Основы механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основы механики

Володина Л.А., доцент кафедры физики РГУ им. И.М. Губкина

1. Динамика материальной точки законы ньютона

Как уже отмечалось, в кинематике при описании движения тела Будем употреблять слово «тело», хотя имеется в виду материальная точка можно использовать любую систему отсчета, принципиально это не важно. В динамике система отсчета имеет принципиальное значение. Законы Ньютона выполняются не для любых систем отсчета.

В основе классической механики лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона: «Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано».

Выводы:

v Покой и равномерное прямолинейное движение тела - это одинаковое и естественное механическое состояние тел при отсутствии внешних воздействий

v Закон содержит в себе качественное определение силы - это то, что изменяет состояние движения тела.

Свойство сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называют инерцией (или инертностью). Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции, а системы отсчета, в которых он выполняется - инерциальными системами отсчета (ИСО). Наиболее точной инерциальной системой является гелиоцентрическая, центр которой находится на Солнце, а оси координат направлены на три «неподвижных» звезды. Естественно, пользоваться этой системой отсчета практически невозможно, поэтому очень часто используют систему отсчета, связанную с Землей, считая ее «неподвижной». В большинстве случаев погрешность при этом оказывается незначительной. ИСО может быть сколь угодно много и все они равноправны. Любая система, движущаяся с постоянной по величине и направлению скоростью относительно ИСО, также является инерциальной.

Второй закон Ньютона можно записать в различной форме, соответственно, и формулировки будут разными. Но сначала введем некоторые определения.

импульс тела (количество движения)

- это вектор, направленный так же, как скорость изменение импульса тела (конечное и бесконечно малое)

- сила - мера механического воздействия на тело других тел или это то, что изменяет состояние движения тел или вызывает их деформацию и возникает в результате взаимодействия по крайней мере двух тел.

- импульс силы - это произведение силы на время ее действия (у этой величины нет «своей» буквы для обозначения) (не путать с импульсом тела р= mv).

m масса тела - это мера инертности тела, т.е. мера того сопротивления, которое оказывает тело при попытке изменить его состояние движения.

- равнодействующая всех сил, действующих на тело. Эта формула выражает закон независимости действия сил: «Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из них сообщает ускорение так, как если бы других сил не было». На основании этого закона любую силу можно разложить на составляющие.

Запишем теперь второй закон Ньютона.



Это самое общее выражение для второго закона Ньютона. Формулировка: «Изменение импульса тела за единицу времени равно векторной сумме сил, действующих на тело».

- в таком виде закон можно сформулировать так: «Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело». Иначе говоря, только сила может изменить импульс тела.

второй закон Ньютона :для m = const и a = const:

«Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и направлено так же, как сила».

Второй закон Ньютона называют основным законом динамики. Если известны силы, действующие на тело, масса тела и его начальные координаты и скорость, то второй закон Ньютона дает возможность получить кинематические уравнения движения тела, т.е. определить, как будет двигаться тело под действием этих сил. Или решить обратную задачу: зная кинематические уравнения движения тела, можно определить силы, действующие на тело.

Но II закон Ньютона не дает ответа на вопрос, откуда берутся силы. Ответ на этот вопрос содержится в III законе Ньютона - причина появления силы - другое тело.

Третий закон Ньютона: «Силы взаимодействия двух материальных точек друг с другом равны по величине и направлены противоположно по линии, соединяющей точки». Задумайтесь над вопросом, если сила действия равна силе противодействия, почему , например, вы тянете санки, а не санки тянут вас?

Таким образом, согласно I закону только сила может изменить состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения тела (причем эти состояния неразличимы); II закон говорит о том, как будет изменяться скорость тела под действием силы, а III закон определяет причину появления силы - другое тело.

Законы Ньютона справедливы не для всех систем отсчета, а только для ИСО. Рассмотрим такой пример. Наблюдатель находится в вагоне, перед ним гладкий стол, на котором лежит шар. Что происходит за пределами вагона, человек не видит. Вдруг шар начинает катиться. И хотя никаких горизонтальных сил нет, тело приобрело ускорение, что противоречит II закону Ньютона. Но для другого наблюдателя, находящегося вне вагона на «неподвижной» земле, никаких противоречий нет. Вагон начал двигаться с ускорением, а шар остался на месте. Таким образом, для систем отсчета, движущихся с ускорением (вагон) относительно инерциальной системы отсчета («земля») законы Ньютона не применимы. Такие системы отсчета называются неинерциальными (НИСО). Основной закон динамики в НИСО формально имеет такой же вид, как II закон Ньютона, но принципиально отличается от него тем, что к обычным силам, появляющимся из-за взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами, добавляются силы, не имеющие противодействующей и неизвестно откуда возникающие. Эти силы называют силами инерции (например, центробежная сила инерции).

2. Силы в природе

Все взаимодействия тел можно отнести к одному из 4-х существующих в природе типов.

1) Сильные взаимодействия или ядерные силы. Самые сильные взаимодействия. Это силы притяжения, очень короткодействующие, они проявляются на расстояниях порядка 10¹⁵ м при взаимодействии нуклонов протонов и нейтронов внутри атомных ядер. При механическом перемещении тел они никак не сказываются, а при движении нуклонов законы Ньютона неприменимы.

2) Электромагнитные взаимодействия - это электрические и магнитные силы (кулоновские, сила Лоренца, сила Ампера), проявляющиеся при взаимодействии заряженных частиц, атомов и молекул между собой. Электрические и магнитные силы существуют в единстве; строго говоря, их нельзя разделять. Но магнитная составляющая электромагнитного взаимодействия значительно слабее электрической, поэтому в некоторых случаях ею можно пренебречь. В механике электромагнитные силы играют одну из главных ролей - это силы упругости и силы трения.

3) Слабые взаимодействия - у этих сил нет своего названия. Они проявляются при взаимодействии элементарных частиц. При механическом движении тел они никак не проявляются.

4) Гравитационное взаимодействие самое слабое взаимодействие это силы тяготения. Согласно закону тяготения Ньютона, все тела притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной массам тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. В земных условиях от силы тяготения нельзя «отгородиться», она всепроникающая, но если масса тела очень мала, ею можно пренебречь. Например, при движении электрона в поле заряженного конденсатора - по сравнению с электрической силой.

Соотношение между величинами этих типов взаимодействия примерно равно: 1:2:3:4 = 1:10⁴:10¹³:10³⁸.

3. Силы в механике

При механическом перемещении макротел проявляются два типа сил - электромагнитные (сила трения, сила нормальной реакции опоры, сила упругости, электрические и магнитные силы) и гравитационные.

Рассмотрим типичный пример движения тела. Пусть тело тянут с силой F с помощью веревки, прикрепленной к телу, по горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Согласно третьему закону Ньютона причина появления силы - другое тело. На рассматриваемое тело действует Земля - сила тяжести mg, веревка - сила F и поверхность стола - сила R, которая называется силой реакции связи (тела со столом). Так как заранее неизвестно, под каким углом направлена R, эту силу в физике обычно не рассматривают, а раскладывают ее на две составляющие (см. рис. 1):

Рис. 1

N - нормальная составляющая (нормальная реакция опоры) и

F_тр - тангенциальная (касательная) составляющая, имеющая собственное название - сила трения.

Трение, возникающее при движении одного твердого тела по поверхности другого твердого тела, называют внешним (или сухим) трением; при движении твердого тела в жидкости - сопротивлением, вязким трением, вязкостью. При сухом трении различают:

F_{тр.покоя} - силы трения покоя - их может быть множество (см. рис),

(F_{тр.покоя})_max - максимальная сила трения покоя, при которой происходит сдвиг тела - она одна для данной пары поверхностей,

F_{тр.скольж.} - сила трения скольжения, всегда направлена против скорости тела,

F_тр.кач. - сила трения качения, для данных поверхностей она всегда намного меньше силы трения скольжения.

Рис. 2

Как установлено из опыта, максимальная сила трения покоя прямо пропорциональна силе давления тела на опору, - , которая численно равна силе нормальной реакции опоры - (по III закону Ньютона). Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения. Таким образом, - коэффициент трения

Когда тело начинает скользить, сила трения скольжения немного уменьшаться по сравнению с максимальной силой трения покоя. Во многих случаях при малых скоростях сила трения скольжения оказывается пропорциональной скорости тела: F_тр.ск кv. С увеличением скорости сила трения скольжения начинает увеличиваться. При очень больших скоростях могут появиться световые и звуковые эффекты, разрушения поверхностей, химические взаимодействия. Не существует единой формулы для силы трения скольжения, для каждой пары поверхностей нужно проводить специальные исследования. В простейших задачах считают силу трения скольжения независящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя. В более сложных задачах силу трения скольжения принимают пропорциональной скорости или ее квадрату. (чтобы можно было легко проинтегрировать).

Сила трения при качении зависит от той силы, с которой колесо давит на опорную поверхность, равной силе тяжести, и от радиуса колеса R. Коэффициент трения качения f при этом оказывается размерной величиной и измеряется в СИ в метрах.

Сила тяготения, сила тяжести, вес тела.

Согласно закону тяготения Ньютона все тела притягивают друг друга с силой, зависящей от их масс и от расстояния между ними. Для двух материальных точек, сфер или шаров закон формулируется так: «Сила тяготения прямо пропорциональна массам тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между материальными точками или центрами сфер или шаров».

Закон тяготения для двух материальных точек, сфер или шаров в скалярной форме.

Рис. 3

m₁, m₂ - массы тел,

r - расстояние между центрами сфер или шаров.

G 6,6710¹¹ (Нм²)/кг² - гравитационная постоянная - по смыслу - она равна силе, с которой взаимодействуют два тела массами по 1 кг, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга.

в векторной форме. Знак проекции силы (+ или) будет зависеть от выбора направления вектора от центра I -го шара к центру II-го или наоборот.

Сила тяжести - это сила притяжения тела к Земле, но она не равна силе тяготения, т.к. Земля является неинерциальной системой отсчета, и на все тела, кроме силы тяготения, действует центробежная сила инерции.

Здесь: m - масса тела, R - радиус Земли, - угловая скорость вращения Земли, - широта места.

Центробежная сила направлена не по радиусу Земли, а перпендикулярно земной оси в радиальных направлениях. Следовательно, сила тяжести оказывается различной в разных точках Земли. Однако наибольшее отличие величины силы тяжести от силы тяготения составляет всего 0,3 %. Если сила тяготения всегда направлена к центру Земли, то сила тяжести - нет, но максимальное отклонение от радиального направления всего 6 угловых минут. Таким образом, с достаточной степенью точности силу тяжести можно считать равной силе тяготения.

Вес тела - это сила, с которой тело действует на подставку или подвес.

Вес не может быть приложен к телу, это сила, с которой рассматриваемое тело действует на другое тело.

Найдем вес тела, находящегося в лифте.

Таблица 1

		II закон Ньютона для тела (в векторной форме)
		по III закону Ньтона
		Обозначим вес буквой Р
II закон Ньютона в проекциях

Из таблицы видно, что вес тела может быть равен, больше или меньше силы тяжести, это зависит только от ускорения, с которым движется тело, и не зависит от направления скорости.

Если тела не являются материальными точками, сферами или шарами, то вычисление силы тяготения представляет собой сложную математическую задачу. Например, вычислить силу тяготения между двумя стульями и получить формулу практически невозможно. Рассмотрим более простой пример. Найдем силу тяготения между однородным стержнем массой М и длиной L и материальной точкой массой m_о ,находящейся на расстоянии а от стержня.

Таблица 2

,	введем массу единицы длины стержня и выделим в стержне бесконечно малый элемент массой dm
	сила тяготения между точечными массами m0 и dm
	интегрируем по всему стержню

4. Силы упругости

В природе не существует абсолютно твердых тел. Под действием внешних сил тела изменяют свою форму и размеры, это изменение называют деформацией тел. Различают несколько типов деформаций: растяжение (сжатие), изгиб, сдвиг и кручение. Деформация называется упругой, если она исчезает после удаления вызвавшей ее нагрузки, и пластической, если она хотя бы частично остается после снятия нагрузки. Простейший вид деформации - однородное растяжение - когда все прямые и плоскости в теле до деформации остаются прямыми и плоскостями после деформации.

Рис. 4

Мерой деформации служит абсолютное (l) или относительное ( = l/ l) удлинение. Напряжением называют величину силы, действующей на единицу площади поперечного сечения тела. График зависимости от имеет характерный вид (см.рис.). При небольших нагрузках эта зависимость линейна. В этом случае говорят, что тело подчиняется закону Гука.В курсе общей физики рассматривается движение только абсолютно твердых, недеформируемых тел, но на них могут действовать силы со стороны пружин, резиновых шнуров, т.е. деформируемых тел. Такие силы называют силами упругости они прямо пропорциональны удлинению (сжатию) пружины (резинового шнура):



сила упругости,. «» означает, что сила упругости направлена всегда противоположно смещению

Рис. 5

k (Н/м) - коэффициент упругости или жесткость пружины,он равен той силе, которую нужно приложить к пружине, чтобы растянуть ее на единицу длины.

х - удлинение (сжатие) пружины (или смещение от точки равновесия)

l_o - собственная длина пружины.

В качестве примера решения прямой задачи динамики найдем, как будет двигаться лодка на озере после выключения мотора. Пусть начальная скорость лодки v_о . Рассмотрим два случая: один раз предположим, что сила сопротивления пропорциональна скорости, второй раз - пропорциональна квадрату скорости лодки и найдем скорость лодки в зависимости от времени.

Таблица 3

	запишем II закон Ньютона для лодки в дифференциальной форме, т.к.сила const
	II закон Ньютона в проекциях. «» означает, что скорость уменьшается.
		предполагаемая зависимость силы сопротивления от скорости
		подставим во II закон Ньютона, разделим переменные и проинтегрируем
		получим выражения, из которых найдем зависимость
		в обоих случаях скорость убывает со временем, но по разным законам

5. Теорема об изменении полного импульса системы материальных точек. Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему из n материальных точек с массами m₁, m₂,…, m_n (см.рис.). Разделим силы на внутренние и внешние: - внутренние силы, действующие между телами, включенными в систему

Рис. 6

(i,j = 1,2,…, i j), - внешние силы, действующие со стороны других тел, не включенных в систему. Запишем для каждой точки II закон Ньютона, а затем просуммируем левые и правые части формул по всем точкам:

-II закон Ньютона для 1-ой точки

 - II закон Ньютона для i-ой точки

- При суммировании внутренние силы дадут 0, т.к. по III закону Ньютона .

В результате получим:

Это выражение называется теоремой об изменении полного импульса системы материальных точек и по существу представляет собой II закон Ньютона для системы материальных точек. Смысл его в том, что полный импульс системы может измениться только под действием внешних сил.

Система, на которую не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано, т.е. для которой , называется замкнутой или изолированной. Для такой системы можно записать: и, следовательно,

Это закон сохранения импульса: «В замкнутой системе полный импульс системы материальных точек остается постоянным».

Ни одна система на Земле не является замкнутой, т.к. всегда действуют силы тяжести, но закон сохранения импульса можно применять для незамкнутых систем, если:

1) алгебраическая сумма проекций внешних сил для некоторого направления х равна нулю, т.е. , тогда ;

2)импульс внешних сил значительно меньше импульса внутренних сил: , т.е. внешними силами можно пренебречь. Например, при ударах и взрывах можно пренебречь силами тяжести.

6. Центр масс (центр инерции)

Центром масс (центром инерции) называется воображаемая точка, в которой как бы сосредоточена вся масса тела или системы тел. Центр тяжести практически совпадает с центром масс. Центр тяжести должен точно совпадать с центром масс для однородного поля тяготения. Поле Земли не является однородным, но все рассматриваемые тела, системы тел столь малы в масштабах Земли, что этой неоднородностью можно пренебречь (самая высокая гора 9 км, а радиус Земли 6400 км).

Положение центра масс определяется радиус-вектором и координатами:

Перепишем первое уравнение, дифференцируя, найдем скорость центра масс и получим:

II закон Ньютона для движения центра масс, где масса всех тел, входящих в систему.

Из уравнения следует, что центр масс системы движется так же, как двигалась бы точка с массой m. Если система замкнута, т.е. , то .

7. Работа. Мощность. Энергия

Работа определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения:

Таблица 4

	элементарная работа, т.е. работа, совершаемая при таком малом перемещении, в пределах которого силу можно считать неизменной, проекция силы на направление перемещения
	полная работа (это всегда интеграл). Если заранее неизвестно по какой переменной будет производиться интегрирование, то в качестве пределов можно указать 1-2.
	работа на конечном участке, выраженная через проекции силы и изменения координат
	этой формулой можно пользоваться только, если , = 0 и S = r (путь численно равен перемещению)

На приведенном графике для одномерного движения работа - это площадь под кривой зависимости проекции силы от перемещения х.

Рис. 7

Таблица 5

А0 работа силы F	А0 работа против силы F	А = 0 перпендикулярная сила работы не совершает

На практике важно знать не только полную работу, но и ее распределение по времени. В этом случае используют понятие «мощность»:

Мощность (Дж/с=Вт) - по смыслу - это работа, совершаемая за единицу времени.

Используя выражение для работы, мощность можно выразить как скалярное произведение вектора силы и вектора скорости.

Консервативные и диссипативные силы.

По смыслу работа - это мера передачи энергии от одного тела к другому, т.е. работа всегда связана с изменением энергии тела. В свете этого все силы в механике делят на консервативные (в электростатике их называют потенциальными) и неконсервативные (диссипативные) Диссипация - это рассеяние, в данном случае речь идет о «рассеянии» механической энергии в виде теплоты.

Консервативными (потенциальными) силами называют силы, которые зависят только от координат тела и не зависят от его скорости. Работа консервативных сил не зависит от формы пути и определяется только начальным и конечным положением тела. Работа таких сил по замкнутому пути равна нулю. Если в системе действуют только консервативные силы, то систему называют консервативной, и механическая энергия такой системы остается постоянной

Диссипативные силы всегда направлены противоположно скорости тела, они зависят от скорости тела, а также от других факторов, например, сила трения при движении тела в прямом и обратном направлении может оказаться различной (например, скольжение тела на поверхности по ворсу и против ворса).

Таблица 6

Консервативные силы	Диссипативные силы
1) силы тяготения (тяжести) 2) силы упругости 3) электростатические (кулоновские) силы	1) силы сухого трения 2) силы сопротивления (вязкого трения) 3) силы неупругой деформации

Энергия. В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Сумму этих энергий называют полной механической энергией.

Кинетическая энергия - это энергия, связанная с движением. Если скорость тела отлична от нуля, значит, тело обладает кинетической энергией. Выражение для кинетической энергии можно получить, если найти работу, которую должна совершить сила F, чтобы сообщить неподвижному телу массой m скорость v.

запишем II закон Ньютона для тела в дифференциальной форме

элементарная работа силы F

Подставим F из первого уравнения и учтем, что скорость

интегрируя, найдем полную работу

Таким образом, неподвижное тело за счет работы силы приобрело скорость и, следовательно, кинетическую энергию:

- кинетическая энергия материальной точки

- системы материальных точек. Кинетическая энергия - это аддитивная величина, т.е. энергии всех точек просто складываются

- , выраженная через скорость центра масс

Обобщая на случай, когда тело уже имело скорость, можно записать, что W_кин=A, иначе говоря, изменение кинетической энергии тела всегда равно работе. Если разделить все силы, действующие на тело, на внешние и внутренние, а их, в свою очередь на консервативные и диссипативные, то можно записать:

Теорема об изменении кинетической энергии:

«Изменение кинетической энергии системы материальных точек равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на систему». Это выражение применимо для любых систем и любых сил.

Введем теперь понятие потенциальной энергии. В консервативных полях, например, в поле тяготения, работа не зависит от формы пути, а определяется только начальной и конечной точками траектории. Следовательно, каждую точку поля можно однозначно охарактеризовать работой, производимой при перемещении из некоторой условно нулевой точки в данную точку. Величина этой работы, взятая с обратным знаком, называется силовой функцией или потенциальной энергией. Потенциальная энергия вводится только для консервативных систем.

«Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии тела (системы тел)».

Запишем в дифференциальной форме и подставим выражение для работы для одномерного случая:

Аналогично можно записать для проекций по у и z.

В результате получим выражения в частных производных.

Это формулы, связывающие проекции консервативных сил с изменением потенциальной энергии тела

Полная механическая энергия и ее изменение равны:

Подставив в теорему об изменении кинетической энергии , получим:

Теперь можно записать и сформулировать закон сохранения механической энергии: «Если система: 1) замкнута и 2) консервативна, то полная механическая энергия системы остается постоянной»:

Закон сохранения механической энергии

, если:

1) система замкнута (не действуют внешние силы),

2) система консервативна (не действуют силы трения, сопротивления)

В системах, в которых действуют силы трения и сопротивления механическая энергия не сохраняется, но это не значит, что энергия исчезает, просто она переходит в другие виды энергии. В природе действует общефизический закон сохранения энергии: «Энергия не исчезает и не возникает вновь, она может только переходить из одной формы в другую».

8. Устойчивость системы

Замкнутая система находится в устойчивом равновесии, если ее потенциальная энергия минимальна.

Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. В начальный момент тела покоятся. Предположим, что потенциальная энергия в начальный момент минимальна. Для такой системы выполняется закон сохранения энергии: W_полная = W_кин + W_пот = const. Для того, чтобы тела начали двигаться, у них должна появиться кинетическая энергия, а она может появиться только за счет потенциальной энергии. Т.к. мы предположили, что потенциальная энергия минимальна, то, следовательно, тела не могут начать двигаться. Иначе говоря, если замкнутая система имеет минимальную потенциальную энергию и в начальный момент тела системы покоятся, то система и дальше будет находиться в положении равновесия. (Из обыденного опыта нам кажется это очевидным - шар из ямы сам не выкатывается).

9. Применение законов сохранения к ударам шаров

Законы сохранения импульса и механической энергии дают возможность сделать выводы о движении тел при их взаимодействии, не рассматривая конкретно силы взаимодействия и процессы, происходящие при этом. Например, при ударе двух шаров происходят деформации тел и обратимые и необратимые. Заранее неизвестно, как силы зависят от времени. Однако с помощью законов сохранения можно найти скорости тел после удара.

Рассмотрим удар двух тел. Если скорости тел направлены по прямой линии, соединяющей их центры масс, удар называется прямым центральным ударом. Различают следующие типы ударов: 1) абсолютно упругий - это такой удар, при котором сохраняется кинетическая энергия всей системы, 2) упругий (неупругий) - это удар, при котором часть механической энергии переходит в теплоту.3) абсолютно неупругий - это удар, при котором тела после удара движутся как единое целое, и часть механической энергии переходит в теплоту.

Таблица 7 Абсолютно упругий удар

	закон сохранения импульса в векторной форме
	в проекциях на ось х
	закон сохранения механической энергии
	перенесем члены с m1 в левую часть уравнения, а с m2 - в правую и, разделим 2-е уравнение на 1-е
	это уравнение надо умножить на m1 или на m2 и сложить (вычесть) с уравнением закона сохранения импульса. Умножим на m1,чтобы найти (если умножить на m2 и вычесть, можно найти )

Таблица 8 Абсолютно неупругий удар.

	закон сохранения импульса в векторной форме
	в проекциях на ось х
	скорость после удара
	закон сохранения энергии, Q - теплота, выделившаяся при ударе

10. Динамика абсолютно твердого тела (АТТ)

Как уже говорилось, любое движение АТТ можно рассматривать как два одновременно происходящих движения поступательного и вращательного. Соответственно и основной закон динамики (II закон Ньютона) записывают в виде двух векторных уравнений.

Если тело может поворачиваться или вращаться под действием некоторой силы, то недостаточно знать величину и направление силы, важно также, на каком расстоянии находится точка приложения силы от оси вращения (попробуйте открыть дверь не за ручку, а надавливая вблизи оси ее поворота или повернуть велосипедное колесо не за обод, а за втулку вблизи его оси). Недостаточно также знать массу тела, важно, на каком расстоянии от оси вращения находится эта масса. Прежде, чем записывать закон динамики для вращательного движения, введем ряд понятий.



Рис. 8

момент силы относительно любой отсчетной точки O - это вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор силы. На рисунке вектор М направлен перпендикулярно чертежу от нас.

Рис. 9

момент импульса материальной точки относительно любой отсчетной точки О - это вектор, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор импульса точки. На рисунке вектор L направлен от нас.

Чтобы получить основной закон динамики вращательного движения, нужно АТТ рассматривать как систему материальных точек, разделить силы на внутренние и внешние (см. ранее теорему об изменении импульса), записать II закон Ньютона для каждой точки. Затем векторно умножить обе части уравнения на радиус-вектор, проведенный от выбранной отсчетной точки О, и просуммировать по всем точкам:

 - II закон Ньютона для i - ой точки

- векторное умножение обеих частей уравнения на радиус-вектор. В правой части - моменты внутренних и внешних сил

-суммирование по всем точкам,

i , j = 1,2,…,n, i j

-первый член в правой части предыдущего уравнения равен нулю, т.к. моменты внутренних сил попарно уничтожаются

Векторная сумма моментов импульса всех точек тела называется полным моментом импульса АТТ относительно некоторой точки отсчета.

Тогда II закон Ньютона для вращательного движения можно записать в виде:

основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной точки (любой)

Для поступательного движения выражение было получено ранее:



основной закон динамики для поступательного движения абсолютно твердого тела (v_с- скорость центра масс)

Таким образом, любое движение АТТ описывается двумя векторными уравнениями или шестью скалярными уравнениями, если записать в проекциях:

В курсе общей физики таких сложных движений обычно не рассматривают и ограничиваются только плоским движением. При плоском движении каждая точка тела в процессе движения остается все время в одной и той же плоскости. В этом случае ось вращения не меняет своего положения по отношению к телу, и уравнения упрощаются, т.е. для поступательного движения достаточно двух осей проекций х и у, а для вращательного одной оси z . При этом говорят, что «ось вращения неподвижна» (по отношению к телу).

Для «неподвижной» оси вращения момент импульса можно записать в скалярном виде, учитывая связь линейной и угловой скоростей :

.

Величина I называется моментом инерции тела - это скалярная величина по смыслу момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Моменты инерции - это аддитивные величины, т. е. для нескольких точек при одной и той же оси они просто складываются

Таблица 8 Моменты инерции

материальной точки	системы материальных точек	абсолютно твердого тела - плотность тела, V - объем тела

У данного тела масса - одна, а моментов инерции может быть множество, т.к. осей вращения можно выбрать, сколько хочешь, поэтому, говоря о моменте инерции тела, надо всегда указывать ось вращения.

Для симметричных тел простейшей формы момент инерции можно вычислить (взять интеграл и получить формулу). Для тела сложной формы это практически невозможно, поэтому момент инерции определяют опытным путем, изучая движение тела и используя кинематические формулы и второй закон Ньютона.

Для примера вычислим момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню.

(Сравните с вычислением силы тяготения между стержнем и точкой - математические операции однотипны).

ньютон импульс гравитационный время

Таблица 9

(кг/м)	введем массу единицы длины стержня и выделим в стержне бесконечно малый элемент длиной dx и массой dm
	запишем момент инерции выделенного «кусочка» (материальной точки)
	просуммируем моменты инерции всех «кусочков», т.е. проинтегрируем

Таблица 10 Моменты инерции некоторых тел (! только относительно указанных осей)

тонкое кольцо	диск, сплошной цилиндр	шар	стержень, квадратная пластинка	стержень, квадратная пластинка

В некоторых случаях вычисление момента инерции облегчает теорема Штейнера:

Рис. 10

Если известен момент инерции тела относительно оси СС, проходящей через его центр масс, то момент инерции этого тела относительно оси ОО, параллельной оси СС, можно найти по этой формуле; a - расстояние между осями, m - масса тела

При неподвижной оси вращения основной закон динамики можно записать в скалярной форме:

основной закон динамики вращательного движения АТТ при неподвижной оси вращения (II закон Ньютона для вращательного движения), - угловая скорость, - угловое ускорение

Если система замкнутая (изолированная), иначе говоря, суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то из основного закона динамики следует, что полный момент импульса системы будет оставаться неизменным:

Получим выражение для работы, совершаемой при повороте тела. Пусть к телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси О, приложена сила F , направленная (для простоты) по касательной. В общем случае, когда сила направлена под углом к касательной, вывод сложнее, но конечная формула та же самая.

Таблица 11

	элементарная работа силы F при перемещении на dl
	момент силы F
	связь длины дуги с радиусом при бесконечно малом угле поворота d
	подставим в первую формулу и, интегрируя, получим:

работа при вращательном движении

мощность при вращательном движении

Найдем выражение для кинетической энергии при вращении тела относительно неподвижной оси, учитывая, что АТТ - система материальных точек, а энергия аддитивная величина:

Кинетическая энергия тела при вращении относительно неподвижной оси

Если тело одновременно движется и поступательно и вращается, то его кинетическая энергия складывается из двух частей:



Кинетическая энергия тела при плоском движении v_c - скорость центра масс

Пример. Рассмотрим скатывание сплошного цилиндра с наклонной плоскости.

Таблица 12

	II закон Ньютона в векторном виде для поступательного и вращательного движений. Движение плоское.
	II закон Ньютона для центра масс в проекциях на оси х и у (оси указаны на рис.)
	для вращательного движения относительно оси z , проходящей через центр масс С и совпадающей с осью цилиндра - ось направлена перпендикулярно чертежу. R - радиус цилиндра. Силы mg и N момента не создают, т.к. проходят через ось вращения.
	связь между угловым ускорением и ускорением центра масс аС.

11. Законы сохранения и их связь со свойствами пространства и времени

Пространство однородно - это означает, что все точки пространства эквивалентны, т.е. равноправны. В однородном пространстве нет каких-либо особых точек, отличных от других. Если некоторую систему тел перенести в другое место пространства, а тела в ней поставить в те же условия, в которых они находились в прежнем положении, то это никак не отразится на ходе всех последующих явлений. Проще говоря, если в данной точке на поверхности земли бросить камень вертикально вверх с некоторой скоростью, и он будет падать, например, 2 секунды, то этот же камень, брошенный так же и с той скоростью в другой точке, будет падать тоже 2 секунды. Если взять замкнутую систему тел, для которой полный импульс системы равен некоторой величине, то и в любом другом месте полный импульс будет оставаться тем же самым. Иначе говоря, закон сохранения импульса является следствием однородности пространства.

Пространство изотропно - это означает, что в пространстве нет каких-либо выделенных, особых направлений, все направления равноправны. Если рассуждать так же, как в случае однородности пространства, но систему тел не переносить, а поворачивать на любой угол, мы придем к выводу о сохранении момента импульса системы. Таким образом, закон сохранения момента импульса системы тел является следствием изотропности пространства.

Время однородно - это означает равноправие всех моментов времени. Если в два любых момента времени все тела замкнутой консервативной системы поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в системе будут протекать совершенно одинаково. Иначе говоря, течение физических процессов не зависит от выбора начального момента времени. Любой процесс имеет определенную длительность, начало и конец. Однородность времени означает, что «абсолютное положение» начального и конечного моментов не существенны для протекания процессов. Следствием свойства однородности времени является закон сохранения механической энергии.

12. Силовые поля

Рис. 11

Физическим полем называется пространство, каждой точке которого поставлено в соответствие либо число (скалярное поле), либо вектор (векторное поле). Примером скалярного поля может служить поле температур. Скалярное поле наглядно изображается с помощью поверхностей уровня - это поверхность, во всех точках которой величина, характеризующая поле, остается постоянной. В случае поля температур эти поверхности называют изотермическими (см. рис. температурное поле пламени газовой горелки). Векторное поле наглядно изображается с помощью силовых линий - это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором поля.

Поля консервативных сил характеризуют как скалярной величиной, так и вектором. Электростатическое поле характеризуют скалярной величиной, которую называют потенциалом, и векторной величиной - напряженностью.

Потенциал - энергетическая характеристика поля по смыслу - это потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд в данной точке поля.

Напряженность - это силовая характеристика поля. По смыслу - напряженность - это сила, с которой действует поле на единичный положительный заряд в данной точке поля.

Гравитационное поле (поле тяготения) также характеризуют потенциалом и напряженностью

Потенциал гравитационного поля - скалярная энергетическая характеристика - это потенциальная энергия, которой обладает тело единичной массы в данной точке поля

Силовой (векторной) характеристикой гравитационного поля является ускорение свободного падения - это сила тяготения, действующая на тело единичной массы в данной точке поля.

Векторное поле называется центральным, если все векторы поля лежат на прямых, проходящих через одну и ту же точку поля. Примером служит поле тяготения Земли или поле точечного электрического заряда.

Если частица движется в поле, для которого известна зависимость его силовой характеристики для каждой точки поля F(r), то, используя основной закон динамики (dp/dt) = F (r) (II закон Ньютона), в принципе можно определить траекторию частицы. Однако в действительности движение может быть сложным, и точное математическое решение оказывается невозможным. В этих случаях используют приближенные методы решения и ЭВМ. Можно также качественно описать поведение частицы, используя метод потенциальных кривых и законы сохранения импульса, момента импульса и энергии.

Рис. 12

Рассмотрим движение частицы в одномерном потенциальном поле. График зависимости потенциальной энергии одной частицы, взаимодействующей с другой частицей, называют потенциальной кривой. Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы имеет большее значение, чем ее полная энергия, называется потенциальным барьером. Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы имеет меньшее значение, чем вне ее, называется потенциальной ямой. На рисунке приведена потенциальная кривая график зависимости потенциальной энергии молекулы 2, взаимодействующей с молекулой 1.

В т. О помещена условно неподвижная молекула 1. К ней издалека приближается другая молекула 2 с полной энергией Е₁. Система замкнута и консервативна, следовательно, выполняется закон сохранения энергии:

Е_полн = Е_кин + Е_пот = const.

В точке с координатой r₁ полная энергия частицы 2 становится равной ее потенциальной энергии, а кинетическая энергия равна нулю, частица останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении. Иначе говоря, частица 2 с энергией Е₁ не может преодолеть потенциальный барьер. Такое движение, когда частица «пришла» из бесконечности и «уходит» в бесконечность, называется инфинитным. Если частица 2 окажется в области r₂ r₃ , имея при этом полную энергию E₂, она окажется в потенциальной яме и не сможет из нее выйти, а будет двигаться около частицы 1, приближаясь на расстояние r₂ и удаляясь на расстояние r₃. Такое движение называется финитным (конечным).

При таком подходе с использованием потенциальных кривых, мы не можем сказать, по каким траекториям будет двигаться частица 2, но, тем не менее, можем получить ценную информацию о ее поведении в поле частицы 1. При известной потенциальной кривой и заданной энергии частицы 2, она может пролететь мимо частицы 1 или же быть захваченной полем частицы 1 с образованием системы частиц 1-2. Такой подход важен при исследовании столкновений частиц в случаях, когда невозможно решение динамического уравнения движения.

13. Гравитационное поле

Найдем выражение для потенциальной энергии, которой обладает материальная точка, находящаяся в поле Земли. Гравитационное поле Земли является сферически симметричным. В таком случае используют не декартовы координаты, а сферические (см. рис.): две угловых координаты и и радиальную координату r, направленную от центра поля (т.О) к рассматриваемой точке Р. Будем считать, что поле Земли однородно и изотропно, тогда нам будет достаточно одной радиальной координаты r.



Рис. 13

Изменение потенциальной энергии тела равно работе консервативных сил, взятой с обратным знаком: W_пот = А. Следовательно, найдя работу, мы получим выражение для изменения потенциальной энергии тела (но не самой энергии!).

Пусть материальную точку с массой m перенесли на расстояние dr (см. рис.в таблице), совершив при этом элементарную работу dA против силы тяготения. Так как сила тяготения зависит от расстояния, для нахождения полной работы будем интегрировать, в результате получим общее выражение для изменения потенциальной энергии.

Таблица 13

	элементарная работа; «» потому, что перемещение и сила направлены противоположно (cos 180o=1)
	сила тяготения, m- масса точки, M - масса Земли, r -радиальная координата
	интегрируя, найдем работу по переносу точки с массой m из положения с координатой r1 в положение с координатой r2, и получим:
	общее выражение для изменения потенциальной энергии материальной точки в поле тяготения Земли)

Чтобы найти выражение для потенциальной энергии, следует сначала выбрать тот уровень, на котором будем считать W_пот = 0. Можно выбрать любой уровень, так как имеет значение не сама потенциальная энергия, а ее изменение в процессе перемещения тела. Лучше всего за нулевой уровень потенциальной энергии взять тот, ниже которого не опускается тело в данной задаче.. Пусть в некоторой точке находится неподвижное тело, и нас спрашивают, чему равна его потенциальная энергия. Ответить на этот вопрос нельзя, пока не будет указан уровень, где W_пот = 0. В зависимости от выбора нулевого уровня, выражений для потенциальной энергии данного тела может быть множество.

Найдем выражения для потенциальной энергии материальной точки, находящейся в поле тяготения Земли. Рассмотрим два случая для данного неподвижного тела примем: 1)W_пот = 0 на бесконечности, что имеет физический смысл, т.к. на очень большом расстоянии тела практически не взаимодействуют, и 2)W_пот = 0 на поверхности Земли (что удобно).

мы приняли W₁ = 0 при r₁ = и заменили W₂ = W и r₂ = r

здесь принято W₁ = 0 при r₁ = R (радиус Земли) и W₂ = W и r₂ = r

Таблица 14

Можно ли пользоваться этой формулой?	да, при условиях: 1) Wпот = 0 на поверхности Земли и 2) высота тела над поверхностью Земли значительно меньше ее радиуса h R. Получим эту формулу из общего выражения
	при h R g ускорение силы тяжести на поверхности Земли

14. Космические скорости

Движение тела в поле тяготения Земли можно исследовать с помощью потенциальных кривых. На рис. приведены потенциальные кривые для двух случаев выбора нулевого уровня W_пот = 0, соответствующие формулам, приведенным в таблице.

Рис. 14

Рассмотрим 2-ой случай (он проще, т.к. здесь энергия - положительная величина). Пусть с поверхности Земли брошено тело массой m со скоростью v. Если полная энергия тела равна Е₁, тело преодолеет потенциальный барьер и вырвется за пределы Земли (инфинитное движение). Если полная энергия тела Е₂, то тело окажется в потенциальной яме, движение будет финитным в пределах от R до R+h (h - высота над поверхностью Земли). На втором рисунке показаны возможные траектории движения тела.

Минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли, двигаясь вблизи ее поверхности, называется I-ой космической скоростью - v_I.

Минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно вырвалось за пределы земного притяжения, называется II-ой космической скоростью - v_II.

Таблица 15

	движение по окружности, формула выводится из 2-го закона Нютона
	движение по параболе, формула выводится из закона сохранения энергии в предположении, что на бесконечности Wкин = Wпот = 0

Размещено на Allbest.ru