Математическая модель продольных колебаний для нелинейно-вязкоупругого стержня

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая модель продольных колебаний для нелинейно-вязкоупругого стержня

Аршинов Г.А.

В бесконечном стержне, свободном от внешних воздействий, отнесенном к системе координат с осью x, расположенной вдоль осевой линии стержня, и осями y, - в одном из поперечных сечений, перемещения точек стержня аппроксимируются функциями

,,,(1)

где - соответственно перемещения по осям x, y, z; - время, - коэффициент Пуассона,

.

Деформации стержня задаются тензором Грина:

(2)

где

Реологические свойства стержня определяются уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [1]:

,(3)

где , - параметры Ламе, - объемное расширение, - символы Кронекера

- компоненты девиатора деформаций, -реологические константы материала,

- интенсивность деформаций.

Интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальными путем разложения функций

в ряд Тейлора по степеням .

При условии быстрого затухания памяти материала в разложениях можно сохранить два слагаемых ряда и записать

где введены операторы

,,

действующие на функцию по правилам

,.

Компоненты девиатора деформаций:

,

,

,

,

где

.

Уравнение движения стержня выводится из вариационного принципа так же, как в работе [2], и преобразуется к безразмерным переменным

, , , , ,

где - амплитудный параметр возмущения, , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны,

- характеристика нелинейности волнового процесса.

Если длина волны l значительно превосходит амплитудный параметр А, т. е.

- малый параметр, а поперечные размеры стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков

, , ,

где - характерный размер поперечного сечения,

то безразмерное уравнение движения стержня примет вид:

+(4)

+,

где

,

а звездочки отброшены.

Функцию представим в виде асимптотического разложения:

и подставим в уравнение (4). Из нулевого приближения следует уравнение:

,

где - модуль упругости.

Так как то скорость распространения волны

Из первого приближения вытекает модифицированное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса:

,(5)

где

,, , .

Точное решение уравнения (5) находится из сингулярного многообразия

,(6)

где - неизвестные функции независимых переменных.

Подстановка (6) в уравнение (5) дает

,

где функция удовлетворяет уравнению (5).

В результате

.

Подстановка в последнее равенство функции

приводит к точному решению уравнения (5) в виде:

, (7)

где

- произвольный параметр.

Далее исследуются случаи, когда полученное решение описывает структуру ударных волн.

Пусть

и ,

тогда

и

.

В итоге

.

Если , то при выбранных условиях в стержне возникает уединенная ударная волна растяжения , если - волна сжатия .

Пусть

и ,

тогда

и

.

В результате

.

Если или , то при указанных условиях в оболочке возникает ударная волна растяжения .

Если или , то при выбранных условиях - ударная волна сжатия .

Из проведенного исследования следует: как при , так и в случае выполнения условия в физически и геометрически нелинейном вязкоупругом стержне возникает уединенная ударная волна растяжения. Если выполняется условие , то образуется ударная волна сжатия.

Как и в линейном случае [2], при переходе к размерным переменным получается поправка к скорости распространения волны .

физический геометрический реологический грин

Список литературы

1. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.

2. Аршинов Г.А. Математическая модель продольных колебаний и эволюционные уравнения для линейно-вязкоупругого стержня // Научный журнал КубГАУ. 2004. № 3 (5). http: // ej. kubagro. ru.

Размещено на Allbest.ru