Решим дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки при следующих условиях однозначности:

· толщина стенки равна д, м;

· коэффициент теплопроводности стенки не зависит от температуры и равен л Вт/ (м·К);

· внутренние источники (стоки) теплоты в стенке отсутствуют, т.е. ;

· на обеих поверхностях плоской стенки задано значение температуры (ГУ I рода)

.

Рис. 1. Стационарное температурное поле в плоской стенке

Решение дифференциального уравнения для бесконечной пластины выполним двойным интегрированием:

откуда следует .

И окончательно получаем общее решение температурного поля в виде

,

из анализа, которого следует, что в плоской стенке при стационарном режиме теплопроводности температура линейно изменяется по ее толщине (см. рис. 1.).

Постоянные интегрирования находим, используя граничные условия путем решения системы из двух линейных уравнений

.

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения системы находим постоянную

.

Подставляя значение постоянных интегрирования в общее решение, окончательно получаем

.

Зная температурное поле, несложно рассчитать плотность теплового потока в плоской стенке, воспользовавшись законом Фурье

или ,

где - тепловая проводимость плоской стенки, Вт/ (м²ЧК); - термическое сопротивление теплопроводности плоской стенки, (м²ЧК) /Вт.

Из анализа формулы для расчета плотности теплового потока следует, что тепловой поток не изменяется по толщине плоской стенки или в любой точке плоской стенки. Поэтому для любого i-го слоя многослойной стенки можно записать

,

где - перепад температур на i-ом слое многослойной стенки; - термическое сопротивление теплопроводности i-го слоя многослойной стенки.

Из последнего выражения следует, что перепад температур на каждом слое многослойной стенки прямо пропорционален термическому сопротивлению этого слоя

Плотность теплового потока для плоской стенки, состоящей из n слоев, рассчитывается по формуле:

.

Цилиндрическая стенка

Решим дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндрической стенки при следующих условиях однозначности:

· внутренний и наружный радиусы цилиндрической стенки равны r₁ и r₂, м;

· коэффициент теплопроводности стенки не зависит от температуры и равен л Вт/ (м·К);

· внутренние источники (стоки) теплоты в стенке отсутствуют, т.е. ;

· на обеих поверхностях цилиндрической стенки задано значение температуры (ГУ I рода)

.

Решение дифференциального уравнения для бесконечного цилиндра выполним двойным интегрированием. Для этого воспользуемся записью дифференциального уравнения теплопроводности в дивергентной форме

, т.к.

Разделяя переменные и интегрируя второй раз, получим общее решение температурного поля

,

из анализа, которого следует, что в цилиндрической стенке при стационарном режиме теплопроводности изменение температуры по ее толщине подчиняется логарифмическому закону (см. рис.4.2.).

Постоянные интегрирования находим, используя граничные условия путем решения системы из двух линейных уравнений

.

Предоставляя читателю самостоятельно решить вышеуказанную систему алгебраических уравнений, приведем формулу изменения температурного поля в цилиндрической стенке

Рис. 2 Стационарное температурное поле в цилиндрической стенке

Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку длиной , рассчитаем по закону Фурье

.

Из анализа последней формулы следует, что тепловой поток не изменяется по толщине цилиндрической стенки . В расчетах теплопроводности через цилиндрическую стенку используют тепловой поток, отнесенный к длине цилиндрической стенки - линейную плотность теплового потока

, (мЧК) /Вт,

где - линейное термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.

В общем случае для любого слоя i - го многослойной цилиндрической стенки можем записать

,

откуда следует, что

Размещено на Allbest.ru