Расчет динамических и частотных характеристик объекта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

Кафедра автоматизации технологических процессов и производств

Контрольная работа

по дисциплине: «Автоматика и автоматизация производственных процессов»

Расчет динамических и частотных характеристик объекта

Факультет ИНиГ курс 2 ОСПЗ группа 203231

Леонов Федор Евгеньевич

Руководитель доцент Н.В. Коряковская

Архангельск 2014



1. Теоретическая часть

последовательный соединение передаточный сигнал

Объект представляет собой последовательное соединение идеального дифференцирующего звена с передаточной функцией и апериодического звена 1-го порядка с передаточной функцией .

Последовательным называется соединение двух или нескольких звеньев, при котором сигнал на выходе предыдущего звена является входным для последующего.

Схематическое изображение последовательного соединения представлено на рисунке 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1. Последовательное соединение

Передаточная функция для последовательного соединения находится путём перемножения всех передаточных функций:

, (1)

где n-количество звеньев.

Таким образом, для соединения из двух звеньев (рисунок 1):

(2)



Типовые динамические звенья делятся на позиционные, интегрирующие, дифференцирующие и запаздывания в соответствии со структурой их уравнений.

У дифференцирующих звеньев выходная величина получается дифференцированием входного сигнала.

Идеальное дифференцирующее звено описывается уравнением:

(3)

Передаточная функция звена:

(4)

Апериодическое звено 1-го порядка описывается дифференциальным уравнением:

(5)

и передаточной функцией:

, (6)

где к - коэффициент передачи;

Т - постоянная времени звена, с.

Для исследования динамики работы системы и её элементов используют типовые входные сигналы. К ним относятся: единичная ступенчатая функция, единичная импульсная функция, гармоническая функция.

Передаточной функцией звена (системы) называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при условии, что все остальные воздействия равны нулю.

Замкнутые системы - это САР с обратной связью, в которых регулируемый параметр непрерывно измеряется и сравнивается с задающим воздействием (см. рисунок 2).

Рисунок 2. Структурная схема замкнутой САР

Если разорвать главную обратную связь (рисунок 3), то получим разомкнутую систему, состоящую из последовательного соединения объекта с передаточной функцией Wo(p) и регулятора с передаточной функцией Wp(p).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3. Структурная схема разомкнутой САР

Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию находится путём перемножения передаточных функций всех звеньев прямой цепи регулирования.

Так для рисунка 4 передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:



(7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Русунок 4. Параллельное соединение звеньев

Передаточная функция замкнутой системы для рисунка 3 находится из выражения:

, (8)

где W(p) - передаточная функция разомкнутой системы;

M(p), N(p), D(p) - полиномы от комплексной переменной р.

Характеристическим уравнением разомкнутой (замкнутой) системы называется полином знаменателя передаточной функции разомкнутой (замкнутой) системы, приравненный нулю (N(p)=0, D(p)=0).

Для исследования динамики работы системы и её элементов используют типовые входные сигналы. К ним относятся: единичная ступенчатая функция, единичная импульсная функция, гармоническая функция.

Единичная ступенчатая функция 1(t) имеет вид:

(9)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 5. Единичная ступенчатая функция

Переходной характеристикой h(t) звена (системы) называется его реакция на воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях (рисунок 6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6. Примеры переходных функций

Единичная импульсная функция имеет вид:

(10)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7. Весовая функция



Весовой функцией звена (системы) называется его реакция на воздействие в виде единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях (см. рисунок 8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8. Примеры весовых функций

При подаче на вход звена (системы) воздействия в виде гармонической функции , на выходе получим гармонический сигнал , той же частоты w, но отличающийся от входного по амплитуде и фазе ц.

Зависимость отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала от частоты w называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) A(w).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 9. Пример АЧХ



Для любой частоты значение АЧХ можно определить по формуле:

(11)

Зависимость сдвига по фазе выходного сигнала относительно входного от частоты w, называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ)

(12)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 10. Пример ФЧХ

Амплитудно-фазовая характеристика АФХ отражает как свойство изменять амплитуду выходного сигнала, так и свойство задерживать сигнал на каждой частоте на определенную величину .

Выражение для построения АФХ получают из передаточной функции W(p) заменой комплексной переменной р на jw.

Так как W(jw) комплексная функция, то её можно представить в алгебраической и показательной форме записи.

Алгебраическая форма записи:

(13)



где U(w) - вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

V(w) - мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Показательная форма записи связывает АФХ с АЧХ и ФЧХ:

(14)

Амплитудно-фазовую характеристику строят на комплексной плоскости (см. рисунок 11).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 11. Пример АФХ

АЧХ является модулем АФХ:

(15)

Длина вектора, проведённого из начала координат в точку характеристики W(jw0),равна значению АЧХ на частоте w0.

ФЧХ является аргументом АФХ:

(16)



Величина угла от оси абсцисс до вектора, проведённого из начала координат в точку характеристики W(jw0), равна значению ФЧХ на частоте w0.

2. Расчетная часть

Так как соединение последовательное, то передаточную функцию разомкнутой системы получим как произведение передаточных функций звеньев:

(17)

Подставим в (17) значения параметров объекта и получим выражение для передаточной функции разомкнутой системы в частном виде:

Передаточную функцию замкнутой системы найдем по формуле:

(18)

Подставим в (18) параметры объекта, получим передаточную функцию замкнутой системы в частном виде:



Согласно определению, характеристическое уравнение разомкнутой системы найдем из выражения (17):

и в частном виде:

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

и в частном виде:

Дифференциальное уравнение соединения найдем из передаточной функции разомкнутой системы (17):

Последнее выражение есть дифференциальное уравнение соединения в общем виде.

В частном виде, получим следующее выражение:

Найдем временные характеристики соединения:

Переходная функция:

В частном виде:

(19)

Весовая функция:

В частном виде:

(20)

По выражениям (19), (20) строим графики переходной и весовой функций.



Рисунок 12. Переходная функция

Рисунок 13. Весовая функция

Найдем частотные характеристики соединения:

Комплексная частотная характеристика:



(21)

Найдем вещественную (ВЧХ) и мнимую (МЧХ) частотные характеристики, умножив числитель и знаменатель выражения (21) на комплексно-сопряженное знаменателя:

Отсюда

(22)

По выражению (22) строим амплитудно-фазовую характеристику (Рисунок 14)

Рисунок 14. Характеристика АФХ



Найдем выражения для амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной характеристик (ФЧХ) соединения как модуль и аргумент комплексной частотной передаточной функции соответственно.

Амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

(23)

Фазо-частотная характеристика имеет вид:

(24)

По выражениям (23), (24) строим АЧХ и ФЧХ (Рисунок 15, Рисунок 16)

Рисунок 15. Характеристика АЧХ



Рисунок 16. Характеристика ФЧХ

Из выражения (18) получим дифференциальное уравнение замкнутой системы:

Размещено на Allbest.ru