Расчет погрешностей измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

В своей жизни человеку постоянно приходится проводить измерения, будь то научные исследования, проектирование, строительство или простая покупка товара в магазине. Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с ее известным значением, называемым эталоном. При этом за значение X измеряемой величины принимают число, показывающее, сколько раз в измеряемой величине содержится эталон. Следует помнить, что никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат обязательно содержит некоторую погрешность. Каждое измерительное устройство обязательно содержит некоторую погрешность изготовления тех или иных измерительных шкал. Измеряя с помощью такого инструмента некоторую величину, мы не можем сделать ошибки меньшей, чем погрешность измерительного устройства. Кроме того, в процессе измерений возникают и случайные ошибки, связанные с повторяемостью физических измерений.

Измерения делятся на прямые и косвенные.

Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые непосредственно измеряют саму физическую величину. Так, массу тела можно измерить с помощью весов, длину с помощью линейки и т.д.

Если физическую величину невозможно измерить с помощью приборов, то ее конечный результат находится по формуле через величины, определяемые в результате прямых измерений. Такой метод измерения называется косвенным.

Рис. 1. Определение высоты башни.

Предположим, к примеру, что нужно измерить высоту h телевизионной башни. Можно взять мерную ленту достаточно большой длины, забраться на вершину башни закрепить там конец ленты, а затем спуститься и прочитать отсчет у поверхности Земли, который соответствует высоте телебашни. Это как раз случай прямых измерений - измеряемая величина (высота) считывается по прибору (мерной ленте). Однако выполнять такие действия крайне опасно. Гораздо проще (рис. 1) поставить угломерный прибор, например, теодолит, на известном расстоянии S от башни и измерить угол , опирающийся на вершину и основание башни. Тогда высота будет определяться по формуле . Результат косвенного измерения всегда рассчитывается по формуле на основании прямых измерений.

Точность измерений характеризуется их погрешностью.

Абсолютной погрешностью измерения Х называют модуль разности между измеренным значением Х и ее истинным значением

. (1)

Истинное значение , вообще говоря, остается неизвестным. Однако с определенной вероятностью можно сказать, что оно находится в интервале

. (2)

В зависимости от свойств и причин возникновения различают три основных типа погрешностей (ошибок): систематические, случайные погрешности и промахи.

Систематическая погрешность измерения обусловлена прибором, которым проводится измерение. Невозможно идеально изготовить прибор. Например, длина линейки в действительности может отличаться от того значения, которое написано на ней. Два последовательно включенных амперметра могут показывать различный ток и т.д. Приборы, тем не менее, считаются исправными, если их показания отличаются от истинного значения не более чем на величину абсолютной систематической погрешности измерения. Отклонение показаний прибора происходит всегда в одну и ту же сторону. Однако исследователю, как правило, неизвестно, в какую именно сторону происходит отклонение. Абсолютная систематическая погрешность измерения определяется тремя способами:

1) по классу точности прибора;

2) на приборе, как число с наименованием единиц величин, измеряемых прибором;

3) как половина цены наименьшего деления шкалы прибора.

Остановимся подробно на каждом из них.

1. Определение абсолютной систематической ошибки по классу точности прибора. Этот способ используется только для электроизмерительных приборов, например, для вольтметра, амперметра.

Класс точности прибора, предназначенного для измерения физической величины Х, определяется следующим образом

, (3)

где наибольшее предельное значение величины Х, которое можно измерить данным прибором. Если известен класс точности прибора, то из соотношения (3) можно выразить абсолютную систематическую погрешность измерения

. (4)

Например, класс точности амперметра равен 1,5, а наибольший ток, который можно измерить этим амперметром при конкретном положении его ручек настройки составляет 5 А. Тогда систематическая погрешность окажется равной

.

Причем это значение не зависит от результатов измерений. Из формулы (4) видно, что систематическая погрешность тем меньше, чем меньше класс точности прибора. Класс точности прибора обозначается на приборе как число в десятичном формате (может быть обведено в кружок). Стандартом установлены семь классов точности приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Приборы классов 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 применяют для технических целей и называют техническими. Приборы классов 0,1; 0,2; 0,5 применяют для точных лабораторных измерений, а также для контроля технических. Их называют прецизионными.

2. Определение абсолютной систематической ошибки как числа с наименованием единиц величин, измеряемых прибором, используется для точных измерительных приборов, например, для штангенциркуля, микрометра.

В этом случае абсолютная систематическая погрешность указывается непосредственно на самом приборе как число с наименованием. Например, 0,1 мм на штангенциркуле, 5 г на весах.

3. Определение абсолютной систематической ошибки как половины цены наименьшего деления шкалы прибора используется для простых измерительных приборов, например для линейки. Так, при измерении линейкой с делением шкалы 1 мм абсолютная систематическая погрешность будет равна 0,5 мм.

Точность прибора невозможно превзойти никаким методом измерения на нем.

Кроме абсолютной систематической погрешности существует абсолютная случайная погрешность ?Хсл.

Случайная погрешность обусловлена случайными факторами, которые, в свою очередь, могут быть вызваны различными причинами. С одной стороны это могут быть причины, не зависящие от измеряемой величины, например, состояние организма человека, наблюдающего за прибором, погодные и природные условия, состояние рабочего места и др. С другой - сама измеряемая величина может носить случайный характер. Например, количество транспортных средств на участке дороги, температура и влажность воздуха в различных частях города, концентрация примесей в различных пробах воды и т.п. В любом случае за истинное значение величины Х принимают ее среднее значение Хср. Для этого проводят несколько измерений Х1, Х2, ... Хn и рассчитывают Хср

, (5)

где n число измерений. Очевидно, что чем больше измеренные значения отличаются друг от друга, тем больший разброс имеет величина Х. Для того, чтобы оценить величину этого разброса, разработан специальный математический аппарат. Мы познакомимся только с результатами этих расчетов. Прежде всего, вычисляется стандартный доверительный интервал (среднее квадратичное отклонение)

. (6)

В знаменателе под корнем не может стоять n, т.к. стандартный интервал Х возрастал бы при увеличении числа измерений, что неестественно. Не может там быть и n2, т.к. при одном единственном измерении величина оказалась бы нулевой, что также неестественно. Можно ли считать, что величина случайной погрешности равна стандартному доверительному интервалу? Нет, нельзя. Для того чтобы определить величину случайной погрешности Хсл, необходимо определить так называемую доверительную вероятность (надежность) . Это вероятность того, что значение измеренной величины окажется в интервале от ХХ до ХХ. Например, после ста контрольных измерений диаметра стандартной двадцатимиллиметровой трубы обнаружено, что в 50 случаях ее диаметр оказался в интервале от 19,97 мм до 20,03 мм, в 80 случаях от 19,95 до 20,05 мм, а в 95 случаях от 19,90 до 20,10 мм. Следовательно, можно приближенно оценить величину случайной погрешности. При надежности =0,50, Хсл=0,03 мм; при надежности =0,80, Хсл=0,05 мм; а при =0,95, Хсл =0,10 мм. То есть, величина случайной погрешности увеличивается с увеличением надежности, причем очень резко при стремлении к единице. Действительно, с надежностью, равной 1, ничего нельзя гарантировать. При построении техники всегда задается определенная надежность изделия. Каждая деталь должна соответствовать надежности не ниже той, которая предъявляется ко всему изделию в целом. Если техника достаточно сложная, то отклонение параметров деталей от заданных значений должно быть очень малым. Уменьшение отклонения Х при одновременном увеличении чрезвычайно трудная задача. Например, при изготовлении кастрюль можно задать =0,98 и отклонение от стандартных размеров в пределах 2%. А при изготовлении самолета необходимо положить 0,9999, и относительное отклонение от стандарта не более 0,001%. В этом состоит одна из причин того, что стоимость десятитонного самолета во много раз превышает стоимость 10 тонн алюминиевых кастрюль. При увеличении числа измерений величина случайной погрешности уменьшается. Однако при большом числе измерений это уменьшение оказывается крайне незначительным. Для того, чтобы учесть зависимость Хсл от и n, вводится специальный коэффициент tn, , называемый коэффициентом Стьюдента. Случайная погрешность определяется следующим выражением:

. (7)

Коэффициент Стьюдента можно определить по специальной таблице (см. таблицу 2). При лабораторных измерениях обычно полагают =0,95 и ограничиваются 3-4 измерениями. При =0,95 t3;0,95 = 4,3; t4;0,95 =3,2.

Промахи (или грубые погрешности) проявляются обычно в резком отклонении результата отдельного измерения от остальных. Промахи обусловлены главным образом недостаточным вниманием экспериментатора или неисправностями средств измерения. Промахи устраняют повторным более внимательным измерением или отбрасывают результаты как ошибочные.

Полная абсолютная погрешность Х при прямых измерениях находится путем сложения случайной и систематической погрешностей:

. (8)

Погрешность при косвенных измерениях находится двумя способами:

1. как полный дифференциал с последующей заменой дифференциалов соответствующими погрешностями;

2. путем логарифмирования и последующего дифференцирования расчетной формулы.

Рассмотрим подробнее каждый из способов нахождения погрешности косвенных измерений.

1. Определение погрешности косвенных измерений как полный дифференциал с последующей заменой дифференциалов соответствующими погрешностями.

Если искомая величина является функцией нескольких переменных, например, f(x,y), то погрешность косвенных измерений можно определить по формуле:

. (9)

Например, ускорение при поступательном движении определяется как .

Тогда , .

Так как , то

Независимо от знака производных, слагаемые в последнем выражении должны учитываться только со знаком «+», так как погрешность при измерении нескольких переменных может только увеличиваться. Если в формулу входят константы, то при расчетах в них необходимо учитывать хотя бы на одну значащую цифру больше, чем в измеряемой величине, тогда они практически не вносят погрешности в результат измерения.

2. Определение погрешности косвенных измерений путем логарифмирования и последующего дифференцирования расчетной формулы.

Например, абсолютная погрешность в определении ускорения может быть найдена в результате логарифмирования и последующего дифференцирования соотношения .

Логарифмируем расчетную формулу: ln а = ln 2 + ln h - ln t 2.

Дифференцируем полученное выражение: .

Заменяя дифференциалы на соответствующие им абсолютные погрешности величин прямых измерений, и учитывая, что независимо от знака дифференциалов, слагаемые берутся только со знаком «+», так как погрешность при измерении нескольких переменных может только увеличиваться, получим:

,

Абсолютная погрешность измерения представляет собой необходимую информацию об измеряемой величине. Однако, она не всегда оказывается наглядной. Допустим, что X=5 см. Много это или мало? Если измеряется длина подошвы Х, то это много. Если Х это длина комнаты, то это немного. Если же Х расстояние между автобусными остановками, то это ничтожно мало.

Иначе воспринимается так называемая относительная погрешность

, (10)

которую можно выразить в процентах, если умножить на 100 %.

Окончательный результат измерения представляется в виде:

< единицы измерения >; е = … % ; = < значение >. (11)

Например, а=(2,9 0,3) м /с2 ; = 10,3 % ; =0,95.

Правильная запись окончательного результата предполагает его округление. Для этого нужно вспомнить, что такое значащие цифры (знаки) в числе. Любое число можно представить с произвольным количеством нулей слева. Например, 00052,0310 = 52,031. Первая ненулевая цифра слева это первая значащая цифра. В данном случае это цифра 5. Вторая цифра 2, третья 0 и т.д. Цифры справа от первой значащей формально также могут быть значащими, однако, в зависимости от измеряемой величины и способа ее измерения количество их также ограничено.

Предположим, что среднее значение величины Х и ее абсолютная погрешность Х найдены. Перед округлением величин Хср и Х они должны быть приведены к одинаковым наименованиям. Множители типа 10n также должны быть одинаковыми. Например, значения X = 154,51010-2 м и Х = 3,814102 мм могут быть приведены к виду Х = 154,51 см, Х = 38,14 см. В первую очередь округляют погрешность Х. Так как Х это уже сама по себе погрешность, и, следовательно, определяет интервал допустимых значений, то указание ее с большой точностью (с большим количеством знаков после запятой) теряет смысл. В случае округления с точностью до десятых при округлении Х пользуются следующим правилом: если первая значащая цифра после запятой равна 1, то Х округляется до двух знаков (четвертая строка в таблице 1), в остальных случаях до одного знака. В тех случаях, когда измерения выполняются с большой точностью, округление результатов проводится с точностью, не меньшей точности прибора. Примеры округления результатов вычислений, в зависимости от заданной точности, приведены в таблице 1. Во всех случаях после округления количество знаков после запятой в погрешности Х и среднем значении величины Х должно быть одинаковым.

Таблица 1. Правила округления результатов

Номер строки	Точность округления	До округления	После округления
		Хср	Х	Хср	Х
1 2 3 4 5 6 7	до целых до целых до десятых до сотых до тысячных до десятитысячных	65, 213 88443, 1 2, 858 5, 353 256, 368 35, 2083 2, 316275	2, 187 727, 05 0, 23 0, 186 1, 543 0, 01708 0, 00147	65 88400 2, 9 5, 35 256, 37 35, 208 2, 3163	2 700 0, 2 0, 19 1, 54 0, 017 0, 0015

Таблица 2. Значения коэффициентов Стьюдента

число измерений n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
надежность =0,95	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Цель работы. Проверить основной закон динамики вращательного движения.

Теоретическое введение. Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Основной закон динамики вращательного движения: угловое ускорение , с которым вращается тело, прямопропорционально суммарному моменту сил , действующих на тело, и обратнопропорционально моменту инерции тела I относительно оси вращения:

, (1)

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы

. (2)

Модуль момента силы равен

, (3)

где - угол между векторами и , l - плечо силы.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Из рисунка 1 видно, что l = r •sin б .

Рис. 1. Момент силы относительно неподвижной точки О.	Рис. 2. Момент силы относительно неподвижной оси Z.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина MZ, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси Z. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси Z (рис. 2).

Направление вектора момента силы определяется по правилу векторного произведения: если буравчик (винт с правой резьбой) расположить в плоскости, перпендикулярной плоскости расположения векторов, стоящих в векторном произведении и вращать ручку буравчика от первого вектора в векторном произведении ко второму по наименьшему углу, то направление поступательного движения острия буравчика покажет направление вектора, определяемого через данное векторное произведение.

Так, в примере на рисунке 1 вектор момента силы перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , и направлен в плоскость чертежа “от нас”. Направлению момента силы относительно заданной оси Z обычно приписывают направление этой же самой оси (рис. 2). Момент силы, вызывающий вращение тела против часовой стрелки принято считать положительным, по часовой стрелке - отрицательным.

Угловое ускорение - это векторная физическая величина, которая определяет быстроту изменения угловой скорости:

, (4)

где угловая скорость, а угловое перемещение.

Единица измерения углового ускорения в системе СИ - радиан на секунду в квадрате (рад/с2).

Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта: если ручку винта вращать по направлению вращения тела, то направление поступательного движения острия винта покажет направление вектора угловой скорости. Направление углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости , если движение равноускоренное, и противоположно направлено, если движение равнозамедленное.

В соответствии с основным законом вращательного движения можно сказать, что направление совпадает с направлением результирующего момента силы , действующего на тело.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния от нее до оси вращения:

. (5)

Моментом инерции системы материальных точек (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси

, (6)

где mi масса i-й материальной точки, а ri расстояние от этой точки до оси вращения.

Отметим, что момент инерции всегда определяется относительно заданной оси. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Для проверки основного закона динамики вращательного движения используется установка (рис. 3), называемая маятником Обербека. Она представляет собой шкив с приваренными к нему спицами. На спицах могут перемещаться два груза массой m0 = 53 г каждый, которые закрепляются специальными винтами на расстоянии R от оси вращения. На шкиве радиуса r намотана прочная нить, к которой прикреплен груз массой m. При свободном опускании груза маятник вращается с постоянным ускорением. Поскольку ось вращения для маятника Обербека закреплена, то соотношение (1) можно рассматривать в скалярном виде . (7)	Рис. 3. Схема экспериментальной установки машины Обербека.

Чтобы установить справедливость соотношения (7), необходимо установить справедливость двух зависимостей

(8)

Обозначим через I0 момент инерции маятника без грузов относительно оси вращения, а через Т силу натяжения нити. Тогда результирующий момент инерции маятника окажется равным

I = Iп + 2mп R2, (9)

где 2mпR2 - момент инерции грузов, находящихся на расстоянии R от оси вращения.

Результирующий момент сил равен

M = Tr Mтр , (10)

где Mтр момент сил трения, возникающий между осью и шкивом, который для каждой установки постоянен. Составим систему уравнений движения маятника и опускающегося груза

, (11)

где а ускорение опускающегося груза.

Умножим второе уравнение системы (11) на радиус шкива r и сложим с первым. При этом следует учесть, что . Тогда , с учетом формулы (9), получим:

. (12)

Так как при проверке первой зависимости (8) момент инерции системы не изменяется и в соотношении (12) знаменатель остается постоянным, то можно ввести следующие обозначения в выражении (12):

I1 = Iп + 2mпR2 + mr2 , некоторые постоянные.

Тогда . (13)

Здесь момент силы тяжести груза mgr выступает в качестве аргумента. Установим R равным его среднему значению 10 см. Масса m может быть набрана из трех грузов одного основного 51 г (платформы) и двух дополнительных 51 г и 102 г. Диаметр шкива равен 20 мм, но при наматывании нити конечный диаметр составляет 24 мм. Поэтому можно принять эффективный диаметр шкива равным 22 мм, а эффективный радиус r =11 мм. Ускорение опускающегося груза может быть найдено, как . Тогда с учетом выражения угловое ускорение определится как

. (14)

Изменение массы груза m производится в соответствии с таблицей 1 исходных данных, в которую так же вносятся результаты измерений и расчетов.

Таблица 1

№ изм.	m, г	mgr •10-2, Нм	t1 , c	t2 , c	t3 , c	tср , c	, рад/с2	, рад/с2	Относит. погрешность, %
1	51	0,55	22,23	24,53	23,82
2	51+51=102	1,10	9,02	10,25	9,74
3	51+102=153	1,65	7,08	6,94	7,56
4	51+102+51=204	2,20	5,96	5,89	5,15
Данные установки: h = 1,40 м; R = 10 см; r =11 мм .	tсист = 0,01 с ; hcист = 0,005 м.

По данным таблицы 1 строится график зависимости углового ускорения от момента силы тяжести опускающегося груза mgr, т.е. е=f(mgr). Отрезок, отсекаемый прямой на оси моментов сил, равен моменту сил трения, возникающему при трении шкива об ось.

Проверка второй зависимости (8) осуществляется путем выполнения второй серии опытов. Для этого перепишем соотношение (12) в виде

. (15)

При постоянной массе m груза второе слагаемое, а также знаменатель первого слагаемого в выражении (15) остаются постоянными. Таким образом, величина 1/ должна быть пропорциональна изменяющемуся моменту инерции грузов 2mпR2. Величину 1/ находят в соответствие с (14) по формуле:

.

Массу груза m на нити установить равной 102 г. Момент инерции грузов меняется за счет изменения расстояния R грузов m0 до оси вращения в соответствии с таблицей 2, в которую так же вносятся результаты измерений и расчетов.

Таблица 2

№ изм.	R, см	2mпR2 •10-3, кгм2	t1 , c	t2 , c	t3 , c	tср , c	-1 , с2/рад	-1 , с2/рад	Относит. погрешность, %
1	5	0,265	6,74	6,05	7,12
2	10	1,06	9,02	10,25	9,74
3	15	2,39	13,59	12,82	14,10
4	19	3,83	14,87	16,12	15,75
Данные установки: h = 1,40 м; m = 102 г; mgr = 0,011 Нм .

По данным таблицы 2 строится график зависимости 1/ от переменного момента инерции 1/е=f(2mпR2). Отрезок, отсекаемый графиком на оси моментов инерции, равен моменту инерции маятника без грузов m0 , то есть моменту инерции шкива и спиц.

По данным приборов определяют систематические погрешности tсист и hcист. Поскольку высота, с которой опускается груз каждый раз задается одинаковым образом, то можно считать, что hсл=0. Случайная погрешность в определении времени находится обычным образом по трем измерениям. Полная погрешность находится по формуле t =tcист+tсл. Погрешность r можно положить равной 1 мм. Погрешности в определении углового ускорения рассчитываются по формулам:

. (16)

Выражение, стоящее в квадратных скобках, следует рассчитать один раз для средней строки одной из таблиц и использовать это значение для расчета погрешностей и -1 в каждой строке таблиц 1 и 2. По результатам работы сделать соответствующие выводы.

маятник обербек погрешность случайный

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Записать и объяснить основной закон динамики вращательного движения. Дать определения величин, входящих в это уравнение.

2. Как определяется направление углового ускорения и момента сил?

3. Какой физический смысл имеет отрезок, отсекаемый прямой на оси абсцисс на графике е=f (mgr) ?

4. Какой физический смысл имеет отрезок, отсекаемый прямой на оси абсцисс на графике 1/е=f (2mпR2) ?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА МЕТОДОМ АДИАБАТИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ

Цель работы. Ознакомиться с методом адиабатического расширения, определить коэффициент Пуассона для воздуха.

Теоретическое введение. Удельной теплоемкостью вещества называется величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить веществу единичной массы, чтобы увеличить его температуру на один Кельвин:

. (1)

Единица удельной теплоемкости в системе СИ - джоуль на килограмм-кельвин: [с] = Дж / (кгК).

Молярной теплоемкостью вещества называется величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить молю вещества, чтобы увеличить его температуру на один Кельвин:

. (2)

Единица молярной теплоемкости в системе СИ - джоуль на моль-кельвин: [С] = Дж / (мольК).

Для газов удельная и молярная теплоемкости зависят от условий, при которых проводится нагревание. Между собой теплоемкости связаны соотношением:

, (3)

где М - молярная масса вещества.

Согласно первому началу термодинамики количество теплоты , сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на работу системы против внешних сил :

, (4)

Изменение внутренней энергии идеального газа определяется формулой:

, (5)

где - количество вещества, dT - изменение температуры, R - универсальная газовая постоянная, i - число степеней свободы газа. Для одноатомных молекул (инертные газы) i=3, для двухатомных (простые газы, кроме инертных) - i=5, для многоатомных (сложные газовые соединения) - i=6.

Нагреем один моль газа на dT градусов. Если объем газа не изменяется, т.е. V=const, то газ работы не совершает, т.е. =0. Тогда, согласно уравнению (4) и молярная теплоемкость газа, измеренная при постоянном объеме, определится выражением:

. (6)

Если при нагревании моля газа остается постоянным давление, т.е. P=const, то газ расширяется и совершает работу (рис. 1). Молярная теплоемкость газа, измеренная при постоянном давлении, определяется формулой:

. (7)

Расширившись, газ отодвинет легкий поршень площадью S на расстояние dl (рис. 1). Работа газа , где F - сила, действующая на поршень. Умножим и разделим правую часть выражения на площадь S, тогда:

. (8)

Подставив выражения (8) и (6) в (7) получим:

. (9)

Таким образом, чтобы нагреть газ при постоянном давлении, необходимо больше тепла, чем для нагревания такого же количества газа до той же температуры при постоянном объеме, так как в первом случае тепло расходуется не только на повышение внутренней энергии газа, но и на работу газа против внешних сил.

Запишем уравнение Клапейрона - Менделеева для моля газа

. (10)

Продифференцируем его, считая давление постоянным:

, (11)

отсюда . (12)

Тогда уравнение (9) можно переписать в виде:

. (13)

Это уравнение называется уравнением Майера.

Из соотношения (12) следует физический смысл универсальной газовой постоянной: R числена равна работе изобарного расширения одного моля идеального газа при его нагревании на один Кельвин.

Непосредственное определение теплоемкостей довольно затруднительно, особенно CV. При рассмотрении многих задач в расчетные уравнения входит коэффициент Пуассона, который равен отношению теплоемкостей . Измерение коэффициента Пуассона является целью настоящей работы, где он определяется методом Клемана и Дезорма, основанном на адиабатическом расширении газа.

Адиабатическим процессом называется такой процесс, при котором не происходит теплообмена между исследуемой системой и внешней средой (). Всякое быстрое изменение объема газа приближенно можно рассматривать как процесс адиабатический, и чем быстрее это изменение происходит, тем ближе процесс к адиабатическому.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Схема установки представлена на рисунке 2. В сосуд насосом накачивают воздух, создавая давление выше атмосферного. Это состояние газа соответствует началу эксперимента, на графике (рис.3) это точка 1. При этом газ имеет параметры Р1, V1, T1.

Быстрое расширение воздуха можно рассматривать как адиабатическое. Поэтому, открывая клапан сосуда на мгновение, в течение которого давление внутри сосуда достигает атмосферного, мы можем считать, что газ перейдет в новое состояние, характеризуемое величинами Р2, V2, T2 по адиабате (точка 2 на рисунке 3). Температура воздуха в сосуде после адиабатического расширения будет ниже начальной. Параметры начального и конечного состояний воздуха в сосуде при адиабатическом процессе связаны уравнением Пуассона (уравнением адиабаты):

или .(14)

Через несколько минут воздух в сосуде нагреется до температуры окружающей среды Т1. Поскольку при этом V2 не изменяется, то давление повысится до Р3. Новое состояние воздуха характеризуется параметрами Р3, V2, T1 (точка 3 на рисунке 3). Сравнивая состояние воздуха в сосуде, соответствующее точкам 3 и 1 (рис.3), видим, что температура воздуха в этих точках одинакова. Тогда по закону Бойля - Мариотта:

или . (15)

Сравнивая уравнения (14) и (15) получим:

. (16)

Прологарифмировав уравнение (16), получим

. (17)

Условия эксперимента позволяют упростить формулу (17) следующим образом:

. (18)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ЗАДАНИЯ

При закрытом клапане накачать воздух в сосуд так, чтобы измеряемое манометром избыточное давление стало равным 100 - 130 мм. рт. ст.

Через некоторое время, когда давление перестанет падать записать в таблицу величину давления Р1.

Открыть на мгновение клапан сосуда и когда стрелка манометра упадет до нуля быстро закрыть его. Через некоторое время, когда давление перестанет расти, записать величину давления Р3 в таблицу.

Повторить пункты 1-3 пять раз.

По формуле (18) рассчитать коэффициент Пуассона для каждого опыта. Вычислить среднее значение коэффициента Пуассона ср .

Найти теоретическое значение коэффициента Пуассона теор для воздуха, считая его молекулы жесткими двухатомными (указание: воспользоваться определениями коэффициента Пуассона и молярных теплоемкостей при постоянном объеме и давлении).

Сравнить теоретическое и среднее экспериментальное значения коэффициента Пуассона, оценив величину относительного отклонения по формуле

.

Таблица

№ изм.	Р1 , мм. рт. ст.	Р3 , мм. рт. ст.		ср	теор	д , %
1	120	22
2	118	21
3	122	22
4	119	19
5	116	18

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Что такое удельная и молярная теплоемкости вещества? От чего они зависят, в каких единицах измеряются?

Что такое коэффициент Пуассона ?

Сформулируйте первое начало термодинамики.

Что такое внутренняя энергия идеального газа? От чего она зависит?

Дать определение работы газа и количества теплоты.

Размещено на Allbest.ru