Сохранение 4-х мерного тока в формализме, основанном на алгебре Клиффорда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сохранение 4-х мерного тока в формализме, основанном на алгебре Клиффорда

Бабаев Алимжан Холмуратович

кандидат физ. - мат. наук



В статье получены уравнения непрерывности и сохранения вихревого 4-х тока в новом формализме на основе обобщенной алгебры Клиффорда (на случай криволинейных координат).

Ключевые слова: внешнее и внутреннее произведения векторов; 4-х мерный электромагнитный ток; уравнение непрерывности; вихревой ток.

В классической физике электрический заряд и ток[1]

jⁱ=(g₀₀)^-0.5 •сc•(dxⁱ/dx⁰) (1)

не связаны с явными свойствами пространства, например, с метрикой пространства (искривленностью) и с особыми точками (сингулярностью). Плотность электрического заряда (с) вводится ниоткуда, как бы, сама собой разумеющаяся величина. Также закон сохранения заряда (уравнение непрерывности)

jⁱ_;i =(-g)^-0.5?_i((-g)^0.5jⁱ) =0 (2)

выводится [1] из уравнения неразрывности гидродинамики.

Было бы логично получить уравнение непрерывности для электромагнитного 4-х тока в рамках нового формализма на основе обобщенной алгебры Клиффорда, предложенной нами в предыдущей статье [2].

Новинка. В рамках данной концепции формализма при выводе сохраняющихся величин наряду с законом сохранения электрического заряда (уравнения непрерывности) появился и нетривиальный закон - закон сохранения вихревого 4-х тока. Говоря простым языком, сохраняется не только 4-х мерная дивергенция, но и «4-х мерный» ротор 4-х тока.

Теоретические основы

В статье [2] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=?A (3)

Если произведение базисных векторов в уравнении (3) разделить на внешнее и внутреннее произведения Клиффорда [2], то неоднородность векторного поля (3) в координатной форме имеет вид:

B= eⁱ*e^jD_iA_j+ eⁱ?e^jD_iA_j (4)

где eⁱ*e^j = g^ij - метрический тензор; eⁱ?e^j- антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

Таким образом, локальная неоднородность векторного поля состоит из:

а) деформации - eⁱ*e^jD_iA_j

б) вращения - eⁱ?e^jD_iA_j

Также в [2] был выведен общий вид единого уравнения электромагнитного поля:

?B=?(?A) (5)

и замена

?B= мT*A (6).

И, наконец, было введено математическое обозначение 4-х мерного тока:

J=?(?*A) (7)

уравнение ток клиффорд максвелл

В результате мы получили [2] единое уравнение электромагнетизма, которое объединяет две независимые системы Максвелла:



мT*A =?(?*A)+ ?*(??A)+ ????A (6)

где

????A=0 (7)

Результаты

Сохранение 4-х тока.

Чтобы получить уравнение непрерывности и сохранение вихревого 4-х тока берем градиент из уравнения (6). С учетом (7), запишем результат:

?(мT*A)= ?J +?(?*F) (8)

Согласно произведению Клиффорда, разделяя уравнение (8) на симметричную (внутреннее произведение) и антисимметричную (внешнее произведение) части, получим:

?*(мT*A)= ?*J +?*(?*F) (9)

??(мT*A)= ??J +??(?*F) (10)

1) уравнение непрерывности для 4-х тока.

В уравнении (9) имеет место равенство:

?*(?*F)=0 (11)

Доказательство (11) приведено в приложении 1.

Тогда из остатков уравнения (9) получим:

?*( C - J) =0 (12)

где C = мT*A.

Примечание:

Если C = const (в частности, C = 0 или ?*C малая величина), то мы получим классическое выражение уравнения непрерывности (2).

Предположим, что C ? const. Преобразуем уравнение (12).

Очевидно, что

?*C =?*(мT*A)=мg^nkD_n(g^ijT_kiA_j)= мg^nkg^ijT_ki;nA_j + мg^nkg^ijT_kiA_j;n=

= 0 + мg^nkg^ijT_kiA_j;n= мT^jnA_j;n

Так как мg^nkg^ijT_ki;n=0, то из уравнения (12) получим:

мT^k_n Aⁿ_;k =J^k_;k (13)

Уравнение (13) - в общем случае дифференциальная форма закона сохранения энергии - импульса в элементарном объёме.

Увеличение 4-х тока (J^k_;k>0) или уменьшение (J^k_;k<0) из-за внешнего воздействия приводит к увеличению или уменьшению деформации 4-х потенциала - мT^k_nAⁿ_;k [3].

Преобразуем (13):

мT^k_nAⁿ_;k = 0.5м(g^nkg^ijT_kiA_j;n+ g^nkg^ijT_kiA_j;n)= 0.5м(g^nkg^ijT_kiA_j;n + g^ijg^knT_ikA_n;j)= 0.5мg^nkg^ijT_ki(A_j;n + A_n;j)= 0.5мg^nkg^ijT_kiе_jn=0.5мT^ikе_ik

где е_jn =0.5(A_j;n + A_n;j) - 4-х мерный тензор деформации поля A.

Теперь уравнение непрерывности (13) можно записать в виде:

0.5м T^ik е_ik = J^k_;k (14)

Мы получили закон сохранения 4-х тока в общем случае (при наличии деформации поля) в рамках нового формализма. При этом закон сохранения электрического заряда не нарушается, так как суммарный заряд состоит из «истоков» (положительных) и «стоков» (отрицательных) зарядов [2]:

J^k_;k=? J^+k_;k+? J^-k_;k

2) сохранение вихревого 4-х тока.

Теперь рассмотрим уравнение (10). Так как в обозначении 4-х тока (7) произведение ?*A - есть скалярная величина, то имеет место равенство:

??J=0 (15)

Действительно

??J=(eⁿ?e^k)D_nD_k(D_iAⁱ)=0.5(eⁿ?e^k) (D_nD_k(D_iAⁱ)- D_kD_n(D_iAⁱ))=0

Уравнение (15) - есть закон сохранения вихревого тока.

Уравнение (15) запишем в «привычном» 3-х мерном виде:

eⁿ?e^k??_nJ_k= e^б?e⁰ ??_бJ₀+ ??₀(e⁰?e^бJ_б)+ e^в?e^м(??_вJ_м- ??_мJ_в)

где б,в,м=1,2,3,также в<м.

Согласно уравнению (11) в [2]

e^в?e^м(??_вJ_м- _мJ_в)=гE^вмл0e_л?e₀(??_вJ_м- ??_мJ_в)= -rotJ

и обозначая e⁰?e^бJ_б=- J; J₀=с; e^б?e⁰ ??_б=?,

запишем уравнение (15) в виде:

-?с +??_tJ+ rotJ=0 (16)

где с - плотность заряда, J - 3-х мерный ток, ?- трехмерный набла оператор.

Теперь этот закон покажем наглядно на рисунке 1. Предположим, что носителями тока являются положительные заряды.

Для простоты пусть с₁<с₂ и rotJ =щ, ??_t J=v.

На рисунке 1 показаны направление потока зарядов (-?с), который противоположен направлению градиента, направления ротора (rotJ =щ) и изменения по времени вектора 3-х тока (??_t J=v), направление вращения ротора тока (сплошная линия с направлением по кругу).

Если -?с+v >0, т.е. если суммарный вектор направлен вверх, то ротор будет направлен вниз, и вращение потенциала будет против часовой стрелки (если смотреть снизу вверх).

Если -?с+v <0, то ротор направлен вверх, а вращение поля будет по часовой стрелке.

Таким образом, изменение суммарного вектора -?с+v будет компенсироваться ротором.

Рассмотрим оставшуюся часть уравнения (10) (без ??J=0):

??(мT*A)= ??(?*F) (17)

Уравнение (17) дает уравнение Эйнштейна. Действительно,



??(?*F)= ??(?*(??A))= eⁿ? ??_n(e^k*(eⁱ?e^j) ??_k??_i A_j)

Согласно формуле cross - произведения векторов Клиффорда

x* (y?z)=(x*y)z- (x*z)y

из предыдущего уравнения получим:

eⁿ? ??_n(e^k*(eⁱ?e^j) ??_k??_i A_j)=eⁿ???_n(g^kie^j??_k??_iA_j -g^jieⁱ??_k??_iA_j) =

=eⁿ?e^j??_n(??_k??^k A_j) - eⁿ?eⁱ??_n(??_j??_iA^j)=eⁿ?e^j??_n(?A_j) - eⁿ?eⁱ??_n(??_j??_iA^j)

Произведем замены:

?A_j=(Л+0.5R)д^m_jA_m и

??_j??_iA^j= ??_i??_jA^j -A^pR^j_pij= ??_i??_jA^j +A^pR_pi

Тогда уравнение (17) принимает вид:

eⁿ?e^j??_n(мT_jiAⁱ) =eⁿ?e^j??_n((Л+0.5R)д^m_jA_m) - eⁿ?eⁱ??_n(??_i??_jA^j +A^pR_pi).

Так как eⁿ?eⁱ??_n(??_i??_jA^j )=0 (15), то получим

eⁿ?eⁱ??_n(A^pR_pi) - eⁿ?e^j??_n((Л+0.5R)д^m_jA_m)+eⁿ?e^j??_n(мT_jiAⁱ) =0

Упрощая это равенство, получим тождество:

eⁿ?eⁱ??_n(A^j(R_ij - (Л+0.5R)g_ij+мT_ij)) =0,

так как выражение во внешней скобке (под дифференциалом ??_n) равно нулю (уравнение Эйнштейна).

Обсуждения и выводы

1. Уравнение непрерывности (14) означает, что изменение деформации поля порождает изменение 4-х тока. Также рождение пары частицы - античастицы порождает изменение деформации поля. При этом закон сохранения суммарного заряда не нарушается, так как общий заряд состоит из суммы положительных и отрицательных зарядов. Например, столкновение фотона с электрическим полем ядра порождает пару частицы - античастицы:

0.5мT^ikе_ik = ? J^+k_;k+? J^-k_;k (18)

2. Кроме сохранения 4-х мерной дивергенции 4-х тока (уравнение непрерывности - ?*( C - J) =0), оказывается, сохраняется и «4-х мерный» ротор 4- тока (??J=0 ).

3. В законе сохранения вихревого тока (16), если градиент равен нулю (?с=0), увеличение тока компенсируется направлением вихря тока (ротором rotJ):

0=rotJ+?_tJ

Если ток увеличивается, то вихрь тока пытается уменьшить рост тока. Если ток уменьшается, то вихрь тока пытается увеличить ток.

Если градиент не равен нулю (?с?0), то направление вращения вихря тока зависит от разности векторов ?с-?_tJ.

Возможно, этот закон имеет место не только для электромагнитных явлений, но также и для механических движений и термодинамических процессов. Например, движение жидкости (водовороты), атмосферных газов (смерч, торнадо и т.д.) тоже, может быть, подчиняются уравнению (16).

При механических процессах векторный потенциал (A) имеет смысл перемещения элементов среды, а «временная» компонента потенциала (A₀) - смысл плотности среды.

Приложение 1

Доказательство формулы (11).

?*(?*F)=eⁿ*??_n(eⁱ*e^je^k??_iF_jk)= eⁿ*e^k??_n(eⁱ*e^j??_iF_jk)= g^nkg^ij ??_n??_iF_jk=

Разложим F_jk и поменяем местами индексы k иj, также i и n в первом слагаемом (так как идет суммирование):

=g^nkg^ij(??_n??_i??_jA_k - ??_n??_i??_kA_j)= g^ijg^nk??_i??_n??_kA_j - g^nkg^ij ??_n??_i??_kA_j=

Учитывая дважды ковариантное дифференцирование тензора ??_kA_j, имеем:

= g^ijg^nk??_i??_n??_kA_j - g^nkg^ij ??_n??_i??_kA_j = g^ijg^nk(??_pA_jR^p_kin + ??_kA_pR^p_jin)=

= g^ijg^nk??_pA_jR^p_kin + g^ijg^nk ??_kA_pR^p_jin= g^ij??_pA_jR^p_i - g^nk ??_kA_pR^p_n=

= g^nk??_pA_kR^p_n - g^nk ??_kA_pR^p_n= ??_pA_kR^pk - ??_kA_pR^pk= ??_pA_kR^pk - ??_pA_kR^kp=0,

так как R^pk =R^kp,

где R_kp=g^ijR_kijp - тензор Риччи.

Утверждение (11) доказано.



Библиографический список

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, том 2. Москва, ФИЗМАТЛИТ, стр. 331-332.

2. Бабаев А. Х. Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. [Электронный ресурс] // SCI-ARTICLE.RU. 2016. URL: http://sci-article.ru/stat.php?i=1480330789 (дата обращения: 30.12.2016).

3. Алфутов Н.А., Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М., «Машиностроение», 1978. стр. 39 - 77.

Размещено на Allbest.ru