Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 622.011.43

Кубанский государственный аграрный университет

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО МАССИВА, СОДЕРЖАЩЕГООСЕСИММЕТРИЧНУЮ ПОЛОСТЬ

Аршинов Г. А. - к. ф.-м. н.

Рассматривается конечно-элементная модель расчета напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, содержащего осесимметричную полость.

Модель строится из следующих соображений. Допустим, что в упругом однородном изотропном полупространстве образована осесимметричная (с вертикальной осью симметрии) полость с центром на глубине Н и максимальным характерным размером а. Предполагая, что а/Н<<1, и учитывая малость влияния полости на напряженное состояние окружающего ее массива вне шара (центры полости и шара совпадают) радиуса 4а, заменим весомое полупространство, содержащее емкость, невесомым круглым цилиндром с полостью, по верхнему торцу и боковой поверхности которого равномерно распределены сжимающие усилия ( - объемный вес массива) и , а нижний торец опирается на жесткое основание. Выделенную область массива с полостью аппроксимируем совокупностью кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и в силу осесимметричности рассмотрим лишь половину меридионального сечения полученной аппроксимации (рис. 1в). При наличии у полости экваториальной плоскости симметрии достаточно рассмотреть четверть указанного сечения (рис. 1а).

Предположим, что конечно-элементная идеализация содержит Е треугольников и G узлов, будем нумеровать узлы (вершины) треугольников 1, 2, 3 против часовой стрелки.

Рисунок 1 - Конечно-элементная аппроксимация выделенной области

Для удобства дальнейшего изложения воспользуемся матричной символикой [1]. Функцию перемещений аппроксимируем следующим образом:

,(1)

где u, - вектора-столбцы, компоненты которых суть проекции вектора смещений и его аппроксимации на оси координат , Oz; - вектор узловых смещений е-го треугольника.

Коэффициенты определяются через координаты узлов элемента:

.(2)

Циклической перестановкой индексов в порядке 1, 2, 3 в (2) получаются остальные коэффициенты. Используя (1) и формулы Коши, представим вектор деформаций элемента в виде

(3)

где , i=1, 2, 3,

а - вектор узловых перемещений е-го элемента.

По закону Гука

,(4)

где , а - параметры Ламе.

Решение смешанной краевой задачи в случае ее осесимметричности минимизирует функционал энергии:

, (5)

где f, p - вектора массовых и поверхностных сил, V - область, в которой ищется решение, S - граница V. Принимая во внимание (3) и (4), получим аппроксимацию функционала (5):

, (6)

где матрица называется матрицей жесткости е-го конечного элемента, а матрица

.

Введем матрицы размером , компоненты которых либо нуль, либо единичные. Для любого m-го узла е-го элемента, совпадающего с i-м узлом в глобальной нумерации узлов конечно-элементной сетки, компоненты и равны 1. После перебора всех элементов и присвоения компонентам единицы согласно указанному правилу, оставшиеся компоненты приравниваются к нулю. Если

. (7)

Учитывая (7), запишем (6) в виде

или

. (8)

Функционал (8) принимает минимальное значение, если ; I =1,2,…,.

Эти условия сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора глобальных узловых перемещений

, (9)

напряжение деформация осесимметричный полость

матрица коэффициентов которой К называется матрицей жесткости системы конечных элементов. Решение позволяет установить деформации и напряжения по формулам (3), (4).

Иногда в элементах полезно задавать начальные деформации или напряжения, тогда видоизменяется связь (4), которая в этих случаях соответственно имеет вид:

,(10)

где и - начальные деформации и напряжения, а к правой части (9) добавится слагаемое Q, соответственно равное

,(11)

Или

.(12)

После решения системы напряжение вычисляются согласно (10).

Список литературы

1. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. - М. : Мир, 1975.

Размещено на Allbest.ru