Конденсатор поля Янга-Миллса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конденсатор поля Янга-Миллса

Введение

Вопрос о макроскопических эффектах классического калибровочного поля Янга-Миллса [1-4] рассматривается в работах [5-26] и других. В работе [27] представлен проект усилителя поля Янга-Миллса. Модель усилителя представляет собой многослойную сферическую оболочку с возрастающей к центру плотностью. В центре усилителя находится ядро с большой плотностью вещества. Показано, что в такой системе амплитуда волн поля Янга-Миллса возрастает от периферии к центру на несколько порядков. Обсуждается роль поля Янга-Миллса в процессах, происходящих в ядрах галактик, звезд и планет. Представлены данные моделирования по усилению поля Янга-Миллса в недрах земли, при атомном взрыве и в некоторых специальных устройствах типа вольтова столба.

Для описания механизма усиления хромодинамического поля использованы как точные результаты, полученные в теории Янга-Миллса, так и численные модели, развитые на основе усредненных и точных уравнений. Среди точных решений особую роль играет центрально-симметрическая метрика [9], описывающая вклад поля Янга-Миллса в скорость разбегания галактик. Среди приближенных численных моделей можно отметить восьми компонентную скалярную модель развитую нами для моделирования нелинейных цветовых колебаний и хаоса в теории Янга-Миллса [17].

Хорошо известно, что теория Янга-Миллса описывает нелинейную динамическую систему, в которой осцилляции цвета демонстрируют хаотическое поведение [19-26]. Возникновение хаоса в динамической системе, описывающей осцилляции цвета, может иметь определенные макроскопические следствия, например, в форме геометрической турбулентности [17-18].

В работе [17] представлена модель пространственно-временных осцилляций поля Янга-Миллса в случае трех и восьми цветов. Результаты численного моделирования показывают, что нелинейное взаимодействие не приводит к пространственному перемешиванию цветов, как это могло бы быть в случае турбулентной диффузии. В зависимости от параметров системы наблюдается либо подавление амплитуды колебаний пяти цветов первыми тремя, либо наоборот - трех первых цветов пятью остальными. При этом кинетическая энергия колебаний либо распределяется поровну между цветовыми компонентами, либо преобладает кинетическая энергия подавляемой группы цветов.

В настоящей работе представлен проект конденсатора поля Янга-Миллса. Модель конденсатора представляет собой две эквипотенциальные поверхности, разделенные в пространстве. Для описания механизма конденсации хромодинамического поля использованы численные модели, развитые на основе усредненных уравнений Янга-Миллса. В настоящей работе использованы восьми- и двухкомпонентные скалярные модели, которые, как было установлено, при определенных условиях сводятся к уравнениям магнитостатики и электростатики. В отличие от классической электродинамики, модель статического поля Янга-Миллса не разделяется на независимые уравнения в силу нелинейности самой модели. Однако такое разделение является возможным в линейной теории.

Ниже показано, что в линейной области параметров конденсатор поля Янга-Миллса по своим функциональным свойствам накопления заряда и удержания поля похож на конденсатор электростатического поля или на магнит в магнитостатике. Поэтому, можно предположить, что в природе есть два типа зарядов, являющихся источниками макроскопического поля Янга-Миллса, которые по свойствам аналогичны электрическим и магнитным зарядам в теории Пуассона.

1.Уравнения Янга-Миллса в произвольных системах отсчета

Теория Янга-Миллса [1] была предложена для объяснения сохранения изотопического спина. Согласно [1], изотопическому спину сопоставляется калибровочное поле, связанное с изотопическим спином, аналогично тому, как электромагнитное поле связано с электрическим зарядом. Дальнейшее развитие теории и концепции цвета [3] привело к созданию квантовой хромодинамики, в которой поле Янга-Миллса представляется как динамическая система, состоящая из восьми взаимодействующих цветовых полей [4].

В работах [16-17, 25] мы рассмотрели уравнения Янга-Миллса в произвольных системах отсчета, допускаемых принципом относительности Эйнштейна. Преобразование уравнений Янга-Миллса к подвижным осям осуществляется по стандартной схеме [2, 16-17, 25]. Рассмотрим динамическую систему, включающую метрический тензор , поле Янга-Миллса и поле , которое преобразуется как тензор при координатных преобразованиях и реализует матричное представление поля Янга-Миллса. Лагранжиан системы имеет вид

(1)

Здесь и ниже полагаем , - тензор Риччи; - космологическая постоянная; - тензор Римана, - символы Кристоффеля второго рода; , точкой обозначено ковариантное дифференцирование:

 (2)

- компоненты поля Янга-Миллса и генераторы группы соответственно. Как известно, в этом случае выполняются коммутационные соотношения

(3)

Уравнения поля, которые соответствуют каждому из действий (1) с индексом имеют вид

(4)

При совместном действии гравитационного поля, поля Янга-Миллса и скалярного поля имеем

(5)

Здесь тензор плотности энергии-импульса и плотность тока Янга-Миллса определяются соответственно как

(6)

Последние два условия на дивергенцию плотности тока и тензора плотности энергии-импульса являются следствием динамических уравнений (5).

2.Уравнения Янга-Миллса с группой симметрии SU(2)

В метрике Минковского и при отсутствии тока уравнения Янга-Миллса с группой симметрии SU(2) принимают особенно простой вид , что равносильно

(7)

Здесь - константа связи, - единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

Динамическая модель [19] следует из (7), если мы положим , где - ортогональная матрица. Тогда система уравнений (7) приводится к виду

(8)

Основные свойства системы уравнений (7) были изучены в работах [19-20] и других. Было установлено наличие областей стохастичности в фазовом пространстве динамической системы (7). Введем новые обозначения

(9)

Начальные значения задачи зададим в нормированном виде, считая вектор состоящим только из нулей и единиц. В уравнениях (8), напротив, введем два параметра , описывающих интенсивность взаимодействия цветовых полей, имеем

(10)

Обзор результатов, полученных путем численного интегрирования уравнений (9)-(10), содержится в работе [17]. Было установлено, что функции , если их рассматривать как координаты траектории частицы, образуют 3D решетку, узлы которой соединены между собой перемычками.

В работе [24] обсуждается гипотеза происхождения размерности нашего пространства. Предполагается, что пространство заполнено трубками тока конденсата, возникшими на ранних стадиях формирования Вселенной. Было доказано, что узлы решетки, образованной трубками тока устойчивы именно в трехмерном пространстве. В работе [27] обсуждается альтернативный механизм образования 3D решетки, основанный на свойствах модели (9)-(10).

3.Уравнения Янга-Миллса с группой симметрии SU(3)

В случае SU(3) симметрии уравнения Янга-Миллса приводятся к виду [2, 10-11,17]

(11)

Здесь - цветовые индексы (число цветовых полей равно восьми); - структурные константы калибровочной группы SU(3).

Проблему моделирования можно упростить, рассматривая некоторые средние параметры [10-13]. Путем усреднения лагранжиана системы находим лагранжиан новой модели и систему динамических уравнений [10]

(12)

Здесь - цветовые индексы, по повторяющимся индексам осуществляется суммирование, - параметры модели.

Рассмотрим задачу о распаде начального состояния в системе (12) в плоскости , в ограниченной области пространства . Зададим все функции в начальный момент времени в виде , а их производные по времени равными нулю:

 (13)

Параметры системы зададим в виде [11]:

.

Для удобства отображения данных введем обозначения

Тогда в начальный момент времени имеем

(14)

Задача (12)-(14) была исследована численными методами в работе [17]. Был обнаружен своеобразный механизм развития турбулентности, при котором есть две взаимодействующих подсистемы, в одной из которых преобладают крупномасштабные и низкочастотные моды колебаний, а в другой - высокочастотные колебания с малой длиной волны. Отметим, что такой механизм развития турбулентности является характерным в случае гидродинамической турбулентности. Однако есть и существенное различие между двумя механизмами турбулентности заключающееся в том, что в системе (12) нет турбулентной диффузии, поэтому цвета не перемешиваются до однородного состояния, но каждый цвет существует индивидуально в любом режиме колебаний.

4.Усилитель поля Янга-Миллса

Заметим, что в обсуждаемых моделях динамики поля Янга-Миллса - (8), (12), нет никаких указаний на ограничение по масштабам. Это означает, что можно рассмотреть макроскопический аналог атомного ядра или адрона, предполагая, что такое устройство может быть использовано с целью генерации, усиления и передачи поля Янга-Миллса.

Согласно уравнениям (6) всякое скалярное поле можно рассматривать как источник хромодинамического поля. Таким скалярным полем может выступать любая плотность, например, плотность вещества. Используем тот факт, что в уравнениях (12) есть свободные параметры , которые можно связать с плотностью вещества. Запишем систему уравнений (12) для случая взаимодействия со скалярным полем в форме двух скалярных полей [11]

(15)

Здесь - плотность барионного вещества, являющегося источником поля Янга-Миллса.

Рассмотрим динамику поля Янга-Миллса в техническом устройстве типа вольтова столба - рис. 1-2. Оригинальное устройство Вольта состоит из чередующихся слоев меди и цинка, разделенных электролитом. В случае данных, приведенных на рис. 1, используется один слой меди и один слой цинка.

Рис. 1. Распад начального состояние 8-цветного поля Янга-Миллса в многослойной среде с плотностью , соответствующей вольтову столбу.

Распад начального состояния в таком устройстве сопровождается большим числом отраженных волн, которые усиливают друг друга вплоть до очень большой величины плотности энергии поля Янга-Миллса. Так, в рассмотренном примере, приведенном на рис. 1, энергия вырастает более чем в 1500 раз уже после первого отражения. На рис. 2. представлены данные по усилению поля Янга-Миллса в вольтовом столбе, состоящим из 6 слоев мели и цинка. В этом случае плотность энергии возрастает в 10000 раз.

Рис. 2. Распад начального состояние 8-цветного поля Янга-Миллса в многослойной среде с плотностью , соответствующей вольтову столбу, состоящему из 6 слоев меди и 6 слоев цинка.

Отметим, что в таком устройстве энергия сосредоточена в высокочастотных модах колебаний. Не исключено, что энергия поля Янга-Миллса является дополнительным источником электродвижущей силы в вольтовом столбе. Результаты [27] указывают на наличие в природе механизма усиления поля Янга-Миллса в галактиках, звездах, планетах, а также в технических устройствах. Очевидно, что для усиления поля необходимо иметь его хотя бы в форме поля с малой амплитудой, типа реликтового излучения. В работе [9] было найдено полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля. Используя это решение, нами была дана оценка вклада реликтового поля Янга-Миллса в скорость разбегания галактик [27].

5.Конденсатор поля Янга-Миллса

Рассмотрим эволюцию поля Янга-Миллса в устройстве типа электростатического конденсатора - рис. 3-5. Такой конденсатор состоит из двух пластин, например, из медной пластины и цинковой пластины, разделенных вакуумным промежутком. Предположим, что в начальный момент времени поле сосредоточено в цинковой пластине - рис. 3. В последующие моменты времени поле эволюционирует в соответствии с системой диффузионных уравнений [28-29]

(16)

Здесь - цветовые индексы, по повторяющимся индексам осуществляется суммирование, - параметры модели.

Начальные условия для системы уравнений (16) зададим в виде

(17)

Рис. 3. Распад начального состояние 8-цветного поля Янга-Миллса в среде с плотностью , соответствующей конденсатору: начальный импульс сосредоточен в цинковой пластине.

Из данных, приведенных на рис. 3, следует, что в процессе эволюции поле Янга-Миллса разделяется на две группы по 3 и 5 компонент соответственно, которые распределяются в пространстве между пластинами по закону, отражающему нелинейную взаимосвязь цветных полей.

Аналогичное распределение наблюдается и в том случае, когда начальный импульс сосредоточен в медной пластине - рис. 4. При уменьшении начальной амплитуды импульса все компоненты поля распределяются в конечном состоянии по закону близкому к линейной функции - рис. 5, аналогично тому, как распределяется электростатический потенциал в задаче с заданным потенциалом на двух пластинах конденсатора.

Рис. 4. Распад начального состояние 8-цветного поля Янга-Миллса в среде с плотностью , соответствующей конденсатору: начальный импульс сосредоточен в медной пластине.

Отсюда можно сделать вывод, что существует взаимосвязь поля Янга-Миллса с электрическим и магнитным полем [2, 8]. Отметим, что указанная взаимосвязь наиболее просто выявляется в линейном случае, когда распределение всех 8 полей Янга-Миллса между пластинами стремится к линейному распределению. В этом случае система из 8 уравнений (16) вырождается в систему из двух уравнений, которые описывают потенциал электростатического и магнитного поля соответственно.

Рис. 5. Распад начального состояние 8-цветного поля Янга-Миллса в среде с плотностью , соответствующей конденсатору в случае малой амплитуды импульса в медной пластине: на верхнем левом рисунке показана эволюция всех 8 компонент к конечному состоянию соответствующему линейному распределению поля между пластинами.

Соответствующая система уравнений имеет вид

(18)

Для установления полной аналогии с теорией Пуассона необходимо принять, что скалярные функции в системе уравнений (18) можно представить в форме

(19)

Здесь функции описывают потенциалы электрического и магнитного поля соответственно, а функции описывают распределение электрического и магнитного заряда. Поскольку распределение заряда зависит только от плотности вещества, то отсюда следует, что только один тип зарядов, может быть распределен произвольно в соответствии с распределением вещества, тогда как распределение другого заряда зависит от изменения первого заряда.

Отметим, что в природе электрический заряд встречается в форме положительного и отрицательного электричества разделенного на части, тогда как магнитный заряд не разделяется, но существует только в пределах магнита на его северном и южном полюсе. Отсутствие симметрии между магнитными и электрическими зарядами долгое время не получало объяснения. Дирак предположил, что магнитный монополь мог существовать в природе на ранних стадиях формирования Вселенной. Однако поиски магнитного монополя такого типа не увенчались успехом, хотя магнитный монополь в форме квазичастиц был обнаружен в спиновом льду [30]. Система уравнений (18) позволяет дать простое объяснение этого факта.

Во-первых, фигурирующие в этой системе поля не является симметричными, поскольку одно из них отображает эволюцию трехцветного поля, а другое эволюцию поля пяти цветов - рис 3-5. Во-вторых, как уже было указано выше, только один тип зарядов может быть напрямую связан с плотностью вещества, тогда как другой зависит от изменения первого.

На рис. 6 представлено распределение градиентов полей в конденсаторе, составленном из двух параллельных дисков - левый и правый рисунок соответственно. Расчеты выполнены в статическом случае на основе системы уравнений (18) с условиями Дирихле на дисках: . Отметим, что одно из этих устройств (левое) можно назвать конденсатором, а другое (правое) - магнитом.

Рис. 6. Распределение градиентов полей в конденсаторе, составленном из двух параллельных дисков - левый и правый рисунок соответственно.

Мы, таким образом, дали объяснение происхождения электростатического и магнитостатического поля, а также принципа действия конденсатора и магнита на основе теории Янга-Миллса. Дальнейшее развитие теории заключается в нахождении связи векторного потенциала электродинамики с одним из восьми векторных потенциалов, на которые распадается линеаризованное поле Янга-Миллса [2].

Библиографический список

конденсатор янга-миллса хромодинамическое поле

Yang N., Mills R.L. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance// Phys. Rev., 96, 191, 1954.

Девитт Б.С. Динамическая теория групп и полей. - Москва, Наука, 1987.

Bogoliubov N.N., Struminsky B.V., Tavkhelidze A.N. On composite model in the theory of elementary particles. JINR publication D-1968, Dubna, 1965.

Fritzsch H., Gell-Mann M., Leutwyler H. Advantages of the color octet gluon picture// Phys. Lett. B 47, 365, 1973.

Utiyama R. Invariant theoretical interpretation of interaction//Phys. Rev. 101, 1597, 1956.

Kibble T.W.B. Lorentz invariance and the gravitational field// J. Math. Phys. 2? 212? 1961.

Pie-Ming Ho. Generalized Yang-Mills Theory and Gravity//arXiv:1501.05378v2 [hep-th] 10 Feb 2015.

Кривоносов Л.Н., Лукьянов В.А. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла// Journal of Siberian Federal University, Mathematics & Physics 2009, 2(4), 432-448.

Кривоносов Л.Н., Лукьянов В.А. Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля./ Пространство, время и фундаментальные взаимодействия, Вып.3, 2013.

Dzhunushaliev V. Scalar model of the glueball// Hadronic J. Suppl. 19, 185, 2004.

Dzhunushaliev V. SU(3) glueball gluon condensate//arXiv:1110.1427 [hep-ph].

Dzhunushaliev V. Phase transition for gluon field: a qualitative analysis// arXiv:1211.4944v1 [hep-ph]

Трунев А.П. Моделирование нелинейных цветовых колебаний в теории Янга-Миллса / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2015. - №06(110). С. 1654 - 1673. - IDA [article ID]: 1101506108. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/108.pdf

Трунев А.П. Геометрическая турбулентность и квантовая теория. - Palmarium Academic Publishing, ISBN 978-3-639-72485-1, 2015, 232 с.

Matinyan S.G., Savvidy G.K. and Ter-Arutyunyan-Savvidy N. G. Classical Yang-Mills mechanics. Nonlinear color oscillations// Sov. Phys. JETP, 80, 830-838, 1981; JETP Lett. 34, 590, 1981.

Matinyan S.G., E.B. Prokhorenko and G.K. Savvidy. Non-integrability of time-dependent spherically symmetric Yang-Mills equations//Nucl. Phys. B 298, 414, 1988.

Biro T.S., Matinyan S.G. and Muller B. Chaos and Gauge Field Theory/World Sci. Lect. Notes Phys. 56, 1, Singapore, 1994.

Matinyan S. Chaos in the Yang-Mills theory and cosmology: quantum aspects// arXiv:hep-th/0612102v1, 11 Dec 2006.

Berera A., Buniy R.V., Kephart T.W., Pas H., Rosa J.G. Knotty inflation and the dimensionality of spacetime// arXiv:1508.01458v1 [hep-ph] 6 Aug 2015

Размещено на Allbest.ru