Работа и механическая энергия

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Работа и механическая энергия

диссипативный момент штейнер удар

Энергия. Механическая энергия. Виды механической энергии. Работа

Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой различных форм движения материи.

Энергия количественно характеризует систему относительно различных превращений движения в ней, которые происходят в результате взаимодействия частиц системы как друг с другом, так и с внешними телами. Для анализа различных форм движения вводят различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.

К механической энергии относится энергия, связанная с силами всемирного тяготения, деформированного упругого тела и энергия, связанная с движением тела.

Ещё определения энергии в механике: Энергией называется способность тела совершать работу. Запас энергии определяется работой, которую может совершить тело, изменяя свое состояние: поднятый груз при падении; сжатая пружина при восстановлении формы: движущееся тело при остановке. Механической энергией тела называют величину равную максимальной работе, которую может совершить тело в данных условиях.

Механическая работа (Работа постоянной силы)

Если тело под действием силы совершает перемещение , работа А этой силы равна скалярному произведению силы на вектор перемещения. Работа силы есть скалярная величина

A=

A=

Работа горизонтальной составляющей силы F - силы F_тяги равна ()

Работа вертикальной составляющей силы F - силы подъёма F_n равна ()

Сила, направление которой перпендикулярно направлению движению тела, работу не совершает.

Работа силы трения равна ().

Силу, направленную против движения и совершающую отрицательную работу называют силой сопротивления. Сила перпендикулярная к перемещению не изменяет числового значения скорости (такая сила заставляет тело двигаться по окружности - центростремительная сила) и работа ее равна 0.

Сила, увеличивающая численное значение скорости (угол б - острый), совершает положительную работу. Сила, уменьшающая численное значение скорости (угол б - ), совершает отрицательную работу.

Работа силы тяжести. Консервативные силы

Определим работу силы тяжести при движении тела массой m по наклонной плоскости, длина которой L, а высота h. На тело действует две силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз и сила реакции опоры , направленная перпендикулярно к поверхности плоскости АС. Их равнодействующая ₁совершает работу, сообщая телу ускорение (силой трения пренебрегаем).

из

б) Определим работу, совершаемую силой тяжести при свободном падении тела на высоту.

Сравнение работы, совершаемой силой тяжести при движении по наклонной плоскости и при свободном падении показывает, что работа силы тяжести не зависит от длины и формы пути, пройденного телом, и определяется произведением силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положении.

При движении вниз сила тяжести совершает положительную работу, при движении вверх - отрицательную. Работа силы тяжести по замкнутому пути 1-2-1 равна 0.



Силы, работа каких не зависит от формы и длины пути, а определяется лишь начальным и конечным положением тела, называются консервативными.

Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю.Пример консервативных сил: сила тяжести, сила упругости пружины, и силы электростатического взаимодействия.

Работа силы трения. Диссипативные силы.

Сила трения F_тр. определяется относительной скоростью соприкасающихся тел (сила трения скольжения). Сила трения всегда направленна против движения (), т.е. всегда является силой сопротивления, и поэтому выполняемая ею работа всегда отрицательна и после возвращения тела в исходное положение суммарная работа сил трения отлична от 0 и отрицательная.

Диссипативными силами называются силы, суммарная работа которых при любых перемещениях замкнутой системы всегда отрицательна. Пример: силы трения скольжения и силы сопротивления движению тел в жидкостях и газах. В результате действия диссипативных сил механическая энергия переходит в другие виды энергии.

Работа переменной силы.

Определим работу силы, величина которой изменяется от точки к точке, по закону показанному на рисунке. Разобьем перемещения S на элементарные участки dS, на которых величина силы остается постоянной, тогда элементарная запишется в виде



Полная работа А на всем перемещении от точки 1 до точки 2 равна

или, переходя к пределу,

A

Работа переменной силы равна:

A=

Работа силы упругости с учётом того, что

:

A=()

Работа силы упругости замкнутому пути 1-2-1

Кинетическая энергия.

Если элементарное перемещение d записать в виде

d

По II закону Ньютона

тогда

A=

Величина называется кинетической энергией

,

Работа равнодействующей всех сил действующих на частицу равна изменению кинетической энергии частицы. Тогда

A=или другая запись

Если A > 0, то W_К возрастает (падения)

Если A > 0, то W_К убывает (бросание).

Движущиеся тела обладают способностью выполнять работу и в том случае, если никакие силы со стороны других тел на них не действуют. Если тело движется с постоянной скоростью, то - сумма всех сил действующих на тело равна 0 и работа при этом не совершается. Если тело будет действовать с некоторой силой по направлению движения на другое тело, тогда оно способно совершить работу. В соответствии с ІІІ законом Ньютона к движущемуся телу будет приложена такая же по величине сила, но направленная в противоположную сторону. Благодаря действию этой силы скорость тела будет уменьшаться до его полной остановки. Энергия W_К, обусловленная движением тела, называется кинетической. Полностью остановившееся тело не может совершить работы. W_К зависит от скорости и массы тела. Изменение направления скорости не влияет на кинетическую энергию.

Потенциальная энергия.

Если тело поднять на высоту h, то падая под действием силы тяжести, тело может совершить работу

Если жать пружину на величину X2 = X (X1 = 0), то возвращать в исходное состояние деформированная пружина способна выполнить работу

Следовательно, эти тела обладают запасом энергии, возникающей благодаря взаимодействия тел друг с другом. Эту энергию называют потенциальной. Потенциальной энергией называется энергия, зависящая от взаимного положения частиц системы.

Если тело падает с некоторой высоты h1до высоты h2, его потенциальная энергия изменяется от значения

до

Совершенная при этом работа равна

A=

A=

т.е. работа, совершаемая телами, на которые действуют консервативные силы, равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.

Таким образом, когда падающее тело совершает положительную работу, его W_П уменьшается. Если тело поднимают вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу и W_П возрастает.

Полная механическая энергия.

Механической энергией или полной механической энергией называется энергия механического движения и взаимодействия. Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии.

W=

Закон сохранения энергии.

З.С.Э. для консервативных систем:

Если в системе действуют лишь консервативные силы, то полная механическая энергия такой системы остается постоянной. W = const.

+

З.С.Э. для диссипативных систем (не консервативных систем:

Если в системе действуют диссипативные силы, то изменение полной механической энергии равно работе этих сил.

В случае действия диссипативных сил происходит преобразования механической энергии системы в другие виды энергии (при действии силы трения - в тепловую: соприкасающееся тела нагреваются). Однако при любых преобразованиях, превращениях энергии выполняется всеобщей закон природы - закон сохранения энергии: энергия может переходить из одной формы в другую и перераспределяется внутри системы, однако ее общее количество в замкнутой системе должно оставаться постоянным. Если система незамкнута, то изменение ее энергии при взаимодействии с внешней средой равна энергии, которую система получает извне.

Абсолютно упругий и неупругий удары.

Ударом называется значительное изменение скорости за весьма малый промежуток времени.

Центральным называется удар, при котором векторы скоростей соударяющихся тел направления по прямой, соединяющей их центры. При столкновении двух тел трудно проанализировать и учесть все силы, действующие на них. Часто при решении задач о столкновении тел с данными начальными условиями важно узнать только конечный результат. Его можно получить, используя закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Задачи обычно ставятся так:

по известным импульсам и энергиям тел до столкновения определить значения этих величин после столкновения.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды энергии.

При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями величина и направление которых определяется двумя условиями - З.С.Э. и З.С.И.

Абсолютно неупругим называется удар, при котором: 1) потенциальная энергия деформации не возникает. 2) Кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннею. 3) После удара тела движутся с одинаковой скоростью или покоятся.

З.С.И.

x:

З.С.Э. ++

2 2

Применение:

1) Соударение одинаковых шаров (в мол-ной физике)

m1=m2, тогда

т.е. тела обмениваются скоростями.

2) Удар шара об массивную стенку.



Скорость массивного тела после удара меняется незначительно. В результате удара стенке передается значительный импульс, по сравнительно небольшая часть энергии

АНУ:

З.С.И.

З.С.Э.

Q==

Q=()=

+

=()²

· энергия, перешедшая в другие виды энергии

Если

Если m₂ >> m₁, то u << v₁ и почти вся W_К1 ударяющегося тела переходит в тепло.

При абсолютно упругом ударе u₁ - u₂ = -(v₁ - v₂), т.е. относительная скорость шаров после удара равна по величине и направлена противоположно их относительной скорости до удара. При абсолютно неупругом ударе относительная скорость после удара равна 0, т.к. u₁ =u₂ = u. При частично неупругом ударе относительная скорость после удара равна некоторой доле относительной скорости до удара

где -коэффициент восстановления относительной скорости при ударе. При ударе стальных шаров = 0,9; шаров из слоновой кости = 0.89; для свинца = 0,2; стеклянных =0.95.

X. Мощность.

Работа, совершаемая в единицу времени называется мощностью. Мгновенная мощность равна отношению элементарной работы к малому промежутку времени, в течение которого эта работа совершается.

Средняя мощность равна отношению работы на весь промежуток времени, за который эта работа совершается.

2. Динамика вращательного движения

Момент инерции. Теорема Штейнера

Момент инерции материальной точки равен

Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

Момент инерции тела в случае непрерывного распределения массы равен

-интегрируется по всему объёму.

1. Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равномr. Объем такого слоя равен

Площадь кольца

2. Полый тонкостенный цилиндр радиуса R (обруч, велосипедное колесо и тому подобное).

3. Сплошной цилиндр или диск радиуса R

4. Прямой тонкий длиной стержень, ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину.



5. Шар радиуса R, относительно оси, проходящей через его центр.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, момент инерции относительно любой другой оси параллельной данной, определяется с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела І относительно параллельной оси вращения равен моменту инерции І_с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями

Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O'O', равен



6. Момент инерции прямого стержня длиной , ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Z, проходящей через него, с угловой скоростью щ. Так как тело является абсолютно твердым, следовательно, все точки тела будут вращатьсяс одинаковой угловой скоростью

Если разбить тело на малые объёмы с элементарными массами m₁,m₂… находящиеся на расстоянии r₁,r₂…, от оси вращения, то кинетическую энергию тела можно записать в виде

Известно, что или



Из сравнения W_{k. вр.} с W_k. поступательного движения () следует, что момент инерции вращательного движения заменяет массу во вращательном движении и является мерой инертности тела.

Если тело участвует в поступательном и вращательном движении одновременно, то его кинетическая энергия

Например, цилиндр катиться без скольжения по плоскости.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы относительно неподвижной точкиO называется псевдовекторная величина равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу

Модуль момента силы:

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением плоскости движения правого винта при его вращении от к . Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в котоой лежат векторы и .

-где кратчайшее расстояния между линией действия силы и точкой О называется плечом силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равнаяпроекции наэту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z. Если ось Z перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора совпадающего с осью.



Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил,называется свободной осью тела.

Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями:они называются главными осями инерции тела.

Найдем выражение для работы при вращательном движении тела. Пусть на массу m твердого тела действует внешняя сила . Тогда работа этой силы за время dt равна

Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, воспользовавшись правилом

Тогда

Работа при вращении тела равна произведению момента действия силы на угол поворота . Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

Поэтому

или

Следовательно,

- уравнение динамики вращательного движения

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то выполняется векторное равенство

І - главный момент инерции (момент инерции относительно главной оси)

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением

;

Модуль момента импульса:

- радиус-вектор, проведённый из точки O в точку А, ? - плечо импульса (кратчайшее расстояние от точки Одо линии действия импульса)

- импульс материальной точки.

- псевдовектор, его направление определяется по правилу левой руки.

Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси Z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Продифференцируем по

dt

- основное уравнение динамики вращательного движения.

Вообще выполняется векторное равенство

В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени

Величины, характеризующие поступательное и вращательное движение и связь между ними:

	Поступательное движение	Вращательное движение	Связь
1	- путь
2	- cкорость;
3	- ускорение;	- угловое ускорение
4	m - масса	- момент инерции
5	- uмпульс;	- момент импульса
6	;
7	;	- кин. энергия вращательного движения
8	dA -элементарная работа;	dA - элементарная работа вращательного движения

Размещено на Allbest.ru