Математическое моделирование траектории движения капли жидкости с поверхности вертикально вращающегося дискового распылителя

Размещено на http://www.allbest.ru/

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ КАПЛИ ЖИДКОСТИ С ПОВЕРХНОСТИ ВЕРТИКАЛЬНО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКОВОГО РАСПЫЛИТЕЛЯ

Шекихачев Юрий Ахметханович

Шомахов Лев Аслангиреевич

Хажметов Луан Мухажевич

Твердохлебов Сергей Анатольевич

Бербеков Владимир Нажмудинович

Афасижев Юрий Сафарбиевич

В данной статье описывается процесс математического моделирования траектории движения капли жидкости с поверхности вертикально вращающегося дискового распылителя, для химической зашиты молодых плодовых растений

Ключевые слова: УЛЬТРАМАЛООБЪЕМНЫЙ, РАСПЫЛИТЕЛЬ, ОПРЫСКИВАТЕЛЬ, ФАКЕЛ РАСПЫЛА, УГОЛ РАСКРЫТИЯ, РАБОЧАЯ ЖИДКОСТЬ

В современных ультрамалообъемных опрыскивателях применяются вращающиеся (ротационные) распылители, выполненные в виде различного рода дисков, конических чаш и барабанов, вращающихся с большой скоростью. Вращающиеся дисковые распылители получили наибольшее применение на штанговых опрыскивателях, которые применяются для химической защиты полевых культур.

Вращающиеся распылители устанавливаются на штанговых опрыскивателях горизонтально, а распыленные ими капли осаждаются на растения за счет силы тяжести. Такое конструктивное решение приводит к уменьшению эффективности опрыскивания и увеличению сноса капель рабочей жидкости ветром.

С целью уменьшения сноса капель и повышения качества опрыскивания применяется принудительное осаждение препаратов, для чего вращающиеся распылители на штанговых опрыскивателях устанавливают совместно с вентиляторами небольшой мощности.

Для эффективного применения штанговых опрыскивателей для защиты молодых плодовых деревьев вращающиеся распылители должны быть установлены вертикально так, чтобы распыливаемые капли рабочей жидкости осаждались на деревья не только за счет сил тяжести, но и за счет центробежных сил. В вертикально вращающихся дисковых распылителях используется только та часть факела распыла, которая направлена к обрабатываемой поверхности, а остальная часть факела экранируется кожухом в специальный сборник и отсасывается насосом. При этом важное значение имеет угол раскрытия факела распыла.

Для определения угла раскрытия факела распыла рабочей жидкости, вертикально вращающего дискового распылителя воспользуемся рисунком 1.

Вначале определим угол . Из рисунка 1 видно, что

где - расстояние от центральной оси плодового дерева до места крепления распылителя на штанге опрыскивателя, м.

где - высота установки распылителя от поверхности земли, м;

- высота плодового дерева, м.

С другой стороны:

Рисунок 1 - Схема к определению угла раскрытия факела распыла рабочей жидкости, вертикально вращающего дискового распылителя

Где

где - радиус дискового распылителя, м.

С учетом (3) выражение (2) примет вид:

Приравниваем выражения (1) и (4):

После преобразований получим уравнение:

Решая уравнение (5), получим искомое выражение:

Далее определяем угол . Из рисунка 1 видно, что

С другой стороны:

С учетом (9) выражение (8) примет вид:

Приравниваем выражения (7) и (10):

После преобразований получим уравнение:

Решая уравнение (11), получим искомое выражение:

При =1,5 м; =2,0 м; =1,5 м; =0,1 м получим, что =15⁰, а =51⁰.

Графическое изображение результатов расчета по приведенным выражениям показано на рисунке 2.

Для математического моделирования траектории движения капли жидкости с поверхности вертикально вращающегося дискового распылителя рассмотрим силы, действующие на каплю (рисунок 3). Движение единичной капли определяется влиянием начальной скорости, направленной под углом к горизонту и силой сопротивления движению.

Таким образом, процесс движения происходит под действием двух сил: тяжести G_к и сопротивления воздушной среды F_в.

Дифференциальное уравнение движения i-той капли имеет вид:

капля жидкость дисковый распылитель

где m_кi - масса i-той капли, кг;

- скорость движения i-той капли, м/с.

Вес капли G_ki рассчитывается по выражению

где - радиус i-той капли, м;

- объемный вес воды, Н/м³.

Силу сопротивления воздушной среды для i-той капли можно рассчитать по выражению

где - коэффициент сопротивления движущейся капли;

- плотность воздуха, кг/м³;

- площадь лобовой поверхности i-той капли, м².

После некоторых преобразований из (15) получим:

где - объемный вес воздуха, Н/м³.

В литературе встречаются различные расчетные значения коэффициента сопротивления при движении капли воды в воздухе.

Ряд исследователей полагают, что этот коэффициент постоянный и равен 0,4. Okamura S. принимает этот коэффициент равным 0,45, а Прандтль Л. - равным 0,5 [22ж, 110ж].

Однако многие ученые считают, что допущение постоянства коэффициента , является слишком грубым и определяют его по эмпирическим зависимостям. Наиболее широкое распространение получила зависимость

где К - постоянный коэффициент.

Рисунок 3 - Силы, действующие на каплю жидкости, вылетающую с поверхности вертикально вращающегося дискового распылителя

По мнению А.С. Лышевского и А.Б. Шупяцкого при малых и умеренных значениях числа Рейнольдса до , значения коэффициента сопротивления снижаются при увеличении числа [3, 4].

Для капли диаметром мм. и значений R_e<2,0 коэффициент сопротивления изменяется в соответствии с формулой Стокса

Для значений 1,0<R_e<800 коэффициент сопротивления рекомендуется определять по формуле

Для установившегося свободного падения с предельной скоростью, указанным числам Рейнольдса, соответствуют капли размерами 0,1<d_k<2,0 мм.

В проекциях на оси координат выражение (13) примет вид:

Делим обе части выражений в системе (20) на :

Умножаем обе части выражений в системе (21) на и после некоторых преобразований получим:

где и - коэффициенты пропорциональности, которые можно рассчитать по формулам:

Интегрируем выражения в системе (22), получим:

Произвольные постоянные и определяем по начальным условиям. При имеем:

где - начальная скорость i-той капли, м/с, равная:

где - угловая скорость вращения диска, с^-1;

- радиус диска, м.

С учетом выражений (24)…(26) получим:

Таким образом, систему уравнений (23) можно переписать в виде:

Перейдем к дальнейшему интегрированию выражений системы уравнений (30). Перепишем ее в виде:

Можно заметить, что интегрирующий множитель этих дифференциальных уравнений есть . Умножаем эти уравнения на и представляем в виде:

Умножение на и интегрирование первого выражения в системе уравнений (32) дает:

При имеем, что . Тогда из выражения (33) получим, что

Следовательно

Откуда

Интегрируем второе выражение системы уравнений (30), и умножив на , получаем,

Интеграл интегрируем по частям:

С учетом (38) выражение (37) примет вид:

При имеем, что ,

где - высота расположения диска, м.

С учетом этого произвольное постоянное будет равно:

Тогда выражение (39) примет вид:

Окончательно после несложных преобразований получим:

Таким образом, движение i-той капли будет определяться выражениями:

Реализация системы уравнений (43) приведена на рисунке 4 при диаметре дискового распылителя 100 мм, числе его оборотов 1000 об/мин и высоте его расположения 1,9 м.

Рисунок 4 - Зависимость дальности полета капли от высоты расположения распыливающего диска

Список использованной литературы

1. Губер К.В., Лямперт Г.П., Храбров М.Ю., Степанов В.П. Тенденция развития техники для орошения на ближайший период // Тракторы и сельскохозяйственные машины, №8, 1995.- с. 5-9.

2. Прандтль Л. Гидроаэромеханика.- М., 1951.- 575 с.

3. Лышевский А.С. Изменение коэффициента сопротивления жидких капель // Известия вузов.- М., Машиностроение, 1964.- с. 75-81.

4. Шупяцкий А.Б. Форма и скорость падения водяных и дождевых капель // Известия АН СССР, №5.- М., 1959

Размещено на Allbest.ru