Приложение интегрального исчисления в физике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В рамках решения множества математических, технических и физических задач важно находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это диктует необходимость вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов [6]. В данной работе будут описаны основные из них.

Цель работы - рассмотреть и продемонстрировать приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Задачи:

1) изучить основы приближенного вычисления интегралов;

2) рассмотреть методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона);

3) проанализировать оценку погрешностей и увеличение точности таких методов;

4) раскрыть специфику численных методов вычисления определенных интегралов.

Областью рассмотрения является вычисление определенного интеграла

интеграл парабола погрешность физика

в тех случаях, когда функция задана таблично, либо когда первообразная функции находится очень сложно.

Общая схема построения рассматриваемых вычислительных методов расчета определенных интегралов сводится к следующему [1,3]. Отрезок интегрирования покрывается сеткой и вычисляются значения функции во всех узлах сетки (рис. 1).

Рис. 1. Покрытие отрезка интегрирования сеткой

Подынтегральная функция на всем отрезке или на его отдельных частях заменяется легко интегрируемой интерполяционной функцией , для которой

.

В качестве интерполяционной функции чаще всего используется полиномиальная функция, т.е.

Вычисляется приближенное значение определенного интеграла

и оценка погрешности

.

1. Особенности метода прямоугольников

1.1 Описание метода прямоугольников

Определенный интеграл функции от функции f(x):

численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рис. 2).

Рис. 2. Площадь под кривой y=f(x)

Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a, b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников, как это показано на рис. 3.



Рис. 3 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников

Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле

(1.1.)

Метод, представленный формулой (1.1), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой (1.2) - методом правых прямоугольников:

(1.2)

Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага интегрирования h. Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее интегральная сумма S аппроксимирует значение интеграла I. Исходя из этого строится алгоритм для вычисления интеграла с заданной точностью. Считается, что интегральная сумма S представляет значение интеграла I c точностью eps, если разница по абсолютной величине между интегральными суммами и , вычисленными с шагом h и h/2 соответственно, не превышает eps [1,3].

1.2 Метод средних прямоугольников

Для нахождения определенного интеграла методом средних прямоугольников площадь, ограниченная прямыми a и b, разбивается на n прямоугольников с одинаковыми основаниями h, высотами прямоугольников будут точки пересечения функции f(x) с серединами прямоугольников (h/2). Интеграл будет численно равен сумме площадей n прямоугольников (рис. 4).

Рис. 4 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников

,

n - количество разбиений отрезка [a, b].

2. Формула трапеций и ее особенности

Пусть требуется вычислить интеграл

,

где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x₀<x₁<x₂<…<x_k-1<x_k<…<x_n=b и с помощью прямых х=х_k построим n прямолинейных трапеций [3,6]. Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(x_k-1) и f(x_k) - соответственно основания трапеций; x_k - x_k-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

(2.1)

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Рассмотрим в качестве примера интеграл

.

Точное значение этого интеграла находится просто:

Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: a=x₀=0, x₁=0,2, x₂=0,4, x₃=0,6, x₄=0,8, x₅=1=b и соответственно f(x₀)=0, f(x₁)=0,04, f(x₂)=0,16, f(x₃)=0,36, f(x₄)=0,64, f(x₅)=1. Следовательно,

Точное значение интеграла равно 0,3333…., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна.

Если увеличить число n, то точность будет большей [4,6]. Так, например, при n=10

т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.

Известно что [4,5], если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем

где k - наибольшее значение на отрезке [a, b].

Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ [1,3].

Вычислим по формуле трапеции (2.1) интеграл при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х₀=0, х₁=0,1,…, х₉=0,9, х₁₀=1. Вычислим приближенно значения функции f(x)= в этих точках: f(0)=1,0000, f (0,1)=0.9091, f (0,2)=0,8333, f (0,3)=0.7692, f (0,4)=0,7143, f (0,5)=0,6667, f (0,6)=0,6250, f (0,7)=0,5882, f (0,8)= 0,5556, f (0,9)=0,5263, f(1)=0,5000.

По формуле трапеций получаем

Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1+x), то На отрезке [0, 1] имеем . Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины



Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.

Алгоритм, который был использован при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла [6].

3. Формула парабол и ее особенности

3.1 Выведение формулы Симпсона

Разобьем интервал интегрирования на четное число частей . В этом случае шаг сетки (шаг интерполирования)

,

и сеточные узлы принимают значения

,

при этом .

Рассмотрим простейший случай, когда сетка содержит только три узла: . Очевидно, что. Вычислим приближенное значение интеграла, заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второго порядка:

Первый член, составляющий приближенное значение искомого интеграла, легко интегрируется точно. В результате имеем следующее равенство:

,

где , - погрешность вычисления интеграла. Таким образом, формула Симпсона для случая трех узлов имеет вид

. (3.1)

Оценим погрешность . Так как погрешность интерполяции подынтегральной функции многочленом Лагранжа второго порядка пропорциональна третьей производной от подынтегральной функции, то соотношение (3.1) является точным для всех подынтегральных функций, описываемых полиномом второй степени. В силу симметрии эта формула является точной и для подынтегральных функций, описываемых полиномом третьей степени [5]:

,

так как она точна для . В этом нетрудно убедиться, проверив справедливость равенства

.

Рассмотрим полином третьей степени, удовлетворяющий условиям

.

Он интерполирует функцию на отрезке по значениям функции в узлах и по значению ее производной в узле (узел имеет кратность два):

,

где - погрешность кратной интерполяции, которая равна

.

Тогда можем записать, что

Найдем теперь погрешность приближения определенного интеграла:

Пусть теперь сетка содержит произвольное число узлов , принадлежащих отрезку интегрирования , причем. Последовательно вычислим интеграл на отрезках длиной , интерполируя подынтегральную функцию многочленом Лагранжа второго порядка:



Просуммируем левые и правые части этих соотношений:

,

.

Таким образом, формула Симпсона принимает следующий вид:

.

Погрешность вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона имеет четвертый порядок относительно шага сетки:

.

3.2 Формула Симпсона для вычисления двойных интегралов

Рассмотрим двойной интеграл:

.

Область интегрирования здесь - прямоугольник со сторонами и (рис 5). Применим формулу Симпсона, вычисляя определенный интеграл сначала по , затем по .

Рис. 5. Область интегрирования

Пусть

,

.

Тогда

Для повышения точности вычислений область покрывается сетью прямоугольников. В этом случае

,

и значение двойного интеграла вычисляется в виде

.

Если - криволинейная область, то для применения полученной формулы Симпсона область заключают в прямоугольник и пользуются вспомогательной функцией

и для вычисления последнего интеграла привлекают метод Симпсона.

4. Сравнение методов по точности

Сравним методы по точности, для этого произведем вычисления интеграла функций y=x, y=x+2, y=x², при n=10 и n=60, a=0, b=10. Точное значение интегралов составляет соответственно: 50, 70, 333.

Сравнение приближенных методов вычисления определенных интегралов.

Перечень методов	n	x	x+2	x2
Метод средних прямоугольников	10	50	70	332.5
Метод правых прямоугольников	10	45	65	285
Метод трапеции	10	50	70	335
Формула Симпсона	10	50	70	333.333
Метод средних прямоугольников	60	50	70	333.310
Метод правых прямоугольников	60	49.1667	69.1667	325.046
Метод трапеции	60	50	70	333.379
Формула Симпсона	60	50	70	333.333

Из таблицы 1 [3] видно, что наиболее точным является интеграл, найденный по формуле Симпсона, при вычислении линейных функций y=x, y=x+2 также достигается точность методами средних прямоугольников и методом трапеций, метод правых прямоугольников является менее точным. Из таблицы 1 видно, что при увеличении количества разбиений n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов

5. Решение заданных задач

Задача №1. Вычислить методом трапеций (для n = 10) определенный интеграл:

Решение:

Исходя из представленных обозначений, формула трапеций имеет вид:

Для применения данного инструмента необходимо вычислить шаг h по формуле , определить узлы и вычислить значения подынтегральной функции

.

Сначала вычислим шаг разбиения:

.

Затем определяем узлы

и вычисляем значения подынтегральной функции в них до 4 го знака:

…

Результаты вычислений сведем в таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5
f(xi)	7	56	3.5	2.1538	1.4	0.9655	0.7	0.5283	0.4117	0.3294	0.2692

А затем, подставим их в представленную формулу трапеций:

Полученное в итоге значение совпадает до 2 го знака с точным вычислением данного определенного интеграла.

Задача №2. Вычислить методом Симпсона определенный интеграл, разбив отрезок интегрирования на 5 частей:



Решение:

Исходя из представленных обозначений, формула Симпсона имеет вид

Для применения данного инструмента необходимо вычислить шаг , определить узлы и вычислить значения подынтегральной функции .

Промежуточные вычисления проводим с точностью до 5 го знака.

Вычисляем шаг .

Обратим внимание на узлы и определим значения подынтегральной функции в них:

…

Для наглядности и удобства результаты сведем в таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5
f(xi)	0	0.12308	0.2	0.16552	0.1	0.05806	0.03529	0.02272	0.01538	0.01087	0.00795

Подставляем полученные результаты в формулу Симпсона:

Полученное в итоге значение совпадает до 2 го знака с точным вычислением данного определенного интеграла.

Заключение

В данной работе были рассмотрены основные методы приближенного вычисления определенных интегралов. Данный инструментарий широко используется на практике, в основном для решения задач технического прикладного характера. Хорошим примером являются сложные технические решения, построенные на множестве взаимодействий, такие как сети [1,3].

Каждый из вышеизложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений [1], что позволяет автоматизировать многие процессы. Стоит отметить то, что одна из наиболее экономически значимых технологий современности - сланцевая технология добычи полезных ископаемых и ее вариации во многом реализована за счет практической реализации вышеописанного инструментария.

Можно констатировать то, что цель и задачи данной работы реализованы в полной мере и последовательно решены.

Список литературы

1. Вороненко, А.А. Дискретная математика. Задачи и упражнения с решениями: Учебно-методическое пособие / А.А. Вороненко. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 104c.

2. Глухов М.М. Алгебра и линейная геометрия. - Москва. Изд-во Гелиос, 2005. -376 с.

3. Мэтьюз Дж.Г. Численные методы. Использование MatLab: Пер. с анг. Под ред Ю.В. Козаченско. 3-е изд. М.: Вильямс, 2001. -713 с.

4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. 4-е изд., стер. Учебное пособие. Изд-во «Лань», 2009. - 608 с.

5. Самарский А.А. Введение в численные методы. 5-е изд., стер. Учебник. Изд-во «Лань», 2008.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. 9-е изд., стер., Изд-во «Лань», 2009.

Размещено на Allbest.ru