Нелинейная динамика физически линейной и нелинейной вязкоупругой пластины
Применение метода возмущений для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейной пластине из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Эволюционные уравнения Кадомцева-Петвиашвили-Бюргерса для физически линейной и нелинейной пластины.
Рубрика | Физика и энергетика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 26.04.2017 |
Размер файла | 123,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кубанский государственный аграрный университет
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ФИЗИЧЕСКИ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ
Аршинов Г.А.
Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейной пластине из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Выведены эволюционное уравнения Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса для физически линейной и модифицированное уравнение для физически нелинейной пластины.
Рассматривается бесконечная пластина толщиной 2h, свободная от внешних воздействий. Компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах зададим соотношениями [1:
пластина линейный нелинейный возмущение
v; , (1)
в которых и v функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости по осям и соответственно; перемещения по оси ; время.
Используя кинематические соотношения (1) и формулы Лагранжа для конечных деформаций
(2)
вычислим компоненты тензора деформаций.
Реологические свойства пластины зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро вида[2].
, (3)
где соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций; объемное расширение; символы Кронекера; реологические параметры;
упругие постоянные Ламе.
Уравнения движения пластины получим, применяя вариационный принцип
, (4)
где плотность материала пластины; вариации деформаций; вариации перемещений; точкой обозначена производная по времени.
В результате вычисления компонент деформаций (2) на основе функций (1), вариаций затем компонент тензора напряжений из закона состояния (3) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций после интегрирования по переменной z получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:
=
.
v = vxvy)] + vy)
.
= (5)
+ +
,
где введены следующие обозначения:
(6)
, (7)
поправочный коэффициент, а К - модуль объемного расширения.
Буквенные индексы в системе (5), как и ранее, определяют производную по соответствующей переменной.
Заменим интегральные операторы в формулах (6) и (7) дифференциальными, разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням (), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что допустимо для .
В результате получим аппроксимации:
, , (8)
где введены операторы
, ,
действующие на функцию по правилу
, .
Обозначим через А амплитуду колебаний, а через l - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый параметр . Заменим в системе (5) и их приближениями (8) и исследуем полученные уравнения асимптотическим методом. Для этого перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным
, v = v*,
, , . (9)
Представим неизвестные функции асимптотическими разложениями, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:
v = (v1 + v2 +…) (10)
Допустим, что величины , , - одного порядка малости и подставим разложения (10) в безразмерные уравнения пластины. Учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получим систему уравнений:
, (11)
= 0. (12)
Из уравнения (12) следует, что
(13)
где , .
Из уравнения (4.11) в силу формулы (4.13) определим скорость волны
(14)
Для вторых членов разложений (10 )получим систему трех уравнений
v +
, (15)
v = v+ , (16)
v) +
(17)
После интегрирования уравнения (16) по переменной и применения формулы (13), приходим к равенству v= .В силу последнего равенства и формулы (13) уравнение (17) после его дифференцирования по приведем к виду:
+ (18)
Учитывая формулу (14), легко установить, что последние три слагаемых в уравнении (15) равны левой части уравнения (18), умноженной на величину .
Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем
v++ (19)
Выполняя тождественные преобразования в уравнении (19) и вводя обозначение , приходим к уравнению Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса
, (20)
где введены обозначения
,
.
Перейдем к рассмотрению физически нелинейной вязкоупругой пластины. Как и в линейном случае, рассмотрим неограниченную пластину толщиной , свободную от внешних воздействий, а перемещения точек пластины аппроксимируем функциями
v; (21)
Используя (21) и тензор деформаций Лагранжа
, (22)
вычислим компоненты тензора конечных деформаций.
Реологические свойства пластины зададим уравнениями квадратичной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро [2].
,(23)
где - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций, - объемное расширение, - компоненты девиатора деформаций, - символы Кронекера, - реологические параметры, - упругие постоянные Ламе, - квадрат интенсивности деформаций.
В результате вычисления компонент деформаций (22) на основе функций (21), вариаций затем компонент тензора напряжений из закона состояния (23) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций после интегрирования по переменной z получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:
=
v = vxvy)] + vy)
= (24)
+ +
,
где введены следующие обозначения:
(25)
, (26)
а - поправочный коэффициент.
Упростим дальнейшее исследование системы (24), заменяя интегральные операторы в формулах (25) и (26) дифференциальными путем разложения функций , , в ряды Тейлора по степеням (), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что возможно для .
В результате получим приближения
, , (27)
где введены операторы
, ,
действующие на функцию по правилу
,
.
Для исследования уравнений движения (24) применим асимптотический метод. Обозначим через амплитуду колебаний, а через - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый параметр . Заменим в системе (24) и их приближениями (27) и перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным
, v = v*,
, , . (28)
Представим искомые функции в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:
v = (v1 + v2 +…) (29)
Допустим, что величины , , - одного порядка малости, а реологическая постоянная - порядка .
Подставляя разложение (29) в безразмерные уравнения пластины и учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получаем
, (30)
= 0, (31)
Из уравнения (31) следует, что
(32)
где , .
Из уравнения (30) в силу равенства (32) определяем скорость
(33)
Для следующих членов разложений (29) получим систему трех уравнений
v +
(34)
v = v+ (35)
v) +
(36)
После интегрирования уравнения (35) по переменной и применения формулы (32), приходим к равенству v= .В силу этого равенства и формулы (32) уравнение (36) после его дифференцирования по приведем к виду
+ (37)
Учитывая формулу (33), легко видеть, что последние три слагаемых в уравнении (35) равны левой части уравнения (37), умноженной на величину .
Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем
v++ (38)
Выполняя преобразования в уравнении (38) и вводя обозначение , приходим к модифицированному уравнению Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса
, (39)
где введены обозначения
,
,
.
Список литературы
1. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с.
2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М., 1972.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Рассмотрение теории нелинейной теплопроводности: основные свойства, распространение тепловых возмущений в нелинейных средах и их пространственная локализация. Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглощением и пример ее решения на полупрямой.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 07.05.2011Влияние числа Био на распределение температуры в пластине. Внутреннее, внешнее термическое сопротивление тела. Изменение энергии (энтальпии) пластины за период полного ее нагревания, остывания. Количество теплоты, отданное пластиной в процессе охлаждения.
презентация [394,2 K], добавлен 15.03.2014Исследование колебаний гибких однослойных и двухслойных прямоугольных в плане оболочек с позиции качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Расчет параметров внешнего воздействия, характеризующих опасный и безопасный режимы.
статья [657,5 K], добавлен 07.02.2013Баллистика движения материальной точки в случае нелинейной зависимости силы сопротивления от скорости. Зависимости коэффициента лобового сопротивления от числа Рейнольдса для шара и тонкого круглого диска. Расчет траектории движения и силы сопротивления.
статья [534,5 K], добавлен 12.04.2015Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра. Начальные и граничные условия, константы интегрирования. Конвективная теплоотдача от цилиндра к жидкости. Условия на оси пластины. Графическое решение уравнения охлаждения и нагревания пластины.
презентация [383,5 K], добавлен 18.10.2013Математическое моделирование тепловых процессов. Основные виды теплообмена в природе. Применение метода конечно разностной аппроксимации для решения уравнения теплопроводности. Анализ изменения температуры по ширине пластины в выбранные моменты времени.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 22.05.2019Начальные параметры ударной волны, образующейся движением пластины. Параметры воздуха на фронте ударной волны в момент подхода волны к преграде. Расчет параметров продуктов детонации в начальный момент отражения от жесткой стенки и металлической пластины.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 20.09.2011Процесс охлаждения и нагревания пластины и бесконечного цилиндра. Интенсивное наружное охлаждение. Коэффициент теплопроводности пластины и конвективной теплоотдачи. Внутреннее и внешнее термическое сопротивление. Безразмерная избыточная температура.
презентация [311,0 K], добавлен 18.10.2013Расчет амплитуды и частоты периодических режимов графоаналитическим методом гармонического баланса. Применение численных методов решения системы двух алгебраических уравнений. Цифровое моделирование системы и получение временной диаграммы на ЭВМ.
курсовая работа [622,7 K], добавлен 12.02.2008Действующие нагрузки и размеры жёсткой пластины, имеющей две опоры - шарнирно-неподвижную и подвижную на катках. Расчет числовых значений заданных величин. Составление уравнений равновесия, вычисление момента сил. Определение реакции опоры пластины.
практическая работа [258,7 K], добавлен 27.04.2015