К определению перемещений оболочек вариационно-энергетическим методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

К определению перемещений оболочек вариационно-энергетическим методом

С.В. Бурцева, Г.П. Стрельников

Расчет оболочек вариационно-энергетическим методом основан на принципе минимума полной потенциальной энергии системы (Э), численно равной разности работы внутренних сил (А) и внешних сил (Авн). Задача решается в перемещениях. Компоненты перемещения произвольной точки срединной поверхности оболочки вдоль осей криволинейной системы координат выбираются в виде бесконечных двойных рядов, члены которых состоят из произведения постоянных параметров , подлежащих определению и линейно независимых функций , удовлетворяющих геометрическим граничным условиям

В статье [10] приводится выражение для работы внутренних сил в матричном виде в криволинейной ортогональной системе координат

Матрица F, содержащая аппроксимирующие функции , матрицы R, N , зависящие от геометрии срединной поверхности оболочки, её толщины и материала приводятся в [10]. Матрица R, кроме коэффициентов первой и второй квадратичных форм, содержит символы Кристоффеля второго рода

В случае ортогональной системы координат они могут быть выражены через параметры Ляме следующим образом:

Здесь и

производные параметров Ляме соответственно по первой и второй координатам. После подстановки символов Кристоффеля матрица R будет иметь вид:

R=

;

.

.

Матрица

является блочной симметричной матрицей порядка 3mn Ч 3mn

где

матрица порядка mn Ч mn

Все элементы этой матрицы будут равны нулю, кроме rs -того элемента, равного единице.

Так как матрица S симметричная, то

минимум потенциальный энергия срединный

Выражение для работы внешних сил имеет вид

проекция вектора интенсивности внешней нагрузки на оси прямоугольной декартовой системы координат.

-

матрица, содержащая косинусы углов между осями прямоугольной декартовой системы координат и векторами криволинейной системы координат, связанной со срединной поверхностью оболочки.

Так как только один элемент матрицы будет равен единице, а остальные нулю, то

Если распределенная нагрузка действует вдоль оси x3 прямоугольной декартовой системы координат ( собственный вес конструкции ), тогда вектор и

В случае нагрузки интенсивности p, направленной по нормали к срединной поверхности оболочки, матрица приобретает вид

Введем матрицу

Из условия стационарности полной потенциальной энергии системы

Э=А - Авн , получаем 3mn линейных уравнений для определения 3mn неизвестных коэффициентов .

Литература

1.Аксентян К.Б., Гордеев-Гавриков В.К. Энергетический метод расчета оболочек усложненной формы [Текст]: Монография / К.Б. Аксентян. - Ростов: РИСИ, 1976г. - 320 с.

2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек [Текст]: Монография / А.Л. Гольденвейзер.? М. "Наука" ,1976г. - 512 с.

3. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности [Текст]: Монография / Васидзу К.- М. "Мир", 1987г. - 542 с.

4. Кильчевский А.Л. Элементы тензорного исчисления и его приложение к механике [Текст]: Монография / А.Л. Кильчевский - М. ГИТТЛ, 1954г.-168с.

5.Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки [Текст]: Монография / С.П. Тимошенко. - М. "Наука", 1966г. - 636 с.

6.Филин А. В. Элементы теории оболочек. Изд. второе, дополн. и перераб. [Текст]: Монография / А. В. Филин ? Л.: Стройиздат, 1975г. - 256 с.

7. Koiter W.T. A consistent first approximation in the general theory of thin elastic shells. -In: Proceedings of the Symposium on the Theory of Thin Elastic Shells, IUTAM, Delft. -Amsterdam: North-Holland, 1960, p. 12-33.

8. Reissner E. Variational considerations for elastic beams and shells. - Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers, 1962, v.88, No.EMI, p. 23-57.

9. Литвинов В.В., Языев Б.М. Энергетический метод в форме Тимошенко-Ритца для определения критических сил осевого сжатия круговой цилиндрической оболочки. [Электронный ресурс] // "Инженерный вестник Дона", 2012, №1. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/722/ (доступ свободный). - Загл. с экрана. - Яз. рус.

10. Бурцева С.В., Стрельников Г.П., Авилкин В.И. К расчету оболочек вариационно-энергетическим методом. [Электронный ресурс] // "Инженерный вестник Дона", 2012, №4(2). - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1291 (доступ свободный). - Загл. с экрана. - Яз. рус.

Размещено на Allbest.ru