Расчет электростатического поля между линейным заряженным проводом и проводящим экраном

Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Кафедра “Теоретические основы электротехники”

Расчетное задание №2.

Расчет электростатического поля между линейным заряженным проводом и проводящим экраном

Выполнил студент гр. 33212/3

Лисюк А.С.

Проверил доцент кафедры ТОЭ

Варламов Ю.В.



1. Задание

электростатический провод экран заряженный

Построить картину плоскопараллельного электростатического поля заряженного линейного провода ф, проходящего вблизи проводящего экрана. Положение центра этого провода

z₀=.

Определить распределение индуцированного заряда по поверхности экрана. Найти емкость провода на единицу длины. Найти механическую силу, действующую на провод. Отметить линии равного потенциала, линии поля так, чтобы ?U=?V=ф/(е?m)=0.1. Число линий поля n=10. Число линий равного потенциала m=4.

Рисунок 1 Область D_z.

Таблица 1 Исходные данные.

Вариант	z0	b
4



Решение:

Отобразим заданную область на верхнюю полуплоскость . Известно, что это отображение реализуется преобразованием:

,

переводящим заряженную нить в точку.

Таким образом, координаты нити в области равны:

Линейным преобразованием отобразим полуплоскость на другую , в которой заряженная нить перейдет на ось ординат при единичном расстоянии от границы. Это линейное преобразование можно представить в виде:

В рассматриваемом примере

Заряженная нить в области расположена в точке



Обратный переход из области в область осуществляется по формулам:

Построим комплексный потенциал поля в -полуплоскости и в исходной области .

Искомый комплексный потенциал в области найдем, воспользовавшись методом зеркальных изображений и известной формулой комплексного потенциала уединенной заряженной нити. Используя принцип наложения, можно получить следующее выражение:

где - число, сопряженное . С учетом (3):

, формулу (6) можно переписать в виде:

Комплексный потенциал в исходной области получим подстановкой правой части (1) в (2) и далее правой части (2) в (7):



Построим картину поля в . Заметим, что правая часть формулы (7) не зависит от того, где расположен заряд в исходной области. Из этой формулы следует, что

При построении примем число трубок потока вектора напряженности равным n=4. Тогда значение потока в трубке:

, т.к. значение мы принимаем равным 1.

Обозначим номер линий напряженности через

.

Тогда для функции потока на линии с номером можно написать

Приращение потенциала при переходе от произвольной линии равного потенциала к соседней для картины поля с квадратными ячейками ( равно:

Пусть картина поля будет содержать эквипотенциальных линий (включая границу). Обозначим номер эквипотенциальной поверхности через , и пусть номер соответствует заземленной поверхности. Тогда потенциал для линии с произвольным номером можно вычислить по формуле:

, где

После подстановки (12) и (14) в выражение (9) получим:

,

причем - условный номер точки , в которой комплексный потенциал :

При этом в начале нумеруются точки (от экрана) на линии напряженности , далее (также от экрана) на линии , затем - на линии , и т.д. Общее число расчетных точек равно .

Чтобы трансформировать картину поля из области в область , необходимо отобразить ранее найденные точки в точки области по формулам (4) и (5).

Координаты всех точек во всех областях занесем в таблицу (табл.1). По данным точкам построим поля в (рис.2) и (рис. 1) областях.

Таблица 2 Данные для построения картины поля

k	kv	ku	W	щн	щ	Z1
1	0	0	0	?	j?	j?
2		1	0.1i	3.287i	-1.26+7.173i	1.149+4.281i
3		2	0.2i	1.796i	-1.26+3.918i	0.459+2.853i
4		3	0.3i	1.358i	-1.26+2.963i	0.219+2.394i
5	1	0	0.1	-3.078	-7.976	-3.356+3.356i
6		1	0.1+0.1i	-1.488+1.698i	-4.507+3.704i	-0.999+3.618i
7		2	0.1+0.2i	-0.539+1.481i	-2.437+3.232i	-0.262+2.841i
8		3	0.1+0.3i	-0.23+1.257i	-1.761+2.742i	-0.086+2.424i
9	2	0	0.2	-1.376	-4.263	-2.098+2.098i
10		1	0.2+0.1i	-1.063+0.749i	-3.579+1.635i	-1.25+2.498i
11		2	0.2+0.2i	-0.598+1.015i	-2.565+2.215i	-0.621+2.42i
12		3	0.2+0.3i	-0.311+1.051i	-1.938+2.294i	-0.303+2.261i
13	3	0	0.3	-0.727	-2.845	-1.549+1.549i
14		1	0.3+0.1i	-0.629+0.443i	-2.632+0.967i	-1.079+1.879i
15		2	0.3+0.2i	-0.431+0.731i	-2.2+1.595i	-0.655+2.012i
16		3	0.3+0.3i	-0.259+0.875i	-1.824+1.909i	-0.37+2.038i
17	4	0	0.4	-0.325	-1.969	-1.175+1.175i
18		1	0.4+0.1i	-0.292+0.333i	-1.897+0.727i	-0.832+1.484i
19		2	0.4+0.2i	-0.217+0.596i	-1.734+1.301i	-0.532+1.705i
20		3	0.4+0.3i	-0.141+0.77i	-1.567+1.68i	-0.316+1.839i
21	5	0	0.5	0	-1.26	-0.841+0.841i
22		1	0.5+0.1i	0.304i	-1.26+0.664i	-0.534+1.189i
23		2	0.5+0.2i	0.557i	-1.26+1.215i	-0.317+1.488i
24		3	0.5+0.3i	0.736i	-1.26+1.607i	-0.181+1.699i
25	6	0	0.6	0.325	-0.551	-0.452+0.452i
26		1	0.6+0.1i	0.292+0.333i	-0.623+0.727i	-0.134+0.958i
27		2	0.6+0.2i	0.217+0.596i	-0.786+1.301i	-0.021+1.369i
28		3	0.6+0.3i	0.141+0.77i	-0.953+1.68i	9.384*10^-3+1.638i
29	7	0	0.7	0.727	0.325	0.431
30		1	0.7+0.1i	0.629+0.443i	0.112+0.967i	0.452+0.87i
31		2	0.7+0.2i	0.431+0.731i	-0.32+1.595i	0.348+1.398i
32		3	0.7+0.3i	0.259+0.875i	-0.696+1.909i	0.221+1.687i
33	8	0	0.8	1.376	1.743	1.517
34		1	0.8+0.1i	1.063+0.749i	1.059+1.635i	1.21+1.12i
35		2	0.8+0.2i	0.598+1.015i	0.045+2.215i	0.721+1.667i
36		3	0.8+0.3i	0.311+1.051i	-0.582+2.294i	0.391+1.868i
37	9	0	0.9	3.078	5.456	3..57
38		1	0.9+0.1i	1.488+1.698i	1.987+3.704i	2.027+2.124i
39		2	0.9+0.2i	0.539+1.481i	-0.083+3.232i	0.879+2.245i
40		3	0.9+0.3i	0.23+1.257i	-0.759+2.742i	0.414+2.151i



Определим напряженность и распределение заряда на поверхности проводящего экрана. В плоскости комплексного переменного напряженность поля

в произвольной точке области вычисляется по формуле:

Модуль напряженности равен:

Выражение (20) удобно использовать для вычисления напряженности у поверхности экрана, т.к. в этом случае напряженность совпадает по направлению с нормалью к поверхности проводника. Плотность заряда индуктированного на проводящей поверхности экрана, равна

здесь производная вычисляется для точек на поверхности экрана.

Для рассматриваемого примера из формулы получаем



С учетом выражение для

В точке А:

В точке B:

В точке C:

Расчет электрической емкости линейного провода относительно экрана. Согласно заданному условию задачи провод имеет круговое сечение радиуса Построить аналитическое выражение для его емкости относительно экрана, имеющего форму, показанную на рис. 1, а, невозможно.

Для определения приближенного значения емкости воспользуемся следующими двумя положениями.

1. При конформном преобразовании электрическая емкость не меняется, т.е.

где - искомая емкость, а - емкость провода относительно проводящего экрана в w-области. В w-области экран имеет наипростейшую форму (рис 17. б), однако при отображении изменяется форма сечения провода: в w-полуплоскости сечение провода некруговое. Выход из затруднений заключается в использовании другого положения, вытекающего из самого смысла конформного отображения.

2. Любая малая (точнее бесконечно малая) фигура z-области при конформном преобразовании переходит в подобную фигуру w-области. Отсюда следует, что при весьма малом значении заданного радиуса провода ( в сравнении с расстояниями между ним и экраном в z-области) его сечение в w-области будет мало отличаться от кругового. Радиус провода в w-области можно приближенно принять равным

где

Где

Согласно (1) имеем:

И радиус сечения провода в w-полуплоскости равен

При этом его центр находится на расстоянии от проводящей плоскости.

Как видно, порядок “малости” сечения провода в w-области

Такой же, как и в z-области:

Из (28) следует, что и для расчета емкости провода относительно плоскости можно воспользоваться приближенным соотношением:



C учетом (28) при получаем

Определение пондеромоторной силы, действующей на заряженный провод. Можно считать, что механическая сила, действующая на заряженный линейный провод, приближенно равна силе , действующей на заряженную нить, проходящую по центру провода . Для определения воспользуемся теоремой 15.1.

Сила, действующая на единицу длины заряженного провода в щ-полуплоскости:

Значения производных отображаемой функции (1) в точке равны:



Для видимой составляющей силы имеем:

Дополняющая составляющая силы:

Искомая механическая сила, действующая на провод:

Размещено на Allbest.ru