Анализ процессов перколяции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Что же такое перколяция?

2. Перколяция как критическое явление

Заключение

Литература

Введение

Исторически теория перколяции восходит к работам Флори и Стокмайера , которые рассматривали процесс образования гелей при полимеризации. Однако, обычно начало теории перколяции связывают с публикацией в 1957 г . работы Броадбента и Хаммерсли. Авторы ввели в обиход название «теория перколяции» и рассмотрели процесс с математической точки зрения. Термин перколяция использовался для противопоставления диффузии: если в случае диффузии мы имеем дело со случайный блужданием частицы в регулярной среде , то в случае перколяции речь идет о регулярном движении(например , течении жидкости или тока ) в случайной среде.

Большинство результатов теории перколяции получено в результате компьютерного моделирования. При этом приходится проводить многие тысячи компьютерных испытаний на больших объектах, что потребовало разработки эффективных алгоритмов.

Выяснилось, что теория перколяции имеет точки соприкосновения с рядом новых и перспективных направлений науки, например, перколяционные процессы могут приводить к самоорганизации и образованию структур, объекты, которые образуются при перколяции, являются фракталами.

Несмотря на то, что в теории перколяции получен ряд строгих результатов, а в ее применении достигнуты значительные успехи, она находится еще в процессе становления, многое еще предстоит понять, доказать, применить.

1. Что же такое перколяция?

Что же такое перколяция? Поскольку перколяцией занимаются специалисты из разных областей знаний, то для описания перколяции используется два подхода. С одной стороны, математики применяют формальный подход, основанный на представлениях теории вероятности и теории графов, строгих доказательств и формальных обозначений. С другой стороны, естественники предпочитают более простой и наглядный подход, часто заменяя строгие доказательства ссылками на аналогию, интуицию и здравый смысл. Кажется разумным использовать для начального знакомства с теорией именно второй подход.

Рассмотрим квадратную сетку 3x3 (рис. 1.1). Закрасим часть квадратов черным цветом. В нашем случае их 3. Доля закрашенных квадратов составляет

Каким образом мы выбираем квадратики для закрашивания? Во-первых, можно выбирать квадратики случайно и независимо; во-вторых, можно ввести какие-либо правила. В первом случае говорят о случайной перколяции (математики называют ее еще перколяцией Бернулли), во втором -- о коррелированной.

перколяция бернулли полимеризация гель

Рис. 1.1 Перколяция на квадратной решетке размером 3х3 клетки

Одним из основных вопросов, на которые пытается ответить теория перколяции , -- при какой доле р_с закрашенных квадратов возникает цепочка черных квадратов, соединяющая верхнюю и нижнюю стороны нашей сетки? Легко сообразить, что для сетки конечного размера такие цепочки могут возникать при разных концентрациях (рис. 1.2). Однако, если размер сетки L устремить к бесконечности, то критическая концентрация станет вполне определенной (рис. 1.3). Это строго доказано. Такую критическую концентрацию называют порог перколяции.

Рис. 1.2 Различные варианты заполнения решетки

Рис. 1.3 Вероятность возникновения перколяции Р в зависимости от доли заполнения узлов р. Гладкая кривая соответствует конечного размера , ступенчатая - бесконечно большой решетке

2. Перколяция как критическое явление

Перколяция рассматривается как критическое явление. Предполагается, что вблизи точки фазового перехода основные величины, характеризующие систему, являются неаналитическими (рис. 1.5,1.6). Напомним, что аналитической называется функция, которая может быть представлена в виде степенного ряда.

Пусть некоторая функция f(x) вблизи точки P(х) может быть представлена в виде:

Ведущее слагаемое неаналитической части называется также критической или (главной) сингулярной частью. Сингулярная часть обозначается одним из следующих способов

Вообще, сингулярная в данном контексте означает функцию, которая либо сама, либо ее производная обращаются в бесконечность в какой-либо точке. Часто какие-либо обозначения для сингулярной части опускаются.

Заключение

Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах. С точки зрения математика теорию, перколяции следует отнести к теории вероятности на графах. С точки зрения физика, перколяция -- это геометрический фазовый переход. С точки зрения программиста -- широчайшее поле для разработки новых алгоритмов. С точки зрения практика -- простой, но мощный инструмент, позволяющий и едином подходе решать самые разнообразные жизненные задачи.

Теория перколяции привлекает к себе внимание специалистов по ряду причин :

· легкие и элегантные формулировки задач теории протекания сочетаются с трудностью их решения;

· их решение требует объединения новых идей из геометрии , анализа и дискретной математики;

· физическая интуиция бывает весьма плодотворной при решении этих задач;

· техника, развитая для теории перколяции, имеет многочисленные приложения в других задачах а случайных процессах;

· теория перколяции дает ключ к пониманию иных физических процессов;

Литература

1. Тарасевич Юрий Юрьевич: учебное пособие. Изд. 2-е. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. - 112с.

Размещено на Allbest.ru