Моделирование теплового поля однородного стержня

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

Факультет радиотехники, электроники и физики

Кафедра КТРС

Расчетно-графическая работа по дисциплине

«Моделирование и автоматическое проектирование устройств связи»

«Моделирование теплового поля однородного стержня»

Студент: Цвик П.Ю. Проверил: Девятков Г.Н.

Группа: РКС10-31 Оценка:

Новосибирск 2016

I. Исходные данные

II. Постановка задачи

Имеется однородный стержень длиной L, один конец которого соединен с идеальным теплопроводом. В момент времени к свободному концу стержня прикладывается «тепловая ступенька». Мощность источника тепла достаточна для поддержания постоянной температуры на свободном конце стержня, а отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении.

Требуется формализовать задачу, получив уравнения теплопроводности непосредственно в конечных разностях, и решить ее методом явных разностных схем, определив температурный профиль по длине стержня в заданный момент времени .

Рис.1. Однородный стержень

III. Формализация задачи

Данная задача - одномерная, так как по условию отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении, то есть тепловые потоки в поперечных направлениях стержня равны нулю. Выделив из стержня элементарный объем, можно записать уравнение баланса количества теплоты, предварительно разделив обе части уравнения на объем элемента и рассматриваемый период времени ф:

, (1)

где J_x⁺, J_x^- - удельные плотности входящего и выходящего тепловых потоков;

h_x - длина элементарного объема;

и_i^s+1- и_i^s - приращение температуры элементарного объема i за время ф;

s-номер шага по времени, т.е. номер временного слоя.

Рис.2. Элементарный объем

Считая, что свойства среды линейны, на основании закона Фурье рассматриваемые тепловые потоки можно выразить через разности температур соседних объёмов и получить уравнение в явной форме:

, (2)

Уравнение (2) содержит одну неизвестную - .

IV. Алгоритм численного решения и его описание

Данное уравнение необходимо преобразовать относительно :

, (3)

однородный стержень спектральный

Полученному уравнению соответствует форма расчётной ячейки, представленная на рис.3. Расчётная ячейка позволяет наглядно представить, значения температур каких узлов следует подставлять в уравнение (3) при вычислении неизвестной . Для минимизации расчетов принимаем .

Известны начальные и граничные условия: температура свободного конца всегда равна и_1, а закреплённого на теплоотводе - и_ср. В начальный момент времени температура стержня во всех узлах равна и_ср.

Таким образом, известна температура всех узлов стержня на нулевом временном слое, а также температуры крайних точек стержня. Это позволяет, начав движение расчётной ячейки в нулевом слое, найти значения температур точек стержня на последующих временных слоях s+1.

Рис.3. Схематичная форма расчетной ячейки в случае явной разностной схемы и ее начальное положение в момент времени .

Таблица 1. Решение задачи с помощью явной разностной схемы

Таким образом, получены значения температуры рассматриваемого стержня в восьми его точках (узлах) в десяти временных слоях. Согласно заданию, требуется получить температурный профиль стержня в момент времени .

Данному профилю соответствует временной слой под номером десять, так как

Рис.4. Распределение температуры по стержню

Теперь проведем расчет с учетом нарушенного условия спектральной устойчивости, т.е. формулы (5).

Примем и выполним перерасчет необходимых параметров:

Подставим данные в уравнение (3) и выполним математические вычисления, построим необходимые графики.

Полученные значения представим в виде таблицы.

Таблица 2. Проверка условия спектральной устойчивости

Рис.5. График температурного профиля по длине стержня в момент времени

При (нарушении условия устойчивости) наблюдается неравномерное распределение температур в разные моменты времени по всей длине стержня. Таким образом, данное решение некорректно.

Заключение

Метод явных разностных схем благодаря простоте и наглядности позволяет получать решение путем определения значений только одного неизвестного параметра. Требуемые на вычисления относительно большие затраты времени незначительны с применением автоматизированных средств расчета. С помощью данного метода был произведён расчет теплового поля однородного стержня, с одного конца закрепленного на теплоотводе и нагреваемого с другого.

В процессе решения получается полная картина распределения температуры по всей области стержня. Имеется возможность моделирования решения на персональном компьютере с последующим дополнением и усложнением модели. С помощью данного метода был произведён расчет теплового поля однородного стержня, с одного конца закрепленного на теплоотводе и нагреваемого с другого.

По длине стержня температура убывает практически экспоненциально, площадь под кривой распределения температуры возрастает с ростом номера временного слоя.

Нарушение условия устойчивости приводит к получению некорректных результатов.

Список литературы

1. Маквецов Е.Н. Модели из кубиков - М.: Сов. радио, 1978, с.52-62,181-184.

2. Малика А.С. Автоматизация конструирования РЭА. - М.:

Высшая школа, 1980, с.180-188, 190, 205-206.

Размещено на Allbest.ru