Математическое моделирование процессов в канале магнитогидродинамического генератора с коническим осесимметричным каналом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование процессов в канале магнитогидродинамического генератора с коническим осесимметричным каналом

В настоящее время имеется большой задел в области исследований кондукционный и индукционных МГД-машин с различной формой канала, например, плоские, цилиндрические, дисковые, коаксиальные, конические, винтовые, которые предназначены для использования в самых разных деятельности человека, начиная с металлургии и заканчивая нетрадиционной энергетикой, морским транспортом [1, 2]. В то же время, процессы в канале конической формы является мало исследованным, и встречается в работах, посвященных электромагнитным преобразователям с коническим ротором [3], индукционным МГД-каналам конической формы во внешнем пульсирующем магнитном поле [4], и отсутствуют работы по кондукционным МГД-устройствам с конической осесимметричной формой канала. Это позволяет считать, что разработка математической модели процессов в канале МГД-устройства с конической осесимметричной формой канала является актуальной.

Процессы в данных устройствах описываются системой дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных для электрических и магнитных полей и для движущейся проводящей вторичной среды. Решение этих уравнений с учетом конструкции канала, граничных условий, нелинейности свойств вещества канала является сложной задачей. При учете краевых явлений, возникающих в зоне контактов электродов с проводящей вторичной средой у кондукционных машин, эта задача усложняется еще больше. Поэтому при решении задачи целесообразно принять допущения, которые являются общепринятыми при исследовании МГД-машин [1, 5]:

- процессы в устройстве рассматриваются в электродинамическом приближении. Рабочее вещество канала представляет собой твердый недеформируемый проводник с конечной проводимостью. Это означает, что гидродинамические, и специфические магнитогидродинамические процессы, вызванные влиянием электромагнитного поля на характер движения частиц не учитываются;

- рабочее вещество канала является изотропной и его магнитная проницаемость µ= µ₀;

- температура рабочего вещества канала является постоянной, поэтому ее влиянием на такие параметры, как электропроводность можно пренебречь;

- переходные процессы вблизи границы перехода «электрод - рабочее вещество» не рассматриваются;

- стенки канала электрически изолированы от рабочего вещества, которым он заполнен.

Для исследования составлена расчетная схема рассматриваемого устройства с коническим каналом, которая представлена на рис. 1. Особенностью устройства является то, что в канале имеется конический участок.

Рис. 1. Расчетная схема МГД-устройства с коническим осесимметричным каналом.

1 - индуктор, 2 - канал, 3 - изолятор.

Коническая часть канала ограничена условными размерными обозначениями R1, R2, R3 и Lк.

Токи в цилиндрических активных частях канала текут в осевом направлении, которое совпадает с осью z системы координат. В то же время в конической части канала ток будет растекаться, и необходимо определить его распределение. Для этого принимается предположение, что вектора плотности тока в конической части канала будет иметь вид, как показано на рис. 2.

Рис. 2. Распределение векторов плотности тока в индукторе д₁ и в канале д₂

Тогда в радиальном направлении в конической части канала угол наклона векторов плотности тока меняется от б до нуля.

Вектора плотности в индукторе д₁ и в канале д_2, в цилиндрической частях, имеют только одну (осевую) составляющую. В конической части канала вектор плотности тока в канале может быть разложен на осевую и радиальную составляющие (рис. 3).

При выражении через его составляющие получается

где угол в - угол между векторами и . Может принимать значение от нуля до б.

Рис. 3. Разложение на составляющие вектора плотности тока в конической части канала

Тогда согласно рис. 2 и 3, можно принять следующие условия:

1) проекция осевой составляющей плотности тока в канале на ось канала z неизменна;

2) проекция радиальной составляющей плотности тока в канале на ось r меняется в зависимости от угла в, который в свою очередь зависит от б.

С учетом первого условия, проекция на ось z осевой составляющей плотности тока в канале

,

где д₂ - модуль вектора плотности тока в канале.

Осевую составляющую вектора плотности тока д₂ в произвольной точке конической части канала можно определить согласно известной формуле

где I₂ - ток в канале; S_t - функция изменения площади поперечного сечения в конической части канала от его длины.

Данная функция запишется следующим образом

(1)

где k = tgб - тангенс угла наклона образующей прямой внешней стенки канала к оси z.

Осевая составляющая плотности тока в произвольной точке конической части канала

(2)

По второму условию, проекция радиальной составляющей плотности тока в канале на радиальную ось

Радиальную составляющую плотности тока в канале можно определить, исходя из рис. 3 по следующему соотношению

Плотность тока в произвольной части канала будет определяться как

Граничные условия между каналом и индуктором таковы, что силовые линии магнитного поля, создаваемого током индуктора, будут пронизывать весь объем канала и по всей ее длине представляют собой концентрические окружности. При протекании тока в канале образуется собственное магнитное поле, которое имеет угловую и осевую составляющие, причем последним целесообразно пренебречь в первом приближении.

Результирующее магнитное поле определяется как сумма внешнего магнитного поля индуктора В₁ и собственного магнитного поля канала В₂. В силу симметрии индукция результирующего магнитного поля В имеет постоянную величину во всех точках окружности произвольного радиуса r в пределах канала.

Для определения В₁ целесообразно принять допущение, что длина индуктора бесконечно длинная. Тогда по закону полного тока, модуль магнитной индукции индуктора

(3)

Аналогично по закону полного тока, модуль вектора магнитной индукции В₂ определяется как

(4)

Тогда с учетом (3) и (4) можно записать

(5)

При взаимодействии тока канала и результирующего магнитного поля в канале, как известно, возникает электромагнитная сила f, распределение векторов которого показано на рис. 4. Направление векторов сил определены согласно правилу «левой руки».

Рис. 4. Распределение векторов электромагнитной силы в канале

В отдельно взятой точке конической части канала вектор плотности тока в канале может быть разложен на осевую и радиальную составляющие (рис. 5).

Рис. 5. Составляющие векторов электромагнитной силы в точке конической части канала

Осевая составляющая электромагнитной силы стремится двигать рабочее вещество в осевом направлении, таким образом, создавая тягу в канале, а радиальная составляющая электромагнитной силы сжимает его в направлении к центру канала.

Плотность вектора электромагнитной силы определяется по соотношению [6]

Вектор электромагнитной силы в канале определяется как интеграл от объема канала V₂

магнитогидродинамический генератор электромагнитный

, (5)

где dV₂ - элемент объема вещества канала. В цилиндрических координатах .

Целесообразно представить плотность тока в канале и магнитную через составляющие в цилиндрической системе координат.

(6)

где - единичные орты в цилиндрической системе координат.

(7)

Векторное произведение из выражения (5) можно расписать как [7]

Тогда

Очевидно, что представляет собой радиальную составляющую электромагнитной силы, а - ее осевую составляющую. Знак «- «в радиальной составляющей означает, что силы направлены к центру канала, т.е. являются сжимающими.

Тогда вектор осевой составляющей электромагнитной силы

Модуль вектора осевой составляющей электромагнитной силы

Аналогично записываются вектор и модуль радиальной составляющей электромагнитной силы

Для проверки адекватности разработанной математической модели было проведено компьютерное моделирование процессов в канале рассмотренного устройства в пакете Comsol Multiphysics. Выбор данной программной среды обусловлен тем, что она имеет широкие возможности задания и гибкой настройки граничных условий между двумя активными частями устройства.

Результаты моделирования в виде распределения векторов электромагнитной силы в канале показан на рис. 6.

Рис. 6. Распределение векторов электромагнитных сил в канале (нормализованные вектора)

Результаты проведенного моделирования в целом подтверждают адекватность разработанной математической модели, в частности, определения распределения электромагнитных сил в канале, что является также косвенным доказательством вышеизложенных теоретических положений в ходе математического описания процессов в канале рассмотренного МГД-устройства.

Таким образом, не прибегая к решению сложных дифференциальных уравнений, была разработана математическая модель, которая позволяет описывать процессы в канале МГД-устройства с коническим осесимметричным каналом. Полученные уравнения и выражения могут быть использованы для последующего моделирования и расчета процессов с учетом гидродинамических аспектов функционирования МГД-устройства.

Литература

1. Вольдек А.И. Индукционные магнитогидродинамические машины с жидкометаллическим рабочим телом. - Л.: Энергия, 1970. - 271 с.

2. Кирко И.М., Кирко Г.Е. Магнитная гидродинамика. Современное видение проблем. - М.-Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». Ижевский Институт компьютерных исследований, 2009. - 632 с.

3. Исмагилов Ф.Р. Исследование электродинамических демпферов с коническим ротором для управляемых амортизационных систем: Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. - Уфа, 1981.

4. Меренков Ю.Ф. Взаимодействие пульсирующего магнитного поля с жидкой проводящей средой. - Екатеринбург: УрО РАН, 1998. - 190 с.

5. Черняк В.Г., Суетин П.Е. Механика сплошных сред: Учеб. пособ.: Для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 352 с.

6. Мултановский В.В. Курс теоретической физики. Классическая электродинамика: учеб. пособие для вузов / В.В. Мултановский, А.С. Василевский. - 2-е издание., перераб., - М.: Дрофа, 2006. - 348 с.: ил.

7. Никольский В.А. Электродинамика и распространение электроволн. Учебное пособие. - Главная редакция физико-математической науки изд-ва «Наука», М., 1978. - 608 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru