Математическая модель продольных колебаний и эволюционные уравнения для линейно-вязкоупругого стержня

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кубанский государственный аграрный университет

математическая модель продольных колебаний И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ

Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук

Математическая модель продольных колебаний построена на основе вывода и анализа эволюционных уравнений для линейно-вязкоупругого стержня.

Бесконечный стержень, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий, отнесен к системе координат. Ось x расположена вдоль оси стержня, а оси y и - в одном из поперечных сечений.

Перемещения точек стержня аппроксимируются с помощью функций

,,,(1)

где - соответственно перемещения по осям x, y, z; - время, - коэффициент Пуассона.

Буквенные индексы переменных функции (1) определяют частную производную от функции по указанной переменной, т. е. , и т.д.

Конечные деформации стержня задаются тензором Грина

(2)

а физико-механические свойства - уравнениями линейной вязкоупругости:

,(3)

стержень волна деформация

где соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; ? среднее напряжение, объемное расширение, ? модуль объемной деформации, параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е модуль Юнга; коэффициент Пуассона.

При условии >>1 интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальным разложением функции в ряд Тейлора по степеням () с сохранением двух слагаемых. В результате получаются приближенные формулы для компонент напряжений

,(4)

где введен оператор L, определяемый равенством и действующий на функцию по правилу , а ? параметр Ламе.

В развернутом виде:

;

;

;

,

, , , ,

, .

Уравнения движения стержня выводятся из принципа виртуальных работ:

,(5)

где точкой обозначена производная по t, плотность материала стержня, вариации деформаций, - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

С учетом (1), (2), (4) определяется вариация внутренней энергии стержня

+.

Уравнение движения стержня получается из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии

и преобразуется к безразмерным переменным

, , , , ,

где - амплитудный параметр возмущения, , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса.

Допустим, что - малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков

, .

В результате сохранения членами порядка не выше получается безразмерное уравнение движения стержня:

. (6)

Для анализа уравнения (6) применяется метод возмущений. Функция представляется в виде асимптотического разложения

.(7)

После подстановки (7) в уравнение (6) и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении запишем:

.

Согласно условию , из последнего уравнения определяется скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне:

.(8)

Из формулы (8) при , т. е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне: .

Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы u удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргерса:

,(9)

, , .

Точное решение уравнения (9) можно представить:

,

, , , , имеет знак , , .

При запишем неравенства вида , .

Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом и уравнение примет вид:

.

Из условия следует, что ,

, а .

При .

Производная .

Критические точки функции определяются уравнением

,

и функция будет максимальна в точке, определенной значением , являющимся корнем уравнения .

Тогда максимальное значение функции

.

Рис. 1. Зависимость деформаций от перемещений

Зависимость деформации от перемещения качественно представлена на рисунке, где введены обoзначения:

При переходе к размерным переменным вычисляется поправка к скорости распространения волны, равная .

Размещено на Allbest.ru