Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости

Д.А. Шляхин

Введение

В различных акустических устройствах в качестве преобразователя энергии используются тонкостенные круглые биморфные пластины. Наиболее эффективной конструкцией, обладающей высокой механической прочностью и чувствительностью, является круглая металлическая подложка с наклеенными с двух сторон пьезокерамическими пластинами меньшего диаметра. Расчет рассматриваемых тел вращения, как правило, выполняется путем аппроксимации их набором кольцевой и сплошной пластин постоянной толщины. При этом для определения напряженно-деформированного состояния каждого элемента используется техническая теория тонких пластин [1-3].

В настоящей работе исследование тонкой биморфной пьезокерамической пластины проводится на основании гиперболической системы уравнений Тимошенко [4], в которой ступенчато переменная толщина и жесткость системы, а также нестационарная механическая нагрузка описывается с помощью сингулярных обобщенных функций [5]. Кроме того, по-видимому, впервые в настоящей работе при решении динамических задач учитывается особенность изменения, в виде скачка, градиента касательных и нормальных напряжений в области изменений высоты и жесткости пластины. При исследовании задачи на собственные значения для тонких пластин ступенчато-переменной толщины данная особенность учитывалась в работе [6].

Постановка задачи

Пусть биморфная круглая пластина состоит из металлической заземленной подложки, занимающей в цилиндрической системе координат область : , и двух наклеенных на нее пьезокерамических элементов меньшего диаметра толщиной (рис.1). Изгибные осесимметричные колебания возбуждаются за счет действия механической динамической нагрузки (нормальных напряжений) , являющейся произвольной функцией радиальной координаты и времени . В результате деформирования на лицевых электродах пьезокерамических пластин генерируется электрический потенциал . Подключение их к измерительному прибору позволяет зафиксировать величину и форму электрического напряжения .

Рис.1. - Биморфная пластина

Условия закрепления цилиндрической поверхности пластины могут быть произвольными. Для определенности считаем ее жестко закрепленной.

Система Тимошенко для рассматриваемой тонкой круглой пьезокерамической биморфной пластины в безразмерной форме записывается в виде следующих дифференциальных уравнений осесимметричного движения и начально-краевых условий:

где ,

прогиб и угол поворота сечения пластины в плоскости ,

,

объемная плотность и модули упругости соответственно металлической подложки и пьезокерамических пластин; пьезомодуль и диэлектрическая проницаемость электроупругого материала; коэффициент поперечного сдвига; известные в начальный момент времени перемещение, угол поворота и их скорости; единичные функции Дирака и Хэвисайда.

В равенстве (3) и ниже точка означает дифференцирование по времени.

При составлении (1) рассматривался случай подключения биморфной пластины к измерительному прибору с большим входным сопротивлением (электрический холостой ход), а также учитывалось противоположное направление вектора аксиальной поляризации в двух используемых пьезокерамических элементах.

В этом случае нормальная компонента вектора напряженности определяется из условия отсутствия тока смещения на лицевых электродах , т.е.

,

а изгибающие моменты и поперечная сила с учетом кинематических гипотез для тонких пластин:

Система дифференциальных уравнений (1) включает в себя ступенчато-переменные коэффициенты , поэтому являются непрерывными кусочно-гладкими функциями. При этом точка является особой, в которой наблюдается резкое изменение, в виде скачка, градиента изгибающих моментов и поперечной силы (нормальных и касательных напряжений). Данная особенность учитывается с помощью функций

Потенциал электрического поля , генерируемый в пьезокерамических пластинах, определяется в результате интегрирования равенства (4), принимая во внимание заземление металлической подложки, а электрическое напряжение холостого хода вычисляется по формуле

где площадь пьезокерамической пластины.

В результате имеем следующее выражение для функции :

Построение общего решения

Начально-краевую задачу (1) - (3) относительно функций решаем, используя структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований КИП [7]. Введем на сегменте [0,1] КИП с неизвестными компонентами вектор-функции ядра преобразования и весовыми функциями

где положительные параметры образующие счетное множество

Равенство (7) представляет трансформанту, а (8) формулы обращения метода КИП.

При этом круговые частоты осесимметричных колебаний биморфной пластины связаны с зависимостью

Принимая во внимание кусочно-гладкий характер функций , и представляя их в виде

подвергаем систему уравнений (1) и начальные условия (3) преобразованиям КИП в соответствии со структурным алгоритмом [7].

В результате получаем счетное множество задач Коши для трансформанты

и, с учетом (2), однородную краевую задачу для компонент ядра КИП

В соотношениях (10) - (14) приняты следующие обозначения

,

,

,

Равенства (14) являются условиями неразрывности деформаций и усилий в точке , которые удовлетворяются при выполнении условия

,

коэффициент поперечного сдвига биморфной пластины на участке .

Кроме того, при определении (10) - (14) использовалось условие инвариантности (1) и (12), позволившие определить весовые функции

Решение уравнения (10) при условиях (11) записывается в виде:

Система (12) приводится к однородному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно функции , которое допускает факторизацию на коммутативные сомножители второго порядка и может представлено в виде:

Общий интеграл равенства (16) имеет вид

.

Здесь

,

- постоянные интегрирования, обыкновенные и модифицированные функции Бесселя первого и второго родов порядка .

Используя зависимости между и , полученные в процессе приведения (12) к (16), получаем выражения для второй компоненты ядра преобразований:

Подстановка (17), (18) в (13), (14) позволяет сформулировать трансцендентное уравнение для определения и выражения для постоянных интегрирования .

Применяя к трансформанте (15) формулы обращения (8) получаем, с учетом (17), (18) выражения для

Численные результаты

биморфный пластина напряжение деформированный

В качестве примера рассматривается биморфная пластина ( мм, мм, мм, мм), имеющая следующие физические характеристики материала стальной подложки и аксиально поляризованной пьезокерамической пластины состава РХЕ-5:

H/м, кг/м,

H/м, кг/м.

Расчеты приводятся для случая действия равномерно распределенной гармонической нагрузки:

,

где , - частота и амплитудное значение.

На рис. 2,3 показаны графики изменения вертикальных перемещений центра пластины во времени при различных частотных характеристиках внешнего воздействия. Сплошной линией обозначены результаты, полученные на основании построенного в настоящей работе алгоритма, а пунктирной - осциллограммы, построенные без учета функций .

Отмечаем, что увеличение частоты внешнего воздействия в рассматриваемом диапазоне приводит к росту перемещений, т.е. более полному проявлению инерционных свойств рассматриваемой системы.

Кроме того, учет особенностей в точке с помощью функций приводит к "ужесточению" рассматриваемой системы и уменьшению перемещений.

Эффективность электромеханического преобразования энергии биморфных пластин оценивается с помощью динамического коэффициента электромеханической связи , который, как правило, представляет отношение резонансных частот вычисляемых для различных электрических краевых условий на электродном покрытии [8]. Расчетные соотношения, построенные в настоящей работе, позволяют определить меру преобразования энергии с помощью более очевидной характеристики, а именно вертикальных перемещений пьэзоэлемента, которые определяются трансформантой нагрузки . В этом случае зависимость коэффициента от радиуса пьезокерамических пластин вычисляется по формуле:

Рис.2. - Изменение вертикальных перемещений во времени при (- собственные значения первой резонансной частоты)

Рис.3. - Изменение вертикальных перемещений во времени при

На рис.4 представлены графики изменения для первых двух мод собственных колебаний жестко закрепленного биморфа. Сплошная и пунктирная кривые соответствуют первому и второму номеру частот. Результаты расчета показывают, что если основной вклад в напряженно-деформированное состояние пластины вносит первая частота собственных колебаний, то оптимальное отношение радиусов подложки и пьезопластины равно 0.68. В случае, когда определяющей характеристикой является вторая частота, то данное отношение равно 0.43 или 0.86.

Рис.4. - Зависимость динамического коэффициента электромеханической связи от радиуса пьезокерамических пластин

В заключении отмечаем, что построенный алгоритм решения можно использовать также и при решении задач обратного пьэзоэффекта. Для этого необходимо провести соответствующую замену правых частей дифференциальных уравнений (1).

Литература

1. Евсейчик, Ю.Б. Чувствительность биморфного преобразователя типа металл-пьезокерамика [Текст] // Прикл. мех., 1990.- 26.- №12.- С. 67-75.

2. Евсейчик, Ю.Б., Медведев К.В. Чувствительность гидроакустического датчика давления [Текст] // Гидравлика и гидротехника. Науч.- техн. сб. -Киев: НТУ, 2008. -Вып.62. -С.10-16.

3. Рудницкий, С.Н. Шарапов В.М., Шульга Н.А. Колебания дискового биморфного преобразователя типа металл-пьезокерамика [Текст]// Прикл. мех.1990.-26. - №10. -С. 64-72.

4. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки [Текст]/ С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 625 с.

5. Гельфанд, И.М. Обобщенные функции и действия над ними [Текст] / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. - М.: Физматгиз., 1959. - 470 с.

6. Хмелев, В.Н., Галахов А.Н., Лебедев А.Н., Шалунов А.В., Шалунова К.В. Исследование зависимости геометрических размеров на характеристики излучателя в виде пластины [Текст] // Мат-лы Всероссийск. конф. ИАМП-2010. г. Бийск, 2010. -С.200-206.

7. Сеницкий, Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики [Текст] // Изв. вузов. Математика, 1991. - №4. - С. 57-63.

8. Ватульян, А.О., Рынкова А.А. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложение [Текст] // Изв. РАН. МТТ. 2007. -№4. - С.114-122.

Размещено на Allbest.ru