Размещено на http://www.allbest.ru/

Кубанский государственный аграрный университет

нелинейные уединенные ударно-волновые структуры в вязкоупругих стержнях

Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук

Лаптев В.Н. - канд. техн. наук

Елисеев Н.И. - соискатель

Предложен вывод уравнений движения геометрически нелинейного вязкоупругого стержня с учетом инерции поперечных движений и использования неклассических кинематических уравнений. Проанализирован общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Для эволюционного уравнения Кортевега де Вриза - Бюргерса, к которому сводятся методом возмущений полученные уравнения движения, определено точное решение, описывающее продольные уединенные волны. Определены условия формирования ударно-волновых структур деформации сжатия и растяжения стержня.

В работе [1] исследуются уединенные нелинейные волны в упругих стержнях. Дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях при упругих объемных деформациях рассмотрены в монографии [2]. В отличие от [2] в предлагаемой cтатье проанализирован более общий случай распространения уединенных волн, когда вязкоупругие свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.

Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Введем систему координат, направив ось вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, а оси и расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]

деформация вязкоупругий стержень инерция

, (1)

где - соответственно перемещения по осям x, y, z, - время, - коэффициент Пуассона.

Конечные деформации стержня зададим соотношениями тензора Грина:

 (2)

предполагая, что ,

Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств стержня [3]

, (3)

где соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; ? среднее напряжение, объемное расширение, ? модуль объемной деформации, параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е модуль Юнга; коэффициент Пуассона.

С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях (3) заменим дифференциальным разложением функции в ряд Тейлора по степеням (), ограничиваясь при этом двумя слагаемыми, при условии >>1.

В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений

, (4)

где введен оператор L, определяемый равенством и действующий на функцию по правилу , а ? параметр Ламе.

Формулы (4) представим в развернутом виде:

;

;

;

Или

;

;

;

,

Где

, , ,

, , .

Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа

, (5)

где точкой обозначена производная по t, плотность материала стержня, вариации деформаций, - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

Вычислим вариации деформаций стержня

,

,

,

.

Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы (4), а также вариации компонент деформации

+

+

+.

После преобразований приходим к равенству:

+.

Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии:

.

После преобразования уравнение представим в виде:

.

В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным переменным

, , , , ,

где - амплитудный параметр возмущения; , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса.

Допустим, что - малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков

, .

Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем безразмерное уравнение движения стержня:

(6)

Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим функцию в виде асимптотического разложения

. (7)

Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение (6), и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении получим

.

Согласно условию , из последнего уравнения найдем скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне

. (8)

Из формулы (8) при , т.е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне:

.

Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы u удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргерса:

, (9)

где , , .

При исследовании продольных волн в линейно-вязкоупругих стержнях были введены малый параметр и отношение порядков из которого следует ~ d^2.. Таким образом, для возникновения уединенной волны в стержне требуется условие, связывающее характерный линейный размер стержня, амплитуду и длину волны.

В работе [4] представлено подробное описание точного решения этого уравнения (9):

, (10)

Где

,

Или

,

Где

, .

Используя следующие обозначения

, , ,

получим выражение:

.

При запишем неравенства вида , и найдем коэффициенты с₁, с₂, с_3:

, ; , имеет знак ,

, .

Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом и уравнение примет вид:

Где

.

Согласно условию , получим ,

Где

, а .

При

.

Производную представим следующим выражением:

.

Из уравнения найдем критические точки функции. В ходе преобразований получаем: . Функция будет максимальна в точке, определенной значением , являющимся корнем уравнения:

.

Тогда максимальное значение функции найдем по формуле

,

которую можно записать в виде

.

Вышеприведенный анализ показывает, что при ранее указанных условиях решение уравнения (9) будет иметь структуру ударной волны, т.е. в линейно-вязкоупругом стержне образуется ударная волна растяжения .

D

Зависимость деформаций от перемещений

На рисунке представлена зависимость деформации от перемещения и введены обoзначения:

Возвращаясь к размерным переменным

),

определим поправку к скорости распространения волны, согласно выражению:

.

Список литературы

1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985.

2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002.

146 с.

3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.

4. Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 3. С. 450-453.

Размещено на Allbest.ru