Электронные регуляторы

Размещено на http://www.allbest.ru/

26. Электронные регуляторы

фаза регулятор дифференциальный критический

26.1 Основные положения

Назначение регуляторов состоит в том, чтобы устанавливать и поддерживать на заданном уровне W (задающий параметр) определенную физическую величину X (регулируемую величину). Для этого регулятор должен определенным образом противодействовать воздействию возмущений.

Принципиальная блок-схема простого контура регулирования представлена на рис. 26.1. Регулятор влияет на регулируемую величину X с помощью регулирующего воздействия Y так, чтобы рассогласование регулирования W -- X было возможно меньшим. Воздействующее на объект регулирования возмущение формально можно представить величиной помехи Z, аддитивно накладывающейся на задающий параметр. Ниже мы будем исходить из предположения, что регулируемая величина является электрическим напряжением и что объект настраивается электрическим способом. Поэтому можно использовать электронный регулятор.

Простейшим примером такого регулятора служит усилитель, на вход которого подается отклонение регулируемой величины W--Х. Если регулируемая величина X превышает заданное значение W разность W-- X становился отрицательной. Благодаря этому регулирующее воздействие Y уменьшается в соответственно увеличенном масштабе. Это уменьшение компенсирует разность W -- X. В установившемся состоянии остаточное рассогласование тем меньше, чем выше коэффициент усиления А_R регулятора. Для линейной системы, представленной на рис. 26.1, справедливы соотношения

Y=A_R(W-X) и X= A_S(Y+Z) (26.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 26.1. Блок-схема контура регулирования

Отсюда получаем выражение для определения регулируемой величины X:

Понятно, что способность системы следовать за изменением задающего параметра X/W тем ближе к 1, чем выше коэффициент усиления цепи обратной связи:

Переходная характеристика при возмущении тем ближе к нулю, чем больше коэффициент усиления А_R регулятора. Однако при этом следует учитывать то обстоятельство, что коэффициент усиления цепи обратной связи нельзя сделать сколь угодно большим, так как тогда неизбежный сдвиг фазы в контуре регулирования приведет к возникновению колебаний. С подобной проблемой мы уже встречались при рассмотрении вопросов коррекции частотной характеристики операционных усилителей. Задача регулирования заключается в том, чтобы, несмотря на указанные ограничения, обеспечить возможно меньшее рассогласование регулирования и хорошую переходную характеристику. С этой целью к линейному усилителю добавляют интегратор и дифференциатор и получают, таким образом, вместо пропорционального регулятора (П-регулятора) ПИ - или ПИД-регулятор. Реализации такого регулятора с помощью электронных схем посвящены следующие разделы.

26.2 Типы регуляторов

26.2.1 П-регулятор

П-регулятор - это линейный усилитель, фазовый сдвиг которого в частотном диапазоне пренебрежимо мал, а коэффициент усиления g в цепи обратной связи контура регулирования больше единицы. Примером такого П-регулятора является операционный усилитель с резистивной цепью отрицательной обратной связи.

Для определения максимально возможного коэффициента линейного усиления А_Р рассмотрим диаграмму Боде типичного управляемого объекта. Она представлена на рис. 26.2. На частоте f = 3,3 кГц отставание по фазе составляет 180°. На этой частоте отрицательная обратная связь превращается в положительную, или, другими словами, выполняется условие (18.3) возникновения автоколебательного режима. Выполняется ли к тому же и условие для амплитуд (18.2), определяется коэффициентом линейного усиления А_Р. В примере, показанном на рис. 26.2, коэффициент усиления объекта | А_S| на частоте 3,3 кГц составляет 0.01= -40 дБ, коэффициент усиления обратной связи |g| = | А_S|А_Р на этой частоте был бы равен 1, т. е. амплитудное соотношение для генератора выполнялось бы, и возникли бы незатухающие колебания с частотой 3,3 кГц. При А_Р > 100 возникают колебания с экспоненциально нарастающей амплитудой. В случае А_Р < 100 возникают затухающие колебания.

Рис.26.2. Пример диаграммы Боде с П-регулятором

Вопрос заключается в том, насколько нужно уменьшить А_Р, чтобы получить оптимальный переходный процесс. Приближенная величина, определяющая затухание процесса установления колебаний, может быть получена непосредственно из диаграммы Боде в виде запаса (устойчивости) по фазе б, представляющего собой отставание по фазе, которое на критической частоте f_к еще не достигает 180^°. Критическая частота-это частота, при которой коэффициент усиления цепи отрицательной связи | g | становится равным единице. Отсюда запас по фазе

б = 180° - | ц_g(f_k) | = 180° - | ц_S(f_k) + ц_R(f_k) | (26.4)

В случае П-регулятора по определению ц_R(f_k) = 0, и мы получаем

б = 180° - | ц_S(f_k) | (26.5)

Запас по фазе б = 0° обеспечивает незатухающие колебания, так как в этом случае удовлетворяются как амплитудное, так и фазовое условия генерации. Условие б = 90° соответствует границе апериодического режима. При б ~ 65^е на переходной характеристике появляется 4%-выброс. Время установления минимально. Этот запас по фазе для большинства практических случаев является оптимальным. На рис. 26.3 представлены осциллограммы, иллюстрирующие различные случаи переходных процессов.

Рис.26.3. Зависимость переходной характеристики от запаса по фазе при постоянной критической частоте f_k. Сверху вниз: б=90°, б=65°, б=45°

В примере, представленном на рис. 26.2, запас по фазе ц_S на частоте f₂= 1 кГц составляет -- 135^° и коэффициент усиления объекта A_S= 0,1 = - 20 дБ. Если выбрать коэффициент усиления А_Р П-регулятора равным + 20 дБ, то коэффициент усиления объекта на этой частоте будет равен 1, а запас по фазе составит 45°. Таким образом, А_Р = 10 - наибольшее значение, при котором еще получается приемлемый переходный режим. Нижнее граничное значение коэффициента усиления цепи обратной связи составляет при этом

g = A_SA_P=1*10.

С учетом формулы (26.2) находим для установившегося режима относительное отклонение регулируемой величины:

Произвольно большой коэффициент линейного усиления может быть выбран лишь для таких объектов, которые ведут себя как фильтр нижних частот первого порядка, потому что для них запас по фазе на любой частоте превышает 90°.

26.2.2 ПИ-регулятор

В предыдущем разделе мы показали, что коэффициент усиления пропорционального регулятора по соображениям его устойчивости не может быть сделан произвольно большим. Улучшить точность регулирования можно, увеличив коэффициент усиления цепи обратной связи на низких частотах (рис. 26.4). Понятно, что вблизи критической частоты f_к частотная характеристика этого коэффициента не изменяется. Переходная характеристика, таким образом, остается неизменной. Остаточное рассогласование при этом равно нулю, поскольку

Рис.26.4. Пример диаграммы Боде объекта с ПИ-регулятором.

Для реализации такой частотной характеристики параллельно П-регулятору включается интегратор (рис.26.5).

Рис.26.5. Блок-схема ПИ-регулятора

На рис. 26.6 приведена диаграмма Боде полученного ПИ-регулятора. ПИ-регулятор на низких частотах ведет себя как интегратор, а на высоких-как линейный усилитель.

Рис.26.6 Диаграмма Боде ПИ-регулятора.

Переход от одного режима к другому характеризуется граничной частотой f₁ ПИ- регулятора. На этой частоте фазовый сдвиг составляет - 45°, а коэффициент усиления регулятора | А_R| превышает А_Р на 3 дБ.

Для расчета граничной частоты f₁ из формулы (26.5) находим комплексный коэффициент усиления регулятора:

Отсюда следует

где (26.6)

ПИ-регулятор может быть реализован также с помощью одного операционного усилителя. Соответствующая схема приведена на рисунке 26.7.

Рис.26.7. ПИ-регулятор

Комплексный коэффициент усиления определяется следующим выражением:

Приравнивая выражения (26.5) и (26.6), получаем

Теперь на примере, представленном на рис. 26.4, более подробно рассмотрим выбор оптимальной граничной частоты интегрирования f₁. Сначала, не учитывая интегральную составляющую, увеличим коэффициент усиления А_Р настолько, насколько позволяет требование к затуханию. Из рис. 26.4 видно, что фазовый сдвиг данного объекта на частоте 700 Гц равен -- 120^o и соответствующий коэффициент усиления |A_S| = 0,14 = - 17 дБ. Таким образом, для обеспечения запаса по фазе 60° следует выбрать А_Р = +17 дБ. Этот случай иллюстрируется на рис. 26.4. Критическая частота при выбранных параметрах составляет f_к ~ 700 Гц.

Как уже отмечалось, необходимо выбирать граничную частоту интегрирования f₁ малой по сравнению с f_к, чтобы не увеличивать фазовый сдвиг вблизи f_к. С другой стороны, однако, неразумно выбирать ее меньшей, чем необходимо, поскольку это увеличивает время, за которое рассогласование интегратора становится нулевым. Верхняя граница f₁ равна 0,1f_k. Такие параметры используются на рис. 26.4. Соответствующий переходный процесс установления ошибки регулирования иллюстрируют осциллограммы на рис. 26.8. Из нижней кривой видно, что ПИ-регулятор при таком оптимальном выборе параметров обеспечивает нулевое рассогласование за то же время, за которое П-регулятор дает ошибку 1/(1 + g)= 1/₈= 12,5%.

Рис.26.8. Рассогласование.

Сверху: П-регулятор; внизу: ПИ-регулятор с оптимальной установкой f₁.

Рис.26.9. Рассогласование ПИ-регулятора.

Сверху: f₁ мало; внизу: f₁ велико.

Эффект не совсем оптимальной установки f₁ показан на рис. 26.9. Для верхней кривой f₁ была выбрана меньшей: в результате время установления возросло. Для нижней кривой частота f₁ была выбрана большей: уменьшился запас по фазе.

26.2.3 Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор

ПИД-регулятор можно построить на основе ПИ-регулятора, если в последний ввести дифференцирующее звено (рис. 26.10). Эта схема на частотах выше граничной частоты дифференцирования f_D ведет себя как дифференцирующее звено. Как следует из диаграммы Боде на рис. 26.11, фазовый сдвиг возрастает до 90°. Это фазовое опережение на высоких частотах может использоваться для того, чтобы отчасти скомпенсировать фазовое отставание объекта вблизи f_к. При этом можно установить большой коэффициент линейного усиления и получить высокую критическую частоту f_к, благодаря чему уменьшится длительность переходного процесса.

Рис.26.10. Блок-схема ПИД-регулятора

Рис.26.11. Диаграмма Боде ПИД-регулятора.

Расчет параметров опять проиллюстрируем на примере: повысим коэффициент усиления А_Р до значения, при котором запас по фазе составляет только 15°. Из рис. 26.12 в этом случае выбираем А_Р = 50 = 34 дБ и f_к = 2,2 кГц по сравнению с 700 Гц в случае ПИ-регулятора. Если выбрать теперь граничную частоту дифференцирования f_D ~ f_к, то фазовый сдвиг регулятора на частоте f_к составит 45^°, т.е. запас по фазе возрастет с 15 до 60^е, и получится требуемая переходная характеристика. Граничную частоту интегрирования f₁ можно определить таким же образом, как и для ПИ-регулятора; следовательно, f₁ ~ 1/10 f_k . Отсюда находим частотную характеристику коэффициента усиления в цепи обратной связи, представленную на рис. 26.12.

Рис. 26.12.Пример диаграммы Боде объекта с ПИ-регулятором

Сокращение времени установления по отношению к ПИ-регулятору можно увидеть, если сравнить осциллограммы, приведенные на рис. 26.13.

При схемотехнической реализации ПИД-регулятора будем исходить из блок-схемы на рис. 26.10. Комплексный коэффициент усиления

(26.9).

Рис. 26.13. Сравнение переходных характеристик для объекта с ПИ-регулятором (сверху) и ПИД-регулятором снизу)

При этом

и (26.10)

Схема с частотной характеристикой, соответствующей уравнению (26.9), может быть построена на одном операционном усилителе, как показано на рис. 26.14. Её комплексный коэффициент усиления

= .

При C_D/C_I << R₂R₁ отсюда получаем

= . (26.11)

Рис. 26.14. ПИД - регулятор.

Приравнивая коэффициенты уравнений (26.9) и (26.11), находим параметры регулятора:

, , . (26.12)

26.2.4 Настраиваемые пид-регуляторы

При определении регуляторов различного типа мы исходим из того, что параметры объекта регулирования известны. Однако часто, особенно для «медленных» объектов, эти параметры измерить сложно. Как правило, эта цель достигается быстрее, если цель оптимизации регулятора производится экспериментально. Для этого необходима схема, для которой регулируемые параметры A_P, f_I и f_D можно варьировать независимо друг от друга. Как видно из (26.12) и (26.10), этим требованиям не удовлетворяет ни схема на рис. 26.14, ни схема на рис. 26.10, так как в них изменение A_P приводит к изменению граничных частот f_I и f_D.

Напротив, в схеме, представленной на рис. 26.15, возможна независимая установка всех параметров. Комплексный коэффициент усиления для этой схемы записывается в виде

= . (26.13)

Рис. 26.15. ПИД-регулятор с раздельно задаваемыми коэффициентами:

, , .

С помощью формулы (26.9) находим параметры регулятора:

, , . (26.14)

Настройку регулятора опять проиллюстрируем на примере объекта на рис. 26.15. Вначале ключ S нужно замкнуть, чтобы интегратор был выключен. Резистор R_d выводится на нуль, и дифференциатор также не функционирует, схема работает как чистый П-регулятор.

Теперь подадим на задающий вход прямоугольный сигнал и рассмотрим поведение регулируемой величины Х в переходном режиме. Величина A_P возрастает от нуля до уровня, при котором процесс установления происходит с незначительным затуханием (см. верхнюю осциллограмму на рис. 26.16). Это соответствует выбранному на диаграмме рис. 26.12 запасу по фазе в 15⁰ без учета дифференциальной составляющей.

На вторичном этапе, увеличивая R_d, уменьшают граничную частоту дифференциатора от бесконечности до значения, при котором достигается требуемое затухание (см. нижнюю кривую на рис. 26.16).

На третьем этапе анализируют переходной режим отклонения регулируемой величины W - X. После размыкания ключа S граничную частоту интегрирования увеличивают до тех пор, пока время установления не станет минимальным. Соответствующие осциллограммы уже были приведены на рис. 26.8 и 26.9.

Важным преимуществом этого способа настройки является то, что оптимальная настройка регулятора достигается непосредственно без итераций (рис. 26.12). С помощью полученных таким образом параметров регулятора можно рассчитать и простой ПИД-регулятор на рис.26.14.

Рис. 26.16. Экспериментальная настройка линейного и дифференциального звеньев.

26.3 Управление нелинейными объектами

26.3.1 Статическая нелинейность

До сих пор мы исходили из того, что объект регулирования описывается регулированием

X= A_S Y,

т.е. он линеен. Для многих устройств это условие не выполняется. В общем случае выполняется равенство X= f(Y).

Однако при малых отклонениях относительно заданной рабочей точки Х₀ любой объект можно считать линейным, если его характеристика в окрестности этой точки постоянна и непрерывно дифференцируема. В этом случае используют дифференциальный коэффициент усиления

a_S = dX / dY.

Для диапазона малых сигналов справедливо соотношение

x ? a_S y

при х = (Х - Х₀) и у = (У-У₀). Теперь можно оптимизировать описанным способом регулятор для выбранной рабочей точки. Если, однако, изменения задающего параметра W велики, возникают осложнения: поскольку дифференциальный коэффициент усиления устройства a_S зависит от положения рабочей точки, переходный процесс изменяется в зависимости от W.

Эту проблему можно решить, если перед объектом включить функциональную схему для линеаризации его характеристики, описанную в разд. 11.7.5. Соответствующая блок-схема показана на рис. 26.17. Если с помощью функциональной схемы реализуется функция Y = f^-1 (Y') , то получается линейное уравнение устройства:

Х = f(Y) = f,

что и требуется. Если объект описывается, например, экспоненциальной зависимостью

Х = Ае^Y,

необходимо использовать в качестве функциональной схемы логарифматор, для которого

Y = .

Рис. 26.17. Линеаризация статического нелинейного объекта.

26.3.2 Динамическая нелинейность

Второй вид нелинейности регулируемого объекта может быть вызван тем, что максимальная скорость нарастания сигнала ограничивается значением, которое нельзя превысить из-за возрастания задающего параметра. Этот эффект ограничения скорости нарастания уже рассматривали в разделе, посвященном операционным усилителям.

В случае применения регулятором с интегрирующим звеном при больших скачках управляющего сигнала могут появиться медленно спадающие выбросы большой амплитуды.

Возникновения выброса можно объяснить следующим образом. Для оптимально отрегулированной интегрирующей части при малых скачках напряжения на выходе интегратора напряжение практически моментально достигает установившегося значения, при котором рассогласование равно нулю. Если удвоить амплитуду скачка, в линейном случае удваивается и скорость нарастания сигнала как на выходе объекта, так и на выходе интегратора. Более высокие значения достигаются за то же время.

Рис. 26.18. Переходные характеристики регулируемой величины для объекта с ограниченной крутизной нарастания сигнала. Верхняя кривая: характеристика для малого сигнала; средняя кривая: характеристика для большого сигнала; нижняя кривая: характеристика для большого сигнала при задающем параметре с ограниченной крутизной.

Если, однако, сигнал объекта имеет ограниченную скорость нарастания, удваивается лишь скорость нарастания сигнала на выходе интегратора. При этом сигнал на выходе регулируемого объекта достигает заданного значения значительно позже, и напряжение на выходе интегратора к этому моменту превышает нужное значение. В результате регулируемая величина оказывается значительно большей, чем заданное значение. Последующий спад длится тем дольше, чем сильнее было превышено стационарное значение на выходе интегратора. Время спада в таком линейном режиме возрастает с увеличением амплитуды перепада.

Чтобы воспрепятствовать этому, можно настолько увеличить постоянную времени интегрирования (следовательно, понизить f_I), что даже при больших скачках сигналы выброса не будут появляться. Однако в области малых сигналов это приводит к существенному возрастанию времени установления (см. нижнюю кривую на рис. 26.9).

Значительно выгоднее ограничить скорость нарастания задающего сигнала максимально возможным значением скорости нарастания сигнала на выходе объекта. При этом мы остаемся в линейном диапазоне работы, и возможное появление выбросов надежно исключается. Время установления для большого сигнала не возрастает, поскольку регулируемый параметр не может изменяться быстрее. Этот эффект очень ясно виден на осциллограммах рис. 28.16.

Для ограничения скорости нарастания сигнала в принципе можно использовать фильтр нижних частот. Но при этом уменьшилась бы ширина полосы для малых сигналов. Более благоприятная возможность иллюстрируется рис. 26.19. Когда на вход поступает скачок напряжения, выходной сигнал усилителя ОУ 1 достигает граничного значения диапазона регулирования U_макс. Выходное напряжение ОУ 2 при этом возрастает со скоростью

dU_a/dt = U_макс/RC

до тех пор, пока благодаря результирующей отрицательной обратной связи достигнет значения - U_e. Таким образом, импульс напряжения прямоугольной формы превращается в трапецеидальный импульс. Если скорость нарастания входного напряжения меньше, чем граничное значение, сигнал передается без искажений. В отличие от варианта, использующего фильтр нижних частот, ширина полосы для малых сигналов в этом случае не меняется.

Рис. 26.19. Схема для ограничения скорости нарастания задающего параметра. Резисторы R₂, R₃ ограничивают усиление ОУ 1 и служат для коррекции схемы по частоте. Стационарное выходное напряжение U_a = - U_e. Максимальная скорость нарастания dU_a/dt = U_макс/RC.

Размещено на Allbest.ru