О представлении решений уравнений Навье-Стокса в общей теории относительности

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Введение

Вопрос о единственности и гладкости уравнений Навье-Стокса был сформулирован в виде шестой проблемы тысячелетия [1-2]. Для этой проблемы имеются, как математические доказательства существования сильного решения [3], так и доказательства потери единственности решений при взрывной неустойчивости за конечное время [4].

Как известно, уравнения Навье-Стокса являются математической моделью движения вязкой несжимаемой жидкости, поэтому для физических приложений представляют интерес не любые решения, а только те, которые описывают реальные течения. Но в природе жидкость движется при любых условиях, независимо от свойств единственности или гладкости поля скорости. Достаточно будет указать на явления турбулентности, кавитации, дробления, обтекание инородных тел и ударные волны, В каждом случае для описания движения необходима своя модель, которая может значительно отличаться от модели Навье-Стокса [5-6].

С другой стороны, даже если поле скорости является единственным и гладким, то это еще не гарантирует, что такое движение непременно реализуется в природе. Возникает вопрос, можно ли математически разделить все решения на такие, которые имеют физический смысл и такие, которые заведомо не имеют такового смысла? В настоящей работе мы используем принцип относительности Эйнштейна [7], а также способ представления движения в общей теории относительности [8-30] для ответа на этот вопрос. В результате построены решения общего вида уравнений поля в вакууме в общей теории относительности Эйнштейна, описывающие классическое движение частиц в сплошной среде типа вязкой несжимаемой жидкости.

Принцип эквивалентности и уравнения гидродинамики в общей теории относительности

уравнение относительность навье стокс

Уравнения Эйнштейна имеют вид [8-11]:

(1)

(2)

- тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно; - тензор Римана, - символы Кристоффеля второго рода.

Ранее было установлено, что уравнение Эйнштейна связано с уравнениями Максвелла, Навье-Стокса, Янга-Миллса и Шредингера [13-28]. Указанные связи не являются случайными, так как уравнение Эйнштейна (1) отражает наиболее фундаментальные свойства движения и материи. В частности, принцип эквивалентности, положенный в основу общей теории относительности, гласит, что «инерция и тяжесть тождественны; отсюда и из результатов специальной теории относительности неизбежно следует, что симметричный «фундаментальный тензор» () определяет метрические свойства пространства, движение тел по инерции в нем, а также и действие гравитации» [7].

Однако принцип эквивалентности, видимо, имеет и более широкое применение, например, в квантовой механике [16-20]. Фактически этот принцип означает, что любое ускорение, обусловленное внешними силами, эквивалентно некоторому изменению метрики. Действительно, в общем случае уравнения движения материальной точки в гравитационном поле можно представить в форме [7-11]

(3)

Рассмотрим метрику, связанную с движением материальной точки с заданной скоростью , имеем

(4)

Вычисляя отличные от нуля коэффициенты аффинной связности в метрике (4), получим

(5)

Уравнения (3) удовлетворяется тождественно, если мы положим

(6)

Следовательно, метрика (4) описывает классическое движение с ускорением. Уравнение (1) для пустого пространства и при равной нулю космологической константе также удовлетворяется, поскольку в метрике (4). Следовательно, движение с ускорением не изменяет кривизну пространства, если ускорение является только функцией времени.

Однако если мы предположим, что существует поле скорости, зависящее, например, от одной координаты, , то придем к очень сложной теории, с отличной от нуля скалярной кривизной

(7)

Таким образом, в общей теории относительности для поддержания градиента скорости необходимо определенное распределение материи, что в общем случае не может быть выполнено. Поэтому теория релятивистской гидродинамики [11, 29-31] построена на преобразовании тензора энергии импульса, а не на преобразовании поля скорости.

Рассмотрим уравнения гидродинамики в общей теории относительности. Предполагая, что уравнения гидродинамики справедливы локально, можно записать эти уравнения в произвольных координатах. В случае вязкой жидкости имеем [29-30]:

(8)

Здесь обозначено - локальная скорость жидкости; - плотность энергии и давление соответственно; тензор вязких напряжений имеет вид

(9)

Предполагается, что известно уравнение состояния, связывающее плотность энергии и давление. В случае идеальной жидкости первое уравнение (8) приводится к стандартному виду [10]

(10)

При таком подходе предполагается, что уравнения гидродинамики описывают динамику частицы жидкости независимо от того, что диктуется уравнением (3). Этот странный результат исторически связан с тем, что в уравнении (1) тензор энергии импульса материи может быть задан независимо от метрики [7-11, 29-31]. Однако в последнее время появились исследования [21-28] и другие, в которых уравнение Навье-Стокса выводится прямо из уравнений (1) в многомерном пространстве с метрикой вида [23]

(11)

Уравнения Навье-Стокса следуют из уравнения (1) для пустого пространства с метрикой (11) путем решения методом последовательного приближения. В первом приближении выполняется уравнение неразрывности, во втором приближении выполняется система уравнений уравнения Навье-Стокса в форме

(12)

Здесь кинематическая вязкость определяется как в . Отметим, что описание полей ускорения, обусловленных соответствующими гравитационными потенциалами, в рамках общей теории относительности является вполне логичным и обоснованным. Однако принцип эквивалентности получил различное толкование у различных авторов.

Так, например, в [8] утверждается, что при переходе во вращающуюся систему отсчета возникают стационарные гравитационные поля. С другой стороны, в [9] приведены доказательства того, что полей ускорения не существует, что эти поля являются фиктивными. Поэтому во вращающейся системе координат возникают не гравитационные поля, а фиктивные «поля тяготения». Однако в монографии [12] было показано, что любое силовое поле может привести к искривлению пространства-времени.

Вайнберг [10] различает инерционные и гравитационные силы, поэтому его формулировка принципа эквивалентности сводится к утверждению, что «локально-инерциальные координаты , которые мы вводим в данной точке , могут быть выбраны так, что первые производные метрического тензора в точке исчезают».

Мы придерживаемся исходной формулировки принципа эквивалентности [7], из которого следует, что любое ускорение эквивалентно изменению метрики и, следовательно, может быть описано метрическим тензором и уравнениями (1)-(3).

Гравитационные поля в гидродинамические течения

Наша задача заключается в том, чтобы найти такие метрики, которые описывают движение параболическими уравнениями, похожими на уравнения Навье-Стокса (12). То, что такие метрики существуют, доказано в работах [17-28] и других.

Однако метрики типа (11), в которых уравнения Навье-Стокса (12) выводятся из уравнения (1) для пустого пространства приводят к увеличению размерности самого пространства. Кроме того, теория гравитации в пространствах с метрикой типа (11) намного сложнее, чем теория уравнений Навье-Стокса. Поэтому есть основания для поиска более простых метрик, в которых уравнения поля сводятся к параболическим уравнениям. Рассмотрим метрику вида

(13)

Уравнения поля для пустого пространства нулевой кривизны в метрике (13) сводятся к одному уравнению второго порядка

(14)

Отметим, что уравнение (14) изменяет свой тип в зависимости от знака производной :

в области уравнение (14) имеет эллиптический тип;

в области уравнение (14) имеет гиперболический тип;

в области уравнение (14) имеет параболический тип.

Вычисляя коэффициенты аффинной связности в метрике (13) в четырехмерном пространстве-времени находим уравнения движения

(15)

Первое уравнение (15) описывает хорошо известный эффект изменения скорости хода часов в гравитационном поле и при наличии скорости движения [8-10]. Используя первое уравнение (15) можно перейти во втором уравнении (15) к зависимости от времени по формулам

(16)

После чего оно приводится к виду

(17)

Рассмотрим метрику вида

(18)

Уравнения поля для пустого пространства в метрике (18) сводятся к двум уравнениям второго порядка

 (19)

Отметим, что уравнения (18) могут быть решены независимо. Каждое из них изменяет свой тип при изменении знаков производных соответственно. Полагая в уравнениях (19), что , находим

(20)

Главная причина, по которой мы исследуем эти уравнения, заключается в том, что гравитационные поля соответствующие метрикам (13) и (18) описывают те самые «фиктивные» силы инерции, которые приносят столько трудноразрешимых проблем в теории уравнений Навье-Стокса [1-4].

Вычисляя коэффициенты аффинной связности в метрике (18) находим

(21)

Используя коэффициенты (21), запишем уравнения движения частиц в метрике (18)



(22)

Здесь первые два уравнение описывают движение в плоскости переменных , а два другие - в плоскости . Такое разделение движения является весьма существенным упрощением задачи, связанной с исследованием движения частиц в пограничном слое.

Уравнения Навье-Стокса и проблема турбулентной диффузии

Рассмотрим систему уравнений, описывающую неизотермическое атмосферное течение с учетом сил плавучести и переноса инертной примеси, имеем [6, 32]

(23)

Здесь обозначено: - плотность воздуха; - вектор скорость потока; - кинематическая вязкость; - давление за вычетом гидростатического атмосферного давления; - вектор ускорения свободного падения; - равновесная плотность; - температура, - число Прандтля; массовая концентрация примеси; - число Шмидта; - коэффициент молекулярной диффузии.

Гидростатическое уравнение и стандартное приближение Буссенеска для возмущений плотности заданы в виде

(24)

Здесь - коэффициент расширения, для идеального газа.

Определим систему декартовых координат таким образом, что бы ось была направлена против направления вектора ускорения свободного падения. Рельеф обтекаемой поверхности описывается уравнением - рис. 1.

Граничные условия для параметров течения зададим на обтекаемой поверхности и на границе пограничного слоя следующим образом:

(25)

Здесь - температура подстилающей поверхности, - концентрация примеси на поверхности, - высота пограничного слоя, - скорость течения на высоте , - температура и концентрация примеси на высоте соответственно.

Рис.1. Геометрия течения над шероховатой поверхностью.

По координатам зададим периодические граничные условия. Считаем, что в начальный момент скорость течения, температура и концентрация примеси описываются линейными функциями, имеем

(26)

Решение задачи (23)-(26) не было получено даже на уровне оценок типа [1]. Приближенные решения для турбулентных течений были получены в наших работах [6, 32] и других. Практически при любой функции распределения шероховатости течение довольно быстро переходит в турбулентный режим с установлением логарифмического профиля скорости, температуры и концентрации примеси - рис. 2. Решение получено путем численного интегрирования системы уравнений (29) с граничными условиями (25) и начальными данными (26). Хорошо видно, что линейный профиль (26) за короткое время эволюционирует в логарифмический профиль.

Рис. 2. Формирование логарифмического профиля скорости потока в турбулентном пограничном слое в координатах .

Этот факт, установленный во многих и многих исследованиях, показывает, что природа изобрела наиболее экономичный способ движения в форме логарифмического профиля. Однако если логарифмический профиль подставить в первое уравнение (12), то можно убедиться, что уравнение Навье-Стокса не выполняется. Это результат означает, что в природе существуют силы, которые поддерживают логарифмический профиль, но которые не нашли отражения в уравнениях (12). Обычно происхождение этих сил приписывают так называемым напряжениям Рейнольдса, обусловленным турбулентной вязкостью или диффузией [31]. Однако мы, не без основания, приписываем эти силы полям гравитации, рассмотренным выше.

Действительно, обратимся к методу решения проблемы турбулентной диффузии, который был предложен в наших работах [6, 32-35] и других. Основная идея заключается во введении в уравнения (15) случайных параметров. Например, в пограничном слое можно представить вектор скорости течения в форме , где - это поверхность, описывающая динамическую шероховатость [6].

Предполагается, что такую поверхность можно характеризовать случайными параметрами , которые имеют смысл высоты, скорости движения элемента и наклонов поверхности. Обозначим функцию распределения этих параметров .

Предположим, что и рассмотрим достаточно представительную область течения объемом , где - типичные масштабы течения в направлениях x, y соответственно - рис.1. Рассмотрим подобласть течения , которая принадлежит рассматриваемой области течения , и в которой случайные параметры изменяются в интервалах ,,,.

В общем случае подобласть является многосвязной областью, объем которой задается уравнением

.

Случайная амплитуда скорости может быть определена путем суммирования выражения в объеме :

(27)

Здесь - произвольный объем, вложенный в и содержащий .Очевидно, что является случайной функцией, поскольку зависит от случайных параметров. Уравнения, описывающие динамику , следуют из уравнений (23), а их вывод дан в [6, 32].

Статистический момент порядка случайной функции определяется следующим образом

 (28)

В результате применения указанных преобразований система уравнений (23) принимает вид [6, 32]:

(29)

Здесь ,, .

Система уравнений (29) имеет установившееся решение в форме логарифмического профиля, как для скорости - рис. 2, так и для температуры и концентрации [6, 32-34]. В чем же отличие исходной системы (23) и выведенной из нее системы уравнений (29)? Отличие заключается в явном учете влияния микроскопической геометрии линий тока на основное течение. Геометрический фактор оказывается весьма существенным, не смотря на его малую величину.

Так, в пограничном слое над гладкой поверхностью безразмерный параметр динамической шероховатости, определенный по динамической скорости, составляет около . Для сравнения укажем, что число Рейнольдса пограничного слоя атмосферы составляет порядка .

Большая величина числа Рейнольдса и малая величина толщины вязкого подслоя вполне соизмеримы в логарифмическом масштабе, когда реализуется логарифмический профиль скорости, который выводится из уравнений (29).

Силы, фигурирующие в динамических уравнениях (3), имеют геометрическую природу, что хорошо видно из приведенных примеров движения частиц в гравитационных полях в пространствах с метрикой (13) и (18). Уравнения (29) показывают, что такого рода гравитационные поля возникают и в течениях сплошной среды. Однако до последнего времени эти поля не были идентифицированы как гравитационные.

Метрика и гравитационные поля течений в пограничном слое

Рассмотрим течение над гладкой поверхностью, совпадающей с плоскостью XY. Определим систему декартовых координат таким образом, что бы ось была направлена по нормали к поверхности в сторону потока. Докажем, что если течение имеет компоненты скорости параллельные плоскости XY и зависящие только от координаты z, то такая система может двигаться с произвольным ускорением при нулевой кривизне пространства.

Для доказательства рассмотрим обобщение метрики (4), связанной с движением материальной точки с произвольной скоростью , имеем

(30)

Здесь - произвольные функции, описывающие профиль скорости. Вычисляя отличные от нуля коэффициенты аффинной связности в метрике (30), получим

(31)

Уравнение (1) для пустого пространства и при равной нулю космологической константе удовлетворяется тождественно, поскольку в метрике (30). Следовательно, в этом случае возможно движение системы с произвольным ускорением при нулевой кривизне пространства, что и требовалось доказать. Отметим, что к известным решениям уравнений Навье-Стокса такого типа относятся течения Пуазейля и Куэтта [31].

Полученный результат можно усилить, допустив наличия профиля третьей компоненты скорости. Соответствующая метрика имеет вид

(32)

Вычисляя отличные от нуля компоненты тензора Риччи в метрике (32), находим

(33)

Следовательно, в случае метрики (32) возможно движение системы с произвольным ускорением параллельным плоскости XY при нулевой кривизне пространства. Заметим, что в теории уравнений Навье-Стокса профиль с тремя компонентами скорости, зависящими от одной координаты, не представляет интереса, так как он не удовлетворяет уравнению неразрывности. Однако в случае системы уравнений (29) такое решение существует и соответствует логарифмическому профилю - рис. 2.

Метрика (18) может быть использована для моделирования течения в пограничном слое. В общей теории относительности стационарные профили скорости в пограничном слое зависят от двух произвольных функций, удовлетворяющих условию нулевой кривизны пространства

(34)

Траектории частиц в метрике (18) описываются системой уравнений

(35)

В теории уравнений Навье-Стокса к числу таких решений относится течение Блазиуса. В нестационарном случае используя метрику (13) можно описать течения жидкости при движении плоскости по заданному закону [31].

Наконец, заметим, что переход к турбулентности приводит к решениям с ненулевой кривизной пространства, как следует из выражения (7). Поэтому доказательство существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса, видимо, не может быть получено в плоских пространствах. Во всяком случае, таких решений, которые бы не противоречили общей теории относительности. Решения уравнений Навье-Стокса с неограниченным ростом производных скорости типа [4, 36-41] следует рассматривать в рамках общей теории относительности [7-11] с учетом влияния градиентов скорости на кривизну пространства-времени.

Библиографический список

Ладыженская О.А. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существование и гладкость// УМН, -2003., - Т. 58, - №2 (350), - С. 45-78.

C. L. Fefferman. Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation. The millennium prize problems/ Clay Math. Inst., Cambridge, MA, 2006, pp. 57-67.

Отелбаев М. Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса// Математический журнал, Том 13, №4 (50), 2013.

TERENC E TAO. FINITE TIME BLOWUP FOR AN AVERAGED THREE-DIMENSIONAL NAVIER-STOKES EQUATION// arXiv:1402.0290v2 [math.AP] 6 Feb 2014.

Kiselev, S.P., Ruev, G.A., Trunev, A.P., Fomin, V.M. & Schavaliev, M.S. Shook-wave phenomena in two-component and two-phase flows. - Nauka, Novosibirsk, 261 p., 1992 (in Russian).

Trunev A. P. Theory of Turbulence and Model of Turbulent Transport in the Atmospheric Surface Layer. - Russian Academy of Sciences, Sochi, 160 p., 1999 (in Russian).

Einstein A. Zur allgemeinen Relativitatstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, 44, 2, 778--786; Erklarung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, 47, 2, 831--839; Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstneorie. Ann. Phys., 1916, 49, 769--822; Nahemngsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1916, 1, 688--696; Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1917, 1, 142--152; Uber Gravitationwellen. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1918, 1, 154--167.

Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. - 7 изд. - М.: Наука. - 1988. - стр. 329-330; L. D. Landau and E. M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. Pergamon, New York, second edition, 1962.

В.А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения (2-е изд.). - М.: ГИФМЛ, 1961.

Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology. - John Wiley & Sons, 1972.

A.Z. Petrov. New methods in general relativity. - Moscow: Nauka, 1966.

С. А. Подосенов. Пространство, время и классические поля связанных структур. М.: Компания Спутник +, 2000, 445 с.

J. A. Shifflett. A modification of Einstein-Schrodinger theory that contains Einstein-Maxwell-Yang-Mills theory// Gen.Rel.Grav.41:1865-1886, 2009.

L.N.Krivonosov, V.A.Luk'aynov. The relationship between the Yang-Mills and Einstein and Maxwell Equations// J. SibFU, Math. and Phys, 2(2009), no. 4, 432-448 (in Russian).

Fabio Grangeiro Rodrigues, Roldao da Rocha, Waldyr A. Rodrigues Jr. The Maxwell and Navier-Stokes that Follow from Einstein Equation in a Spacetime Containing a Killing Vector Field// AIP Conference Proceedings, v. 1483, 277-295, 2012.

Alon E. Faraggi and Marco Matone. The Equivalence Postulate of Quantum Mechanics// arXiv:hep-th/9809127v2, 6 Aug 1999.

Трунев А.П. Гравитационные волны и квантовая теория Шредингера// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. - №02(096). С. 1189 - 1206. - IDA [article ID]: 0961402081. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/02/pdf/81.pdf

Трунев А.П. Гравитационные волны и стационарные состояния квантовых и классических систем// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. - №03(097). - IDA [article ID]: 0971400090. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/90.pdf

Трунев А.П. Атом Шредингера и Эйнштейна// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. - №03(097). - IDA [article ID]: 0971400094. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/90.pdf

Трунев А.П., Е.В. Луценко. Гравитационные волны и коэффициент эмерджентности классических и квантовых систем// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. - №03(097). С. 1343 - 1366. - IDA [article ID]: 0971403092. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf

C. Eling. Hydrodynamics of spacetime and vacuum viscosity// JHEP, 11, 048, 2008.

C. Eling, I. Fouxon, Y. Oz. Gravity and Geometrization of Turbulence: An Intriguing Correspondence// arXiv:1004.2632, 28 Oct, 2010.

I. Bredberg, C. Keeler, V. Lysov, A. Strominger. From Navier-Stokes to Einstein// arXiv: 1101.2451, 12 Jan, 2011.

C. Eling, Y. Oz. Holographic Vorticity in the Fluid/Gravity Correspondence// arXiv:1308.1651, 28 Oct, 2013.

Sayantani Bhattacharyya et all. Conformal Nonlinear Fluid Dynamics from Gravity in Arbitrary Dimensions// arXiv: 0809.4272v2, 3 Dec, 2008.

Sayantani Bhattacharyya et all. The Incompressible Non-Relativistic Navier-Stokes Equation from Gravity // arXiv: 0810.1545v3, 20 Jul, 2009.

Michael Haack, Amos Yarom. Nonlinear viscous hydrodynamics in various dimensions using AdS/CFT// ArXiv: 08064602v2, 11 Sep, 2011.

V.E. Hubeny. The Fluid/Gravity Correspondence: a new perspective on the Membrane Paradigm// arXiv:1011.4948v2, February 22, 2011.

R. Baier, P. Romatschke, U.A. Wiedemann. Dissipative Hydrodynamics and Heavy Ion Collisions// arXiv:hep-ph/0602249v2, 17 Mar, 2006.

N. Anderson, G.L. Comer. Relativistic fluid dynamics: physics for many different scales// arXix:gr-gc/0605010v2, February 6, 2008.

L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Fluid Mechanics. - Pergamon, Oxford, UK, first edition, 1959.

Трунев А.П. Теория турбулентности и моделирование турбулентного переноса в атмосфере. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №05(059). С. 179 - 243; №06(060). С. 412 - 491.

Трунев А.П. Теория турбулентности и модель влияния плотности шероховатости // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №04(058). С. 348 - 382.

Трунев А.П. Теория и константы пристенной турбулентности // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №04(058). С. 383 - 394.

Trunev, A. P. Diffuse processed in turbulent boundary layer over rough surface/ Air Pollution III, Vol.1. Theory and Simulation, eds. H. Power, N. Moussiopoulos & C.A. Brebbia, Comp. Mech. Publ., Southampton, pp. 69-76, 1995.

J. Leray, Sur le mouvement d'un liquide visquex emplissent l'espace, Acta Math. J. 63, 193-248, 1934.

JORMA JORMAKKA. SOLUTIONS TO THREE-DIMENSIONAL NAVIER-STOKES EQUATIONS FOR INCOMPRESSIBLE FLUIDS//arXiv:0809.3553v7 [math.GM], 1 Dec 2012.

R. Grundy, R. McLaughlin. Three-dimensional blow-up solutions of the Navier-Stokes equations//IMA J. Appl. Math. 63, no. 3, pages 287-306, 1999.

V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez. THE PROBLEM OF BLOW-UP IN NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS//DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS, Volume 8, Number 2, pp. 399-433, April 2002.

V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez. Blow-up of a class of solutions with free boundaries for the Navier-Stokes equations// Adv. Differ. Eq. 4, 291-321. 1997.

Z. Xin. Blow-up of smooth solutions to the incompressible Navier-Stokes equation with compact density// Comm. Pure Appl. Math. 51, 229-240. 1998.

Размещено на Allbest.ru