нейтральному проводі позначають І₀ або І_N .Згідно І закону Кірхгофа діюче значення струму в нейтральному проводі дорівнює геометричній сумі фазних струмів . В симетричній трифазній системі напруг живлення та при рівномірному навантаженні фаз струм в нейтральному проводі дорівнює нулю. В несиметричній системі величина струму в нейтральному проводі розраховується символічним методом або графічним, як векторна сума фазних струмів.

При з'єднанні споживачів «трикутником» фазна напруга споживачів дорівнює відповідній лінійній напрузі генератора (рис.3.2)

Фазні струми при різних опорах фазних споживачів розраховуються за законом Ома в кожній фазі окремо, тобто , де комплекси діючих значень фазної напруги та відповідної їй фазного струму, а - загальний опір споживача записаний в комплексній формі.

Якщо навантаження в фазах однакові, тобто то і струми в фазах будуть рівними по величині але зсунуті між собою на кут . Лінійні струми будуть також однаковими і їх величина більша від величини фазних струмів на ,тобто .

При нерівномірному навантаженні лінійні струми будуть різними і в цьому випадку знаходяться згідно І закону Кірхгофа як різниця відповідних комплексних фазних струмів

Розглянемо на конкретних прикладах розрахунок трифазних кіл при різних способах з'єднання та різних видів навантаження.

Приклад № 7

Трифазний споживач (рис.3.3) підключений до симетричного генератора, лінійна напруга якого U_л = 220 В.

Розрахувати фазні і лінійні струми, а також повну потужність (потужність усіх трьох фаз) споживачів, з'єднаних «трикутником», якщо задано R_АВ = 6,67 Ом, R_ВС= 10 Ом, X_ВС = 5,77 Ом, R_СА = 2 Ом, X _СА = 10 Ом.

Побудувати векторну діаграму напруг і струмів.

Розрахунок задачі будемо виконувати символічним методом.

Якщо прийняти В, то комплексні значення інших фазних напруг буде відповідно дорівнювати а . Загальні опори фаз згідно рис.2.10 та заданих значень різні і в комплексній формі записуються так:

Комплексні струми в фазах при нерівномірному навантаженні розраховуються таким чином:

Комплексні лінійні струми визначаються як різниця відповідних фазних комплексних струмів.

Розрахунок потужностей фаз трифазного споживача та всього трифазного несиметричного кола зручно виконувати символічним методом.

Комплексна повна потужність однієї фази , де - спряжений фазовий струм в комплексній формі запису.

Комплексна повна потужність всього трифазного кола

Отже:

В результаті розрахунку з'ясувалось, що загальна активна потужність Р=11818,48 Вт, загальна реактивна потужність Q = 2560,68 BAр, а повна потужність трифазного кола

S =

Векторна діаграма при нерівномірному навантаженні споживачів, з'єднаних «трикутником» має вигляд, який зображений на рис.3.4:

Приклад № 8

До симетричного трифазного генератора, діюче значення лінійної напруга якого дорівнює U_л= 380В, підключений трифазний споживач з'єднаний «зіркою» з нейтральним проводом (рис.3.5)

Визначити струм в нейтральному проводі, якщо параметри фазних споживачів дорівнюють таким величинам:

в фазі «А» R_A = 40 Ом, X_(L)A = 10 Ом, X_(C)A = 30 Ом;

в фазі «В» R_В = 40 Ом;

в фазі «С» R_С = 20 Ом, X_(L)С = 20 Ом.

Розрахувати повну потужність енергії, яка споживається споживачем.

Розрахунок виконаємо графоаналітичним методом, тобто спочатку аналітично розрахуємо діючі значення фазних струмів і кути зсуву фаз цих струмів по відношенню до своїх фазних напруг, а потім графічно на векторній діаграмі знайдемо струм в нейтральному проводі.

Діюче значення фазних струмів розраховується за законом Ома , де U_ф - діюче значення фазної напруги генератора, яке менше по величині від лінійної напруги в раз, тобто в даному прикладі ; Z_ф - повний опір фази, який розраховується за формулою:

.

Кут зсуву фаз між фазною напругою та фазним струмом відповідної фази розраховується за формулою:

Отже, при заданих значеннях параметрів трифазного кола, величина струму і кут зсуву в фазі «А» дорівнює:

,

Знак «-» в даному випадку свідчить про те, що характер кола активно-ємнісний, в якому струм випереджає напругу на кут .

В фазі «В» знаходиться споживач з чисто активним опором, тому

, а кут .

Фаза «С» має активно-індуктивний характер, в якій фазний струм буде відставати від фазної напруги.

Величина струму дорівнює:

,

Величину струму в нейтральному проводі І_N знаходимо на векторній діаграмі як суму векторів фазних струмів.

Побудова векторної діаграми починається з вибору масштабу для напруги і струмів. Нехай 1см довжини вектора напруг відповідає 50 В, а 1см вектора струму - 2А. Оскільки в електричному колі присутній нейтральний провід, то система векторів напруг буде симетричною, тобто усі три вектора фазних напруг однакові по довжині і зсунуті один відносно іншого на кут (рис.3.6).

Під відповідними кутами до фазних напруг креслимо вектора фазних струмів . Потім знаходимо геометричну суму трьох фазних векторів струмів. Вимірюємо довжину вектора струму в нейтральному проводі і враховуючи масштаб розраховуємо величину струму

Довжина вектора на векторній діаграмі в результаті побудови становить 2,8 см. Тоді, згідно вибраного при побудові діаграми масштабу, величина струму в нейтральному проводі дорівнює:

І_N = 2,8 см.?2 А/см = 5,6 А.

Розрахунок загальної потужності трифазного кола при несиметричному навантаженні класичним методом виконується в такій послідовності:

Спочатку необхідно розрахувати активні і реактивні потужності споживачів кожної фази, потім загальні активну і реактивну потужність трифазного споживача і лише потім розраховується загальна потужність.

Потужності фазних споживачів розраховуються за такими формулами:

активна потужність ;

реактивна потужність

де - кут зсуву фаз між фазною напругою та фазним струмом відповідної фази і розраховується за формулою:

Повна потужність споживача однієї фази розраховується за такими формулами:

, або .

Загальна активна потужність трифазного кола дорівнює арифметичній сумі активних потужностей усіх фаз .

Загальна реактивна потужність фаз дорівнює алгебраїчній сумі реактивних потужностей фаз , де реактивна потужність ємнісних елементів записується із знаком «-».

Повна потужність трифазного кола

.

Отже активні потужності фаз дорівнюють:

Активна потужність всього трифазного кола:

Реактивні потужності фаз дорівнюють:

Знак «-» перед значенням величини реактивної потужності в фазі «А» означає, що в даній фазі величина ємнісної потужності більша за індуктивну, а фаза «В » взагалі не споживає реактивну потужність.

Загальна реактивна потужність трифазного кола дорівнює:

Повна потужність трифазного кола

.

4. Трансформатори

Трансформатором називається статичний електромагнітний апарат змінного струму, який має дві (або більше) індуктивно зв'язані обмотки і призначений для перетворення за рахунок електромагнітної індукції електричної енергії однієї системи в електричну енергію іншої системи.

У загальному випадку вторинна (вторинні) система може відрізнятися від первинної значеннями напруги і струму, числом фаз, формою кривої напруги (струму), частотою.

При підключенні первинної обмотки до джерела змінного струму створюється магнітний потік Ф, що зчіплюється з витками обох обмоток і наводить в них ЕРС, рис. 4.1. У разі підключення трансформатора до джерела змінного струму синусоїдної форми діючі значення ЕРС, що наводяться у обмотках трансформатора:

; ,

де f - частота змінного струму, w₁ та w₂ - кількість витків первинної та вторинної обмоток відповідно Ф_m - амплітудне значення магнітного потоку в осерді.

Виходячі з того, що для всіх обмоток одного трансформатора f та Ф_m однакові, можна записати основне співвідношення для любого трансформатора, який називають коефіцієнт трансформації:

.

У практичних розрахунках з деяким припущенням використовують іншу формулу:

,

де U_1н U₂₀ - номінальна напруга на затискачах первинної обмотки і напруга холостого ходу на затискачах вторинної обмотки трансформатора відповідно. У даному випадку нехтують втратами у сталі.

Номінальна потужність трансформатора - повна його потужність при номінальних режимах:

для однофазного - ;

для трифазного - .

Номінальний струм вторинної обмотки:

Коефіцієнт навантаження трансформатора:

ККД трансформатора розраховується по формулі

,

де P₀ і P_к - потужності, що споживає трансформатор відповідно у режимах х.х. (магнітні втрати) і к.з. (електричні втрати), .

Максимальне значення ККД відповідає навантаженню, при якому магнітні втрати дорівнюють електричним:

.

Приклад № 8

Для однофазного трансформатора з номінальною потужністю S_н=100ВА, відомі номінальна напруга на затискачах первинної обмотки U_1н=220В, напруга х.х. на затискачах вторинної обмотки трансформатора U₂₀=12В, напруга к.з. U_к=18%U_1н, потужність к.з. P_к=11Вт, потужність х.х. P₀= 5Вт. Навантаження активно-індуктивне з коефіцієнтом потужності

Визначити

- коефіцієнт трансформації k;

- номінальні струми обмоток І_1н та І_2н;

- навантаження при якому трансформатор має максимальний ККД; максимальне значення ККД.

Побудувати

- зовнішню характеристику трансформатора , де - коефіцієнт навантаження трансформатора

- залежність ККД від навантаження .

Розвязання.

Коефіцієнт трансформації:

.

Номінальний струм первинної обмотки

.

Коефіцієнт навантаження при якому трансформатор має максимальний ККД

.

Максимальне значення ККД:

Для побудови зовнішньої характеристики знаходимо втрати напруги у вторинній обмотці трансформатора

,

де - кут між струмом та напругою у випробувальному короткому замиканні (досліді короткого замикання), який знаходиться із співвідношення:

,

де опір випробувального короткого замикання та його активна складова:

;

;

; .

Напругу на затискачах вторинної обмотки трансформатора визначаємо за формулою

.

Задаючись різними значеннями в визначаємо напругу U₂.

Для побудови залежності , ККД розраховуємо по формулі

.

Результати розрахунків та зводимо в табл. 4.1. Характеристики показані на рис.1.4.

Таблиця 4.1

	0	0,05	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2
U2%	0	0,8	1,7	3,4	6,8	10,1	13,5	16,9	20,3
U2, В	12,0	11,9	11,8	11,6	11,2	10,8	10,4	10,0	9,6
	0	0,46	0,62	0,76	0,83	0,85	0,85	0,84	0,83

5. Асинхронні двигуни

Принцип дії безколекторних двигунів змінного струму оснований на створенні обмотками статора обертового магнітного поля. В асинхронних двигунах дане поле наводить в обмотках ротора ЕРС (подібно процесам у трансформаторі), виникає струм ротора і магнітне поле ротора. Взаємодія останнього з обертовим полем статора створює електромагнітний (обертальний) момент:

Частота обертання магнітного поля:

,

де f частота струму мережі живлення, Гц; p число пар полюсів обмотки машини.

Частота обертання ротора, n₂, завжди менше частоти обертання магнітного поля статора, n₁. Тому і назва - "асинхронна машина".

Частоти обертання пов'язані величиною ковзання:

,

де і - кутові швидкості обертання магнітного поля і ротора.

У каталогах і технічних довідниках по асинхронним електродвигунам (АД) приводяться наступні паспортні дані: номінальна напруга U_н; номінальна механічна потужність на валу P_н; номінальна швидкість обертання n_н; номінальний струм (статора) I_н; перевантажувальна здатність ; ККД при номінальному навантаженні - ; кратність пускового струму - ; кратність пускового моменту ; коефіцієнт потужності .

Перевантажувальна здатність і кратність пускового моменту це відношення пускового (М_п) і критичного (М_mах) моментів до номінального моменту (М_н) електродвигуна

.

У типових АД = 1…1,5; = 2…2,5.

Для визначення числових значень М_п , і М_mах попередньо визначають номінальний момент відносно його номінальних потужності і кутової швидкості _н, або частоти обертання n_н

.

У сталому режимі при номінальному навантаженні P_н активна потужність, що споживається від мережі:

,

де - номінальний ККД (за каталогом).

Номінальний струм у сталому режимі при номінальному навантаженні:

.

Пусковий струм у типових АД становить І_п = 6…7І_н.

Електромагнітний (обертальний) момент АД пропорційний електромагнітній потужності:

,

де Р_ем - електромагнітна потужність двигуна, m₂ - кількість фаз обмотки ротора, r₂ - активний опір однієї фази обмотки ротора, I₂ - струм однієї фази обмотки ротора, k - коефіцієнт, що залежить від конструктивних даних машини, Ф - магнітний потік двигуна, - кут зсуву фаз між струмом і ЕРС в обмотці ротора.

Механічну характеристику асинхронного електродвигуна - залежність частоти обертання або кутової швидкості від механічного навантаження на валу: n = f(M), або = f(M) визначає формула Клоса:

.

Для короткозамкненого асинхронного електродвигуна вигляд "природної" механічної характеристики - при номінальних напрузі та частоті живлення представлено на рис.5.1

Для побудови механічної характеристики критичне ковзання, знаючи каталожні дані двигуна, одержують за формулою: