Применение адаптивного модифицированного попеременно–треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды

А.Е. Чистяков, Н.А. Фоменко

Технологический институт «Южного федерального университета»

г.Таганрог

Моделирование процессов происходящих в водной среде имеет значение не только при исследованиях водных экосистем, экологического состояния водоемов, параметров водной среды, но и при проектировании и возведении прибрежных сооружений, так как воздействия волн и прибоя к берегам различных водоемов приводит к их разрушению. А так же непрерывное движение водной среды приводит к необратимым последствиям, таким как изменение рельефа дна. Последствия данных явления можно наблюдать на побережьях океанов, морей и крупных озер. Строительство берегозащитных сооружений, ограждающих дамб, волнорезов, волновых молов является дорогостоящим и технически сложным мероприятием. Поэтому моделирование данных процессов является важным не только для экологии, но и для экономики.

Для прогнозирования процессов заиленья, негативных факторов, влияющих на эксплуатацию прибрежной зоны и береговых сооружений необходимо детально исследовать гидродинамические процессы, происходящие в водной среде.

Для построения двумерной математической модели движения водной среды нам понадобится двумерная модель гидродинамики[1,2] исходными уравнениями которой являются:

- двумерный аналог системы уравнений Навье-Стокса

,

(1)

,

- аналог уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости

. (2)

где - функция подъема уровня, - вектор скорости движения водной среды, - давление, - коэффициент турбулентного обмена по горизонтальному направлению, - ускорение свободного падения, - плотность жидкости, , - тангенциальное напряжение на дне и поверхности жидкости соответственно, - глубина водоема, отсчитываемая от невозмущенной водной поверхности.

Математическая модель (1)-(2) учитывает геометрию донной поверхности и функцию возвышения уровня. Данная система уравнений рассматривается при следующих граничных условиях:

. (3)

Условие (3) описывает свободный выход на боковых границах.

Построение двумерной модели гидродинамики.

Расчетная область вписана в прямоугольник. Покроем область равномерной прямоугольной расчетной сеткой :

,

,

где - индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям , соответственно, - шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям , соответственно, - количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям , соответственно, - длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям , соответственно.

Дискретный аналог модели движения водной среды, представленной уравнениями (1)-(2), согласно методу поправки к давлению[3] запишется в виде следующей системы уравнений, в которой первое уравнение записывается без учета функции возвышения на первом временном слое:

,

(4)

.

С учетом выполнения (2),(3) аналога уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости, данное уравнение можно представить в виде:

(5)

,

а затем на следующем временном слое:

, (6)

.

Для построения конечно-разностных схем использован метод баланса.

Дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переноса в случае частичной заполненности ячеек в случае граничных условий третьего рода:

,

могут быть записаны в следующем виде [4]:

,

где , - коэффициенты, описывающие заполненность контрольных областей.

Полученные сеточные уравнения решались модифицированным попеременно-треугольным итерационным методом, алгоритм которого представлен ниже. гидродинамика попеременный треугольный уравнение

Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный метод вариационного типа. Рассмотрим задачу об отыскании решения операторного уравнения в конечномерном гильбертовом пространстве H:

, (10)

где A - линейный, положительно определенный оператор ().Для нахождения задачи (14) будем использовать неявный итерационный процесс

, (11)

где m - номер итерации, ф> 0 -итерационный параметр, а B - некоторый обратимый оператор. Обращение оператора B в (11) должно быть существенно проще, чем непосредственное обращение исходного оператора Aв (10). При построении B будем исходить из аддитивного представления оператора - симметричной части оператора А

(12)

Также здесь и далее будем использовать кососимметричную часть оператора А

.

В силу (12) . Поэтому в (12) . Пусть в (11)

, (13)

где - некоторый оператор.

Поскольку , то вместе с (12) это дает . Соотношения (11)-(13) задают модифицированный попеременно-треугольный метод (МПТМ) решения задачи[5-7], если определены операторы и указаны способы определения параметров , и оператора .

Алгоритм модифицированного попеременно - треугольного итерационного метода минимальных поправок для расчета сеточных уравнений имеет вид

, , ,

, , (14)

, , , .

В адаптивном попеременно - треугольном методе в качестве параметра используется значение с предыдущей итерации с этим и связан локальный рост нормы вектора невязки.

Рис.1.Зависимость нормы вектора невязки от количества итераций.

Из рис. 1 видно что, при решении сеточного уравнения адаптивным попеременно-треугольным методом равномерная норма вектора невязки (максимальный по модулю элемент) убывает достаточно быстро, но возможен локальный рост погрешности. В таблице 1 приведены результаты сравнения ПТМ и МВР.

Таблица 1.

Из приведенной таблицы видно, что выбор адаптивного модифицированного попеременно-треугольного метода вариационного типа является более предпочтительным по сравнению с методом верхней релаксации при решении сеточных уравнений, полученных в результате аппроксимации задач волновой гидродинамики.

Литература

1.Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководных водоемов. Известия ЮФУ. Технические науки. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, №8(121). С. 159-167.

2.Фоменко Н.А. Моделирование гидродинамических процессов при обтекании корпуса судна. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, №8(121). С.139-147.

3.Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Построение двумерной математической модели движения водной среды // Журнал ТТИ ЮФУ. Информатика, вычислительная техника и инженерное образование №5(7)-2011, Электронный журнал. С. 59-66. 4.Чистяков, А. Е. Об аппроксимации граничных условий трехмерной модели движения водной среды// Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, №6(107). С. 66-77. 5.Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором. Математическое моделирование, 2012, том. 24, №1. С.3-20.

6.Сухинов А.И. Модифицированный попеременно - треугольный метод для задач тепловодности и фильтрации// Вычислительные системы и алгоритмы. - Ростов - на- Дону: Изд-во РГУ,1984, С. 52-59.

7.Чистяков А.Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, №6(107). С. 237-249.

Размещено на Allbest.ru