Эквивалентность неоднородной системы уравнений Максвелла и уравнений Эйнштейна

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эквивалентность неоднородной системы уравнений Максвелла и уравнений Эйнштейна

Бабаев Алимжан Холмуратович, кандидат физ.-мат. наук

Аннотация

В статье показана эквивалентность неоднородной системы Максвелла и уравнений Эйнштейна.

Ключевые слова: Алгебра Клиффорда; внешнее и внутреннее произведения векторов; уравнения Максвелла; уравнения Эйнштейна; 4-х мерный электромагнитный ток.

Введение

До сих пор продолжаются перспективные, но пока безуспешные попытки объединить гравитацию и электромагнетизм: М-теория[1], квантовая гравитация[2], теория струн[3], теория всего[4] и т.д.

Тем не менее, были очень изящные модели объединения гравитации и электромагнетизма. Например, в теории Калуцы-Клейна[5] была введена пятая размерность пространства. В результате, вместо метрического тензора g_ij размерности 4х4 был введен метрический тензор G_ij размерности 5х5. Дополнительные компоненты тензора G_ij отождествлялись с компонентами электромагнитного потенциала:

A_i = G_5i c²/2(G)^0.5

где c - скорость света; G - гравитационная постоянная.

В этой теории было рациональное зерно: предполагалось, что электромагнетизм является особым видом гравитации, но дальнейшие исследования привели к серьезным противоречиям с экспериментальными данными. Например, отношение заряда электрона к его массе оказалось намного меньше, чем на эксперименте. Также ненаблюдаемость пятого измерения пространства пытались объяснить топологической компактностью пространства.

Новизна. В данной статье дан вариант удачного объедения гравитации и электромагнетизма на основе обобщенной алгебры Клиффорда.

В статье [6] была дана мера локальной неоднородности векторного поля с потенциалом A:

B=?A (1)

С учетом Клиффорда произведения векторов [6] неоднородность векторного поля (1), в координатной форме, имеет вид:

B= eⁱ*e^jD_iA_j+ eⁱ?e^jD_iA_j (2)

где eⁱ*e^j = g^ij - метрический тензор; eⁱ?e^j- антисимметричный тензор второго ранга или бивектор.

Нами был выведен [6] общий вид единого уравнения электромагнитного поля:

?B=?(?A) (3)

Также мы предполагали, что

?B= мT*A (4)

и 4-х мерный ток имеет обозначение

J=?(?*A) (5)

В результате мы получили единое уравнение электромагнетизма, которое объединяет две независимые системы Максвелла:

мT*A =?(?*A)+ ?*(??A)+ ????A (6)

????A=0 (7)

Результаты уравнения Эйнштейна. Уравнение (3), кроме вида (6), можно записать в другой эквивалентной форме:

?B=(??)A=(?*?)A+(???)*A+????A

?B=?A+(???)*A+????A (8)

где ?=?*? - оператор Лапласа.

Мы уже доказали, что ????A=0.

Заменим ?A на

?A=e^kg^ijD_iD_jA_k = e^k (Л+0.5R)д^m_kA_m (9)

Умножение скалярной кривизны R на 0.5 связано с тем, что для гиперповерхности скалярная кривизна в два раза больше гауссовой кривизны. электромагнетизм максвелл эйнштейн

Л - постоянный коэффициент, часто называемый космологической постоянной.

Вычислим (???)*A в криволинейных координатах:

(???)*A=(eⁱ?e^j)*e^kD_i D_j A_k

Согласно двойному cross - произведению Клиффорда

(x?y)*z=(y*z)x - (x*z)y

получим:

(eⁱ?e^j)*e^kD_iD_jA_k =g^jkeⁱD_iD_jA_k - g^ike^jD_iD_jA_k =e^kg^ij(D_kD_jA_i - D_jD_kA_i)= e^k g^ijA_m R^m_ijk=- e^k A_m R^m_k

(eⁱ?e^j)*e^kD_i D_j A_k =e^k g^ijA_m R^m_ijk=- e^k A_m R^m_k (10)

Учитывая (7), (4), (9), (10) из уравнения (8), получим:

e^k м T^m_k A_m =(Л+0.5R)д^m_k A_m - e^k A_m R^m_k

Упрощая это равенство, получим уравнение Эйнштейна:

R^m_k- (Л+0.5R)д^m_k =- мT^m_k (11)

Знак перед коэффициентами Л и м=8рG/c⁴ принципиального значения не имеет.

Таким образом, мы получили уравнение Эйнштейна из неоднородного уравнения Максвелла.

Уравнение Эйнштейна можно получить и из уравнения непрерывности (закона сохранения 4-х мерного тока).

Обсуждения и выводы

1. Доказано, что уравнение Эйнштейна эквивалентно неоднородной системе Максвелла. Неоднородные уравнения Максвелла - есть уравнения для полевых величин (ток, тензор электромагнитного поля и потенциал), а уравнения Эйнштейна - есть уравнения для пространственных величин (метрический тензор, тензор кривизны, кривизны и тензор энергии-импульса).

2. Замена ?A=e^kg^ijD_iD_jA_k= e^k (Л+0.5R)д^m_kA_m (25) означает, что рассматриваются собственные векторы оператора Лапласа ?. Тогда коэффициент Л приобретает смысл собственных значений оператора ? при наличии гравитации (скалярной кривизны).

3. Замена ?B= мT*A означает, что тензор энергии-импульса - есть поворот, который приводит вектор ??A в мA в 4-х мерном пространстве.

Библиографический список

1. Гуков С.Г. Введение в струнные дуальности. УФН, М, 1998. Т.168, №7. стр. 705-717.

2. Фролов В.П. Квантовая теория гравитации. Москва. УФН. 1982. Т. 138. стр. 151.

3. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Суперструны - новый подход к единой теории фундаментальных взаимодействий. УФН. Т. 150. №4. М. 1986. стр. 489 - 524.

4. Вайнберг С. Мечты об окончательной теории. Dreams of a Final Theory - М. ЛКИ. 2008. стр. 256. ISBN 978-5-382-00590-4.

5. Ходос А. Теория Карлуцы - Клейна: общий обзор. УФН. 1985. Т.146. вып. 4.

6. Бабаев А. Х. Альтернативный формализм на основе алгебры Клиффорда. SCI-ARTICLE. Редакция №3 от 30.12.2016.

Приложение

Уравнение (8) запишем без ????A=0:

?B= ?*?A+(???)*A

Берем градиент от уравнения и рассмотрим только внутреннее произведение Клиффорда:

?*(?B) = ?*(?A)+ ?*((???)*A)

Уравнение запишем в координатном виде:

(?B)ⁿ_;n = (?Aⁿ)_;n -(AⁱRⁿ_i)_;n=(?Aⁿ)_;n - Aⁱ_;n Rⁿ_i-AⁱRⁿ_i;n

Так как Rⁿ_i;n =0.5R_;i то получим

(?B)ⁿ_;n = (?Aⁿ)_;n - Aⁱ_;n Rⁿ_i -0.5 AⁱR_;i=(?Aⁿ)_;n - Aⁱ_;n Rⁿ_i -0.5 Aⁱдⁿ_iR_;n

В уравнении заменим (?Aⁿ)_;n

(?Aⁿ)_;n=g^nkg^ij A_k;j;i;n= g^nkg^ij (A_k;j;n;i + A_p;jR^p_kin+ A_k;pR^p_jin)

Далее:

(?Aⁿ)_;n=g^nkg^ij A_k;j;n;i + g^nkg^ij A_p;jR^p_kin+ g^nkg^ijA_k;pR^p_jin=g^nkg^ij A_k;j;n;i + g^ij A_p;jR^p_i- g^nkA_k;pR^p_n= g^nkg^ij A_k;j;n;i + A_p;iR^pi- A_n;pR^pn= g^nkg^ij A_k;j;n;i + A_p;iR^pi - A_i;pR^pi = g^nkg^ij A_k;j;n;i + A_i;pR^ip - A_i;pR^pi

Отсюда

(?Aⁿ)_;n= g^nkg^ij A_k;j;i;n = g^nkg^ij A_k;j;n;i,

так как A_i;pR^ip - A_i;pR^pi=0 (R^ip= R^pi).

В уравнении поменяем местами индексы j и n:

(?Aⁿ)_;n= g^nkg^ij A_k;j;n;i= g^nkg^ij (A_k;j;n)_;i= g^nkg^ij (A_k;n;j + A_pR^p_kjn)_;i= g^nkg^ijA_k;n;j;i + g^nkg^ij (A_pR^p_kjn)_;i=Jⁱ_i + g^ij(A_pR^p_j)_;i

Так как J_j = g^nkA_k;n;j - 4-х мерный электромагнитный ток, тогда получим окончательно

(

?Aⁿ)_;n= Jⁱ_i + g^ijA_pR^p_{j ;i}+ g^ijA_p;iR^p_j

получим:

(?B)ⁿ_;n- Jⁿ_n = g^njA_iRⁱ_{j ;n}+ A_n;iRⁿⁱ- A_i;n Rⁿⁱ -0.5 Aⁱдⁿ_iR_;n

(?B)ⁿ_;n- Jⁿ_n = Aⁱ(Rⁿ_i -0.5дⁿ_iR)_;n

Учитывая уравнение непрерывности (закон сохранения 4-х тока)

Jⁿ_n =0

и предполагая

(?B)ⁿ_;n=0

получим

(Rⁿ_i -0.5дⁿ_iR)_;n=0

«Интегрируя» уравнение, также добавляя «константы» (относительно ковариантной производной), получим уравнение Эйнштейна:

Rⁿⁱ- 0.5 gⁿⁱ R+ Лgⁿⁱ = мTⁿⁱ

где Л - космологическая константа; м- коэффициент (константа).

Известно, что ковариантная производная тензора энергии-импульса и метрического тензора равна нулю:

Tⁿⁱ_;n =0 и gⁿⁱ_;n =0

Мы получили уравнение Эйнштейна.

Размещено на Allbest.ru