Точечные дефекты типа вакансий имеются в каждом кристалле, как бы тщательно он ни выращивался. Более того, в реальном кристалле вакансии постоянно зарождаются и исчезают под действием тепловых флуктуаций. По формуле Больцмана равновесная концентрация вакансий n_вв кристалле при данной температуре (Т) определится так:

,

где п- число атомов в единице объема кристалла, е - основание натуральных логарифмов, k- постоянная Больцмана, Е_В - энергия образования вакансий.

Для большинства кристаллов энергия образования вакансий примерно равна 1 эв, при комнатной температуре kT0,025 эв, следовательно,

.

При повышении температуры относительная концентрация вакансий довольно быстро растет: приТ= 600° К она достигает 10^-5, а при 900° К - 10^-2_.

Аналогичные рассуждения можно сделать относительно концентрации дефектов по Френкелю, с учетом того, что энергия образования внедрений значительно больше энергии образования вакансии.

Дислокации

К линейным дефектам кристаллической решетки относятся дислокации. Простейшими видами дислокаций являются краевая и винтовая дислокации. Об их характере можно судить по рисунку 1.14.

На рисунке 1.14а изображено строение идеального кристалла в виде семейства параллельных друг другу атомных плоскостей. Если одна из этих плоскостей обрывается внутри кристалла (рисунок 1.14 б), то место обрыва ее образует краевую дислокацию. В случае винтовой дислокации (рисунок 1.14в) характер смещения атомных плоскостей иной.

Здесь нет обрыва внутри кристалла какой-нибудь из атомных плоскостей, но сами атомные плоскости представляют собой систему, подобную винтовой лестнице.

По существу, это одна атомная плоскость, закрученная по винтовой линии. Если обходить по этой плоскости вокруг оси винтовой дислокации, то с каждым оборотом будем подниматься или опускаться на один шаг винта, равный межплоскостному расстоянию.

Любая конкретная дислокация может быть представлена как сочетание краевой и винтовой дислокаций.

Дислокации, являясь протяженными дефектами кристалла, охватывают своим упругим полем искаженной решетки гораздо большее число узлов, чем атомные дефекты. Ширина дислокации составляет всего несколько периодов решетки, а ее длина достигает многих тысяч периодов. Энергия дислокаций оценивается величиной порядка 410^-19 Джна 1 мдлины дислокации. Энергия дислокаций, рассчитанная на одно межатомное расстояние вдоль длины дислокации, для разных кристаллов лежит в пределах от 3 до 30 Эв. Такая большая энергия, необходимая для создания дислокаций, является причиной того, что число их практически не зависит от температуры. В отличие от вакансий, вероятность возникновения дислокаций за счет флуктуации теплового движения пренебрежимо мала для всего интервала температур, в котором возможно кристаллическое состояние.

В недеформированных металлических кристаллах через площадку в 1 см²проходит 10⁶ - 10⁸ дислокаций, при пластической деформации плотность дислокаций возрастает в тысячи, а иногда и в миллионы раз.

Важнейшим свойством дислокаций является их легкая подвижность и активное взаимодействие между собой и с любыми другими дефектами решетки. Для того, чтобы вызвать движение дислокации, достаточно создать в кристалле напряжение сдвига порядка 10 Н/мм².Уже под влиянием такого небольшого напряжения дислокация будет перемещаться в кристалле, пока не встретит какого-либо препятствия, которым может быть граница зерна, другая дислокация, атом внедрения и т.д. При встрече с препятствием дислокация искривляется, огибает препятствие, образуя расширяющуюся дислокационную петлю, которая затем отшнуровывается и образует отдельную дислокационную петлю. Причем в области обособленной расширяющейся петли остается отрезок линейной дислокации (между двумя препятствиями), который под воздействием внешнего напряжения снова будет изгибаться, и весь процесс повторится снова. Таким образом, при взаимодействии движущихся дислокаций с препятствиями происходит рост числа дислокаций.

Границы зерен

Поликристаллы состоят из большого числа мелких монокристаллических зерен, разделенных некоторыми зонами перехода, получившими название границ зерен.

Граница зерна представляет собой поверхность между двумя монокристаллами различной ориентации, примыкающими друг к другу таким образом, что отсутствует нарушение сплошности вещества.

Долгое время считалось, что это аморфный слой толщиной в несколько десятков нанометров. Однако к настоящему времени надежно установлено, что ширина области «плохого» материала на границе между зернами не превышает одного - двух межатомных расстояний.

Границы с разориентацией соседних зерен менее 10° относятся к малоугловым, а с большей разориентацией - к высокоугловым. Все субзеренные границы состоят из дислокаций.

Малоугловые границы возникают при росте кристаллов из расплава и при пластической деформации. Малоугловая граница притягивает к себе точечные дефекты, в том числе и примесные атомы, вследствие упругого взаимодействия с ними дислокаций, составляющих границу. Примесные атомы тормозят миграцию малоугловых границ, стабилизируя субструктуру.

Границы зерен, выросших из разных центров при кристаллизации и фазовых превращениях в твердом состоянии, чаще всего бывают высокоугловыми.

Границы зерен оказывают существенное влияние на многие свойства кристаллов, в частности на электропроводность, поглощение ультразвука, оптические свойства и т. д. Наличие границ приводит к тому, что в поликристаллах коэффициент диффузии примесей значительно больше, чем в монокристаллах.

1.5 Механические свойства твердых тел

Механические свойства твердого тела отражают его реакцию на воздействие некоторых внешних факторов. В простейшем случае такими внешними факторами являются механические воздействия: сжатие, растяжение, изгиб, удар, кручение. Механические свойства определяются, в первую очередь, силами связи, действующими между атомами или молекулами, составляющими твердое тело.

Напряжения

Если тело находится под действием внешних сил, то в каждой его точке возникают механические напряжения. В этом случае говорят, что тело находится в напряженном состоянии. Если в таком теле выделить какой-либо элемент объема, то на него действуют два типа сил:

1) объемные силы (например, сила тяжести), действующие на все элементы тела; их значение пропорционально объему элемента;

2) силы, действующие на поверхность элемента со стороны окружающих его частей тела. Эти силы пропорциональны площади поверхности элемента. Такую силу, отнесенную к единичной площади, называют напряжением.

Например, при осевом растяжении изотропного цилиндрического стержня (рисунок 1.16) в условиях статического равновесия внешняя сила F уравновешивается внутренней силой сопротивления:

.

При описании напряженного состояния будем считать, что напряжение во всем теле однородно, все части тела находятся в равновесии, объемные силы отсутствуют. Выберем любую точку О в объеме этого тела и вокруг нее построим бесконечно малый куб (рисунок 1.16).

Три взаимно перпендикулярных оси х, у, z, исходящие из этой точки, выберем в качестве прямоугольной системы координат. Поскольку в дальнейшем при написании формул удобнее оперировать цифрами, обозначим ось х цифрой 1, ось у - цифрой 2 и ось z - цифрой 3. Ребра элементарного куба параллельны осям Ox, Оу, Oz.

При равновесии силы, действующие на противоположные грани, равны, поэтому достаточно рассмотреть силы, действующие на три взаимно перпендикулярные грани. Каждое из напряжений, действующих на три непараллельные грани куба, раскладываем на одну нормальную составляющую и две касательные, т. е. лежащие в рассматриваемой грани.

Обозначим у_ij компоненту напряжения, действующую в направлении i на грань куба, перпендикулярную оси j. Напряжения у₁₁, у₂₂, у₃₃ - нормальные (растягивающие или сжимающие) напряжения; у₁₂, у₁₃, у₂₃ и т. д. - касательные (скалывающие или сдвиговые) напряжения.

Итак, напряженное состояние в точке характеризуется девятью величинами у_ij, которые являются компонентами тензора второго ранга - тензора механических напряжений:

.

Так как элементарный куб находится в состоянии равновесия, то можно показать, что у₁₂ = у₂₁, у₁₃ = у₃₁, у₂₃ = у₃₂. Отсюда следует, что из девяти компонент только шесть являются независимыми и тензор оказывается симметричным, т. е. компоненты, симметричные относительно главной диагонали тензора, равны между собой (у_ij= у_ji).

Напряженное состояние, возникающее в твердом теле, существенно влияет на процессы его деформации и разрушения. Важной характеристикой напряженного состояния является коэффициент «мягкости», равный отношению максимальных касательных напряжений к максимальным нормальным. Чем меньше этот коэффициент, тем «жестче» напряженное состояние. Касательные напряжения способствуют развитию пластической деформации, а нормальные - разрыву межатомных связей, хрупкому разрушению твердого тела.

Деформации

Деформация - изменение объема или формы твердого тела без изменения его массы под действием внешней силы. Деформация - это процесс, при котором изменяется расстояние между какими-либо точками тела. Простейшие виды деформации: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб.

Элементарной деформацией при одноосном растяжении цилиндрического образца является удлинение. При приложении растягивающей силы образец увеличивается в длине и уменьшается в диаметре. Обычно деформацию выражают в относительных единицах. Так, если образец имел начальную длину l₀ и l_k после приложения растягивающей силы (рисунок 1.17), то относительная деформация образца

Для полного описания деформированного состояния кроме удлинений (укорочений) необходимо знать сдвиги, возникающие под действием касательных напряжений. При механических испытаниях принято характеризовать деформации относительным изменением линейных размеров образцов, а также углом сдвига, т. е. углом, на который изменился первоначальный прямой угол элемента поверхности деформируемого тела или образца. Относительным сдвигом называют тангенс угла сдвига (рисунок 1.17):



Любая деформация может быть представлена в виде определенной комбинации сдвигов и удлинений. В общем случае деформированное состояние в выбранной точке характеризуется девятью величинами е_ij, которые являются компонентами тензора второго ранга - тензора деформаций:

.

Рассматривая случай объемной деформации твердого тела, выберем в качестве осей координат три ортогональные оси х, у, z с началом в точке О (см. рисунок 6.5). Пусть точка О после деформации осталась на месте, а все остальные точки тела изменили свои положения. Определим положение точки А (х, у, z) до деформации радиус-вектором . После деформации точка А (х, у, z) переместится в положение А^' (х^', у^', z^'), определяемое радиусом-вектором . Вектор называется вектором смещения, - компоненты вектора смещения по осям x, y, z.

Компоненты вектора смещения связаны с компонентами тензора деформаций соотношениями Коши:



, , ,

,

,

.

Компоненты , , задают относительное удлинение вдоль соответствующих осей, а компоненты , , задают изменения углов, вызванные приложением нагрузки.

Закон Гука для изотропных твердых тел

Основные закономерности поведения твердых тел в упругой области экспериментально впервые были изучены Р. Гуком. Им установлено, что при нагружении изотропного тела, когда деформации и напряжения достаточно малы, деформация пропорциональна приложенному напряжению (закон Гука):

Здесь - продольная деформация при растяжении; S - константа упругой податливости, или просто податливость; - напряжения.

Закон Гука можно записать и в такой форме:

,

где - константа упругой жесткости, или просто жесткость.

В литературе, особенно технической, часто называют модулем Юнга и обозначают , тогда



.

Закон Гука для сдвиговой деформации при действии касательных (скалывающих) напряжений имеет такой же простое вид, как и для случая растяжения:

.

где - модуль сдвига (или модуль упругости при сдвиге), - тангенс угла сдвига.

Закон Гука в приведенной выше форме определяет зависимость между напряжением и деформацией в одном и том же направлении, т. е. в направлении приложения внешней силы. Такая запись носит название элементарного закона Гука.

Однако деформация может возникать и в направлениях, отличных от направления приложения силы. В этих случаях закон Гука в элементарной форме уже недостаточен и необходимо воспользоваться обобщенным законом Гука. В самом деле, при одноосном растяжении цилиндрического образца происходит не только его удлинение в направлении приложенной силы, но и сжатие образца в поперечных направлениях, т. е. имеет место трехмерная деформация. Поперечная деформация при упругом растяжении или сжатии характеризуется коэффициентом Пуассона , равным отношению изменения размеров в поперечном направлении к их изменению в продольном направлении. Для большинства твердых тел значения лежат между 0,25 и 0,35.

Обобщенный закон Гука устанавливает линейную зависимость не только между одним напряжением и соответствующей деформацией, а между всеми компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформации.

Обобщенный закон Гука для изотропного тела записывают в следующем виде:

,

,

,

,

,

.

Константы упругости связаны между собой выражением

.

Таким образом, зная две константы, можно всегда определить третью.

Закон Гука для анизотропных твердых тел

Монокристаллические твердые тела являются телами анизотропными. В общем случае для монокристаллов любые произвольно выбранные направления по свойствам неэквивалентны. Как уже отмечалось, напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга, каждый из которых определяется девятью компонентами. Если деформация бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжения линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций.



В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных твердых тел. Математический закон Гука для монокристаллов запишется в виде

,

либо как

,

где и - константы податливости и жесткости кристалла соответственно. Всего будет 81 компонента и 81 компонента .

Величины и образуют тензор четвертого ранга. Тензор, составленный из коэффициентов , называют тензором упругой жесткости или просто тензором упругости. Тензор, составленный из коэффициентов , называют тензором упругой податливости.

Так как тензоры деформации и напряжения являются симметричными тензорами второго ранга ( и ), то независимых компонент и будет уже не 81, а только 36, поскольку в этом случае

,,

,.

Для кристаллов тензоры упругих модулей, каждый из которых составлен из 36 компонент, в свою очередь также являются симметричными, т. е. компоненты и симметричны и относительно перестановки пар индексов:



,

.

Наличие таких равенств приводит к тому, что в общем случае число независимых компонент тензоров упругих модулей сокращается с 36 до 21 - столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией.

При решении многих конкретных задач для упругих модулей полезна запись в матричных обозначениях, поскольку она уменьшает число индексов у компонентов.

При матричной записи двойное сочетание ij=m и kl=n заменяется одним индексом от 1 до 6 по следующей схеме:

11 - 1; 22 - 2; 33 - 3; 23, 32 - 4; 31, 13 -5; 12, 21 - 6.

Коэффициенты упругой жесткости и упругой податливости можно представить в виде таблиц:

,

.

Полное число упругих констант сокращается в зависимости от симметрии кристалла. Так, если кристалл обладает триклинной симметрией, то полное число упругих констант равно 21, а для кристаллов кубической симметрии оно равно 3. Основное свойство кубического кристалла состоит в том, что направления ±х, ±y, ±z взаимно перпендикулярны и полностью эквивалентны. Это приводит к тому, что для кубических кристаллов имеется лишь три независимые компоненты и набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице:

.

Однако, если образец кубического кристалла вырезан в каком-либо направлении, отличающемся даже на малый угол от основных кристаллографических направлений, то он общем случае приобретает свойства кристаллов триклинной системы.

1.6 Тепловые свойства твердых тел

Закон Дюлонга и Пти

Из молекулярной физики известно, что теплоемкость при постоянном объеме есть первая производная по температуре от внутренней энергии тела:

или для твердых тел

Допустим, что для твердого тела справедлива гипотеза о равномерном распределении энергии теплового движения по степеням свободы. Указанное допущение является применением классической теории теплоемкостей к твердому телу, и в соответствии с ним на каждую степень свободы приходится энергия е =1/2 kT.

В качестве модели выберем твердое тело, атомы которого совершают малые колебания около положения равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях. То есть он имеет три независимые степени свободы. Такой атом можно уподобить совокупности трех линейных гармонических осцилляторов. При колебании осциллятора последовательно происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Поскольку средняя кинетическая энергия, составляющая Ѕ kTна одну степень свободы, остается неизменной, а средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, то полная энергия осциллятора, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, будет составлять kT.

Тогда полная энергия колебания одного узла решетки выразится формулой

,

так как для поступательного движения точки число степеней свободы i= 3.

Тогда полная средняя тепловая энергия такой системы равна:

,

где k - постоянная Больцмана, N_A- число Авогадро, R- универсальная газовая постоянная.

Тогда теплоемкость, как приращение энергии, соответствующее повышению температуры на один градус, будет равна:

.

Таким образом, атомные теплоемкости всех химически простых кристаллических тел при достаточно высокой температуре одинаковы и равны 25 Дж•K^-1•моль^-1.

Эта закономерность давно известна в физике как закон Дюлонга и Пти. Французские физики Дюлонг и Пти, исследуя теплоемкости твердых тел, еще в 1819 г. (задолго до создания классической теории теплоемкостей) из опытных данных установили этот закон.

Таблица 1.6. Значения теплоемкости некоторых материалов при комнатной температуре

Элемент	С,Дж•K-1•моль-1	Элемент	С,Дж•K-1•моль-1
Алюминий	25,7	Серебро	25,7
Железо	26,8	Цинк	25,5
Золото	26,6	Йод	27,6
Медь	24,7	Кремний	19,4
Олово	27,8	Бор	10,5
Платина	26,3	Алмаз	5,7

Из таблицы 1.6 видно, что для многих твердых тел (главным образом металлов) комнатная температура уже является достаточно высокой, чтобы колебания атомов можно было рассматривать как независимые. Но для алмаза, бора и кремния получается большое отклонение от закона Дюлонга и Пти, следовательно, комнатная температура для них не является достаточно высокой. Атомная теплоемкость алмаза приближается к 25 Дж•K^-1•моль^-1 лишь при температуре около 1000° С.

Если аналогичные рассуждения произвести для ионных кристаллов, то можно сделать вывод, что двухатомные кристаллы должны иметьС = 50 Дж•K^-1•моль^-1, а трехатомные - С = 75 Дж•K^-1•моль^-1 и т. д. (в моле двухатомного кристалла содержится 2n_aузлов решетки, трехатомного - 3n_a). Эта закономерность оправдывается для ряда кристаллов (таблица1.7).



Таблица 1.7.Значения теплоемкости некоторых ионных кристаллов при комнатной температуре

Кристалл	С, Дж•K-1•моль-1
CuO	47,3
NaCl	50,7
СаС12	76,2
ВаС12	77,9

На первый взгляд кажется, что выводы классической теории теплоемкостей применительно к твердому телу дают хорошее совпадение с экспериментальными данными. Но более глубокое рассмотрение вопроса приводит к заключению о том, что эти выводы находятся в резком противоречии с опытом.

Серьезным недостатком этой теории является вывод о независимости теплоемкости твердого тела от температуры.

Так в соответствие с классической теорией:.На самом же деле теплоемкость уменьшается с понижением температуры и стремится к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю.Общий характер зависимости теплоемкости некоторых простых кристаллических тел от температуры графически изображен на рисунке 1.20.

Из рисунка 1.20 видно, что только при определенных достаточно высоких температурах теплоемкость твердых тел достигает величины 25 Дж•K^-1•моль^-1, соответствующей закону Дюлонга и Пти.

Теория теплоемкости Дебая

С позиции классической теории теплоемкости нельзя объяснить не только этот вопрос, но и сам факт изменения теплоемкости с температурой. Для объяснения этого факта необходимо принять модель твердого тела, предложенную Дебаем.



Исходя из этой модели можно сделать вывод, что теплоемкость твердого тела должна существенно уменьшаться при понижении температуры кристалла ниже его характеристической (дебаевской) температуры. То есть когда энергия, приходящаяся на одну степень свободы, становится недостаточной для возбуждения высокочастотных фононов. Следовательно, температура, при которой выполняется закон Дюлонга и Пти, должна быть выше характеристической температуры данного вещества. Значения характеристических температур для некоторых веществ приводятся в таблице 1.7.

Таблица 1.7. Значения характеристических температур для некоторых веществ

О том, что дебаевская температура не является абстракцией, введенной для пояснения квантовых представлений в модели твердого тела Дебая, а характеризует реальносуществующий параметр твердого тела, можно судить по рисунку 1.21.Исследуя вопрос о внутренней энергии кристаллов, Дебай нашел, что при температурах, близких к абсолютному нулю,внутренняя энергия твердого тела пропорциональна четвертойстепени абсолютной температуры

,

где а - постоянный множитель, зависящий от природы кристалла.

Из этого соотношения можно найти выражение для теплоемкости

.

Следовательно, вблизи абсолютного нуля теплоемкость твердого тела пропорциональна кубу абсолютной температуры. Эта закономерность носит название закона кубов Дебая.

Область применения закона кубов лежит ниже температуры, равной /50. При более высоких температурах от /50 до находится промежуточная область, для которой количественная связь между теплоемкостью и температурой определяется для каждого конкретного вещества отдельно. Выше характеристической температуры , как указывалось ранее, теплоемкость твердого тела не зависит от температуры (закон Дюлонга и Пти).

Опытные исследования теплоемкостей различных кристаллических тел при низких температурах показали, что закон кубов Дебая оправдывается не для всех кристаллов, а только для таких, для которых атомы вкристаллической решетке связаны со своими соседями примерно одинаково прочно во всех трех направлениях. Для слоистых кристаллов типа графита, в которых силы связи между соседними атомами внутри слоя значительно больше сил связи между ближайшими атомами из двух соседних слоев, теплоемкость при температурах, близких к абсолютному нулю, оказывается пропорциональной квадрату абсолютной температуры. Обнаружены и такие кристаллы, для которых теплоемкость около абсолютного нуля пропорциональна первой степени температуры. Такие кристаллы имеют нитевидное строение. Силы связи внутри нити много больше, чем между соседними нитями.

Теория Дебая приводит к выводам, которые хорошо совпадают с экспериментальными данными в широком интервале температур, но и она не свободна от недостатков. Трудно, например, согласиться с тем, что энергия кристалла отождествляется с энергией стоячих волн. В стоячей волне узлы и пучности закономерно распределены в пространстве, поэтому исключается возможность тепловых флуктуаций, совершенно неизбежных при тепловом движении. Дебаевская модель твердого тела является упрощенным представлением твердого тела в виде изотропной упругой среды, способной совершать колебания в конечном интервале частот. Поэтому и выводы этой теории (например, зависимость теплоемкости от температуры) хорошо совпадают с экспериментальными данными только для кристаллов с простыми решетками. К телам сложной структуры теория Дебая неприменима, так как энергетический спектр колебаний таких тел оказывается чрезвычайно сложным. В молекулярных кристаллах, например, кроме поступательно-колебательного движения молекулы как целого, приходится учитывать ее вращательные колебания и колебания атомов или групп атомов внутри молекулы.

Электронная теплоемкость

Рассмотрим простейший случай. Из классических представлений электронный газ можно рассматривать как идеальный газ. К последнему применим закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. То есть на каждый электрон приходиться энергии. Тогда, исходя из классических представлений, мы будем иметь суммарную теплоемкость



.

Полученное выражение не соответствует экспериментальным данным как для металлов, у которых высокая концентрация внешних электронов, так и для диэлектриков, для которых она стремится к нулю. В области высоких температур для всех твердых тел эксперимент дает примерно одинаковую теплоемкость, приблизительно равную 3R. То есть наше предположение о применимости к электронному газу классических представлений (в частности, закона равномерного распределения энергии по степеням свободы) является неправомерным.

Дело в том, что при определении электронной теплоемкости необходимо учитывать квантово-механический характер поведения электронов в решетке. Поэтому для нахождения вклада электрона в суммарную теплоемкость необходимо учитывать не все электроны данного кристалла, а лишь те, которые лежат в полосе шириной kT вблизи уровня Ферми. С учетом таких электронов электронная теплоемкость может быть представлена в виде . Тогда суммарная теплоемкость при низких температурах может быть представлена в виде:

,

где а иb- постоянные множители.

Таким образом, вблизи абсолютного нуля теплоемкость, связанная с колебаниями решетки, падает пропорционально Т³, а теплоемкость, обусловленная электронным газом, изменяется линейно. Поэтому вклад теплоемкости электронов при значительном понижении температуры становится определяющим.

Теплопроводность

Все твердые тела способны проводить тепло. Необходимым условием распространения тепла является наличие температурного градиента. Опыт показывает, что передача тепла по механизму теплопроводности происходит по нормали к изотермической поверхности от мест с большей температурой к местам с меньшей температурой.

Количество тепла, проходящее в единицу времени и отнесенное к единице площади изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока. Соответствующий вектор называется вектором теплового потока, направление которого противоположно температурному градиенту (оба вектора направлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположные стороны).

В изотропном твердом теле согласно закону Фурье плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры и связана с ним через коэффициент пропорциональности :

.

Знак «минус» указывает на противоположную направленность векторов теплового потока и градиента температур. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности и равен количеству тепла, протекающего в единицу времени через единицу поверхности при перепаде температуры на единицу длины нормали, равном одному градусу. Отсюда следует, что коэффициент теплопроводности в СИ имеет размерность Вт/(мК).

Для анизотропных тел в общем случае не совпадает с направлением нормали к изотермической поверхности, и закон Фурье в этом случае приобретает следующий вид:



,

где коэффициенты образуют симметричный тензор второго ранга:

.

Коэффициент теплопроводности всех известных веществ является функцией большого числа параметров: температуры, структуры или состояния вещества, внешних воздействий и т.д. Поэтому точное определение коэффициента теплопроводности расчетным путем установить очень сложно, и в подавляющем большинстве случаев эти значения определяются экспериментально.

1.7 Сверхпроводимость

В 1911 г. голландский физик Камерлинг-Оннес, измеряя электрическое сопротивление ртути при очень низких температурах, обнаружил, что при температуре 4,2 °К сопротивление ртути исчезает. На рисунке 1.22 изображена зависимость сопротивления ртути от температуры, полученная Камерлинг-Оннесом.

В дальнейшем было установлено, что и у других металлов и сплавов электрическое сопротивление при достаточном охлаждении становится равным нулю. Такое состояние проводника, при котором его электрическое сопротивление равно нулю, называется сверхпроводимостью, а вещества в таком состоянии - сверхпроводниками.

Сверхпроводники первого и второго рода

Различают сверхпроводники первого и второго рода.

Сверхпроводниками первого рода являются чистые металлы, всего их насчитывается более 20. Среди них нет металлов, которые при комнатной температуре являются хорошими проводниками (серебро, медь, золото), а, наоборот, сверхпроводниками являются металлы, обладающие сравнительно плохой проводимостью при комнатной температуре (ртуть, свинец, титан и др.).

Сверхпроводниками второго рода являются химические соединения и сплавы, причем не обязательно это должны быть соединения или сплавы металлов, в чистом виде являющиеся сверхпроводниками первого рода. Например, соединения MoN, WC, CuS являются сверхпроводниками второго рода, хотя Mo, W, Сu и тем более N, С и S не являются сверхпроводниками. Число сверхпроводников второго рода составляет несколько сотен и продолжает увеличиваться. Переход вещества в сверхпроводящее состояние происходит в очень узком температурном интервале и поэтому считают, что переход осуществляется при определенной температуреназываемой критической температурой перехода вещества в сверхпроводящее состояние. В таблице 9.1 даны критические температуры для некоторых сверхпроводников первого и второго рода. Максимальной критической температурой для сверхпроводников первого рода является 11,2 °К, а для сверхпроводников второго рода - 18 °К.

Внешнее магнитное поле совершенно не проникает внутрь сверхпроводника первого рода. Он является идеальным диамагнетиком. Но если напряженность внешнего магнитного поля достигнет некоторой величины Н_к, называемой критической напряженностью, то сверхпроводник скачком перейдет в нормальное состояние, и поле пронижет весь его объем. В сверхпроводник второго рода магнитное поле начинает проникать постепенно в виде «струй», как только напряженность его станет больше нижней критической напряженности.



Таблица 1.7. Критические температуры для некоторых сверхпроводников первого и второго рода

Сверхпроводники 1-го рода	Тк, °К	Сверхпроводники 2-го рода	Тк.°К
Ti	0,37	CuS	1,6
Zn	0,79	PbTl	3,8
Al	1,14	Mo2N	5
Tl	2,38	NbB	6
Sn (белое)	3,73	MoNe	8-12
Hg	4,15	NbTi	9,3
La	4,71	NbZr	10,5
V	5,1	V2Ga	14,5-16,5
Pb	7,22	V3Si	16,9-17,1
Tc	11,2	NbSn	18

Эти «струи» при увеличении напряженности внешнего магнитного поля сближаются, среднее значение напряженности увеличивается, и сверхпроводник постепенно переходит внормальное состояние. Величина напряженности магнитного поля, при которой сверхпроводник второго рода полностью переходит в нормальное состояние, называется верхней критической напряженностью. При этом сверхпроводник сохраняет нулевое сопротивление вплоть до верхней критической напряженности.

В сверхпроводниках электрический ток течет в тонком поверхностном слое, но, несмотря на это, допустимая плотность тока в них на несколько порядков выше, чем в нормальном состоянии. Величина допустимой плотности тока ограничена тем, что ток может разрушить сверхпроводящее состояние, если сила его превысит некоторое критическое для данного сверхпроводника значение I_к.

Если ток в сверхпроводнике первого рода превысит критический, то его сопротивление становится конечным, и ток начинает идти по всему сечению проводника. В сверхпроводники второго рода ток проникает постепенно, но сопротивление сверхпроводника остается нулевым до тех пор, пока ток не превысит верхнего критического значения. Величина критического тока в сверхпроводниках первого рода пропорциональна величине критической напряженности, а в сверхпроводниках второго рода эта зависимость не выполняется.

Деление веществ по их сверхпроводящим свойствам не является абсолютным. Любой сверхпроводник первого рода можно превратить в сверхпроводник второго рода, если создать в нем достаточную концентрацию дефектов кристаллической решетки. Например, у чистого олова Т_к= 3,7 °К, а если вызвать в олове резко неоднородную механическую деформацию, то критическая температура возрастает до 9 °К, а величина критической напряженности увеличивается в 70 раз. Введение в чистый металл посторонних атомов, пустых узлов, атомов в междоузлиях и других дефектов с концентрацией в несколько процентов тоже превращает сверхпроводник первого рода в сверхпроводник второго рода.

Критическая температура сверхпроводника Т_кзависит от его изотопного состава: при изменении изотопного состава сверхпроводника его критическая температура изменяется обратно пропорционально корню квадратному из среднего массового числа. Но также изменяется в зависимости от изотопного состава и температура Дебая, поэтому между температурами Т_ки И для сверхпроводников разного изотопного состава существует зависимость

,

которая прямо говорит о том, что сверхпроводимость связана со взаимодействием сверхпроводящих электронов с колебаниями кристаллической решетки.

Теплопроводность вещества при переходе его в сверхпроводящее состояние заметно уменьшается. Это можно объяснить тем, что электроны проводимости при этом переходят в особое состояние, в котором они перестают участвовать в теплопроводности.

Теория Бардина-Купера-Шифера

Теория, которая полностью объясняла все опытные данные, полученные при изучении сверхпроводящего состояния, была завершена к 1957 г. американскими учеными Бардиным, Купером и Шиффером.

Рассмотрим основные положения теории, позволяющие объяснить механизмы процессов в металле, приводящие к сверхпроводимости.

Сопротивление проводника в нормальном состоянии обусловлено тем, что направленное движение электронов проводимости, вызванное внешним электрическим полем, быстро затухает после прекращения действия поля вследствие рассеяния отдельных электронов на колебаниях решетки и ее дефектах. В сверхпроводнике направленное движение электронов продолжается и в отсутствие внешнего электрического поля. Объясняется это тем, что в металле при определенных условиях образуются пары электронов, между которыми существуют силы взаимного притяжения. Эти связанные электроны имеют противоположные импульсы и спины. Энергия связи электронов в паре равна 2w и пара может быть разрушена, если она получит квант энергии величиной

.

При разрушении пары образуются два отдельных электрона, каждый их них переходит на энергетический уровень, отстоящий от начального на w. Следовательно, в энергетическом спектре электронов проводимости в металле имеется энергетический зазор или щель шириной w.

В образовании связанных электронных пар участвует кристаллическая решетка металла. Взаимодействие электронов с решеткой, приводящее к образованию таких пар, описывается следующей схемой. Один электрон, взаимодействуя с кристаллической решеткой, переводит ее в возбужденное состояние и изменяет свой импульс. Второй электрон, также взаимодействуя с решеткой, переводит ее обратно в нормальное состояние и тоже изменяет свой импульс. В результате состояние решетки не изменяется, а между электронами, обменявшимися, по сути дела, фононом, возникает сила взаимного притяжения.

Из-за слабости силы взаимного притяжения среднее расстояние между электронами в паре оказывается равным нескольким тысячам межатомных расстояний в металле. Электроны каждой пары движутся в области, содержащей в то же время множество других пар.

Все эти пары не могут изменять свои состояния независимо друг от друга, иначе это привело бы к нарушению принципа Паули. Поэтому электронные пары движутся согласованно, электронные волны, описывающие их движение, имеют одинаковые длины и фазы.

В сверхпроводниках первого рода для всех сверхпроводящих электронов ширина энергетической щели одинакова и поэтому они либо все находятся в сверхпроводящем состоянии (связаны в пары), либо все одновременно переходят в нормальные состояния. В сверхпроводниках второго рода может существовать несколько групп сверхпроводящих электронов. Ширина энергетической щели у этих групп может лежать в интервале от нуля до некоторой максимальной для данного сверхпроводника величины.

Разрушение сверхпроводимости (переход отдельных групп электронов в нормальное состояние) в сверхпроводнике второго рода происходит постепенно, однако нулевое сопротивление он сохраняет до тех пор, пока в нем существует хотя бы одна группа сверхпроводящих электронов.

Рассмотренный механизм сверхпроводимости объясняет наблюдаемые на опыте свойства сверхпроводника. Отсутствие сопротивления в сверхпроводнике объясняется тем, что движение всех электронных пар в металле можно описать, как распространение одной (суммарной) электронной волны, которая не рассеивается решеткой потому, что решетка участвует сама в образовании этой волны, т. е. тепловые волны решетки согласованы с электронной волной.

Вытеснение магнитного поля связано с экранирующим действием тока сверхпроводящих электронов в тонком поверхностном слое сверхпроводника. Разрушение сверхпроводящего состояния магнитным полем можно объяснить разрушением сверхпроводящих пар. Электрон в магнитном поле приобретает дополнительную энергию Де, равную произведению магнитного момента электрона Р_в на напряженность внешнего магнитного поля Н (Де = Р_вН).

Если только эта энергия Деокажется больше ширины энергетической щели w(Де? w), электронные пары перейдут на уровни, соответствующие их нормальному состоянию, т. е. пары разрушатся. В сверхпроводниках первого рода, где все электронные пары имеют одинаковую энергию связи, пары разрушаются сразу, как только напряженность внешнего магнитного поля превысит критическую (Н?Н_к). В сверхпроводниках второго рода пары разрушаются постепенно по группам. Наличие различных групп сверхпроводящих электронов в этих сверхпроводниках связано с тем, что они образуются в результате взаимодействия электронов с различного рода дефектами решетки и с самой решеткой.

На границе двух сверхпроводников, разделенных тонкой диэлектрической пленкой (например, окисной) наблюдается интересное явление. Если толщина диэлектрической пленки составляет несколько межатомных расстояний, то электронные пары проникают через нее благодаря туннельному эффекту, и пленка оказывается сверхпроводящей. Но критический ток в пленке очень мал и сверхпроводимость в ней можно разрушить, пропуская через сверхпроводники ток, больший критического для диэлектрической пленки, но меньший критического для металлических сверхпроводников. В диэлектрике при прохождении электрического тока по цепи возникает разность потенциалов. При этом ток через контакт становится переменным и сопровождается электромагнитным излучением, частота которого находится из равенства

h=2q_еU,

где U- разность потенциалов в диэлектрике. Объясняется это явление тем, что электронные пары проходят через тонкий слой диэлектрика, не распадаясь. В электрическом поле, существующем в диэлектрике, пара приобретает энергию 2q_еU, а входя снова в сверхпроводник, она излучает эту энергию в виде фотона электромагнитного излучения с энергией hv. Это явление может быть использовано для генерации электромагнитных колебаний очень высокой частоты.

В теории сверхпроводимости было указано, что критическая температура для известных ранее веществ не может быть выше 20° К. Однако рассмотренный механизм образования сверхпроводящих электронных пар дает возможность предполагать, что более высокие критические температуры могут быть получены в искусственно созданных веществах с заданной структурой. Действительно в настоящее время известны факты возникновения сверхпроводящего состояния в веществах, находящихся при комнатной температуре.



2.. Практическая часть

2.1 Кристаллическая структура твердых тел

2.2 Дефекты в кристаллах

2.3 Механические свойства твердых тел



2.4 Тепловые свойства твердых тел



2.5 Электропроводность твердых тел



2.6 Сверхпроводимость твердых тел



Выводы

В ходе выполнения дипломной работы решены следующие задачи:

1. Разработаны модели по кристаллической структуре твердых тел;

2. Созданы демонстрационные модели по классификации кристаллов по типам сил связи;

3. Созданы демонстрационные модели по дефектам кристаллических структур;

4. Созданы flash-анимации по механическим свойствам твердых тел;

5. Созданы интерактивные модели по тепловым свойствам твердых тел;

6. Созданы демонстрационные модели по электропроводности твердых тел

7. Разработаны интерактивные модели по сверхпроводимости.



Библиографический список

1. Открытое дистанционное обучение // www.chem.msu.su

2. Компьютерные технологии в обучении // www.informatika.ru

3. Ч. Киттель. Введение в физику твёрдого тела. -- М.: Наука, 1978.

4. В. И. Зиненко, Б. П. Сорокин, П. П. Турчин. Основы физики твёрдого тела. -- М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. -- 336 с. -- ISBN 5-94052-040-5.

5. Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твёрдого тела: В двух томах / М.И Каганов. -- М.: Мир, 1979. -- 399 с.

6. Ч. Киттель. Введение в физику твёрдого тела. -- М.: Наука, 1978.

7. В. И. Зиненко, Б. П. Сорокин, П. П. Турчин. Основы физики твёрдого тела. -- М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001

8. Я. С. Уманский, Ю. А. Скаков, А. Н. Иванов, Л. Н. Расторгуев. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия. -- М.: Металлургия, 1982. -- 632 с. -- 13 000 экз.

9. М. П. Шаскольская. Кристаллография: Учебное пособие для втузов. -- М.: Высшая школа, 1984. -- 376 с. -- 16 000 экз.

10. С. С. Горелик, М. Я. Дашевский. Материаловедение полупроводников и диэлектриков: Учебник для вузов. -- М.: МИСиС, 2003. -- 480 с.

11. Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твёрдого тела: В двух томах / М.И Каганов. -- М.: Мир, 1979. -- 399 с.

12. Я. С. Уманский, Ю. А. Скаков, А. Н. Иванов, Л. Н. Расторгуев. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия. -- М.: Металлургия, 1982. -- 632 с. -- 13 000 экз.

13. М. П. Шаскольская. Кристаллография: Учебное пособие для втузов. -- М.: Высшая школа, 1984. -- 376 с. -- 16 000 экз.

14. С. С. Горелик, М. Я. Дашевский. Материаловедение полупроводников и диэлектриков: Учебник для вузов. -- М.: МИСиС, 2003. -- 480 с.

Размещено на Allbest.ru