Исследование напряжений возле плоского горизонтального выреза

Размещено на http://www.allbest.ru/

Камский институт гуманитарных и инженерных технологий

Ижевская государственная сельскохозяйственная академия

Исследование напряжений возле плоского горизонтального выреза

П.В. Дородов

А.В. Кулагин

г. Ижевск, Удмуртия

Часто детали машин и строительные конструкции имеют технологические вырезы, ослабляющие их (рис. 1). Под действием внешних нагрузок возле краев таких вырезов возникает концентрация напряжений, приводящая к возникновению трещин или больших остаточных деформаций, что является недопустимым явлением.

Рис. 1 Расчетная схема прямоугольной полосы с горизонтальным вырезом

Задач является актуальной проблемой прочности, так как аналитические решения, при условии их корректности и правильного задания дополнительных краевых условий, позволяют решать не только прямые, но и обратные задачи. Основные трудности в решении связаны с определением напряжений на линии сопряжения, совпадающей с осью х. Для решения этой задачи используем характеристическую часть сингулярного интегрального уравнения с постоянными коэффициентами A и B на отрезке [-a;a] [1]:

,

где , u, v - перемещения точек линии сопряжения; ; - нормальные и касательные напряжения на линии сопряжения. напряжение сопряжение эллиптический

В случае неограниченного решения в узлах имеем:

, (1)

где А*, В*, С - постоянные.

Допустим, что на линии интегрирования перемещения принимают вид:

где ?, ?1 - некоторые постоянные.

Тогда ,

а выражение (1) можно переписать

,

из которого, разделяя действительную и мнимую части, получаем:

где , , - постоянные, зависящие от упругих свойств и внешней нагрузки.

Для их определения составим условия равновесия: откуда

, (2)

,

и краевое условие -

(3)

Решая совместно (2) и (3), получаем

Напряжения примут вид:

Касательные напряжения на линии сопряжения отсутствуют, следовательно, главное напряжение. Главное напряжение определим через максимальные касательных напряжений:

, (),

Таким образом, имеем

(4)

Если устремить l к бесконечности, получим приближенные формулы:

(5)

Аналогично будет, если вырез рассматривать как эллиптическое отверстия с полуосями а и b, радиус b которого стремится к нулю [2]. Определим отношение l/t, при котором отклонение напряжений, найденных по выражениям (4) и (5) не превышают заданной погрешности ?. Для этого достаточно сравнить и , откуда

.

Например, при - ; при - .

Из формул (4) и (5) видно, что на концах плоского разреза напряжения стремятся к бесконечности, хотя на самом деле концы имеют радиус, который равен h (рис. 2).

Рис. 2 Вырез с закругленными концами

Обозначим через ?1 теоретический коэффициент концентрации напряжений по нормальным напряжениям , то есть

,

где а1 - половина длины разреза с идеально острыми концами.

Пусть напряжения равны напряжениям на контуре эллиптического отверстия с большей полуосью 2а, при y=0. Совмещая концы контуров выреза и эллиптического отверстия (рис. 3), можно определить параметр а1

,

Рис. 3 Схема приведения выреза с закругленными концами к эллиптическому отверстию

(6)

С другой стороны, согласно [2]

(7)

Приравняв (6) и (7), получим

,,.

Итак, для случая ограниченного решения на концах разреза выражения (4) можно переписать

 (8)

Кроме радиусов закруглений концов плоского выреза, на коэффициент концентрации влияет текучесть. В этом случае следует считать

,

где ?Т - предел текучести.

Доказывая решения (8) на рис. 4 показаны теоретические и экспериментальные эпюры напряжений в безразмерных величинах при , . Эксперименты были проведены на модели из органического стекла при помощи лазерного интерферометра по методике, описанной в [3].

Рис. 4 Сравнение теории с экспериментом

Сравнительный анализа показал, что относительное отклонение теории от эксперимента не превышает 8% на участке . У концов выреза наблюдается существенное расхождение кривых из-за того, что в этой зоне материал пластичен, то есть эффективный (опытный) коэффициент концентрации напряжений в этой зоне должен быть равен

,

что также согласуется с теорией.

Таким образом, можно сделать вывод, что представленные аналитические решения (4) и (8) могут быть использовано для исследования концентрации напряжений возле технологических вырезов или дефектов различного рода в деталях машин.

Литература

1.Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: «Наука», 1968. - 512 с.

2.Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. - М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

3.Беркутов В.П., Гусева Н.В., Дородов П.В., Киселев М.М. Интерферометр для определения нормальных напряжений в плоских прозрачных моделях // Датчики и системы, - №2. - 2009. - С. 26-30.

Размещено на Allbest.ru