Размещено на http://www.allbest.ru/

К МЕТОДАМ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗЛОМОВ В УСЛОВИЯХ ВИБРАЦИОННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Колесников Максим Николаевич

канд. физ.-мат. наук

Телятников Илья Сергеевич

канд. физ.-мат. наук

Предложен подход к моделированию напряженно-деформированного состояния литосферных структур вблизи разломов посредством модели-рования их пластинами Кирхгофа на трехмерном упругом основании. Описан эффективный метод решения задач для пластин с прямолинейными разломами, основанный на преобразовании дифференциального оператора, позволяющий провести анализ полученных решений для различных условий контакта в области разлома. Метод представлен на примере задачи о вибрации двух протяженных пластин на поверхности упругого слоя под действием сосредоточенной поверхностной нагрузки. Результаты численной реализации разработанного алгоритма дают возможность выявить влияние свойств подложки, характеристик пластин и характера их взаимодействия на границе на картину волнового процесса в исследуемой структуре. При этом получаемые конфигурации прохождения гармонического сигнала через разлом могут служить индикатором его типа. Предложенный подход целесообразно использовать для диагностики наличия и определения типа разлома на основе данных измерений сигналов от виброисточников в тех случаях, когда геофизическая среда может быть смоделирована описанной структурой. Проблемы изучения рассмотренных в работе объектов возникают в различных областях техники, для их решения также применим предложенный метод разлом напряженный деформированный пластина

Ключевые слова: РАЗЛОМ, СОСТАВНОЕ ПОКРЫТИЕ, УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ, ВИБРАЦИЯ, ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Создание теоретической базы и способов обработки данных мониторинга, обеспечивающих прогноз техногенных и сейсмических катастроф, является фундаментальной проблемой современной геофизики и сейсмологии. В ходе многочисленных исследований были предложены различные модели сейсмичности, созданы экспериментальные и теоретические методы, направленные на решение проблемы предсказания землетрясений. Однако и в настоящее время данная проблема остается нерешенной. И этот факт не только указывает на чрезвычайную сложность исследований сейсмических процессов, но свидетельствует о необходимости использования комплексных подходов, опирающихся на методы геофизики, геохимии, механики деформируемого твердого тела.

В Южном научном центре РАН и Кубанском госуниверситете для оценки напряженно-деформированного состояния литосферных структур активно развивается использование моделей механики деформируемого твердого тела [1-3]. Литосферные плиты с позиций механики деформируемого твердого тела можно моделировать протяженными трехмерными блочно-слоистыми структурами, подверженными воздействиям различной природы.

Основу механической концепции сейсмической оценки территории составляет определение областей концентрации напряжений в литосферных структурах. Последние указывают на местоположение возможных землетрясений. В качестве примера рассмотрим граничную задачу для разноразмерной блочной структуры - пластины на поверхности деформируемой трехмерной подожки. Предположим, что пластина состоит из отдельных фрагментов, контактирующих между собой и возможно содержащих дефекты типа трещин. Подобная структура, включающая горизонтально ориентированные блоки - пластины Кирхгофа с разломами произвольной геометрии на упругом основании, может служить моделью литосферной плиты.

Рассмотрим составную пластину как двумерное многообразие с краем, обозначив занятую пластиной область через . Зададим разбиение пластины на однородные с постоянными свойствами блоки так, что пересекающие их разломы, если таковые есть, также служат блокообразующими границами. Получим систему областей , где B - число блоков разбиения. При этом для разных участков границ , , могут быть заданы различные стыковочные условия: жесткое сцепление соседних блоков, свободное смещение, контакт с трением и т.п. Далее использованы обозначения, принятые в теории пластин [4, 5]. Обозначим через , - перемещения точек срединной поверхности пластин в касательной плоскости, - по нормали к ней, .

В скалярном случае вертикальных колебаний для установившегося с частотой режима дифференциальные уравнения движения плоского покрытия имеют вид [4]

, . (1)

Здесь ; - вертикальная компонента амплитуды контактного напряжения, действующего на нижнюю границу пластины в области ; , , ; - толщина, - плотность, - коэффициент Пуассона, - модуль Юнга j_й пластины.

В качестве деформируемой подложки может рассматриваться однородный слой или пакет слоев, однородное или слоистое полупространство и т.д. Для указанных вариантов основания можно построить интегральные соотношения между амплитудами перемещений и напряжений на поверхности подложки вида

(2)

где - функция комплексных переменных, примеры которой для различных типов среды представлены в [6, 7]; при , ; ; - двумерный оператор преобразования Фурье. Положение контуров , определяется принципом предельного поглощения [6].

После применения к (1) интегрального преобразования Фурье по переменным , уравнение для каждой части пластины принимает вид

.

Здесь , , - внешняя форма следующего вида [7, 8]:

.

Для прямолинейной части границы блока внешняя форма примет вид в локальной системе координат

,

где - поперечная сила, - изгибающий момент, - жесткость занимающей область пластины. Криволинейные участки межблочных границ могут быть аппроксимированы ломаными.

Рассмотрим случай, когда покрытие представляет собой систему двух протяженных пластин, граничащих вдоль прямой. Пусть система координат выбрана так, что ось Ox₃ представляет нормаль к поверхности покрытия, а ось Ox₂ направлена вдоль линии раздела пластин. Обозначим правую полуплоскость плоскости через , а левую - . Пусть система находится под воздействием сосредоточенной гармонической поверхностной нагрузки , A=const, . Общий вид граничных условий на стыке пластин может быть записан в следующей формулировке [10]:

, (3)

,

при этом характер взаимодействия пластин определяет вектор-функцию и вид дифференциальных операторов , j=1,2.

Из системы уравнений, описывающих колебания пластин (1), соотношений для упругого основания (2) и условия идеального контакта пластин с подложкой вытекает следующая система интегро-дифференциальных уравнений:

, , j=1,2, (4)

где .

Нормализация операторов системы (4) производится путем выноса из нее дифференциального оператора вида , где , постоянные . Для этого применим к соотношениям (4) и оператору преобразование Фурье по переменной , в результате придем к системе

; для j=1, для j=2, (5)

где ;

; .

При этом .

Применим оператор к соотношениям (5), отбрасывая составляющие, неограниченно возрастающие при (для j=1) и (для j=2), получим

, (6)

для j=1, для j=2.

В системе (6) правые части в соответствующих полуплоскостях убывают на бесконечности и представляют собой общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений

,

, .

Здесь и далее значению j=1 соответствует верхний знак в этажных символах «», j=2- нижний.

Для нахождения интегральных характеристик напряжений на границе покрытия и подложки правые части (6) следует продолжить на всю плоскость неизвестными функциями , после чего применить к ним преобразование Фурье по переменной . В итоге придем к системе функциональных уравнений следующего вида:

, (7)

;

;

,

, j=1,2, ;

.

Из (7) следуют соотношения для Фурье-образов напряжений

, j=1,2. (8)

При этом , - функции, регулярные в верхней комплексной полуплоскости для j=1 как Фурье-образы функций с носителем на положительной полуоси и в нижней комплексной полуплоскости для j=2 как Фурье-образы функций с носителем на отрицательной полуоси. А функция - наоборот, регулярна в нижней (для j=1) и верхней (для j=2 ) полуплоскости.

Исключив из (8) преобразования Фурье неизвестных напряжений , получим систему функциональных уравнений относительно функций , решаемую методом Винера-Хопфа [11],

, (9)

, , .

Внеся найденные выражение в соотношения (8), получим выражения для Фурье-образов напряжений на поверхности упругого основания.

Интегральные соотношений (2), связывающие перемещения и напряжения на поверхности подложки, в образах Фурье примут вид

, (10)

где .

Соотношения (10) и (8) позволяют получить выражение интегральных характеристик перемещений на поверхности упругого основания, в результате в представления

, (11)

где и (j,k=1,2) зависят от данных задачи и параметров , линейно входят четыре неизвестные функции , которые необходимо определить из условий в области контакта пластин. Для этого применим к выражению (11) для интегральных характеристик перемещений обратное преобразование Фурье по , а к граничным условиям (3) - прямое преобразование Фурье по переменной . Подставив

,

где ; ;
, j,k=1,2,

в преобразованные условия (3)

,

где ; j=1,2; . Получим следующую линейную алгебраическую систему относительно неизвестных , j,k=1,2:

.

В результате ее решения подставим в выражение для .

Оригиналы амплитуд перемещений поверхности системы находятся с помощью применения к полученному выражению обратного преобразования Фурье по параметру

, , .

Предложенный подход позволяет изучить влияние свойств пластин и основания, а также типа граничных условий в области контакта элементов покрытия на деформационные свойства системы и характер прохождения сигнала. На рисунках 1,2 приведены графики комплексных амплитуд перемещений поверхности пластин на упругом основании в случае, когда свойства системы в направлении оси Ox₂ неизменны, для безразмерной частоты . Задаваемая безразмерная частота определялась по формуле , где - модуль сдвига, а - плотность управой пластины, a - характерный линейный размер. Сосредоточенная вертикальная нагрузка задана в точке , , , , . На графиках по оси ординат отложена величина амплитуды вертикального смещения (вещественной части комплексных амплитуд соответствует сплошная линия, мнимой - пунктирная), по оси абсцисс координата .

Рисунок 1 Комплексные амплитуды колебаний при равенстве нулю изгибающих моментов и условии «вязкого контакта» на стыке пластин

На рисунке 1 приведены графики амплитуд смещений поверхности слоя с составным покрытием при условии, называемом «вязким контактом»

,

, ,

(действующая на край пластины поперечная сила пропорциональна разности скоростей краев), и равенстве нулю изгибающих моментов (j=1,2) на стыке пластин покрытия. Расчеты проведены для трех соотношений жесткостей пластин: (а), (б), (в).

Рисунок 2 Комплексные амплитуды колебаний при условиях равенства нулю изгибающих моментов, непрерывности смещений и поперечных сил в области контакта пластин

Рисунок 2 иллюстрирует прохождение сигнала через разлом при условиях равенства нулю изгибающих моментов , непрерывности смещений и поперечных сил на стыке пластин.

Результаты позволяют выявить характер распространения гармонического сигнала в моделируемой структуре для однотипных и разнотипных пластин покрытия для разных условий контакта и свойств упругой подложки и определить конфигурации его прохождения непосредственно на разломе. Последние могут использоваться как своего рода индикатор типа разлома.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 16-31-00067 мол_а).

Литература

1. Бабешко, В.А. К теории блочного элемента / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // ДАН. 2009. Т. 427, № 2. С. 183-187.

2. Бабешко, В.А. Об автоморфизме и псевдодифференциальных уравнениях в методе блочного элемента / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // ДАН. 2011. Т. 438, № 5. С. 623-625.

3. Бабешко, В.А. Блочные элементы в теории плит сложной формы / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Изв. РАН. МТТ. 2012. №5. С. 92-97.

4. Бабешко, В.А. К проблеме исследования материалов с покрытиями / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // ДАН. 2006. Т. 410, №1. С. 49-52.

5. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. М.: Наука, 1972. 432 с.

6. Ворович И.И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И.И. Ворович, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1979. 320 с.

7. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. 456 с.

8. О поведении и резонансах некоторых блочных структур сейсмологии и материаловедения / В.А. Бабешко [и др.] // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2013. № 1. С. 6-12.

9. Block element method for body, localizations and resonances / V.A. Babeshko // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2014. № 2. С. 13-19.

10. Гольденвейзер, А.Л. Теория упругих тонких оболочек / А.Л. Гольденвейзер. М.: Наука, 1976. 512 с.

11. Нобл, Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных / Б. Нобл. М.: ИИЛ - 1962. 280 с.

Размещено на Allbest.ru