Рентгеновская дифрактометрия. Уравнение Лауэ. Фотоэффект

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

каф. РЛ-6 «Технологии приборостроения

Домашняя работа

Вариант №9

«Рентгеновская дифрактометрия. Уравнение Лауэ. Фотоэффект»

Студент группы РЛ6-82

ШиряевП.П.

Преподаватель

Ковалев А.А.

Москва - 2016

Структура кристалла

Кристалл можно представить как периодически повторяющиеся в пространстве одинаковые элементарные структурные единицы -элементарные ячейки кристалла, состоящие из одного, в простейшем случае, или нескольких атомов каждая[1].

Элементарная ячейка в общем случае имеет форму косоугольного параллелепипеда. Все расположенные в ней атомы принято называть базисом элементарной ячейки кристалла. Закономерности строения элементарной ячейки и базиса, в частности степень их симметричности определяет многие свойства кристалла, в первую очередь электрические, магнитные и механические. Элементарная ячейка может содержать как один, так и несколько атомов. Так у многих металлов, например железа, хрома, меди, серебра, она состоит из одного атома. В тех случаях когда, кристалл состоит из нескольких химических элементов, например, натрия и хлора, элементарная ячейка будет содержать как минимум два атома: натрий и хлор. Широко распространены кристаллы с элементарной ячейкой, состоящей из нескольких сцепленных друг с другом молекулярных групп, например кристаллы льда или же многих магнитных материалов. Существуют кристаллы, например, белковые, элементарная ячейка которых состоит из молекул, содержащих несколько тысяч атомов.

Выбор элементарной ячейки. Описание структуры любого кристалла можно и принято проводить, охарактеризовав его элементарную ячейку. Выбрать элементарную ячейку одного и того же кристалла можно несколькими способами (рис. 9.1). При таком выборе стремятся к наиболее простой форме ячейки, в частности к наибольшему числу прямых углов, а также к минимальности ее объема. Ячейку с наименьшим объемом принято называть примитивной элементарной ячейкой. Однако часто выбирают элементарную ячейку большего объема, но более простой формы, содержащую несколько наборов атомов, формирующих базис элементарной ячейки[1].

Выбранную элементарную ячейку характеризуют тремя векторами основных трансляций совпадающими с ее тремя ребрами, сходящимися в одной точке. Две точки с радиус-векторами и, связанные соотношением , где - целые числа, описывают одну и ту же точку базиса, но в разных элементарных ячейках кристалла. В таком случае удобно подробно охарактеризовать расположение атомов базиса в пределах одной элементарной ячейки, а всю структуру кристалла получить трансляцией - "тиражированием" данной ячейки, осуществляя параллельные переносы на векторы , называемые векторами трансляций. Можно сказать, что для полного описания структуры кристалла достаточно задать: 1) пространственную решетку, получаемую путем параллельных переносов на все векторы одной точки и 2) базис.

Типы кристаллических решеток. С помощью теории групп было показано, что все многообразие кристаллов может быть описано с помощью 14 типов кристаллических решеток (решеток Браве), изображенных на рис. 9.2. Их принято группировать в семь систем, различающихся видом элементарной ячейки: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую.

Некоторые из этих решеток имеют разновидности: примитивная -P, объемноцентрированная (ОЦ) -I, гранецентрированная (ГЦ) -F и с одной парой центрированных противоположных граней -C.

Для описания кристаллической решетки используют индексы . Запись данных индексов и их значения дают представления об узлах кристаллической решетки, направлениях вкристаллической решетки и о плоскостях, проходящих через узлы кристаллической решетки.

Любой из узлов кристаллической решетки может быть выбран за начало отсчета для описания решетки без влияния на результат. Положение любого узла в пространственной решетке определяется вектором. Три целых числа однозначно определяют положение узла и называются индексами данного узла. Совокупность чисел записанная в двойных квадратных скобках,называется символом узла (рис 9.3).

Кристаллографические индексы - три целых числа, определяющие расположение в пространстве граней и атомных плоскостей кристалла (индексы Миллера), а также направлений в кристалле и его рёбер (индексы Вейса) относительно кристаллографических осей.

Решетку можно представить, как семейство параллельных узловых прямых. Это семейство можно характеризовать прямой, проходящей через начало координатО, которое принимается за первую точку, определяющую данную прямую. Второй определяющей точкой является ближайший узел с целочисленными координатами, точка А. Координаты узла, взятые в двойные квадратные скобки, принимают за кристаллографическое обозначение прямой (см. рис. 9.3). Таким образом, прямые и параллельные ей ребра, задаваемые индексами Вейса, определяются вектором , где-базисные вектора(на рис. 9.4).

В кристалле большое значение имеют кристаллографические плоскости, проходящие через узлы кристаллической решетки. Именно кристаллографические плоскости, на которых расположено большое количество узлов кристаллической решетки, важны как для «предсказания» огранки кристалла, так и при рассмотрении движения частиц в нем.

Кристаллографические плоскости принято описывать индексами Миллера- набором трех целых чисел, заключенных в круглые скобки. Знак минус отрицательного индекса принято ставить над ним. Эти индексы имеют простой геометрический смысл. Для этого выражают отрезки, которые плоскость отсекает на осях решетки, где - целые числа, не равные нулю (рис 9.5а). Далее записываются величины, обратные этим отрезкам,. Находят наименьшее целое общее кратное (НОК) чисел-N. В этом случае индексами Миллера плоскости будут являться целые числа, которые определяют кристаллографическую плоскость (рис 9.5б).

Например, пусть для некоторой плоскости m=1, n=4, p=2. Тогда N=4 и, следовательно, индексы Миллера этой плоскости равны: h=4, k=1, l=2, то есть =(412). Индексы Миллера для значений m,n или рравных бесконечности (случай, когда плоскость параллельна одной или двум осям координат), принимаются равными нулю. Например, для значений m=3, n=?, p=? индексы Миллера данной плоскости равны (100).

На рис. 9.6 показаны кристаллографические плоскости кубической решетки. Заметим, что параллельно изображенной на рис. 9.5б плоскости можно провести множество параллельных плоскостей проходящих через узлы кристаллической решетки. Расстояние между подобными ближайшими плоскостями называется межплоскостным расстоянием системы плоскостей. Величину удобно вычислять как расстояние от точки (000) до ближайшей к ней плоскости (см. рис. 9.5б). В кристаллах с кубической ячейкой индексы Миллера плоскости совпадают с координатами направления вектора нормали к ней (в случае других ячеек это как правило не так).

Рентгеновская дифрактометрия

Метод рентгеновской дифрактометрии за более чем полувековое существование нашел широкое применение как в научной, так и в производственной сферах. В настоящее время большое внимание уделяется не только традиционным проблемам (определение идеальных структурных моделей), но и исследованию индивидуальных структурных особенностей конкретного кристалла[2].

Метод основан на явлении дифракции. Дифракция волн - огибание волнами различных препятствий (рис 9.7). Дифракция волн свойственна всякому волновому движению; имеет место, если размер препятствия порядка длины волны или больше. Пример столкновения волнового фронта падающей световой волны от источника P с диафрагмой, изображенном на рисунке 9.7а, один из примеров дифракции. В этом случае, источником вторичных сферических волн являются все элементы dS площади S поверхности волнового фронта, заключенной между краями диафрагмы, обозначенными точками Q и Q1 (то есть части поверхности фронта не закрытой диафрагмой). Случай с двумя отверстиями (рис. 9.7б) по своей физике аналогичен случаю с одним отверстием. При прохождении первичных лучей от источника света через экран с отверстиямиА и В, происходит процесс дифракции. Далее вторичные лучи интерферируют, то есть происходит явление перекрывания пучков света, что ведет к образованию чередующихся светлых и темных полос на фотопленке, расположенной на расстоянии R от экрана. Темные полосы - это места, где максимумы интенсивности пучков X0больше, а светлые - где меньше.

Для рентгеновских лучей дифракционной решеткой является кристаллическая решетка, состоящая из атомов, распределенных с трансляционной периодичностью. Параметром дифракционной решетки является среднее межатомное расстояние в кристалле. Для получения дифракционной картины существенно, чтобы длина волны используемого излучения была сравнима с этим средним межатомных расстоянием. В рентгенографии для исследования атомной структуры применяют рентгеновские лучи с длинами волн от до м [3].

Рентгеновские лучи, достигая кристалла, рассеиваются электронами атома. Каждый электрон атома становится источником сферической электромагнитной волны. Частота этих волн равна частоте первичного рентгеновского излучения, их вызвавшего (т.к. колебания электронов являются вынужденными колебаниями). Таким образом, при взаимодействии плоской рентгеновской волны с атомами кристалла в пространство образуются вторичные волны во всех направлениях, атомы кристалла рассеиваютрентгеновское излучение. Волны, рассеянные различными атомами, интерферируют между собой, в результате чего в одних направлениях они гасят друг друга, а в других усиливают[4].

Дифракционную картину, получаемую при рассеянии излучения от кристалла, в случае рентгенографии фиксируют на фотопленке или фотопластине. Эксперимент по измерению дифракции рентгеновских лучей схематически сходен с экспериментов по дифракции световой волны на одном отверстии или двух узких щелях (рис 9.7), но вместо источника света используется источник рентгеновских лучей, а на месте дифракционного экрана устанавливается исследуемый кристалл[3].

По дифракционной картине можно качественно судить о структурном состоянии твердого тела. Если дифракционная картина представляет собой набор точечных рефлексов, получающихся при рассеянии излучения от определенных систем кристаллографических плоскостей, то твердое тело находится в монокристаллическом состоянии (рис. 9.8а); если дифракционная картина представляет собой набор концентрических колец (при съеме на плоскую фотопластинку), то твердое тело находится в поликристалличесокм состоянии (рис. 9.8б); наконец, если на дифракционной картинке присутствует одно, максимум два диффузионных гало (оптическое явление), то тело находится в аморфном состоянии (рис. 9.8в) [3].

При физико-математическое описании дифракции рентгеновских лучей используется много специальных понятий и определений, как из физики рентгеновских лучей, так из кристаллографии. Следовательно, стоит определится с понятиями и терминами, которые используются для описания процесса рентгеновской дифракции[5 С. 61].

Обозначим направление падающего и рассеянного луча соответственно с помощью параллельных им направляющих векторов, длины которых одинаковы ( и ). Направление рассеяния рентгеновских лучей обычно отсчитывается относительно направления первичного луча и измеряется углом 2и. Плоскость, в которой лежат первичный и рассеянный лучи или их направляющие векторы будем называть плоскостью рассеяния или плоскостью дифракции. Для сокращения записей в формулах будем пользоваться вектором , называемым дифракционным вектором, который равен разности направляющих векторов падающего и рассеянного лучей:.Из этого определения понятно, что при фиксированном положении первичного луча и возможности рассеяния в любых направлениях 2и=0±180° дифракционный вектор может меняться непрерывно, принимая любые значения, допускаемые формулой его определения[5 С. 62-66].

Уравнение Лауэ

Основой для рентгеновской дифрактометрии являются уравнения Лауэ[5С. 62-66]. Макс фон Лауэ - немецкий физик, лауреат Нобелевской премии по физике в 1914 году за открытие дифракции рентгеновских лучей на кристаллах. Его уравнения определяют связь между геометрией элементарной ячейки кристалла и трехмерным распределением интерференционных максимумов, возникающих в результате дифракции.

где, - вектора трансляций кристаллической решетки; - единичные вектора; - индексы интерференции; - длина волны рентгеновских лучей.

Условия дифракции Лауэ (1) можно записать также в более привычном для оптики представлении через волновые векторы:

где и - волновые векторы соответственно падающей и дифрагированной волн, модули которых , а взаимная ориентация определяется углом 2и между их направлениями.

Согласно уравнениям (9.1) или (9.2), условием возникновения интерференционных максимумов при рассеянии рентгеновских лучей монокристаллом является целочисленность в этой системе уравнений коэффициентов , которые имеют непосредственное отношение к индексам Миллера(), определяющим кристаллографические плоскости в решетке кристалла.

Приведенные выше уравнения, описывающие связь рентгеновской дифракционной картины с кристаллической решеткой, были выведены и опубликованы Максом фон Лауэ вскоре после того как он с сотрудниками экспериментально впервые обнаружили эффект дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Следует подчеркнуть, что в опубликованной Лауэ теории геометрической дифракции рассматривалась именно дифракция волн рентгеновского излучения на узлах регулярной структуры кристалла и последующая интерференция возникших вторичных дифракционных волн. Полученная Лауэ теория одинаково адекватно описывает геометрию дифракции для случаев полихроматического и монохроматического излучения.

Фотоэффект

Фотоэффект -- испускание электронов металлами под действием света или любого другого электромагнитного излучения.[6]Явление фотоэффекта было открыто Генрихом Герцем в 1887 году в ходе его знаменитых экспериментов по излучению электромагнитных волн. Герц использовал специальный разрядник (вибратор Герца) - разрезанный пополам стержень с парой металлических шариков на концах разреза. На стержень подавалось высокое напряжение, и в промежутке между шариками проскакивала искра. Генрих Герц обнаружил, что при облучении отрицательно заряженного шарика ультрафиолетовым светом проскакивание искры облегчалось. Однако он был поглощён исследованием электромагнитных волн и не принял данный факт во внимание. Позже фотоэффект был независимо открыт русским физиком Александром Григорьевичем Столетовымв ходе опытов в 1888-1890 годах. Тщательные экспериментальные исследования, проведённые Столетовым, позволили сформулировать основные законы фотоэффекта.

В своих работах Столетов должен был с самого начала строить методику эксперимента и его технику. Он не имел предшественников в выбранной и области, так как опыт Герца и других физиков того времени относились к действию ультрафиолетового света на проводники, находившиеся под весьма высокими потенциалами (искры). Ряд приемов, примененные впервые Столетовым, широко вошел в практике научно-исследовательской работы, как, например, метод эмитирующего (теперь- накаленного) зонда для исследования распределения потенциала в междуэлектродном пространстве. Ни один из них не носит, однако, его имени.

Описание опыты [7]:

«Два металлических диска («арматуры», «электроды») в 22 см диаметром были установлены вертикально и друг другу параллельно перед электрическим фонарем Дюбоска, из которого вынуты все стекла. В фонаре имелась лампа с вольтовой дугой А. Один из дисков, близлежащий к фонарю, сделан из тонкой металлической сетки, латунной или железной, иногда гальванопластически покрытой другим металлом, которая была натянута в круглом кольце; другой диск сплошной (металлическая пластинка)» (рис. 9.9).

Измерения производились зеркальным гальванометромG, источником тока В служили гальванические батареи из разного числа элементов. В опытах ученый менял знак заряда на металлической пластине с отрицательного на положительный, на пути световых лучей помещал непрозрачный экран (пластинку из картона, металла и др.), стеклянную пластинку. При этих производимых друг за другом исследованиях фотоэффект не наблюдался. Экраны из кварца, льда вследствие поглощения длинноволновой части излучения только ослабляли наблюдаемый эффект. Отсюда ученый делает вывод, что фотоэффект вызывается главным образом ультрафиолетовыми лучами. При прочих равных условиях фототок возрастал при зачистке поверхности отрицательного электрода и повышении его температуры. Для изучения зависимости фотоэффекта от освещенности поверхности электрода Столетов использовал метод прерывистого освещения. К описанной ранее экспериментальной установке был добавлен картонный круг с вырезанными окошками. Круг помещался между источником света S и конденсатором G. Площади окошек и промежутков между ними были одинаковы. Когда круг приводился во вращение (скорость вращения можно было изменять), на конденсатор падало наполовину меньше света, чем при неподвижном круге. При этом сила фототока также уменьшалась в два раза. Следовательно, сила фототока прямо пропорциональна величине светового потока. Такой же результат ученый получил, изменяя площадь освещаемой части отрицательной пластины. Эксперименты, кроме того, позволили установить, что световые лучи действуют мгновенно: фототок возникал и прекращался практически одновременно с началом и прекращением освещения конденсатора. Увеличение напряжения вело к возрастанию силы фототока до определенного значения (ток насыщения), затем он оставался постоянным.

Для понимания явления фотоэффекта рассмотрим упрощенное описание установки и опыта [8 С. 441-444]:

Для определения от чего зависит число вырванных светом с поверхности вещества электронов (фотоэлектронов) и чем определяется их скорость или кинетическая энергия в стеклянный баллон, из которого выкачан воздух (для того, чтобы столкновения электронов с молекулами газа не вносили осложнения в наблюдаемые явления, а также для того, чтобы предохранить пластинки от окисления), помещаются два электрода (рис. 9.10).

Внутрь баллона на один из электродов поступает свет через кварцевое окно, прозрачное не только для видимого света, но и для ультрафиолетового излучения. На электроды подается напряжение, регулируемое с помощью потенциометра R и измеряемое вольтметром V. К освещаемому электроду (катод К) присоединяется отрицательный полюс батареи. Под действием света электрод испускает электроны, которые при движении в электрическом поле образуют электрический ток. При малых напряжениях не все вырванные светом электроны достигают другого электрода (анод А). Если, не меняя интенсивности излучения, увеличивать разность потенциалов между электродами, то сила тока увеличивается. При некотором напряжении она достигает максимального значения, после чего перестает изменяться (рис. 9.11).

дифрактометрия лауэ уравнение фотоэффект

На основании проделанных экспериментов были выведены количественные закономерности, которые в последствии в 1905 году получили теоретическое объяснение Альбертом Эйнштнейном и сформулированы в три закона фотоэффекта [8 С. 441-444]:

Количество электронов, вырываемых светом с поверхности металла за единицу времени, прямо пропорционально интенсивности света.

Максимальная кинетическая энергия вырываемых светом электронов линейно возрастёт с частотой света и не зависит от его интенсивности.

Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, предельная наименьшая частота или наибольшая длина волны, при которой еще возможен внешний фотоэффект. То есть, если частота света меньше этой предельной частоты или длина волны больше предельной длины волны, то фотоэффект не наблюдается.

Альберт Эйнштейн нашёл уравнение, описывающее фотоэффект. Все три закона фотоэффекта оказались следствиями уравнения Эйнштейна. Заслуга Эйнштейна состояла в отказе от попыток истолковать фотоэффект с позиций классической электродинамики. Эйнштейн использовал гипотезу о квантах, высказанную Максом Планком.

Суть проблемы состояла в том, что простая и естественная электродинамическая модель теплового излучения приводила к бессмысленному выводу: любое нагретое тело, непрерывно излучая, должно постепенно потерять всю свою энергию и остыть до абсолютного нуля. В ходе решения этой проблемы Макс Планк высказал свою гипотезу о квантах. Она гласит, что электромагнитная энергия излучается и поглощается не непрерывно, а отдельными неделимыми порциями - квантами. Энергия кванта пропорциональна частоте излучения:

Соотношение (9.3) называется формулой Планка, а коэффициент пропорциональностиh- постоянной Планка. Принятие этой гипотезы позволило Планку построить теорию теплового излучения, согласующуюся с экспериментами. Располагая известными из опыта спектрами теплового излучения, Планк вычислил значение постоянной:

Гипотезы Планка утверждала, что законы классической физики неприменимы к малым частицам вроде атомов или электронов, а также к явлениям взаимодействия света и вещества. Подтверждением данной мысли как раз и послужило явление фотоэффекта.

Эйнштейн предположил, что свет обладает прерывистой структурой: не только излучение и поглощение, но также и распространение света происходит отдельными порциями - квантами, обладающими энергией. Планк рассматривал свою гипотезу лишь как математический прием и не опровергал электродинамику применительно к микромиру. Физической реальностью кванты стали благодаря Эйнштейну.

Кванты электромагнитного излучения (в частности, кванты света) стали впоследствии называться фотонами. Таким образом, свет состоит из частиц - фотонов, движущихся в вакууме со скоростью c. Каждый фотон монохроматического света, имеющего частоту н, несёт энергию hн. Фотоны могут обмениваться энергией и импульсом с частицами вещества.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта - закон сохранения энергии. Энергия фотона hн при его неупругом столкновении с электроном расходуется на совершение работы выхода A по извлечению электрона из вещества и на придание электрону кинетической энергии :

Уравнение (9.5) содержит в себе обобщение теории фотоэффекта.

Список использованной литературы

Винтайкин Б.Э. Физика твердого тела/Б.Э. Винтайкин.М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 360 с.

Лиопо В.А. Рентгеновская дифрактометрия: Учеб. Пособие/В.А.Лиопо, В.В.Война.Гродно: ГрГУ, 2003. 171 с.

Павлов П.В. Физика твердого тела: Учеб. 3-е изд. / П. В. Павлов, А.Ф. Хохлов. М.:Высш.шк., 2000. 494 с.

Глушкова Т.М. Дифракция рентгеновских лучей на монокристаллах: Учеб. Пособие/ Т.М.Глушкова. М.: МГУ,2005.20 с.

Фетисов Г.В. Синхротронное излучение. Методы исследования структуры веществ/ Г.В. Фетисов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 672 с.

Квантоваяэлектроника: маленькая энциклопедия / под ред. М. Е. Жаботинского (отв. ред.) [и др.].М.: Советская энциклопедия, 1969. 442 с.

Столетов А. Г. Избранные сочинения / Под ред. А. К. Тимирязева. М.: Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1950. 660 с.

Яковлев И.В. Материалы по физике / И.В. Яковлев.М.: МЦНМО, 2014. 489 с.

Размещено на Allbest.ru