Нелинейная динамика физически линейной и нелинейной вязкоупругой пластины

Применение метода возмущений для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейной пластине из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Эволюционные уравнения Кадомцева-Петвиашвили-Бюргерса для физически линейной и нелинейной пластины.

Рубрика Физика и энергетика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 26.04.2017
Размер файла 123,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кубанский государственный аграрный университет

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ФИЗИЧЕСКИ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ

Аршинов Г.А.

Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейной пластине из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Выведены эволюционное уравнения Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса для физически линейной и модифицированное уравнение для физически нелинейной пластины.

Рассматривается бесконечная пластина толщиной 2h, свободная от внешних воздействий. Компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах зададим соотношениями [1:

пластина линейный нелинейный возмущение

v; , (1)

в которых и v функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости по осям и соответственно; перемещения по оси ; время.

Используя кинематические соотношения (1) и формулы Лагранжа для конечных деформаций

(2)

вычислим компоненты тензора деформаций.

Реологические свойства пластины зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро вида[2].

, (3)

где соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций; объемное расширение; символы Кронекера; реологические параметры;

упругие постоянные Ламе.

Уравнения движения пластины получим, применяя вариационный принцип

, (4)

где плотность материала пластины; вариации деформаций; вариации перемещений; точкой обозначена производная по времени.

В результате вычисления компонент деформаций (2) на основе функций (1), вариаций затем компонент тензора напряжений из закона состояния (3) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций после интегрирования по переменной z получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

=

.

v = vxvy)] + vy)

.

= (5)

+ +

,

где введены следующие обозначения:

(6)

, (7)

поправочный коэффициент, а К - модуль объемного расширения.

Буквенные индексы в системе (5), как и ранее, определяют производную по соответствующей переменной.

Заменим интегральные операторы в формулах (6) и (7) дифференциальными, разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням (), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что допустимо для .

В результате получим аппроксимации:

, , (8)

где введены операторы

, ,

действующие на функцию по правилу

, .

Обозначим через А амплитуду колебаний, а через l - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый параметр . Заменим в системе (5) и их приближениями (8) и исследуем полученные уравнения асимптотическим методом. Для этого перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным

, v = v*,

, , . (9)

Представим неизвестные функции асимптотическими разложениями, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

v = (v1 + v2 +…) (10)

Допустим, что величины , , - одного порядка малости и подставим разложения (10) в безразмерные уравнения пластины. Учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получим систему уравнений:

, (11)

= 0. (12)

Из уравнения (12) следует, что

(13)

где , .

Из уравнения (4.11) в силу формулы (4.13) определим скорость волны

(14)

Для вторых членов разложений (10 )получим систему трех уравнений

v +

, (15)

v = v+ , (16)

v) +

(17)

После интегрирования уравнения (16) по переменной и применения формулы (13), приходим к равенству v= .В силу последнего равенства и формулы (13) уравнение (17) после его дифференцирования по приведем к виду:

+ (18)

Учитывая формулу (14), легко установить, что последние три слагаемых в уравнении (15) равны левой части уравнения (18), умноженной на величину .

Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем

v++ (19)

Выполняя тождественные преобразования в уравнении (19) и вводя обозначение , приходим к уравнению Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса

, (20)

где введены обозначения

,

.

Перейдем к рассмотрению физически нелинейной вязкоупругой пластины. Как и в линейном случае, рассмотрим неограниченную пластину толщиной , свободную от внешних воздействий, а перемещения точек пластины аппроксимируем функциями

v; (21)

Используя (21) и тензор деформаций Лагранжа

, (22)

вычислим компоненты тензора конечных деформаций.

Реологические свойства пластины зададим уравнениями квадратичной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро [2].

,(23)

где - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций, - объемное расширение, - компоненты девиатора деформаций, - символы Кронекера, - реологические параметры, - упругие постоянные Ламе, - квадрат интенсивности деформаций.

В результате вычисления компонент деформаций (22) на основе функций (21), вариаций затем компонент тензора напряжений из закона состояния (23) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций после интегрирования по переменной z получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

=

v = vxvy)] + vy)

= (24)

+ +

,

где введены следующие обозначения:

(25)

, (26)

а - поправочный коэффициент.

Упростим дальнейшее исследование системы (24), заменяя интегральные операторы в формулах (25) и (26) дифференциальными путем разложения функций , , в ряды Тейлора по степеням (), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что возможно для .

В результате получим приближения

, , (27)

где введены операторы

, ,

действующие на функцию по правилу

,

.

Для исследования уравнений движения (24) применим асимптотический метод. Обозначим через амплитуду колебаний, а через - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый параметр . Заменим в системе (24) и их приближениями (27) и перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным

, v = v*,

, , . (28)

Представим искомые функции в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

v = (v1 + v2 +…) (29)

Допустим, что величины , , - одного порядка малости, а реологическая постоянная - порядка .

Подставляя разложение (29) в безразмерные уравнения пластины и учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получаем

, (30)

= 0, (31)

Из уравнения (31) следует, что

(32)

где , .

Из уравнения (30) в силу равенства (32) определяем скорость

(33)

Для следующих членов разложений (29) получим систему трех уравнений

v +

(34)

v = v+ (35)

v) +

(36)

После интегрирования уравнения (35) по переменной и применения формулы (32), приходим к равенству v= .В силу этого равенства и формулы (32) уравнение (36) после его дифференцирования по приведем к виду

+ (37)

Учитывая формулу (33), легко видеть, что последние три слагаемых в уравнении (35) равны левой части уравнения (37), умноженной на величину .

Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем

v++ (38)

Выполняя преобразования в уравнении (38) и вводя обозначение , приходим к модифицированному уравнению Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса

, (39)

где введены обозначения

,

,

.

Список литературы

1. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с.

2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М., 1972.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Рассмотрение теории нелинейной теплопроводности: основные свойства, распространение тепловых возмущений в нелинейных средах и их пространственная локализация. Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглощением и пример ее решения на полупрямой.

    курсовая работа [2,5 M], добавлен 07.05.2011

  • Влияние числа Био на распределение температуры в пластине. Внутреннее, внешнее термическое сопротивление тела. Изменение энергии (энтальпии) пластины за период полного ее нагревания, остывания. Количество теплоты, отданное пластиной в процессе охлаждения.

    презентация [394,2 K], добавлен 15.03.2014

  • Исследование колебаний гибких однослойных и двухслойных прямоугольных в плане оболочек с позиции качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Расчет параметров внешнего воздействия, характеризующих опасный и безопасный режимы.

    статья [657,5 K], добавлен 07.02.2013

  • Баллистика движения материальной точки в случае нелинейной зависимости силы сопротивления от скорости. Зависимости коэффициента лобового сопротивления от числа Рейнольдса для шара и тонкого круглого диска. Расчет траектории движения и силы сопротивления.

    статья [534,5 K], добавлен 12.04.2015

  • Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра. Начальные и граничные условия, константы интегрирования. Конвективная теплоотдача от цилиндра к жидкости. Условия на оси пластины. Графическое решение уравнения охлаждения и нагревания пластины.

    презентация [383,5 K], добавлен 18.10.2013

  • Математическое моделирование тепловых процессов. Основные виды теплообмена в природе. Применение метода конечно разностной аппроксимации для решения уравнения теплопроводности. Анализ изменения температуры по ширине пластины в выбранные моменты времени.

    курсовая работа [1,5 M], добавлен 22.05.2019

  • Начальные параметры ударной волны, образующейся движением пластины. Параметры воздуха на фронте ударной волны в момент подхода волны к преграде. Расчет параметров продуктов детонации в начальный момент отражения от жесткой стенки и металлической пластины.

    курсовая работа [434,5 K], добавлен 20.09.2011

  • Процесс охлаждения и нагревания пластины и бесконечного цилиндра. Интенсивное наружное охлаждение. Коэффициент теплопроводности пластины и конвективной теплоотдачи. Внутреннее и внешнее термическое сопротивление. Безразмерная избыточная температура.

    презентация [311,0 K], добавлен 18.10.2013

  • Расчет амплитуды и частоты периодических режимов графоаналитическим методом гармонического баланса. Применение численных методов решения системы двух алгебраических уравнений. Цифровое моделирование системы и получение временной диаграммы на ЭВМ.

    курсовая работа [622,7 K], добавлен 12.02.2008

  • Действующие нагрузки и размеры жёсткой пластины, имеющей две опоры - шарнирно-неподвижную и подвижную на катках. Расчет числовых значений заданных величин. Составление уравнений равновесия, вычисление момента сил. Определение реакции опоры пластины.

    практическая работа [258,7 K], добавлен 27.04.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.